精品解析：四川省成都市邛崃市高埂中学教育集团2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

高埂中学教育集团2025—2026学年上期八年级半期试题数学 （全卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.测试范围：北师大版2024八年级数学上册第1~3章（勾股定理+实数+一次函数图形与性质） A卷（共100分） 第Ⅰ部分（选择题共32分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数：无限不循环小数是无理数；π是无限不循环小数，因此是无理数． 【详解】解：A、，是循环小数，属于有理数； B、3.14是有限小数，可化为，属于有理数； C、π是无限不循环小数，属于无理数； D、，是整数，属于有理数． 故选：C． 2. 下列计算，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法则，以及二次根式的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴选项A不正确； ∵， ∴选项B正确； ∵， ∴选项C不正确； ∵+＝3≠， ∴选项D不正确． 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的加减及二次根式的性质，解题关键是掌握二次根式的加减法则，以及二次根式的性质 ． 3. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据点所在象限，判断点的坐标，根据第四象限的点的符号特征，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，盖住的点在第四象限，故横坐标大于0，纵坐标小于0， 满足题意的只有； 故选D． 4. 如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则树高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 4米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，根据勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， 故树高为米； 故选C． 5. 二次根式取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查二次根式以及分式有意义的条件，掌握它们有意义的条件是解题的关键. 根据二次根式和分式有意义的条件可得，得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， ， 故选：C． 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝5cm，BC＝12cm，则Rt△ABC斜边上的高CD的长为（ ） A. 6 cm B. 8.5 cm C. cm D. cm 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用勾股定理计算出的长，再根据三角形的面积计算出长即可． 【详解】解：，， ， ， ， 解得：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 7. 一次函数的图象大致是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象．熟练掌握一次函数的性质，与y轴交于，当时，在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当时，在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①的图象在一、二、三象限；②的图象在一、三、四象限；③的图象在一、二、四象限；④的图象在二、三、四象限．是解题的关键．根据一次函数的性质，判断直线经过的象限，即可求解． 【详解】解：一次函数中， ， 一次函数的图象在一、二、四象限； 故选：C． 8. 如图，在中，，，，分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P，Q两点作直线交于点D，则的长是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质及尺规作图，掌握它们是关键；由作法知，是线段的垂直平分线，则得；由勾股定理求得；设，则，在中，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：由作法知，是线段的垂直平分线， ∴； ∵在中，，，， 由勾股定理得； 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， 即． 故选：A． 二、填空题（20分） 9. 25的算术平方根是 _______ . 【答案】5 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根． 【详解】解：∵52=25， ∴25的算术平方根是5， 故答案为：5． 【点睛】题目主要考查算术平方根的求法，熟练掌握算术平方根的计算方法是解题关键． 10. 若点M（a，﹣1）与点N（2，b）关于y轴对称，则a+b的值是_____ 【答案】-3 【解析】 【详解】∵点M（a，﹣1）与点N（2，b）关于y轴对称， ∴a=﹣2，b=﹣1， ∴a+b=（﹣2）+（﹣1）=﹣3． 故答案为：﹣3． 11. 已知，是一次函数的图象上的两点，则____ ．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，先根据函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的值即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数中， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 12. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量有下面关系： x（kg） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y（cm） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 那么弹簧总长与所挂物体质量之间的关系式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列函数关系式以及函数的表示方法，观察表格可发现随着x每增加1，y增加量0.5，0.5为常量，12也为常量，故可求出弹簧总长与所挂物体质量之间的关系式． 【详解】解：由表可知，弹簧原长，每挂上的重物，弹簧伸长， 则弹簧总长与所挂物体质量之间的关系式为， 故答案为：． 13. 如图是一台手机支架的示意图，可分别绕点A，B转动，测得，若，垂足为点E，，则点D到的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理可得，则此题可解. 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴点D到的距离为. 故答案为：． 三、解答题（48分） 14. 计算或求的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2）1 （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先进行除法运算，化简二次根式，再进行合并即可； （3）利用平方根进行计算即可； （4）先化简，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式； 【小问3详解】 ， ， ， ∴或， ∴或； 【小问4详解】 原式． 15. 已知实数a的平方根为，，的整数部分为b． （1）求a，b的值； （2）若的小数部分为c，求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数求，通过估算求； （2）求出，再代入求值计算即可． 【小问1详解】 解：∵实数a的平方根为，， ∴， 解得， ∴， 即， ∵的整数部分为b， ∴； 【小问2详解】 ∵b，c分别是的整数部分和小数部分， ∴， ∴， 平方根为． 【点睛】本题考查算术平方根的整数部分和小数部分，以及平方根的性质，解题的关键是 一个正数的平方根互为相反数． 16. 如图，一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． （1）这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ （2）当这架云梯的顶端从A处下滑到处时，它的底端从B处滑动到处，云梯的底端在水平方向滑动了多少米？ 【答案】（1）这架云梯的顶端到地面的距离是 （2）梯子的底端在水平方向滑动了 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，是解题的关键： （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这架云梯的顶端到地面的距离是； 【小问2详解】 解：∵梯子的顶端A下滑了4m至点， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ， ∴， ∴ 答：梯子的底端在水平方向滑动了． 17. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标为________． （2）在（1）问条件下，已知点，直线轴，求点P的坐标． （3）在（1）问条件下，求的面积． 【答案】（1）画图见解答； （2） （3）6 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，平面直角坐标系中点的特征等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）由题意可得，求出的值，即可得出答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵点，直线轴， ， 解得：， ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：的面积为． 18. 等腰中，，，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边交x轴于点D，斜边交y轴于点E． （1）如图(1)，已知点C的横坐标为，直接写出点A的坐标； （2）如图(2)，当等腰运动到使点D恰为中点时，连接，求证:； （3）如图(3)，若点A在x轴上，且，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的长度． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，过点C作交y轴于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）的长度不变， 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形． （1）如图1，过点C作轴于点F，构建全等三角形：，结合该全等三角形的对应边相等易得的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标； （2）过点C作交y轴于点G，则，即得，，由，可证得，从而得到结论； （3）如图3，过点C作轴于点E，构建全等三角形：，结合全等三角形的对应边相等推知：，．再结合已知条件和全等三角形的判定定理得到：，故． 【小问1详解】 解：如图1，过点C作轴于点F， ∵轴于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∵点的横坐标为， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的长度不变，理由如下： 如图3，过点C作轴于点E， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，共20分） 19. 已知，则 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，不等式组的解，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0求出，据此求出y的值即可得到答案． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简=___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用数轴知识分析a、b、c的取值，再根据算术平方根的定义，绝对值的定义，立方根的定义计算即可． 【详解】由图可知， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的运算，数轴的知识，解题的关键是掌握，． 21. 如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm． 【答案】15 【解析】 【分析】过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出，，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：沿过的圆柱的高剪开，得出矩形， 过作于，作关于的对称点，连接交于，连接， 则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， ，， ， ，， 在△中，由勾股定理得：， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称最短路线问题的应用，解题的关键是找出最短路线． 22. 一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上找一个点P使为等腰三角形，则点P的坐标为_____． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点、等腰三角形的性质、勾股定理、坐标与图形．先求出点A、B坐标，再根据等腰三角形的性质分三种情况讨论：，分别求解点P坐标． 【详解】解：由一次函数，当时，，得； 当时，，得． ∵． 设点坐标为． 当时，， ∴， 解得， 即或． 当时，， ∴， 平方得， 解得：，其中时与重合，无效， 故． 当时，，平方得， 化简得：， 解得：， 故． 综上，点坐标为或或或． 23. 如图，点是正方形内的一点，连接，，，则_______度． 【答案】135 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，则，从而得到，，，推出是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理，结合勾股定理逆定理得出，即可得到答案． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接， 则， ，，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 是直角三角形， ， ． 故答案为：135． 【点睛】本题考查旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 二、解答题（本大题共3小题，共30分） 24. 阅读材料：像，、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；．解答下列问题： （1）与______互为有理化因式，将分母有理化得_____； （2）比大小______；（直接填，，，或中的一种） （3）求式子的值； （4）已知是正整数，，，，求． 【答案】（1）， （2） （3）2018 （4） 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）根据分母有理化，进行求解即可； （2）逆用分母有理化，进行判断即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可； （4）求出的值，整体代入法，进行求解即可． 【小问1详解】 解：，； 故与互为有理化因式，分母有理化得， 故答案为：， 【小问2详解】 解：∵， ， ， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ； 【小问4详解】 解：， ， ∴，， ∵， ∴， 解得． 25. 阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，， ∴．由此可以得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式． 利用上面公式解决下列问题： （1）直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离； （2）在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值和此时点P的坐标； （3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）． 【答案】（1）5； （2）； （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键． （1）直接利用两点之间距离公式直接求出即可； （2）利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值； （3）根据原式表示的几何意义是点到点和的距离之和，当点在以和为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可． 【小问1详解】 解：，之间的距离为：； 故答案为：5； 【小问2详解】 作点关于轴对称的点，连接，直线于轴的交点即为所求的点，的最小值就是线段的长度， ， ， ， 设直线的一次函数表达式为， 把代入　解得　， 当时，解得，即， ， 即为的最小值为． 【小问3详解】 表示点到和的距离之和． 两点之间线段最短，则当点在以和为端点的线段上时，的值最小． 利用公式可得，点和之间的距离为． 即的最小值为． 26. 在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接． （1）如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，，求点到直线的距离； （2）如图2，点在的内部，试直接写出，，之间的数量关系________． 【答案】（1）①证明：， ． ， ． 在和中， ． 沿直线翻折，得到， ， ． ② （2） 【解析】 【分析】本题考查几何变换的综合应用，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①根据全等三角形的判定即可证明；②根据全等三角形的性质和折叠的性质，求出和的长度即可解答； （2）过点作交的延长线于点，证明，根据折叠的性质即可解答． 【小问1详解】 ①略 ②， ，， ， ，， ． ， ． 由翻折得，，， ， ． ， 点、点、点三点共线， ． 设点到直线的距离为， 则， 即． 答：点到直线的距离为． 【小问2详解】 解：如图， 过点作交的延长线于点， ． ， ． ， ． ， ． ， ． ，， ，． 由翻折得，，， ， ，即． ， ． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高埂中学教育集团2025—2026学年上期八年级半期试题数学 （全卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.测试范围：北师大版2024八年级数学上册第1~3章（勾股定理+实数+一次函数图形与性质） A卷（共100分） 第Ⅰ部分（选择题共32分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 2. 下列计算，正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则树高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 4米 5. 二次根式取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝5cm，BC＝12cm，则Rt△ABC斜边上的高CD的长为（ ） A. 6 cm B. 8.5 cm C. cm D. cm 7. 一次函数的图象大致是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P，Q两点作直线交于点D，则的长是（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题（20分） 9. 25的算术平方根是 _______ . 10. 若点M（a，﹣1）与点N（2，b）关于y轴对称，则a+b的值是_____ 11. 已知，是一次函数的图象上的两点，则____ ．（填“”“”或“”） 12. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量有下面关系： x（kg） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y（cm） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 那么弹簧总长与所挂物体质量之间的关系式为___________． 13. 如图是一台手机支架的示意图，可分别绕点A，B转动，测得，若，垂足为点E，，则点D到的距离为___________． 三、解答题（48分） 14. 计算或求的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 15. 已知实数a的平方根为，，的整数部分为b． （1）求a，b的值； （2）若的小数部分为c，求的平方根． 16. 如图，一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． （1）这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ （2）当这架云梯的顶端从A处下滑到处时，它的底端从B处滑动到处，云梯的底端在水平方向滑动了多少米？ 17. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标为________． （2）在（1）问条件下，已知点，直线轴，求点P的坐标． （3）在（1）问条件下，求的面积． 18. 等腰中，，，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边交x轴于点D，斜边交y轴于点E． （1）如图(1)，已知点C的横坐标为，直接写出点A的坐标； （2）如图(2)，当等腰运动到使点D恰为中点时，连接，求证:； （3）如图(3)，若点A在x轴上，且，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的长度． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，共20分） 19. 已知，则 ____． 20. 已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简=___________． 21. 如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm． 22. 一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上找一个点P使为等腰三角形，则点P的坐标为_____． 23. 如图，点是正方形内的一点，连接，，，则_______度． 二、解答题（本大题共3小题，共30分） 24. 阅读材料：像，、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；．解答下列问题： （1）与______互为有理化因式，将分母有理化得_____； （2）比大小______；（直接填，，，或中的一种） （3）求式子的值； （4）已知是正整数，，，，求． 25. 阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，， ∴．由此可以得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式． 利用上面公式解决下列问题： （1）直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离； （2）在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值和此时点P的坐标； （3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）． 26. 在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接． （1）如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，，求点到直线的距离； （2）如图2，点在的内部，试直接写出，，之间的数量关系________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $