精品解析：广东省湛江市雷州市白沙中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

广东省2025—2026学年度第一学期 八年级数学综合素养训练题（二） 说明：1.全卷共4页，考试范围：第13～15章，满分120分，考试用时120分钟. 2.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的班级、姓名、学号填写在答题卡相应的位置上. 3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 4.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. 中南大学 B. 北京大学 C. 中国人民大学 D. 浙江大学 2. 如图，人字梯的支架、的长度都为2m（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（ ） A. 3m B. 4m C. 5m D. 6m 3. 若等腰三角形一边长是2，另一边长是4，则第三边的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或4 4. 如图是手机支架的侧面示意图，若调整支撑杆的角度，使得，，则直线与所夹锐角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 6. 据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（ ） A. B. C. D. 7. 贵州的传统建筑多采用木结构，其中榫卯结构是一种常见的连接方式，不仅美观，而且具有很强的稳定性和耐久性．如图，工匠将两块全等的木楔水平钉入长为的长方形木条中（点在同一条直线上），若，则木楔的长为（ ） A. B. C. D. 8. 两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（    ） A. 的平分线上 B. 边的高上 C. 边的垂直平分线上 D. 边的中线上 9. 如图，在中，，且垂直平分，交于点．若的周长为，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 10 D. 8 10. 已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 如图，已知，若要用“”证明，则还需补充条件______． 12. 如图是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，连接AB，AC，则∠1＋∠2＝________． 13. 如图，中，分别是高和角平分线，则的度数是_______． 14. 若点和点关于轴对称，则点在第______象限． 15. 图中的三十六个小等边三角形面积都等于2，则的面积为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16. 如图，已知是的中线，，，那么和的周长之差是多少？ 17. 如图，已知，，求证：平分． 18. 如图，在中，，是边上的高，求的度数． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 如图，在中，点D是边上一点，点E是边的中点，过C作，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 如图，已知． （1）请用无刻度的直尺和圆规在边上作出点，使得（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的周长． 21. 如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形？ （3）当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分. 22. 在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【操作1】将长方形纸片的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A落在点处，为折痕，如图1； 【操作2】在图1条件下，点F是线段上一点，角顶点B沿线段折叠，点B落在点处，且点在长方形内． 【任务】 （1）在图1中，若，求的度数； （2）在操作2中，当点刚好落在线段上时，如图2，求的度数； （3）在操作2中；当点不在线段上时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 23. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：． （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省2025—2026学年度第一学期 八年级数学综合素养训练题（二） 说明：1.全卷共4页，考试范围：第13～15章，满分120分，考试用时120分钟. 2.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的班级、姓名、学号填写在答题卡相应的位置上. 3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 4.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. 中南大学 B. 北京大学 C. 中国人民大学 D. 浙江大学 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 如图，人字梯的支架、的长度都为2m（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（ ） A. 3m B. 4m C. 5m D. 6m 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其它两边之和是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 即． 故选：A． 3. 若等腰三角形一边长是2，另一边长是4，则第三边的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，理解相关知识是解答关键． 根据等腰三角形的性质和三角形三边关系定理，确定第三边的可能值并验证是否满足条件． 【详解】解：A．若第三条边长为2，则三边为2、2、4，此时两边之和，等于第三边4，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，故不成立，此项不符合题意； B．若第三条边的长是3，则，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，故不成立，此项不符合题意； C．若第三条边的长为4，则三边为4、4、2，此时：，，故此项符合题意，此项正确； D．若第三条边的长为2或4，则三边为4、4、2或2、2、4，当三边长为2、2、4时，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，故不成立，此项不符合题意． 故选：C． 4. 如图是手机支架的侧面示意图，若调整支撑杆的角度，使得，，则直线与所夹锐角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了三角形外角的性质，根据直线与所夹锐角的大小求解即可． 【详解】解：∵，， ∴直线与所夹锐角的大小， 故选：D． 5. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 6. 据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得． 【详解】解：在和中， ， ． 故选D． 7. 贵州的传统建筑多采用木结构，其中榫卯结构是一种常见的连接方式，不仅美观，而且具有很强的稳定性和耐久性．如图，工匠将两块全等的木楔水平钉入长为的长方形木条中（点在同一条直线上），若，则木楔的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是利用全等三角形对应边相等的性质，结合已知线段长度进行计算． 根据全等三角形得出，再结合和的长度，通过线段之间的关系求出的长． 【详解】解：， ， ∵，点在同一条直线上， ∴ 木楔的长为4cm． 故选：B． 8. 两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（    ） A. 的平分线上 B. 边的高上 C. 边的垂直平分线上 D. 边的中线上 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案． 【详解】解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选：A． 9. 如图，在中，，且垂直平分，交于点．若的周长为，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 10 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，线段的和差，解题的关键是根据性质找出相等的线段． 根据条件得出等腰三角形，依据等腰三角形的三线合一，得出相等线段，然后依据垂直平分线的性质找出相等的线段，利用线段的和差即可求出结果． 【详解】解：，且， 是等腰三角形，根据三线合一可得， ， 垂直平分， ， ， ， ， 故选：D． 10. 已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案． 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中， ∵， ， ∴，本选项正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ， ∴，本选项正确； ③∵， ， ∴， ∴，本选项正确； ④∵， ，故此选项正确， 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 如图，已知，若要用“”证明，则还需补充条件______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，熟记定理是解此题的关键． 已知公共边为斜边，再添加一组直角边相等，即可求解． 【详解】补充， 在和中， ， ∴， 补充， 在和中， ， ∴． 故答案为：或． 12. 如图是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，连接AB，AC，则∠1＋∠2＝________． 【答案】90°##90度 【解析】 【分析】根据题意可得出两个三角形全等，从而可以得出∠1+∠2=90°． 【详解】解：根据题意得：△AEC≌△BDA， ∴∠2=∠CAE， ∴∠1+∠2=90°， 故答案为：90． 【点睛】本题考查了全等图形的知识，解题的关键是根据题意得到全等的三角形，难度不大． 13. 如图，中，分别是高和角平分线，则的度数是_______． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的高，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，先求解，，，再结合角的和差运算可得答案． 【详解】解：在中， ，， ． 是的角平分线， ． 是的高， ， ， ． 故答案为：． 14. 若点和点关于轴对称，则点在第______象限． 【答案】一 【解析】 【分析】本题考查了轴对称，判断点所在的象限，关于y轴对称对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点和点关于y轴对称， ∴， 解得， ∴在第一象限， 故答案为：一． 15. 图中的三十六个小等边三角形面积都等于2，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，关键是想到外围的两个三角形放在一起构成一个平行四边形． 、和是全等的，其中两个三角形放在一起得到一个平行四边形，求出平行四边形的面积，得到的面积的面积的面积，即可得到的面积． 【详解】 解：由题意，可知：， ∴、和是全等的，其中两个三角形放在一起得到一个平行四边形， 这样的平行四边形的面积个小等边三角形的面积的和， 的面积的面积的面积， 的面积， 的面积， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16. 如图，已知是的中线，，，那么和的周长之差是多少？ 【答案】和的周长之差是 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质，根据三角形中线的性质得到，表示出和的周长，作差即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵周长，周长， ∴周长周长 ， 即和的周长之差是． 17. 如图，已知，，求证：平分． 【答案】 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先证明，得出，即可得出答案． 【详解】略 18. 如图，在中，，是边上的高，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及直角三角形的性质．利用等腰三角形的性质得到底角与顶角的关系，设出顶角度数，结合三角形内角和定理求出底角的度数；再根据高的定义得到，最后利用直角三角形两锐角互余求出的度数． 【详解】解：设， ， ， 又， ， 根据三角形内角和定理，， ，解得， ， 是边上的高， ， ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 如图，在中，点D是边上一点，点E是边的中点，过C作，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：点E是边的中点， ∵ ； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用证明三角形全等及利用全等三角形的性质求解线段的长度”是解本题的关键. （1）先证明 再证明从而可得结论； （2）利用全等三角形的性质证明从而可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， 20. 如图，已知． （1）请用无刻度的直尺和圆规在边上作出点，使得（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） 如下图，点即为所求作的点； （2）14 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线，垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧交于两点，过两交点作直线交与点，即可获得答案； （2）由垂直平分线的性质可得，然后结合三角形周长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知， ∴的周长． 21. 如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形？ （3）当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【答案】（1） （2）点M、N运动4秒时，可得到等边； （3）当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时M、N运动的时间为16秒． 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据题意设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，列方程即可求解； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边，然后表示出，的长，由于等于，所以只要，就是等边三角形； （3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出、、的长，列出方程，可解出未知数的值． 【小问1详解】 解：设点M、N运动t秒时，M、N两点重合， 得方程， 解得, 答：点M、N运动12秒时，M、N两点重合； 【小问2详解】 解：设点M、N运动t秒时，可得到等边，如图①， ，， 是等边三角形， ， 解得， ∴点M、N运动4秒时，可得到等边． 【小问3详解】 解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 情况一： 设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， ， 解得：； 即12秒时M、N两点重合，恰好在C处，，但不是等腰三角形； 情况2： 如图②，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 设当点M、N在边上运动时M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形， ，，， 即， 解得：． 综上所述，故假设成立． ∴当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形， 此时M、N运动的时间为16秒． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分. 22. 在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【操作1】将长方形纸片的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A落在点处，为折痕，如图1； 【操作2】在图1条件下，点F是线段上一点，角顶点B沿线段折叠，点B落在点处，且点在长方形内． 【任务】 （1）在图1中，若，求的度数； （2）在操作2中，当点刚好落在线段上时，如图2，求的度数； （3）在操作2中；当点不在线段上时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：，，之间的数量关系为：或 理由：由折叠性质可知：，， ①当点在点的左侧时，如图3， ， ∴， ∴； ②当点在点的右侧时，如图4， ， ∴， ∴， 综上所述，，，之间的数量关系为：或． 【解析】 【分析】本题主要考查折叠问题，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应线段相等是解题的关键． （1）由折叠的性质得，进而可得，再根据平角的定义求解； （2）由折叠的性质得，，再根据，可得； （3）分点在点的左侧、右侧两种情况，结合折叠的性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：由折叠性质可知：， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由折叠性质可知：，， ∵， ∴， 即； 【小问3详解】 略 23. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：． （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若，则______． 【答案】 （1）证明：如图1中，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA=∠CEA=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°， ∵∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE． （2）解：成立． 理由：如图2中， ∵∠BDA=∠BAC=α， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α， ∴∠DBA=∠CAE， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE． （3）3.5 【解析】 【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE； （2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论； （3）由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）如图3，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N． ∴∠EMI=∠GNI=90° 由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN ∴EM=GN 在△EMI和△GNI中， ， ∴△EMI≌△GNI（AAS）， ∴EI=GI， ∴I是EG的中点． ∴S△AEI=S△AEG=3.5． 故答案为：3.5． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $