第一章有理数重点题型突破 2025-2026学年人教版数学七年级上册

第一章有理数重点题型突破 【题型1】有理数的大小比较 1．在，0，9，这四个数中，最小的数是（    ） A． B．0 C．9 D． 2．在，，0，2这四个数中，最大的数是（   ） A． B． C．0 D．2 3．在0，，，这四个数中，最大的数是（   ） A． B．0 C． D． 4．下列各数中，最小的是（   ） A． B． C． D． 5．在，0，，2这四个数中，最小的数是（    ） A． B．0 C． D．2 【题型3】有理数比较大小 1． 写出一个大于小于的整数： ． 2． 比较大小： (填“”、“”或“”) 3． 比较大小： ．（填“”“ ”或“”） 4． 比较大小： （填“”、“”或“”） 5．比较大小： ． 【题型3】绝对值的非负性 1．若，则的值为（    ） A． B．7 C．3 D． 2．已知，那么的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 3．若，则（   ） A． B． C． D． 4．若有理数，满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．若，则 ． 【题型4】含有字母的有理数大小比较 1．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．把a，，b，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，1的大小关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．数、在数轴上的对应点如图所示，则、、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．点A表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【题型5】在数轴上表示有理数 1．在数轴上表示下列各数：0，，，，，5并用“<”号连接． 2．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”号将这些数按从小到大的顺序连接起来： ，，，， 3．在数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来： ，0，，，． 4．在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“”将它们连起来． ，，， 5．如图是一条不完整的数轴，已知下列各数：，3.5，，0，． (1)请将数轴补充完整，并将各数表示在数轴上； (2)将各数按从小到大的顺序用“＜”号连接起来． 【题型6】数轴上的动点问题 1．点为数轴上表示的点，将点沿数轴向右平移个单位长度到点，则用含有的代数式表示对应的数是（   ） A． B． C． D． 2．在数轴上，点A表示的数为，从点A出发，沿数轴向某一方向移动3个单位长度到达点B，则点B表示的数为（    ） A．2 B． C．或4 D．2或 【题型7】带有字母的绝对值化简问题 1．若，则的值为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或1 2．当、时，化简的结果是 ． 3．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且，则 ． 4．若，且，则的值是 ． 【题型8】有理数的综合应用 1．【阅读材料】数轴是非常重要的数学工具，它可以使问题更加直观．数轴上两点间的距离，可以看作数轴上这两点所对应的数差的绝对值．如图1，数轴上有A、B、C三个点，表示的数分别为：、2、4，、两点之间的距离为 【初步感知】 (1)如图1，、两点之间的距离为_____； (2)数轴上表示和3两点之间的距离为_____；的含义是数轴上表示与_____的两点之间的距离； 【拓展研究】 (3)在数轴上，表示数的点在与之间移动时，可以发现的值总是一个固定值，这个值是_____； (4)若动点分别从和同时出发，沿数轴向左运动，已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒()，当为何值时，两点之间距离为3？ 2．【问题背景】如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离． 【问题发现】 （1）若数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，则______． 【探索求知】 （2）若数轴上表示数a和2的两点之间的距离为7，则数______． 【拓展延伸】 （3）若点A表示的数是，点B表示的数为5，且点B在点A的右侧，动点P以每秒6个单位长度的速度从点A沿数轴匀速运动到点B后停止运动；点Q与点P同时出发，从点B以每秒4个单位长度的速度沿数轴向点A运动，到达点A处立即返回，并以相同的速度沿数轴运动到点B后停止运动．则点Q运动几秒时，点P与点Q之间的距离为1？（请写出求解过程） 3．我们知道，在数轴上表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点，，分别用数，表示，那么、两点之间的距离为：．例如，点表示的数是2，点表示的数为，，两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)A所表示的数是，B所表示的数是6，A，B两点之间的距离是_____． (2)若，则_____， (3)结合数轴，求得的最小值为_____； 4．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒， （说明：如果A、B两点在数轴上表示的数分别为m、n，我们常用符号“”表示A、B两点的距离，且） (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 5．【问题情境】 如图1，送货员计划开车从货物集散中心出发送货（送货地点均在笔直的道路上），为更直观地显示送货路线，可以将道路表示为如图2所示的以向东为正方向的数轴，货物集散中心在数轴上的原点处，数轴上1个单位长度表示实际距离为，送货员开车从货物集散中心出发，先向西行驶到达村，继续向西行驶到达村，最后向东行驶到达村． 【问题发现】 （1）、、三个村庄的位置在数轴上表示的数分别是点、、，请在数轴上表示出点、、的位置； 【初步探究】 （2）若送货员驾驶的汽车的耗油量为升/千米，则该汽车从货物集散中心出发到达村全程共耗油多少升？ 【拓展延伸】 （3）若在这条道路上有一个便民超市和一所学校，便民超市在数轴上表示的数是，学校在数轴上表示的数是，且位于点向西处的位置，到点的距离为，求便民超市与学校之间的距离．【提示：到0之间的距离可以表示为】 6．【阅读理解】：定义：对于数轴上不同的三个点P，Q，M，若满足，则称点M是点P关于点Q的“m倍特征点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，1，可知原点O是点关于点的“3倍特征点”，原点O也是点关于点的“倍特征点”． 【问题解决】：在数轴上，已知点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a，b满足． （1）填空：若在线段AB上的点C表示的数是c，且点C是点A关于点B的“4倍特征点”，则 ； ， ； （2）在数轴上取两点D，E，点E在点D的右侧，且． ①若，且点B是点D关于点E的“m倍特征点”，求m的值； ②若点D与点A重合，现将线段DE从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点E运动到点B时运动停止．设运动时间为t秒，当A，D，E三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍特征点”时，求t的值． 综上所述，当A，D，E三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍特征点”时，t的值为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章有理数重点题型突破 【题型1】有理数的大小比较 1．在，0，9，这四个数中，最小的数是（    ） A． B．0 C．9 D． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴最小的数是． 故选：A． 2．在，，0，2这四个数中，最大的数是（   ） A． B． C．0 D．2 【详解】解：∵， ∴最大的数是2； 3．在0，，，这四个数中，最大的数是（   ） A． B．0 C． D． 【详解】解：∵ ∴， ∴最大的数是， 故选：D． 4．下列各数中，最小的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵负数小于正数， ∴最小数在或中； ∵， ∴， 故选：A． 5．在，0，，2这四个数中，最小的数是（    ） A． B．0 C． D．2 【详解】解：∵， ∴， ∴四个数中，最小的数为， 【题型3】有理数比较大小 1．写出一个大于小于的整数： ． 【详解】， 大于且小于的整数有、和； 符合题意的整数可以为． 2．比较大小： (填“”、“”或“”) 【详解】解：∵，， 将和通分，得，， ∵，∴， ∴． 3．比较大小： ．（填“”“ ”或“”） 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 4．比较大小： （填“”、“”或“”） 【详解】解：∵，，且， ∴． 故答案为：． 5．比较大小： ． 【详解】计算 ：，所以 ． 计算 ：，所以 ． 因为 ，所以 ． 【题型3】绝对值的非负性 1．若，则的值为（    ） A． B．7 C．3 D． 【详解】解：∵且，且 ， ∴， ∴， ∴． 2．已知，那么的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【详解】解：∵， ∴且， ∴，， ∴， 3．若，则（   ） A． B． C． D． 【详解】解：，且 ，， 且 ， ，即， ，即， ． 4．若有理数，满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【详解】解： ，，且， ，， ，， ， ． 5．若，则 ． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 【题型4】含有字母的有理数大小比较 1．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．把a，，b，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：根据图示，可得，， ，， ． 故选：D． 2．有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，1的大小关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：由图可知，，且， ∴， 故选：A． 3．数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：由数轴可知，， 故选：C． 4．数、在数轴上的对应点如图所示，则、、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：由题意可知：，且， ， 故选：B． 5．点A表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【题型5】在数轴上表示有理数 1．在数轴上表示下列各数：0，，，，，5并用“<”号连接． 【详解】解：依题意，，，， 则数轴如图所示： ． 2．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”号将这些数按从小到大的顺序连接起来： ，，，， 【详解】解：，， 把各数表示在数轴上如下： ， 故． 3．在数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来： ，0，，，． 【详解】解：，． 数轴如下： ∴． 4．在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“”将它们连起来． ，，， 【详解】解：，，， 在数轴上表示各数如下： 由数轴得，． 5．如图是一条不完整的数轴，已知下列各数：，3.5，，0，． (1)请将数轴补充完整，并将各数表示在数轴上； (2)将各数按从小到大的顺序用“＜”号连接起来． 【详解】（1）， 数轴表示如下： ； （2）由（1）数轴可知： ． 【题型6】数轴上的动点问题 1．点为数轴上表示的点，将点沿数轴向右平移个单位长度到点，则用含有的代数式表示对应的数是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵点为数轴上表示的点，向右平移个单位， ∴点对应的数为， 2．在数轴上，点A表示的数为，从点A出发，沿数轴向某一方向移动3个单位长度到达点B，则点B表示的数为（    ） A．2 B． C．或4 D．2或 【详解】∵点A表示的数为，沿数轴移动3个单位长度， ∴当向右移动时，点B表示的数为：； 当向左移动时，点B表示的数为：． ∴点B表示的数为2或． 【题型7】带有字母的绝对值化简问题 1．若，则的值为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或1 【详解】∵ ，∴ 和 同号， 当 时，，，，∴ 原式 ； 当 时，，，，∴ 原式 ， ∴ 原式的值为 或 ， 2．当、时，化简的结果是 ． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 3．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且，则 ． 【详解】解：由数轴可知， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 4．若，且，则的值是 ． 【详解】解：当，则， ∴（不符合题意，舍去）； 当，则， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， 【题型8】有理数的综合应用 1．【阅读材料】数轴是非常重要的数学工具，它可以使问题更加直观．数轴上两点间的距离，可以看作数轴上这两点所对应的数差的绝对值．如图1，数轴上有A、B、C三个点，表示的数分别为：、2、4，、两点之间的距离为 【初步感知】 (1)如图1，、两点之间的距离为_____； (2)数轴上表示和3两点之间的距离为_____；的含义是数轴上表示与_____的两点之间的距离； 【拓展研究】 (3)在数轴上，表示数的点在与之间移动时，可以发现的值总是一个固定值，这个值是_____； (4)若动点分别从和同时出发，沿数轴向左运动，已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒()，当为何值时，两点之间距离为3？ 【详解】解：（1）、两点之间的距离为； 故答案为：； （2）数轴上表示和两点之间的距离为； 的含义是数轴上表示与两点之间的距离； 故答案为：；； （3）由题可知，， ， 故答案为：； （4）秒后，表示的数： 表示的数： 距离为， 令， ， ； ， ， 故或． 2．【问题背景】如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离． 【问题发现】 （1）若数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，则______． 【探索求知】 （2）若数轴上表示数a和2的两点之间的距离为7，则数______． 【拓展延伸】 （3）若点A表示的数是，点B表示的数为5，且点B在点A的右侧，动点P以每秒6个单位长度的速度从点A沿数轴匀速运动到点B后停止运动；点Q与点P同时出发，从点B以每秒4个单位长度的速度沿数轴向点A运动，到达点A处立即返回，并以相同的速度沿数轴运动到点B后停止运动．则点Q运动几秒时，点P与点Q之间的距离为1？（请写出求解过程） 【详解】解：（1）由题意得：； 故答案为：3； （2）由题意得：， 或， 解得：或， 故答案为：9或； （3）设点Q运动t秒时，点P与点Q之间的距离为1，由题意得： 当点Q到达点A时，用时秒， 当点P到达点B时，用时秒， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， 则， ， 或， 解得：或； 当时，点P表示的数是5，点Q表示的数是， 则， 解得：（不合题意舍去）； 当时，点P表示的数是5，点Q表示的数是， 则， 解得：； 综上所述，点Q运动1秒或秒或秒时，点P与点Q之间的距离为1． 3．我们知道，在数轴上表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点，，分别用数，表示，那么、两点之间的距离为：．例如，点表示的数是2，点表示的数为，，两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)A所表示的数是，B所表示的数是6，A，B两点之间的距离是_____． (2)若，则_____， (3)结合数轴，求得的最小值为_____； 【详解】（1）解：由题可得：， 故答案为：7； （2）解：∵，即， ∴点到点的距离为1， ∴或； （3）解：设点是数轴上一点， ∴当点在6和之间时有最小值， ∴有最小值为． 4．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒， （说明：如果A、B两点在数轴上表示的数分别为m、n，我们常用符号“”表示A、B两点的距离，且） (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ， ∴当时，点Q到原点O的距离为6； （2）解：∵动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动， ∴当时，点Q运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ∴当时，点Q向右运动，， ∴当时，点Q到原点O的距离为4； （3）解：当点Q到点A的距离为4时， 分三种情况讨论： ①点Q向左运动还没到达原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ， 运动时间为（秒）， ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为4； ； ②点Q向右运动时且还没经过点A时， ， ， 运动时间为（秒）， ； ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为4； ； ③点Q向右运动时且经过点A后， ， ， 运动时间为（秒）， ； ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为12； ； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 5．【问题情境】 如图1，送货员计划开车从货物集散中心出发送货（送货地点均在笔直的道路上），为更直观地显示送货路线，可以将道路表示为如图2所示的以向东为正方向的数轴，货物集散中心在数轴上的原点处，数轴上1个单位长度表示实际距离为，送货员开车从货物集散中心出发，先向西行驶到达村，继续向西行驶到达村，最后向东行驶到达村． 【问题发现】 （1）、、三个村庄的位置在数轴上表示的数分别是点、、，请在数轴上表示出点、、的位置； 【初步探究】 （2）若送货员驾驶的汽车的耗油量为升/千米，则该汽车从货物集散中心出发到达村全程共耗油多少升？ 【拓展延伸】 （3）若在这条道路上有一个便民超市和一所学校，便民超市在数轴上表示的数是，学校在数轴上表示的数是，且位于点向西处的位置，到点的距离为，求便民超市与学校之间的距离．【提示：到0之间的距离可以表示为】 【详解】解：（1）由题意可得：点A、B、C的位置如下图所示： （2）， （升）． 所以该汽车从货物集散中心出发到达C村全程共耗油1.4升． （3）由（1）知点B表示的数为， 因为n位于点B向西处的位置， 所以． ①当便民超市在点C左侧时，， 所以便民超市与学校之间的距离为． ②当便民超市在点C右侧时，， 所以便民超市与学校之间的距离为． 所以便民超市与学校之间的距离为或． 6．【阅读理解】：定义：对于数轴上不同的三个点P，Q，M，若满足，则称点M是点P关于点Q的“m倍特征点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，1，可知原点O是点关于点的“3倍特征点”，原点O也是点关于点的“倍特征点”． 【问题解决】：在数轴上，已知点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a，b满足． （1）填空：若在线段AB上的点C表示的数是c，且点C是点A关于点B的“4倍特征点”，则 ； ， ； （2）在数轴上取两点D，E，点E在点D的右侧，且． ①若，且点B是点D关于点E的“m倍特征点”，求m的值； ②若点D与点A重合，现将线段DE从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点E运动到点B时运动停止．设运动时间为t秒，当A，D，E三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍特征点”时，求t的值． 【详解】（1）∵． ∴，． 解得：，， ∵点C是点A关于点B的“4倍特征点”． ∴； （2）①∵． ∴D表示的数为或． ∵点B是点D关于点E的“m倍特征点”． ∴． ∵， 当D表示时， ∴E表示． ∴，解得：． 当D表示， ∴E表示． ∴，解得：； ②由题意可知D表示，E表示，． 若A是D关于E的“ 倍特征点”， ∴，即， ∴． 若A是E关于D的“ 倍特征点”． ∴，与题意不符，此情况不存在． 若D是A关于E的“ 倍特征点”． ∴，即， ∴． 若D是E关于A的“倍特征点”． ∴，即． ∴． ∵，故舍去． 若E是A关于D的“ 倍特征点”． ∴，与题意不符，此情况不存在． 若E是D关于A的“ 倍特征点”． ∴，即． ∴． 综上所述，当A，D，E三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍特征点”时，t的值为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $