5.3.2 函数的极值与最大（小）值专项训练（十三大题型）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2函数的极值与最大（小）值 题型一函数极值的辨析 1.已知函数f八x=nx-r+mm∈R,则函数fy( A.既有极大值也有极小值 B.有极大值无极小值 C.有极小值无极大值 D.有2个零点 【答案】B 【分析】对函数求导判断其单调性，进而判断是否有极值，最后通过比较函数 最值与0的大小，结合函数的单调性，判断零点个数， 【详解】函数f=nx+mmeR,定义域为O+, 则f刘=x=- 当o时，>0，f八单调递增： 当+w时，<0，f单调递减 当x=1时，八因=0，故此时f刘有极大值=+m,无极小值 故选项A和C错误，选项B正确. 结合函数的单调性，f)=+m是函数的最大值， 1 若2+m>0,即m>号时，函数f(x有2个零点： 若2十m=0,即m=2时，函数fy有1个零点： 若2+m<0,即m<时，函数fx没有零点。 故选项D错误， 故选：B -x2+ax,x≤1 2.已知fw= ax-l,x>1,若函数y=f(x)有两个极值点，则实数a的取值范 围是 【答案】(02) 【分析】分析分段函数的单调性，由题意得到对应结论，然后建立不等式组， 求得实数a的取值范围. 【详解】：二次函数g=-2+匹开口向下，x=2x-可2是8刘极大值， 一次函数=-1，当a≠0时，函数四是单调函数，没有极值点， 要想函数y=f(,)有两个极值点，则这两个极值点为x=2和x=1, 又：函数8（在2上单调递减，h(y在山，+∞）上递增 ∠1 a>0 -1+a≤a-1 a∈(0,2 故答案为： (0,2) 3. 已知函数)=(r-ahr+a-ra>0 (①当=2时，求曲线"=在点0 处的切线方程； (2)探究x=a是否为f(x)的极大值点， 【答案】(1)y=1 (2)不是极大值点 【分析】(1)根据导数的几何意义求解： (2)假设x=“是的极大值点，由极值点定义推理找到矛盾，得解。 【详解】(1)当a=2时，f-(-2nx+x,f山=1 则r=2nx+21,1=0, 2 所以曲线=在点山川处的切线方程为-1=0 (2)易得f"d=2xnx+-+a-l, 假设，=是f的极大值点，则/4a=0,即2ana+a+a-1=0, a 化简得aha+a=1, 当0<a<1时，ana<0,alha+a<1, 当a>l时，alna>0,alha+a>l,只有当a=1时，上式成立， 放=2h号，当x1时，2n>0>0,则0 但由假设知x=a=1是八)的极大值点， 于是由极大值的定义知存在。，使得山时，f<0,与假设矛盾. 所以x=“不是的极大值点 题型二函数极值点的辨析 4.我们将含参数的一类函数构成的集合称为函数簇，记为2.若函数簇2中的 每一个函数都存在极小值点，且当参数k变化时，由所有的点，(》构成 条曲线y=(x),则称函数簇2存在包络函数8(x).已知函数簇2={ 人=。，其中k为参数，若“eM”是“n存在包络函数g” 的充要条件，则M=() A. (-0,0)U(e,+o) (-00,0) B. -,+00 C.(e,+o) D 【答案】A 3 【分析】由)=e-x求导)=心-，结合选项，分A<0,k=e和k>心 利用极小值点的定义求解。 【详解】由无)=e如求导，得=e- 当<0 时，函数=e与= 的图象有一个交点，横坐标可设为，如图： X00 当<时，)=心-<0，则()=。-松在-m,)上单调递减 当x>时，=e->0,则)=e-在k,上单调递增。 此时函数)-=e如在处取极小值、 因为过原点的直线'=e“与曲线'=c相切，且切点为， 所以当无：e时，=e-er≥0，此时f()=。-单调递增，无极小值点。 当>时，函数=6与”的图象有两个交点，横坐标可设为6，且<x ,如图： -kx e 4 当x<时，)=c->0,则6)=e-在(-0，)上单调递增： 当x<x<x时，=e-<0,则m=e-在，上单调递减： 当x>时，=c->0,则)=在6，+a上单调递增， 此时函数()=e-公在处取极小值，且x,>1 综上所述， k∈（心，0Ue,+w时，函数簇P中的每一个函数都存在极小值点， 且为充要条件. 故选：A 5.己知函数f 的定义域为3,3)，导函数川刊在区间-33引上的图象如图所 示，则函数”=八国在-3,3引上极大值点的个数为 【答案】1 【分析】利用极值点的定义判断即可. 【详解】若为函数（的极大值点，则在左侧附近的导数为正，在 右侧附近导数为负， 结合图象可知，函数”=八在-3，)上极大值点的个数为 故答案为：1. 6.已知f)=e-lhx,其中aeR8(x利=cosx+sinx (①)当a=-1时，求证：x=1是函数八的极小值点： ②求在元网上的最小值： 5 3)若对任意0+切)，总存在元，使得+2a≥g)成立，求实数 a的取值范围. 【答案】(1)证明见详解 (2)-1 3)-5+j 【分析】(1)代入“得到函数解析式及其定义域，求导数八，讨论导 数的单调性得到唯一的零点，由极值点定义得证。 (2)求导数8(，从而得到函数的单调区间，找到端点和极小值点，从而得 到函数在对应区间上的最小值. (3)由(2)可知8)在-元风上的最小值，将题意进行转换.构造函数() 并求导数，由可知函数)存在极小值点，表示出极小值得到新的 不等式恒成立，结合极值点等量关系化简不等式.再构造函数（并求导数4 由得到函数 的单调性以及其存在的唯一零点，从而求得满足不等式的 的取值范围，由”的取值范围求得参数“的取值范围 【详解】()当a=-时，f=e-r,函数的定文域为0+w, 则f'(x)=e-1 :y=e在(0，+o上单调递增，y=-在(0，+∞上单调递增， 八=e在(0，+四上单调递增， 6 f0=e0, 当e0时，f八<f=0,则函数f单调递减，当+)时， f'(x>f'(1= 0,则函数刊单调递增， :=1是函数儿的极小值点 （2)8=cosr+sinr,则8'(y=-sinr+sinr+=COs】 π 当元2时，g20,六函数8单调递增， 当刘 g(x)≤0，.函数g单调递减， 当时，内0，六通数单调混器 π7 当时，g<0,函数g单调递减， g(-π=-1g(0)=1gπ=-1 :8(刊在元可上的最小值为1 (3)由(2)可知，当元时，8)≥-1 对任意0+w,总存在-网，使得)+20≥g6成立， 即对任意∈0+W),使得/)+20≥1恒成立， 即e-nr+2a之-在0+w)上恒成立. 7 令h(x)=ea-ln+2a+l,则 '(x)=evtu1 由(1)可知在0+W上单调递增。 又→0时，→0，→*0时，h(→0， 故一定存在(0+切)，使得)0， 即当∈(0时，)<(0，单调递减，当(，+w时， (x)>x,=0)单调递增， :hx)≥A,=e5-n,+2a+1 又：hFe--0ne…=1 ，即 Xo,a=-xo-Inxo M=-3nx-2,+1≥0 则 Xo 恒成立 令1=，1>0 则-片n1-21,=氵2， 0小=-2<0， 即函数d在(Q+m上单调递减，且-31-2+1=0， .AM=1-3n,-2x+1≥0=1 Xo 则6(01列 8 令a=m()=--lh, m(x)=-1-L<0 ,故函数mx)在0，上单调递减， .a=m)≥m1=-1 【点睛】关键点睛，本题考查导数的应用.利用隐零点得到函数的最小值是本题 的关键，然后构造函数解决不等式恒成立问题，从而求得结果 题型三求己知函数的极值 7.函数fx)=(x+2(x- 的极小值为( A.-1 B.0 C.2 D.4 【答案】B 【分析】利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极小值， 【详解】由(x=(x+2(x-2 可得/儿四=(x-+2(x+2x-1刂=x-[x-1+2x+2]=(x-13x+3) 当<-1时，f>0,八在，上单调递增， 当1<x<1时，f<0,f川在-山上单调递减。 当x>1时，>0，f八在L+网上单调递蟑， 所以的极小值为=(1+21-=0 故选：B 8. 已知函数=八，其中=a-6x若”=八的一个极值点为则 y=f(x 的极大值是 【答案】4 【分析】由题意求出函数的解析式，然后利用导数分析单调性求解极值即可. 【详解】f=a-6 定义域为R, f'(x=3ax2-6 由题意得')=3a-6=0→a=2 故f到=6r2-6 令>0得，>1或x<-1,令f<0得，-1<x<1, 所以f(在-心，-+o单调递增，在-山单调递减。 所以f八到=2r-6在=-1处取得极大值为-=-2+6=4 故答案为：4 9.已知函数/=xnr-ar+2 (1)当a=1时，求f的极值 ②)若关于x的不等式≤0在0+)上恰有3个整数解，求“的取值范围。 (注：n2≈0.69，ln3≈1.10，ln5≈1.61) 【答案】(1)极小值为1，无极大值 (2)L 【分析】(1)当a=1时，写出，再通过导数判断单调性进而求出极值即 可； (2)将1时<0等价为a≥*名，令=r+子，求出g1对单调性和极值，根 据题目所给近似值，求出满足题目要求的3个整数解，进而可判断α的取值范 围 【详解】（1)当a=1时，f=血r-x+2,x>0,所以八=nr+1-1=x, 10 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 题型一 函数极值的辨析 1．已知函数，则函数（    ） A．既有极大值也有极小值 B．有极大值无极小值 C．有极小值无极大值 D．有2个零点 2．已知，若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 ． 3．已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)探究是否为的极大值点. 题型二 函数极值点的辨析 4．我们将含参数的一类函数构成的集合称为函数簇，记为．若函数簇中的每一个函数都存在极小值点，且当参数k变化时，由所有的点构成一条曲线，则称函数簇存在包络函数．已知函数簇{，其中k为参数}，若“”是“存在包络函数”的充要条件，则（   ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在上极大值点的个数为 ． 6．已知，其中. (1)当时，求证：是函数的极小值点； (2)求在上的最小值； (3)若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 题型三 求已知函数的极值 7．函数的极小值为（   ） A． B．0 C．2 D．4 8．已知函数，其中.若的一个极值点为则的极大值是 . 9．已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于的不等式在上恰有3个整数解，求的取值范围.（注：，，） 题型四 根据极值求参数 10．已知函数，则使“在上有极值”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，其中，若函数在区间内恰有一个极大值和一个极小值，则实数的取值范围是 ． 12．已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值. (1)求函数的解析式及在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 题型五 根据极值点求参数 13．已知函数，是的一个极值点，且在上有且仅有1个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．已知函数恰有一个极小值点和一个极大值点，设点，则直线的斜率为 . 15．设，，其中. (1)若函数的最小正周期为，求的值和函数的图象对称中心的坐标； (2)是否存在，使得函数在区间上恰有个极值点?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 题型六 函数（导函数）图像与极值的关系 16．函数的导函数的图象如图所示，则（   ）    A．是函数的极小值点 B．是函数的一个零点 C．是函数的极大值点 D．函数在区间上单调递减 17．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则函数的极大值点为 . 18．已知函数． (1)若无极值，求的取值范围； (2)若关于的方程有2个不同的实数根，求证：． 题型七 函数（导函数）图像与极值点的关系 19．导函数的图象如图所示，在标记的点中，函数的极大值点为（   ） A． B． C． D． 20．已知和分别是函数的极大值点和极小值点，且，则a的取值范围是 ． 21．若函数满足与的图象关于对称，则称与互为反函数，记作.例如：若，则. (1)若，证明：； (2)函数且，若有个零点，求实数的取值范围. 题型八 求已知函数的极值点 22．函数在区间上的极值点的个数为（    ） A．252 B．253 C．504 D．505 23．设函数在区间内的极值点分别为，则 . 24．已知函数，. (1)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围； (2)证明：有且仅有一个极值点，且. 题型九 函数最值与极值的关系辨析 25．函数，若存在，使得对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是 ． 27．已知函数， (1)讨论的单调性; (2)若恒成立，求a的值. 题型十 由导数求函数的最值（不含参） 28．已知，对任意，方程组存在实数解，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 29．已知实数，不等式恒成立，则实数的最大值为 . 30．已知函数．在处作曲线的切线． (1)求点到直线的距离； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围． 题型十一 由导数求函数的最值（含参） 31．定义：表示不超过的最大整数，如，．已知为坐标原点，点在曲线：，上，记的最小值为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．设为已知正数，记函数的最小值是关于的函数，则当取得最大值时， . 33．已知函数. (1)直线是在处的切线，求直线在轴上的截距； (2)求函数的值域； (3)当时，求方程的实根个数. 题型十二 已知函数最值求参数 34．已知当时，函数取得最小值1，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 35．已知函数，若函数的最大值是2，则的取值范围是 ． 36．已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在区间上的最小值为1，求的值． 题型十三 函数单调性、极值与最值的综合应用 37．若实数，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 38．设，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是 ． 39．已知函数的最小值为0. (1)求实数的值； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (3)设，，证明：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $