精品解析：山西省忻州市部分学校2025-2026学年上学期第三次月考九年级数学试卷

2025-2026学年九年级上册阶段测评三数学试卷 时间：90分钟 满分：120分 考试范围：人教上册全部 一、选择题（本题共10小题，每小题3分共30分） 1. 已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 3 2. 下列事件中，必然事件是（　　） A. 未来一周都是好天气 B. 假期出门遇见同学 C. 不在同一直线上的三个点确定一个圆 D. 掷一次硬币，正面向上 3. 下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 若点在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 2 3 2 … 其中m的值是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 7. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC．BO的延长线交AC于点D．若∠ABD＝23°．则∠A的度数为（ ） A. 23° B. 32° C. 46° D. 60° 8. 若弦AB，CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为13，AB=10，CD=24，则AB，CD之间的距离为 A. 7 B. 17 C. 5或12 D. 7或17 9. 如图，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8.则图中阴影部分的面积是（       ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 某班学生做抛掷图钉的实验，实验结果如下： 抛掷次数n 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖着地的频数m 158 193 231 274 311 352 389 钉尖着地的频率 0.3950 0.3860 0.3850 0.3914 0.3888 0.3911 0.3890 根据以上信息．估计掷一枚这样的图钉，落地后钉尖着地的概率为______（精确到0.01） 12. 如图，四边形内接于，若它的一个外角，则另一个外角________． 13. 在一个不透明的布袋中装有除颜色外其他都相同的黄、白两种颜色的球共40个，从中任意摸出一个球，若摸到黄球的概率为则布袋中黄球的个数为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，、、、，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段与，与是对应点)，则旋转中心的坐标为_____．  15. 如图，正方形的边长为，以点为圆心，为半径画圆弧，得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的全面积是______． 16. 如图，已知二次函数的图象，且关于的一元二次方程没有实数根，有以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有_______． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 18. 如图1，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段，线段在网格线上， 画出线段关于线段所在直线对称的线段 (点分别为的对应点)； 将线段，绕点，顺时针旋转得到线段，画出线段． 19. 有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字． （1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果； （2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？ 20. 如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各1m的门，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2． （1）请用含x的代数式表示BC并求S与x的函数关系式； （2）若4＜x＜7，则S的最大值是多少？请说明理由． 21. 如图，四边形是正方形，以边为直径作，点在边上，连接交于点，连接并延长交于点，． （1）求证：． （2）若，求劣弧的长．(结果保留) 22. 如图，是四边形的外接圆，是的直径，，交的延长线于点，平分． （1）求证：是的切线． （2）若，，求点到的距离． 23. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为，点C在抛物线上，且直线与x轴形成的夹角为． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点P为直线上方抛物线上的动点，求点P到直线距离的最大值； （3）将满足（2）中到直线距离最大时的点P，向下平移4个单位长度得到点Q，将原抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线，M为平移后抛物线上的动点，N为平移后抛物线对称轴上的动点，是否存在点M，使得以点C，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册阶段测评三数学试卷 时间：90分钟 满分：120分 考试范围：人教上册全部 一、选择题（本题共10小题，每小题3分共30分） 1. 已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，直接将代入原方程即可求出参数的值． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴，解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解的基本定义是解题关键． 2. 下列事件中，必然事件是（　　） A. 未来一周都是好天气 B. 假期出门遇见同学 C. 不在同一直线上的三个点确定一个圆 D. 掷一次硬币，正面向上 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件，不可能事件，必然事件的意义进行判断即可． 【详解】解：根据概念，知： A、未来一周都是好天气，是随机事件； B、假期出门遇见同学，是随机事件； C、不在同一直线上的三个点确定一个圆，是必然事件； D、掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上，是随机事件． 故选：C． 【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．①必然事件指在一定条件下一定发生的事件；②不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；③不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形； 所以A不符合题意； B、是中心对称图形，也是轴对称图形； 所以B不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形； 所以C符合题意； D、是中心对称图形，也是轴对称图形； 所以D不符合题意； 故选择：C ． 【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形识别.，熟练掌握中心对图形的意义在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称．在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴． 4. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余田的面积为468列出方程即可． 【详解】解：设入口的宽度为x m，由题意得： （30-2x）（20-x）=468． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 5. 若点在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的基本性质，能够对函数确定好开口方向和对称轴是解题关键； 先判断二次函数的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的增减性进行解题即可． 【详解】解：由题意可得：对称轴所在的直线，抛物线开口向下， ∴当时，随增大而减小，函数在时取得最大值， 根据对称性，对称的点坐标为：， ∵， ∴， 故选：C． 6. 已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 2 3 2 … 其中m的值是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的对称性，找到表格中函数值相等的两个自变量的值，求出对称轴，再根据对称性求出的值即可． 【详解】解：由表格可知，和的函数值相等，均为， ∴二次函数的对称轴为， ∴和的函数值相同， ∴； 故选：D． 7. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC．BO的延长线交AC于点D．若∠ABD＝23°．则∠A的度数为（ ） A. 23° B. 32° C. 46° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点，连接，由圆周角定理可得，继而解得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解题即可． 【详解】解：延长交于点，连接， 则 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与圆心、圆周角定理、直径所对的圆周角是90°、等腰三角形、三角形的内角和定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 8. 若弦AB，CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为13，AB=10，CD=24，则AB，CD之间的距离为 A. 7 B. 17 C. 5或12 D. 7或17 【答案】D 【解析】 【分析】过O作OE⊥AB交AB于E点，过O作OF⊥CD交CD于F点，连接OA、OC，由题意可得：OA=OC=13，AE=EB=12，CF=FD=5，E、F、O在一条直线上，EF为AB、CD之间的距离，再分别解Rt△OEA、Rt△OFC，即可得OE、OF的长，然后分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离． 【详解】解：①当AB、CD在圆心两侧时； 过O作OE⊥AB交AB于E点，过O作OF⊥CD交CD于F点，连接OA、OC，如图所示： ∵半径r=13，弦AB∥CD，且AB=24，CD=10 ∴OA=OC=13，AE=EB=12，CF=FD=5，E、F、O在一条直线上 ∴EF为AB、CD之间的距离 在Rt△OEA中，由勾股定理可得： OE2=OA2-AE2 ∴OE==5 在Rt△OFC中，由勾股定理可得： OF2=OC2-CF2 ∴OF==12 ∴EF=OE+OF=17 AB与CD的距离为17； ②当AB、CD在圆心同侧时； 同①可得：OE=5，OF=12； 则AB与CD的距离为：OF-OE=7； 故答案为：17或7． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用． 9. 如图，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质得到∠BAC=∠B′AC′，∠C=∠C′，进而推出∠CAC′=40°，根据三角形内角和定理证得∠C′DC=∠CAC′，即可求得∠C'DC的度数． 【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'， ∴△ABC≌△AB'C'， ∴∠BAC=∠B′AC′，∠C=∠C′， ∵∠BAB'=40°， ∴∠CAC′=40°， ∵∠C'DC=180°-∠DEC′-∠C′，∠CAC′=180°-C-∠AEC，∠DEC′=∠AEC， ∠C′DC=∠CAC′=40°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，能灵活运用旋转的性质是解决问题的关键． 10. 运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8.则图中阴影部分的面积是（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】作直径CG，连接OD、OE、OF、DG，则根据圆周角定理求得DG的长，证明DG=EF，则S扇形ODG=S扇形OEF，然后根据三角形的面积公式证明S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，则S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆，即可求解． 【详解】作直径CG，连接OD、OE、OF、DG． ∵CG是圆的直径， ∴∠CDG=90°，则DG==8， 又∵EF=8， ∴DG=EF， ∴， ∴S扇形ODG=S扇形OEF， ∵AB∥CD∥EF， ∴S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF， ∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=π×52=， 故选A． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理．本题中找出两个阴影部分面积之间的联系是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 某班学生做抛掷图钉的实验，实验结果如下： 抛掷次数n 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖着地的频数m 158 193 231 274 311 352 389 钉尖着地的频率 0.3950 0.3860 0.3850 0.3914 0.3888 0.3911 0.3890 根据以上信息．估计掷一枚这样的图钉，落地后钉尖着地的概率为______（精确到0.01） 【答案】0.39 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，钉尖着地的频率逐渐稳定到0.39附近， 所以估计掷一枚这样的图钉，落地后钉尖着地的概率为0.39， 故答案为：0.39． 12. 如图，四边形内接于，若它的一个外角，则另一个外角________． 【答案】58 【解析】 【分析】直接利用圆内接四边形的性质对角互补即可得出答案． 【详解】解：∵∠DCE＝122°， ∴∠BCD＝180°−122°＝58°， ∴∠BAD＝180°−58°＝122°， ∴∠FAD＝180°−122°＝58°． 故答案为：58． 【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，正确掌握对角关系是解题关键． 13. 在一个不透明的布袋中装有除颜色外其他都相同的黄、白两种颜色的球共40个，从中任意摸出一个球，若摸到黄球的概率为则布袋中黄球的个数为______． 【答案】18 【解析】 【分析】利用摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：设袋子中黄球有x个，根据题意，得： ， 解得：x=18， 即布袋中黄球可能有18个， 故答案为：18． 【点睛】此题考查了概率，解题的关键是掌握概率公式的求法即概率=所求情况数与总情况数之比，是一道常考题型． 14. 如图，在平面直角坐标系中，、、、，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段与，与是对应点)，则旋转中心的坐标为_____．  【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，写字出直角坐标系中点的坐标，解题的关键是根据旋转的性质找出旋转中心． 根据对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心找出旋转中心，再利用数形结合写出旋转中心的坐标即可． 【详解】解：如图，旋转中心的坐标为． 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为，以点为圆心，为半径画圆弧，得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的全面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求扇形面积，圆锥的计算；根据题意求得的长，进而求得圆锥的底面半径，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴ ∴圆锥的底面半径为 ∴该圆锥的全面积是 故答案为：． 16. 如图，已知二次函数的图象，且关于的一元二次方程没有实数根，有以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有_______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由抛物线与轴有两个不同交点，可判断①；根据抛物线的开口方向、对称轴及与轴交点的位置，可得出、、，进而即可得出，即可判断②；由抛物线与直线有一个交点，即可判断③；由、，可得出，即可判断④． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ，①正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ，，， ， ，②错误； 方程没有实数根， ，③正确； ，， ，④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及抛物线与轴的交点，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）观察发现容易配方，故使用配方法较为方便； （2）观察发现方程中含有公因式，故使用因式分解法解方程较为方便． 【小问1详解】 ， ，即， ， ，． 【小问2详解】 ， ，则， 或， 解得，． 【点睛】本题考查求解一元二次方程，通过观察方程的特点，选用最合适的方程解法是本题的解题关键． 18. 如图1，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段，线段在网格线上， 画出线段关于线段所在直线对称的线段 (点分别为的对应点)； 将线段，绕点，顺时针旋转得到线段，画出线段． 【答案】 （1）如图所示，即为所作； （2）如图所示，即为所作． 【解析】 【分析】（1）先找出A，B两点关于MN对称的点A1，B1，然后连接A1B1即可； （2）根据旋转的定义作图可得线段B1A2． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查作图-旋转与轴对称，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称的定义与性质． 19. 有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字． （1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果； （2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？ 【答案】 （1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 用树状图表示所有可能出现的结果如下：     （2）由（1）的表格可知，共有9种可能出现的结果，其中“和为3的倍数”的有3种，“和为7的倍数”的有3种， ∴P（小杰胜）＝，P（小玉胜）＝， ∴游戏是公平的． 【解析】 【分析】（1）分别使用树状图法或列表法将所有可能出现的结果表示出来，转盘共有3种不同的抽取情况，摸球同样也有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种； （2）通过（1）所列出的表格或是树状图表示的结果，统计“和为3的倍数”、“和为7的倍数”出现的次数，并算出概率，通过概率的比较得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用图表的形式将转盘、摸球所可能发生的情况一一列出，避免遗漏，并通过对可能发生的结果进行统计，计算出游戏各赢法所对应的概率． 20. 如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各1m的门，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2． （1）请用含x的代数式表示BC并求S与x的函数关系式； （2）若4＜x＜7，则S的最大值是多少？请说明理由． 【答案】（1）S=-3x2+26x（5≤x＜）； （2）S的最大值是55m2，理由如下： 解不等式组， 解得：5≤x＜7， ∵S=-3x2+26x=-3（x-）2+， ∵-3＜0， ∴x＞时，S随x的增大而减小， ∴x=5时， S的最大值=-3×52+26×5=55(m2)． 【解析】 【分析】（1）可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积=长×宽，得出S与x的函数关系式； （2）先求出对称轴，在求出x的取值范围，根据抛物线的性质即可求出面积的最大值． 【小问1详解】 解：由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24-3x+2）米=（26-3x）米， 则S=x（26-3x）=-3x2+26x， ∵BC=26-3x≤11，3x＜24+2， ∴5≤x， ∴S=-3x2+26x（5≤x＜）； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数的应用、矩形的面积公式等知识，解题的关键是能够构建二次函数解决实际问题． 21. 如图，四边形是正方形，以边为直径作，点在边上，连接交于点，连接并延长交于点，． （1）求证：． （2）若，求劣弧的长．(结果保留) 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是直径， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）利用正方形的性质和圆周角定理可得，进而由即可求证； （）如图，连接，利用圆周角定理可得，再根据弧长公式计算即可求解； 本题考查了正方形的性质，圆周角定理，弧长公式，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的长． 22. 如图，是四边形的外接圆，是的直径，，交的延长线于点，平分． （1）求证：是的切线． （2）若，，求点到的距离． 【答案】 （1）证明：连接OB，如图所示： ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵OB=OC， ∴∠OCB=∠OBC， ∵平分， ∴∠ECB=∠ACB=∠OBC， ∴∠OBC+∠EBC=90°，即∠OBE =90°， ∵OB是半径， ∴是的切线； （2）3 【解析】 【分析】（1）连接OB，由题意易得∠OCB=∠OBC，∠ECB=∠ACB=∠OBC，进而可得∠OBC+∠EBC=90°，然后问题可求证； （2）过点B作BF⊥AD于点F，由题意易证四边形EBFD是矩形，则有ED=BF，进而可得∠BAC=∠EBC=30°，然后由含30°的直角三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：过点B作BF⊥AD于点F，如图所示： 由（1）可得，∠ECB=∠ACB=∠OBC， ∴四边形EBFD是矩形， ∴ED=BF， ∵， ∴∠ACB=2∠BAC， ∵∠ACB+∠BAC=90°， ∴∠BAC=30°，∠ECB=∠ACB=∠OBC =60°， ∴∠BAC=∠EBC=30°， ∵， ∴， ∴， ∵∠ECB=∠BAD=60°， ∴∠CAD=30°， ∴CD=2， ∴BF=ED=EC+CD=3． ∴点到的距离3． 【点睛】本题主要考查切线的判定定理及圆内接四边形的性质，熟练掌握切线的判定定理及圆内接四边形的性质是解题的关键． 23. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为，点C在抛物线上，且直线与x轴形成的夹角为． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点P为直线上方抛物线上的动点，求点P到直线距离的最大值； （3）将满足（2）中到直线距离最大时的点P，向下平移4个单位长度得到点Q，将原抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线，M为平移后抛物线上的动点，N为平移后抛物线对称轴上的动点，是否存在点M，使得以点C，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点M的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求函数表达式即可； （2）点P到的距离转化为，求的最大值来转化； （3）根据条件先求出Q，C的坐标，再根据为平行四边形的边和对角线进行分类讨论． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴的两个交点分别为， ∴， ∴该抛物线的函数表达式为， 【小问2详解】 解：作于H，轴交于D点，交x轴于E， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 当时，最大为9， ∴的最大值为， 即P到的最大距离为； 【小问3详解】 解：由（2）知：， ∴， ∵直线与抛物线交点C坐标为， 抛物线向右平移2个单位后解析式为：， ∴对称轴为：直线， 当为边时，若平移到N，平移到M，则M的横坐标为， 将代入平移后解析式：得：， ∴， 当为边时，若平移到M，平移到N，则M的横坐标为， 将代入平移后解析式：得：， ∴， 当为对角线时，可看作C平移到N，M平移到Q， ∴M的横坐标为， 将代入平移后解析式：得：， ∴， 综上所述：点M的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $