5.3.2 函数的极值与最大（小）值（六大题型）训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与最大（小）值 题型一 求已知函数的极值点 1．已知函数，则的极值点为（    ） A． B．1 C．－1 D． 2．（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（    ） A．当时， B．函数有5个零点 C．是的极小值点 D．存在实数m，使得方程有且仅有5个实数根 3．已知函数在处取得极值，其中b为常数，则的极大值点为 . 4．已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设（为的导数），求的单调区间； (3)求的极值点的个数． 题型二 函数最值与极值的关系辨析 5．已知函数定义域为，且在该区间上连续，在上函数有唯一的极大值，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．函数有最大值，但不一定是 C．函数的最小值也可能是 D．函数不一定有最大值 6．（多选）已知函数的定义域为，其导函数为的部分图象如图所示，则以下说法不正确的是（    ） A．在上单调递增 B．的最大值为 C．的一个极大值点为 D．的一个减区间为 7．已知函数，若函数在上存在最小值，则a的取值范围是 ． 8．已知是函数的极值点，． (1)求； (2)判断函数的零点个数，并证明． 题型三 由导数求函数的最值（不含参） 9．剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片，直径，需要剪去菱形，可以经过两次对折、沿裁剪、展开后得到．若，若要使镂空的菱形EFGH面积最大，则菱形的边的长度为（    ）    A． B． C． D． 10．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．有极大值 D．方程有两根时的范围是 11．已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围是 ． 12．已知函数. (1)求的最大值； (2)曲线在点处的切线为，除切点外，在曲线的上方，求的取值范围. 题型四 由导数求函数的最值（含参） 13．已知函数，当时，则（   ） A．有两个极值点 B．有极大值 C．可以是负数 D．一定是正数 14．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．时， B．是的最大值 C．是的最小值 D．时，有三个零点 15．已知函数的定义域为D，若，b，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是D上的“三角形函数”.已知函数是上的“三角形函数”，则实数m的取值范围为 . 16．已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)证明：． 题型五 已知函数最值求参数 17．已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（多选）若函数在上有最小值，则实数a的可能取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 19．已知函数，当时，的最小值为，则实数的值为 . 20．已知，且. (1)求的值： (2)若函数在上的最大值为4，求函数在上的最小值. 题型六 函数单调性、极值与最值的综合应用 21．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 22．（多选）已知函数则（    ） A．若存在两个零点，则 B．若仅有一解，则 C．用表示不大于的最大整数，若，则 D．若方程无解，则的取值范围是 23．若对任意，满足恒成立，则实数的取值范围是 ． 24．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)证明：若，则存在唯一的极小值，且. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 题型一 求已知函数的极值点 1．已知函数，则的极值点为（    ） A． B．1 C．－1 D． 【答案】B 【分析】先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性，进而得出极值点. 【详解】因为，所以． 令，得；令，得．所以在上单调递减，在上单调递增． 可知在处取得唯一极小值，所以的极值点为1． 故选：B. 2．（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（    ） A．当时， B．函数有5个零点 C．是的极小值点 D．存在实数m，使得方程有且仅有5个实数根 【答案】ACD 【分析】直接求导即可判断A；利用导数研究函数在时函数的单调性、极值和函数值情况再结合函数奇偶性即可依次分析求解判断BC；作出函数的图象，数形结合即可求解判断D. 【详解】对于A，当时，， 所以，故A正确； 对于B，由A得， 所以时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，, 所以当时，函数有3个零点，又是定义在R上的奇函数， 所以函数有7个零点，故B错误； 对于C，由B可知是的极大值点，是的极小值点，故C正确； 对于D，将代入，所以作出图象如下： 所以由图可知当时，方程有且仅有5个实数根，故D正确； 故选：ACD 3．已知函数在处取得极值，其中b为常数，则的极大值点为 . 【答案】/0.5 【分析】根据处取得极值，利用导数为0，求出，再列表得出函数的极值点. 【详解】因为， 所以，∴， 则， 、随x的变化情况如下表： x 1 0 0 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴的单调递增区间为和，单调递减区间为， ∴的极大值点为. 故答案为： 4．已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设（为的导数），求的单调区间； (3)求的极值点的个数． 【答案】(1) (2)单调递增区间是，单调递减区间是 (3)3 【分析】（1）根据条件，建立方程组，即可求解； （2）由（1）可得，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解； （3）根据条件，将问题转化成的变号零点的个数，结合（2）中结果，列出的变化情况表，利用极值的定义，即可求解. 【详解】（1）， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，即，解得. （2）由（1）知，，则， 易知的定义域为，又， 令，得， 所以的变化情况如下表 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. （3）的极值点个数就是的变号零点的个数， 又恒成立，也即的变号零点的个数． 由（2）知的单调递增区间是，单调递减区间是， 因为， ， 所以存在唯一的，使得，存在唯一的，使得， 的变化情况如下表： 0 所以的极值点个数为3． 题型二 函数最值与极值的关系辨析 5．已知函数定义域为，且在该区间上连续，在上函数有唯一的极大值，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．函数有最大值，但不一定是 C．函数的最小值也可能是 D．函数不一定有最大值 【答案】D 【分析】根据函数的极值与最值的定义即可求解. 【详解】函数定义域为，是开区间， 则当趋近于或时，若趋于正无穷大， 此时函数没有最大值，故AB错误，D正确； 因为函数有唯一的极大值， 所以在附近，函数值小于， 所以函数的最小值不可能是，故C错误. 故选：D. 6．（多选）已知函数的定义域为，其导函数为的部分图象如图所示，则以下说法不正确的是（    ） A．在上单调递增 B．的最大值为 C．的一个极大值点为 D．的一个减区间为 【答案】ABC 【分析】从图象可以看出导函数值的正负，从而确定函数单调性，结合极值点和最值概念得到答案. 【详解】A选项，从图象上不能确定在上恒大于0， 故无法确定在上单调递增，A说法错误； BD选项，从图象上可以得到在上大于0，在上小于0， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，不能确定为最大值，B说法错误，D说法正确； C选项，从图象上可以得到， 在左侧小于0，在上大于0，故的一个极小值点为，C说法错误. 故选：ABC 7．已知函数，若函数在上存在最小值，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对函数求导，求出函数的单调区间和极值，再根据函数在上存在最小值求参数范围. 【详解】 ， 当时，单调递减；当或时，单调递增， ∴在取得极大值，处取得极小值. 令，整理得，解得：或 ∵函数在上存在最小值， ∴，解得. 故答案为：. 8．已知是函数的极值点，． (1)求； (2)判断函数的零点个数，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由函数解析式求导，根据极值点的定义，建立方程，可得答案； （2）利用导数可得函数的单调区间，根据零点存在性定理，可得答案. 【详解】（1）由，即，则， 由为函数的极值点，则，即，解得. （2）函数存在两个零点. 证明如下： 由（1）可得，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 由，， 则函数在与上分别存在一个零点， 所以函数存在两个零点. 题型三 由导数求函数的最值（不含参） 9．剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片，直径，需要剪去菱形，可以经过两次对折、沿裁剪、展开后得到．若，若要使镂空的菱形EFGH面积最大，则菱形的边的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆心为，结合已知条件，求出与的关系式，然后利用导函数即可求解菱形面积最大值，进而可得到答案. 【详解】设圆心为，由圆的性质可知，，，，，共线，，，，，共线， 由菱形性质可知，， 不妨令，，且半径为6， 则，即，， 故， 不妨令，， 则， 从而；， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，在上取最大值， 从而要使镂空的菱形面积最大，则， 由可知，， 则此时. 故选：C. 10．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．有极大值 D．方程有两根时的范围是 【答案】ABD 【分析】根据题意，求得，求得函数的单调性和极小值（最小值），可判定A正确，B正确，C错误；再由有两个实数根，转化为与的图象有两个交点，求得的取值范围，即可得到答案. 【详解】由函数，可得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，且极小值为，也为最小值， 所以A正确，B正确，C错误； 又由时，可得， 且当时，，当时，， 要使得有两个实数根，即与的图象有两个交点， 所以，即实数的取值范围为，所以D正确. 故选：ABD. 11．已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题可得，令，求导可判断的单调性，进而可得对任意的恒成立，参变分离，利用导数求得函数的最值可求得的取值范围. 【详解】因为对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则，所以在上单调递增， 又对任意的恒成立，， 所以对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 令，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，则，即的取值范围为． 故答案为： 12．已知函数. (1)求的最大值； (2)曲线在点处的切线为，除切点外，在曲线的上方，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，判断出的单调性可得答案； （2）求出在处切线的方程，设，分、、讨论可得答案. 【详解】（1）定义域为，因为 所以.令，则. 因为 2 0 极大值 于是； （2）已知为参数，，在处切线的方程为. 设. 除切点以外，在上方等价于，. 当时，由（1）可得， 所以.注意到当时，. 当充分大时，一次函数的取值为正. 所以当充分大时，，因此不合题意. 当时.由（1）可得，， .因此符合题意. 当时.由（1）可得.. ①若，则，于是. ②若，令，则 ， 于是在上单调递减. 注意到，令，则.于是由①，②可得 0 极大值 于是，且，. 因此符合题意. 综上所述，的取值范围是. 题型四 由导数求函数的最值（含参） 13．已知函数，当时，则（   ） A．有两个极值点 B．有极大值 C．可以是负数 D．一定是正数 【答案】D 【分析】求出导函数，再利用导数确定的单调性，从而确定的零点存在，得出其为极小值点判断选项AB，由得，间的关系，代入变形，然后由基本不等式结合条件得判断CD． 【详解】的定义域为，， 设，则，故是增函数， 当时，，时，， 所以存在，使得，且时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以有一个极小值点，无极大值点即无极大值，所以选项AB错误， 从而当时，取得最小值， 结合，则 ， 当且仅当时取等号，此时， 故恒成立，故选项C错误，选项D正确. 故选：D 14．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．时， B．是的最大值 C．是的最小值 D．时，有三个零点 【答案】AC 【分析】利用导数研究的区间单调性，并确定各单调区间的值域，结合各选项的描述判断正误即可. 【详解】由题设， 当或，则，当，则， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 当时，时，，， 所以，在区间上值域为，在区间上值域为，在区间上值域为， 所以有最小值，无最大值，B错，C对， 当，则，则，A对， 当时，区间上，即该区间上无零点， 且，则在、各有一个零点， 所以此时共有2个零点，D错. 故选：AC 15．已知函数的定义域为D，若，b，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是D上的“三角形函数”.已知函数是上的“三角形函数”，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用导数分析函数的单调性，求出最大值与最小值，根据最大、最小值的关系求的取值范围. 【详解】因为，所以. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 又，，且. 所以当时，. 由. 故答案为： 16．已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)证明：． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)证明见解析 【分析】（1）确定函数定义域，求导，根据导数的符合判断函数单调性，从而确定单调区间； （2）由（1）可得，然后利用导数证明其小于等于0即可. 【详解】（1）由题意得的定义域为，且， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 综上可知，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由（1）易得在处取得极大值，即最大值， ， 设，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， ，即， 由（1）知，所以. 题型五 已知函数最值求参数 17．已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对求导，求出导数为0的的值，分析的单调性，得出极值点，极值，并计算取得极值的其它点，从而得到的取值范围. 【详解】，令，解得或，易知： 在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故的极小值为，极大值为， 所以， 由可得，，解得或， 由可得，，解得或， 所以，， 因此，即. 故选：B． 18．（多选）若函数在上有最小值，则实数a的可能取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】BC 【分析】借助导数可先得到函数的单调性，结合题意与函数单调性计算即可得解. 【详解】， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 由函数在上有最小值， 则在上有最小值， 又，故有， 即，解得，故选项中BC符合、AD不符. 故选：BC. 19．已知函数，当时，的最小值为，则实数的值为 . 【答案】/ 【分析】求导，分、和三种情况讨论的符号，进而可得的单调性和最值，结合题意运算求解即可. 【详解】因为，，则， 若，则，可知在内单调递增，无最小值，不合题意； 若，则，可知在内单调递减， 则在内最小值为，解得，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则在内最小值为，解得； 综上所述：. 故答案为：. 20．已知，且. (1)求的值： (2)若函数在上的最大值为4，求函数在上的最小值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的导数值建立方程求出. （2）由（1）求出在上的最大值并求得，进而求出函数在上的最小值. 【详解】（1）函数，求导得，由， 得，所以. （2）由（1）得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 因此在上的最大值为，即，则，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以函数在上的最小值为1. 题型六 函数单调性、极值与最值的综合应用 21．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数结合导数单调性最值，对原式进行合理放缩，结合放缩不等式比较大小 【详解】设则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以的最小值，即在上恒成立， 所以 设函数的定义域为，则 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 所以的最大值，即在上恒成立， 所以 从而 故选：C. 22．（多选）已知函数则（    ） A．若存在两个零点，则 B．若仅有一解，则 C．用表示不大于的最大整数，若，则 D．若方程无解，则的取值范围是 【答案】AC 【分析】对于A，，即有两个解，根据交点，不妨取，然后根据对数运算可得即可判断；对于B，即，然后分析分段函数的单调性即可得；对于C，根据高斯函数即可证明；对于D，当，即，分段求导分析函数单调性确定值域，即可确定有解时的取值范围，从而判断选项D. 【详解】对于A，，即有两个解，如图 由图知，不妨取， ，故A正确； 对于B，，即， 又在单调递减， 时，，， 所以在单调递减， 即在单调递减， ， 即仅有一解，则； 对于C，，， ，故C正确； 对于D，，即， 当时，在单调递增，值域为， 当时，，（舍）， 所以在单调递减，在单调递增， ，， 即时，的值域为， 故有解，， 所以方程无解，则的取值范围是，故D错误； 故选：AC. 23．若对任意，满足恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】若时，根据所给范围，分析可得不等式恒成立；若时，将条件转化为，构造函数，利用导数求得的单调性，可得恒成立，即恒成立，构造，利用导数求得的单调性，可得的最值，分析即可得答案. 【详解】若时，对任意，，，， 所以对任意，不等式恒成立，满足题意； 若时，则， 不等式可化为， 故，即， 由已知在恒成立， 令，，可得，在恒成立， 因为时，， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以恒成立，其中，， 即恒成立． 令，则， 所以在上单调递增，则，所以． 综上可得， 故答案为：. 24．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)证明：若，则存在唯一的极小值，且. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数分和两种情况讨论导数正负得出函数的单调区间； （2）由题设，，并用导数研究的单调性和极值，即可证. 【详解】（1）因为，其中，. ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得， 由可得；由可得. 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述：当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2）当时，，， 令，，则在上恒成立， ∴在上单调递增， 又∵，，则方程只有一解，设为， ∴存在唯一的，使得，即， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， ∵，∴， ∴， 即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $