山东省德州市2025-2026学年高二上学期期中数学试题

★优高联考 高二数学试题 2025.11 主考学校：禹城一中 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1一2页，第Ⅱ卷3一4 页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上， 第I卷选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一个选 项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 or 1.已知向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则a·(b+c)= A.7 B.8 C.9 D.10 烘 2.已知直线ax十y一2=0与直线一2x十(1一a)y-4=0平行，则a的值为 A.2 B.1 C.-1 D.2或-1 3.已知直线1经过点A(一2,0)，B(一5,3)，则正确的是 A.直线l的斜率为1 B直线L的倾斜角为三 4π C.直线1的方向向量为(1,1) D.直线1的法向量为（一1,1） 4.经过椭圆号+y2=1的左焦点R,作倾斜角为45的直线1，直线1与椭圆相交于A,B两 点，则|AB= A. B. 3 吗 D46 3 5.在三棱锥O-ABC中，M,N分别是边OA,CB的中点，点G在线段MN上， 拟 且MG=2GN,用向量Oi,0i,O元表示向量0心是 A心-0+号+心 B6心-i++心 c.0心-oi+o+o心 D.0心-oi+oi+号0d 6.已知圆C1:(x-a)2十(y-a-2)2=1与圆C2:x2+y2-2x-3=0有公共点，则实数a 的可能取值为 A.-3 B.-1 C.2 D.3 高二数学试题第1页（共4页） 7.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4)，(0，一4)，点(6，一4)在该双曲线上，则该双曲线的 渐近线方程是 A9。 B.y=士√3x Cy=±女 D.y=士3x 8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1C1上，若直线DP与平面A1BC1 所成的角为O,则sind的取值范围是 A./3 3’3 B. [11 32 c3. √62√2 D D. 4’3 3’3 y 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合 题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分， 9.已知直线l:ax+by-r2=0,圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是 A.若直线l与圆C相离，则点A在圆C内 B.若直线l经过点A,则点A在圆C上 C.若点A在圆C内，则直线l与圆C相交 D.若点A在圆C上，则过点A的圆的切线方程为ax十by一r2=0 10.在平行六面体ABCD-AB,CD,中，各棱长均为2，∠A1AB=∠BAD=∠A1AD=于.则 下列命题中正确的是 D A.|AC1=8 B 9 B.BD⊥A1C C.{BD,BD,AA1)不是空间的一组基底 D.直线AA,与底面ABCD所成角的正弦值为 B 3 11.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C:x2十xy十y2=2,点P(xo,yo)为曲线C上一 点，则 A.曲线C关于x轴对称 B.曲线C为中心对称图形 C.直线y=x十2与曲线C有且仅有两个公共点 D.点P的横坐标x。的取值范围为 252√3 3,3 高二数学试题第2页（共4页） 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知点A(2,2,-1),B(4,-1,2),C(3,0,2),使得AB与AB+xAC垂直的x值 为 13.已知圆C:(x一3)2+(y一1)2=1，直线1过点P(2,3),若直线1与圆C相切，则直线1 的方程为 14.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射， 其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:。2一2=1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为F1,F2,从F2发出的光线经过图2中的A,B两点反射后，分别经 过点C和D,其中A,P,B三点共线，且c0s∠CMB=是ABLBD,则双曲线E的 离心率为 图 图2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程与演算步骤， 15.(13分) 已知圆心为C的圆经过点A(3,一1)和B(2,6),且圆心C在直线x+y一1=0上. (1)求圆C的标准方程； (2)设点P(1,1)在圆C内，过点P的最长弦和最短弦分别为GH和EF,求四边形 EHFG的面积. 16.(15分) 如图，已知在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,点Q在棱 PA上，且PA=4PQ=8,底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD= 90°，AB=4,CD=2,AD=2√2，M,N分别是PD,PB的中点. (1)求证：MQ平面PCB; (2)直线AD与直线CN所成角的余弦值， 高二数学试题第3页（共4页） 17.(15分) 已知点M2,3)在双曲线C号茶-1a>0,6>0)上，且C的实轴长为2，F,F分 别为C的左、右焦点 (1)求双曲线C的标准方程； (2)若P为双曲线上一点. ①当∠FPF,=时，求△PFF,的面积； ②求PF·PF2的取值范围. 18.(17分) 如图1，在四边形ABCD中，AB=BC=2V2,AC=AD=4,∠BAD= ,如图2，把 △ACD沿AC折起，使点D到达点P处，且平面PAC⊥平面ABC,Q为PC的中点. D 图1 图2 (1)求证：AC⊥BQ; (2)求平面ABQ与平面BQP的夹角的余弦值； (3判线段AP上是否存在点M,使得三校能MABQ的体积为分若存在，求出兴 的值；若不存在，请说明理由 19.(17分) 已知F(-2,0),F,2,0)分别是椭圆C:乙+1(a>b>0)的左、右焦点，x轴上 方的两动点M、N在C上，且MF1NF2,当|MF1=|NF2|时，lMF1|=1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若|MF1|=3|NF2,求M的坐标； (3)椭圆C上的任意一点P及(2)中的点M,点Q在圆x2+y2=8上， 求2|QM+IQP|一|PF2|的最小值 高二数学试题第4页（共4页）高二数学试题答题卡 姓名： 学校： 班级： 条形码粘贴区（居中） 准考证号 缺考☐违纪☐ 注意事项 填涂样例 1答题前，考生先将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写清楚，并 认真在规定位置贴好条形码。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字 正确填涂 迹的签字笔书写，要求字体工整，笔迹清楚。 3严格按照题号在相应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答 错误填涂 案无效。 ☑X☑OI 4.保持卡面清洁，不装订，不折叠，不要破损。 0加【刀三 选择题(58分，1-8题每小题5分，9-11题每小题6分) 1ABD可 5ABCD可 9AB©D 2AB©D 6AB@D可 10AB©D 3 A]BCD 7A]B]C]D] 11 A]B]C]D] 4AB@可 8AB@D可 填空题(15分，每小题5分) 12. 13. 14. 15.(13分) ✉ 接15题 16.（15分) 0 A 高二数学试题答题卡第1页共2页 17.(15分) ■ ■ 18.(17分) ■ ■ ■ ■ 接18题 19.(17分) 高二数学试题答题卡第2页共2页 ■ 接19题 ■高二数学试题参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一个选 项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1.C2.A3.B4.B5.C6.B7.A8.D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合 题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分， 9.ABD 10.BCD 11.BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.器 13.3x+4y-18=0或x-2=0 14.②9 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程 15.(1)由题意设圆心C(a,-a十1)，因为AC=|BC, 即W/(a-3)2+(-a十1+1)2=√(a-2)2+(-a+1-6)2,…2分 解得a=一1，即C(一1,2)，…4分 半径r=CA|=√(-1-3)2+(1+1+1)z=5, 所以圆C的标准方程为(x十1)2十(y一2)2=25…6分 (2)由圆的性质，过点P的最长弦过圆心，即为直径，GH=10.…7分 最短弦EF垂直于GH,CP=√(-1-1)2+(2-1)2=√5，…9分 所以|EF|=2W52一5=4W5,…12分 故四边形EHFG的面积为7·EF·GH=205…13分 16.(1)法-：取AP的中点E,连接ED,EN,则EV/AB,EN= 2AB. …2分 依题意得，CDAB,CD=AB, 所以四边形CDEN为平行四边形，所以EDCN,…5分 依题有Q为EP的中点，所以MQED,所以MQCN,·7分 又MQ中平面PCB,CNC平面PCB,所以MQ平面PCB.· …9分 法二：以A为原点，以AD,AB,AP分别为x,y,之建立空间直角坐标系O-xyz, 由AB=4,CD=2,AD=2√2，PA=4PQ=8,M,N分别是PD,PB的中点，可得： A(0,0,0),B(0,4,0),C(2√2,2,0)，D(2√2,0,0)，P(0,0,8),Q(0,0,6),M(2,0,4), N(0,2,4)…3分 所以BC=(22,-2,0),PB=(0,4,-8),MQ=(-√2,0,2) …6分 设平面的PBC的法向量no=(x,y,之)， 高二数学试题答案第1页（共4页） 则有n交y)(2,-2,0)=02z-y=0 n⊥PB→(x,y,z)·(0,4,-8)=0→2y-4z=0 令之=1，则x=2,y=2→n0=(W2,2,1),…8分 所以M·no=(-√2,0,2)·(W2,2,1)=0,又MQt平面PCB 所以MQ/平面PCB…9分 (2)法：由(1)知，DECN, 则直线AD与直线CN的所成角为直线AD与直线DE的所成角…I1分 因为AE=4,AD=2√2，所以DE=2√6…13分 在Rt△DAE中，cos∠ADE=DE=26=3、 …14分 所以直线AD与直线CN所成角的余弦值为 …15分 法二：由(1)知CN=(-22,0,0),AD=(22,0,4)…11分 |cos(AD,C1=|一8|=3 0000000…。14分 22/24 3 所以直线AD与直线CN所成角余弦值为 …15分 2a=2 17.(1)由题设条件，可得49 …2分 a2 b2 =1 解得a=1,b=√3，…3分 线C的标雅方程为x2… (2)①因为P为双曲线E:x2-苦-1上的-点， 所以IPF|-|PF2||=2,平方得|PF1|2+|PF212-2PF1||PF2|=4①，…6分 在△PF1F2中，由余弦定理，得 |pF,2+PF,-2到Pp…pp,cosg-F,F,,…8分 即|PF1I2+|PF2I2-|PF1I|PF2|=16②， 由①-②，得-|PF1|PF2=-12,即PF1|PF2=12,…10分 所以△PF,R,的面积Sa,引PrPF,sn∠F,PF,-2×12×号-3“ …11分 (直接利用二级结论S=。求出，得3分】 tan 2 ②设Pm,m),则m2-号-1，所以m2=1+ 3n∈R…12分 高二数学试题答案第2页（共4页） 因为F1(-2,0),F2(2,0),PF1=(-2-m,-n),PF2=(2-m,-n)…13分 PFP时=m2+m-4g-3≥-3 所以PF1·PF2的取值范围是[-3，十o∞)… …15分 18.解：(1)在图1中，由AB=BC=2√2，AC=4,得AB2+BC2=AC2, 因此AB1BC,因此∠BAC=至…1分 2 由∠BAD-,得∠CAD=5,即DALAC,…2分 在图2中PA⊥AC,取AC的中点O,连接QO,BO,由Q为PC 的中点，得QOPA,…3分 因此QO⊥AC,由AB=BC=2√2，得BO⊥AC,·4分 而BO∩QO=O,BO,QOC平面BOQ,因此AC⊥平面BOQ, 又BQC平面BOQ,因此AC⊥BQ… …5分 (2)由已知及(1)得平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,QO⊥AC, 所以QO⊥平面ABC,…6分 直线OB,OA,OQ两两垂直，以O为坐标原点，直线OB,OA,OQ分别为坐标轴建立如 图所示的空间直角坐标系，因此A(0,2,0),B(2,0,0),Q(0,0,2),P(0,2,4), AB=(2,-2,0),AQ=(0,-2,2),QB=(2,0,-2),QP=(0,2,2),…7分 n·AB=2x-2y=0 设平面ABQ的法向量为n=(x,y,之)，因此 令y=1, n·A0=-2y+2z=0 因此x=1,之=1，因此平面ABQ的一个法向量为n=(1,1,1),…9分 m·QB=2a-2c=0 设平面PBQ的法向量为m=(a,b,c),因此 令a=1, m·QP=2b+2c=0 则b=一1，c=1,因此平面PBQ的法向量为m=(1,一1,1)，…11分 m·n 1-1+1 1 因此cosm,n)=m·n==/1+1+1X/1干1+3' …12分 所以平面ABQ与平面BQP的夹角的余弦值为3： …13分 (3)假设线段AP上是否存在点M,使得三棱锥的体积为号，在△ABQ中， =BQ=2W2,因此S4M07X22X22X9=23,…… 因为三棱锥M,ABQ的体积为号， 设点M到平面ABQ的距离为d,因此写×25)×d=青，因此d=号5，…15分 因此点M到平面ABQ的距离为号3，令 AP=A(0<入≤1)，由(2)得， 高二数学试题答案第3页（共4页） AM=λAP=λ(0,0,4)，又平面ABQ的法向量为n=(1,1,1), 因此点M到平面ABQ的距离为d=n·AM_2_23 n √3 3,解入1」 …16分 线段AP上存在点M,使得三棱锥MABQ的体积为，且 1AP-2· …17分 (利用等积法相应得分) 19.解：(1)由题可知c=√a2-b2=√2，即a2-b2=2,…1分 若|MF1=|NF2,且MF1NF2,则此时MF1⊥x轴，…3分 所u)°+-1脚导+ a2 即。后+6-1，解得a2=4,b2=2, 所以椭圆C的标准方程为+ =1…5分 2 (2)设M(x1,y1),y1>0,N(x2y2),y2>0, x1+4√2 由题可知MF=3N,则2-x1=3(2-x) x2 3 解得 …8分 ,-y1=-3y2 +=1 [x+2y1-4=0 4 2 因为两点M,N在椭圆C上，所以 ,所以 1+422 3)+2()一40’ 3 x1+2y1-4=0 即 (x1+4√2)+2y?-36=0 解得x1=0,y1=√2，所以M的坐标为(0，√2) …10分 (3)由题意M(0,√2)，设R(0,m),Q(x,y), QR 便2QM=QR07=2,x+m)9 ”x2+(6y-2)=4, 整里得：+y428,-四3 3 ，……12分 2m-82=0 3 又点Q在圆x2十y2=8上，所以3 ,解得m=42,R(0,4√2)…14分 m2-8 3 =8 由椭圆定义得PF2=4一PF1,…15分 2QM+QPI-PF21=QR+QP-(4-PF)=QR+QP+PF1-4 当R,P,F1三点共线时，R(0,4√2)，F1（-√2,0) 所以2QA|十QP|-PF2有最小值√34-4…17分 高二数学试题答案第4页（共4页）