5.5 一次函数与二元一次方程 同步练习题 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

5.5 一次函数与二元一次方程 同步练习题 一、单选题 1．若以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，则常数b的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．对每个是三个值中的最大值，则当变化时，函数的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点．若直线与线段有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 4．已知一次函数与的图象交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，将直线：沿轴向左平移3个单位得到直线，直线分别与轴、轴交于点、，则的面积为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 6．如图，直线与直线交于点，那么关于x，y的二元一次方程组的解是（） A． B． C． D． 7．在同一个平面直角坐标系内，三条直线所对应的一次函数如图所示（其中），分别作直线与这三条直线相交形成的图中所有7块阴影部分面积和为（   ） A． B．14.7 C． D．7.35 8．对于每个，函数是、这两个函数中的最小值，则函数的最大值是(    ) A．6 B．8 C．10 D．12 9．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 10．一次函数与的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．， B．这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为 C．关于的方程组的解为 D．当从0开始增加时，函数比的值先达到3 二、填空题 11．已知方程组的解为，则一次函数与的交点P的坐标是 12．已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，则的面积为 ． 13．已知直线与两条坐标轴围成的三角形面积为12，则k的值为 ． 14．如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是 ． 15．定义：在同一平面直角坐标系中有三条直线，，，我们把在某一范围内位于另外两条直线之间的直线称为该范围的中位线，记作．如图，：，：，：，若，则，其表达式为．若，则x的取值范围是 ；若是过点且平行于轴的直线，与直线有4个交点，则b的取值范围是 ． 三、解答题 16．如图，直线：与y轴交于点A，直线：与y轴交于点B，直线与直线相交于点C，连接． (1)求点C的坐标． (2)直接写出的面积：______． 17．直线 与直线 交于点P，它们与y轴分别交于点A，B． (1)在同一平面直角坐标系中，画出这两条直线； (2)x分别为何值时， ？ (3)求三角形的面积． 18．如图，直线与轴、轴分别交于两点，为直线上一点，另一直线经过点．点是直线与轴的交点． (1)求点的坐标和直线的解析式； (2)判断的形状； (3)若点是直线上一点，当的面积等于面积两倍时，求出点的坐标． 19．如图，直线与轴相交于点，直线经过点，与轴相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)根据图象，直接写出的解集； (3)点是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点的坐标． 20．如图，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，两条直线相交于点． (1)求p的值，并且直接写出关于x，y的二元一次方程组的解； (2)判断直线是否也过点M？并说明理由． (3)若直线与x轴交于点，求直线的关系式和的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《5.5 一次函数与二元一次方程 同步练习题2025-2026学年苏科版八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D A A D D A C D 1．C 【分析】本题考查了一次函数与一元二次方程的关系；将二元一次方程变形为y关于x的形式，与给定直线方程比较常数项，建立方程求解b即可． 【详解】解：∵二元一次方程可变形为， 又以该方程的解为坐标的点都在直线上， ∴两条直线重合，则常数项相等，即， ∴，即 ， ∴， 即 ． 2．D 【分析】本题考查的是一次函数的性质，根据题意得出任意两函数的交点坐标是解答此题的关键．分别联立三个函数中任意两函数，求出函数的交点坐标，画出大致图象，再根据交点坐标和图象即可求解． 【详解】解∶联立方程组， 解得， ∴直线与的交点为， 联立方程组， 解得， ∴直线与的交点为， 联立方程组， 解得， ∴直线与的交点为， ∴函数图象如下， ∴由图象可知当时，最大，且； 当时，最大，且， ∴当x变化时，函数y的最小值为， 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了一次函数的性质，求两条直线的交点坐标，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．分别求出直线经过点和点时对应的值，即可得出答案． 【详解】解：把代入得：， ∴， 联立， 解得 ∴点的坐标为， 当直线经过点，则， 解得， 当直线经过点，则， 解得：， ∵直线与线段有交点， ∴的取值范围为或． 故选：D． 4．A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组与一次函数之间的关系，两个一次函数的图象交点的横纵坐标即为两个一次函数解析式联立得到的二元一次方程组的解，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴关于x、y的二元一次方程组的解为， 故选：A． 5．A 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移及性质，熟练掌握一次函数的平移是解题的关键；由题意易得的解析式为，然后分别得出直线与x轴、y轴的交点坐标，进而问题可求解． 【详解】解：由直线：沿轴向左平移3个单位得到直线，可知：的解析式为， ∴令时，则，解得：； 令时，则， ∴， ∴， ∴； 故选A． 6．D 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两直线交点坐标与对应二元一次方程组解的关系是解题的关键． 根据一次函数与二元一次方程组的关系，两直线的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，因此只需确定两直线交点的坐标即可． 【详解】解：直线与直线交于点 关于的二元一次方程组的解就是点坐标 方程组的解为， 故选：D． 7．D 【分析】此题考查了一次函数和几何的综合题．根据一次函数的图像和性质依次求出7块阴影部分面积，求和即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴直线，之间的阴影部分面积为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴直线，之间的阴影部分面积为， 同理可得，其余阴影部分面积分别为， ∴图中所有7块阴影部分面积和为， 故选：D 8．A 【分析】根据图像可知，这个最大值在两函数的交点处取得． 【详解】解：分别画出函数、的图像如下：    则函数y的图像如图中粗线所示， 由图可知，交点处取得y的最大值， 联立方程组得：， 解得：， ∴当时，函数有最大值． 【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 9．C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 10．D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 根据两个一次函数与y轴的交点坐标即可求出，，进而判断A选项；由图象得到两条直线交于点，即可判断C选项；然后利用三角形面积公式求解即可判断B选项；根据图象得到当时，，且的图象在图象的上面，进而求解即可． 【详解】解：∵一次函数与y轴交于点， ∴， ∵一次函数与y轴交于点， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵一次函数与的图象交于点， ∴这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为，故B选项正确，不符合题意； ∵一次函数与的图象交于点， ∴关于的方程组的解为，故C选项正确，不符合题意； 由图象可得，当时，，且的图象在图象的上面， ∴当从0开始增加时，函数比的值先达到3说法错误，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 11． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握函数图象的交点坐标是两函数解析式组成方程组的解是解题的关键．利用函数图象的交点坐标为两函数解析式组成方程组的解进行回答即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴一次函数与的交点P的坐标是． 故答案为：． 12．4 【分析】本题考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，计算三角形的面积，求出一次函数与坐标轴的交点是解题的关键．通过求直线与坐标轴的交点坐标，得到点A和点B的坐标，进而利用三角形面积公式求解． 【详解】解：当时，代入，得，解得， 所以，点A的坐标为，， 当时，代入，得， 所以点B的坐标为，， 因为是直角三角形， 所以的面积为． 故答案为4． 13． 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点与相关三角形的面积问题．求出直线与坐标轴的交点坐标或坐标表达式，根据三角形的面积公式建立关系式，即可求出k的值． 【详解】解：当时，，当时，， 直线与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， 则与坐标轴围成的三角形的面积为， 解得， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，由两个一次函数解析式所组成的方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 方程组的解为P点的横纵坐标． 【详解】解：∵直线：与直线：相交于点 将代入得， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：． 15． 或 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求两直线交点，理解新定义、数形结合是解题的关键；求出直线，的交点即可求解；首先确定的图象并画出，数形结合即可求解． 【详解】解：，得，则； 即直线，交于点； 又直线，交于点， 所以若，则； 当时，，即交点为；同理交点为； 若，则对应线段（不包括两个端点），如图； 此时； 若，则对应线段（不包括两个端点），如图； 此时； 若，则对应射线与射线，如图； 此时或； ∴的图象为射线，线段，线段及射线组成，但不包括A、M、B三点； 如图，与直线有4个交点， 当射线：与线段相交时，则交点数为4个； 当经过点B时，，则；当经过点M时，，则； 故当时有4个交点； 当射线：与线段相交时，则交点数为4个，如图； 当经过点A时，，则；当经过点M时，，则； 故当时有4个交点； 综上，与直线有4个交点，则b的取值范围为或． 故答案为：；或． 16．(1)点C的坐标是 (2)8 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）解析式联立，构成方程组，解方程组即可求得； （2）求得的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得． 【详解】（1）解：联立， 解得， ； （2）解：由直线知， ， 由，知点到轴的距离为 4 ， 故． 17．(1)见解析 (2)当时，；当时，；当时， (3)的面积是 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，并结合了三角形的面积问题，解决本题的关键是掌握描点作图法并能观察图象解决问题． （1）两点确定一条直线，找到一次函数与坐标轴的两个交点即可描点画图； （2）根据图象即可求得时的x的取值；要使，则的图象要在的上方；，则的图象要在的下方，观察图象，得到x的取值范围； （3）由点的坐标得到的底和高进而求得面积． 【详解】（1）解：当时，，当时， ∴， 直线经过点，， 同理，经过点，， 则其图象如图所示： ； （2）解：由（1）中的两直线图象知，这两个函数图象的交点坐标是； 由图中的两直线图象知，当时，；当时，；当时，； （3）解：由（1）中图可知：，，， ，， 的面积是：． 18．(1)， (2)等腰直角三角形； (3)或 【分析】（）先求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，可得，即得，同理得，即得，即可求解； （）求出点坐标，即得，即得到，设，再分点在轴下方和上方两种情况解答即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定，掌握一次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵为直线上一点， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， 解得． ∴直线的解析式为； （2）解：在中，令，得；令，得， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理在直线：中，可得， ∴ ∴是等腰直角三角形； （3）解：∵直线与轴的交点为， ∴， ∴， ∴， 设， ①当点在轴下方时，， 解得， ∴点的坐标为； ②当点在轴上方时，， 解得， ∴点的坐标为； 综上，当的面积等于面积两倍时，点的坐标为或． 19．(1)直线的函数关系式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，两直线交点的计算，图象法求不等式解集，掌握一次函数图象的性质是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）联立方程组求解得到，结合图象即可得到不等式组的解集； （3）根据题意得到，，设，由面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：直线经过点，与轴相交于点， ∴， 解得，， ∴直线的函数关系式为； （2）解：∵直线交于点， ∴联立方程组得，， 解得，， ∴，且， ∴由图象可得，当时，， ∴解集为：； （3）解：直线与轴相交于点， ∴当时，，即， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴或， 解得，或， ∴或． 20．(1)1， (2)直线经过点M，理由见解析 (3)，16 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组、一次函数图象上点的坐标特征、求函数解析式、三角形的面积等知识点，掌握函数图象经过的点必能满足解析式是解题的关键． （1）把代入可得p的值，然后根据二元一次方程组的解为对应直线交点的坐标作答即可； （2）把点M的坐标代入，得到m、n的关系；然后把点P的坐标代入，并结合m、n的关系即可解答； （3）先运用待定系数法求得m、n的值即可确定函数解析式，再求出A点坐标，然后运用三角形的面积求解即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴，解得：； ∴两条直线相交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为：． （2）解：直线经过点M，理由如下： ∵在直线上， ∴． 当时，， ∴直线经过点M． （3）解：∵，， ∴，解得：， ∴； ∵直线与x轴交于点A， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $