山西省临汾第一中学校2025-2026学年高二上学期周测试题(十二)数学试题

人难我难我不畏难 人易我易我不大意！ 临汾一中2025-2026学年度第一学期高二年级周测试题（十二）数学试题（卷） （测试时间：120分钟 满分：150分 ） 命题人：郝鹏飞 柴晓玲 审题人：郝鹏飞 柴晓玲 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 4 B. C. D. 2 2.已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（　　） A. 7 B. C. D. 3. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表： 得分 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 3 10 6 3 2 2 2 设得分的中位数为，众数为，平均数为，则（ ） A. B. C. D. 5. 若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（       ） A.0个 B. 1个 C. 2个 D. 至多有一个 6．已知函数中，则（    ） A．的最大值为2 B．直线是图象的一条对称轴 C．点是图象的一个对称中心 D．在上单调递减 7. 已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则ABC的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，错误的命题是（ ） A. B. 的最大面积为 C. 存在点P，使得 D. 的周长最大值是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列为无穷等差数列，公差为d，前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且互不相等，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 样本数据28、30、32、36、36、42的（ ） A. 极差为14 B. 平均数为34 C. 上四分位数为36 D. 方差为20 11.我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．通过普通高中课程实验教科书《数学》第二章《圆锥曲线与方程》的章头引言我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆．实际上，设圆锥母线与轴所成角为，不过圆锥顶点的截面与轴所成角为．则当，截口曲线为圆，当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为双曲线；当时，截口曲线为抛物线．则在长方体中，，，点在平面内，下列选项正确的是　　 A．若点到直线的距离与点到平面的距离相等，则点的轨迹为直线 B．若点到直线的距离与点到的距离之和等于4，则点的轨迹为椭圆 C．若，则点的轨迹为抛物线 D．若，则点的轨迹为双曲线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，则直线的方程为______． 13. 已知公差为的等差数列的前项和为，且，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. 已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率是___ __. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 16．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 17. 已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18.已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：交C于M，Q两点，且． (1)求C的方程； (2)若点P是C的准线上的一点，过点P作C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，求点O到直线AB的距离的最大值． 19．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点，且. (1)求的方程. (2)设的右顶点为点，过点的直线与交于两点（异于），直线与轴分别交于点，试问线段的中点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B C D C D B C ABD ABC 1. 【详解】由，则， 则的虚部为.故选：D 2. 【答案】B 【详解】设数列的公比为，则，即， 所以.故选：B. 3.【答案】D 【详解】若，则，则，这与矛盾，所以， 对同时除以， 所以，则，，……，，上面的式子相加可得：， 所以，所以，故选：D. 4. 【答案】D 【详解】由图知，众数是；中位数是第15个数与第16个数的平均值， 由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6，所以中位数是； 平均数是； ∴．故选：D． 5. 【答案】D 【详解】因为直线和圆没有交点，可得，即， 所以点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，又因为椭圆，可得， 所以圆内切于椭圆，即点是椭圆内的点， 所以点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.故选：D. 6．【答案】D 7.【答案】B 【详解】由， 得，所以． 又因为，结合正弦定理（其中为的外接圆的半径）， 所以，解得，则的外接圆的面积为．故选：B 8. 【答案】C 【详解】对A，由题知，，则， 设，， 则，A正确； 对B，易知当点为短轴端点时，的面积最大，最大值为，B正确； 对C，， 则，C错误； 对D，由椭圆定义可知，，所以， 又， 所以， 当三点共线，且在线段上时，等号成立，D正确.故选：C 二、9【答案】ABD 【详解】选项A,若，得，所以，故选项A正确； 选项B，若且互不相等，易知，故选项B正确； 选项C，若，则，此时，故选项C错误； 选项D，若，易知， 所以 所以，故选项D正确.故选：ABD 10. 【答案】ABC 【详解】极差为，故A正确；平均数为，故B正确； 因为，所以样本数据的上四分位数为从小到大排列的第5个数，即36，故C正确； ，故D错误．故选：ABC. 11.【答案】 解：对于：如图1，在长方体中，，，点在平面内，到直线的距离与到平面的距离相等，又平面内， 在平面内，到的距离与到直线的距离相等，又，上， 故的轨迹为直线，故正确； 对于到直线的距离与到的距离之和等于4， 同知：平面内，到的距离与到的距离之和等于， 的轨迹为椭圆，故正确； 对于：如图2，根据长方体的性质知：与面所成角的平面角， 时，相当于以为轴，轴截面的顶角为的圆锥被面所截形成的曲线， 而，，则，即，故的轨迹为椭圆，故错误； 对于：同分析：时，相当于以为轴，轴截面的顶角为的圆锥被面所截形成的曲线，而，即，故的轨迹为双曲线，故正确， 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 【答案】 【详解】设，∵为中点，∴， ∴，∴，解得，∴，即. 故答案为： 13. 【详解】因为，， 所以，，所以，， 由，，得，即，解得， 即的取值范围是 14. 【答案】 【详解】如图，以为圆心，为半径的圆与双曲线的渐近线交于两点， ，，所以， 点到直线的距离为， 可得，，所以，可得.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.【解析】(1)由， 得. 又，故数列是以为首项，为公差的等差数列. (2)由(1)可知：，，故； ， ， 两式相减，得 ； 故. 16．【详解】（1）因为为的中点， 所以，四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面； （2）如图所示，作交于，连接， 因为四边形为等腰梯形， ，所以， 结合（1）为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，为中点，所以， 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，， 因为，所以，所以互相垂直， 以方向为轴，方向为轴，方向为轴， 建立空间直角坐标系， ，，， ，设平面的法向量为， 平面的法向量为， 则，即，令，得，即， 则，即，令，得， 即，，则， 故二面角的正弦值为. 17. 【详解】（1）由，则当时 两式相减得，所以.将代入得，， 所以对于，故是首项为2，公比为2的等比数列，所以. （2）. ， 因为当时，当时，所以当时，， 当时，. 故. 18【详解】（1）依题意，由抛物线的对称性知，点关于x轴对称，由，得， 不妨令点在第一象限，则，设抛物线C的方程为，即有，解得， 所以抛物线C的方程为. （2）由（1）知，抛物线C：的准线方程为，设点， 显然切线不垂直于坐标轴，设切线方程为， 由消去x并整理得①，于是， 设方程的一个根为，则该方程的另一根为， 不妨令切线的方程为，方程①中取得点的纵坐标为，其横坐标为，即点，同理得， 当时，直线方程为，整理得， 当或时，直线方程为，因此直线过定点，为定值， 所以当时，点O到直线AB的距离取得最大值1. 19．【详解】（1），， 整理可得：，， ，，解得：，， 椭圆的方程为：. （2）由（1）可得：，则直线的斜率存在，可设，， 由得：， ，，， 直线过点，， 直线方程为：，令得：，即；同理可得：； ， 线段的中点为定点. 第1页/共1页 用心阅读，认真审题，分步作答，规范书写！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $