专题05 圆中的最值、翻折、动点与新定义型综合问题（高效培优专项训练）数学华东师大版九年级下册

专题05 圆中的最值、翻折与新定义型问题 题型一：圆中的最值问题 题型二：圆的翻折问题 题型三：圆中的新定义型问题 题型一：圆中的最值问题 1．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，是的弦，，是上的一个动点，且．若点，分别是的中点，则的最大值是（    ） A．5 B．10 C． D．20 【答案】A 【分析】本题考查直径所对的圆周角是直角，等边对等角，勾股定理及三角形中位线定理，掌握这些知识是关键；由题意得，当最大时，最大，而当为直径时最大，此时得为直角，从而是等腰直角三角形，由勾股定理可求得，从而求解． 【详解】解：∵点，分别是的中点， ∴， ∴当最大时，最大， 而圆中为直径时最大，如图， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， 由勾股定理得， ∴； 故选：A． 2．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，等边的边长为4，的半径为2，D是上的动点，与相切于E，的最小值是（　　） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】连接，，作于H，根据切线的性质得，当D与H重合时，最小，根据勾股定理得出，即可得出的最小值． 【详解】解：如图，连接，，作于H， ∵与相切于E， ∴， ∵的半径为2， ∴， 当D与H重合时，最小， ∵等边的边长为4， ∴， ∴， ∴的最小值为：， 故选：C． 【点睛】本题考查切线的性质定理，勾股定理，正确得出当D与H重合时，最小是解题的关键． 3．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，即可得点E在以为直径的半圆上移动，设的中点为O，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对应点是F，连接交于P，交半圆O于E，根据对称性有：，则有：，则线段的长即为的长度最小值，问题随之得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O， 作正方形关于直线对称的正方形， 则点D的对应点是F， 连接交于P，交半圆O于E， 根据对称性有：， 则有：， 则线段的长即为的长度最小值，E ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故的长度最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的运动路线是解题的关键． 4．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案． 【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆 ∵四边形为矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上 连接OB交圆O与点N ∵点B为圆O外一点 ∴当直线BM过圆心O时，BM最短 ∵， ∴ ∴ ∵ 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识． 5．如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA+PB的最小值是（　　）．    A．20 B． C．14 D． 【答案】B 【分析】连接OA、OB，根据AC⊥MN，BD⊥MN，经勾股定理计算得到OC、OD；延长BD与⊙O相交于点G，推导得当点P在直线AG上时，取最小值；过G作GH⊥AC于点H，经证明四边形是矩形，并经勾股定理计算即可得到AG的值，即可完成求解． 【详解】如图，连接OA、OB    ∵AC⊥MN，BD⊥MN ∴， ∵MN＝20，A、B是⊙O上的两点 ∴ ∴， ∴， ∴ 延长BD与⊙O相交于点G ∵MN为⊙O的直径，BD⊥MN ∴， ∴ 当点P在直线AG上时，取最小值，且最小值 过G作GH⊥AC于点H 又∵AC⊥MN，BD⊥MN ∴，， ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∴ ∴PA+PB的最小值是： 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、圆的垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解． 6．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，根据垂径定理得出，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，，根据两点之间，线段最短可得点、、三点共线时，的值最小，即可求解． 【详解】解：连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，如图： ∵点的坐标是，， ∴，， ∴， 故是等腰直角三角形， ∴，， 故， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵点是弦的中点， ∴， 故点是在以点为圆心的圆上， 当点、、三点共线时，的值最小； 此时． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理等，根据垂径定理得出点是在以点为圆心的圆上是解题的关键． 7．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过，，的半径为2，（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算． 连接，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短，利用直角三角形的面积公式即可求得的值，进而得到的值． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， 根据勾股定理， ∴最短时，取得最小值， ∵当时，线段最短， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的一个交点为，点C是抛物线的顶点，且与y轴相切，点P为上一动点．若点D为的中点，连接，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由待定系数法可求抛物线解析式，可得点C坐标，可得半径为4，由三角形中位线的定理可求，当过点C时，有最大值，即可求解． 【详解】解：如图，取点，连结， ∵抛物线与x轴的一个交点为， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵抛物线过原点与点， ∴对称轴为， 当时，， ∴顶点， ∵与y轴相切， ∴的半径为4， ∵点D为的中点， ∴， ∴最大时，有最大值， ∴当过点C时，有最大值， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质，切线的性质定理，与三角形中位线有关的求解问题等知识，解题关键是添加恰当辅助线． 9．（24-25九年级下·广东广州·开学考试）如图，在菱形中，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠，点D落在点N处，当点N在四边形内部（含边界）时，的长度的最大值是（   ） A． B．        B．       D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动．由此可找出临界点，当点落在上时，最短，当点落在边上时，最长．根据轴对称的性质分别求解，可得出的取值，进而得最大值． 【详解】解：根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动， 如图所示： 当点正好落在边上时， ， 是等边三角形， ， 最短， 此时； 当点落在边上时，最长， 过点作于点，分别过点作的垂线，交的延长线于点． 四边形是矩形， 在菱形中，，， 点在边上，且， ，，，， ， ， ，，， 在中，，， ， ， ， 设，则，， 在中， 由勾股定理可知，， 即， 解得， ， 故答案为：A． 【点睛】本题在折叠的背景下考查菱形的性质，矩形的性质，含角的直角三角形，勾股定理等知识，得出点N的运动轨迹并找到临界点是解题关键． 10．（22-23九年级上·江苏南京·期中）如图，是⊙O的弦，点C在⊙O内，，连接，若⊙O的半径是4，则长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E，则是等边三角形，再确定点C在以E为圆心，为半径的圆上，则的最小值为，再求解即可． 【详解】解：如图，延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点C在以E为圆心，为半径的圆上， 在中，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆中的最小距离问题，熟练掌握垂径定理，等边三角形的性质，直角三角形的勾股定理，根据定角定弦确定点C的轨迹是解题的关键． 11．（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知：点C在半径为的⊙B上．在x轴上取OD=OA=6，连接CD，易证明OM是△ACD的中位线，即得出OM=CD，即当OM最大时，CD最大，由D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，根据勾股定理求出BD的长，从而可求出CD的长，最后即可求出OM的最大值． 【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，， ∴C在⊙B上，且半径为， 在x轴上取OD=OA=6，连接CD， ∵AM=CM，OD=OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM=CD， ∴即当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB=OD=6，∠BOD=90°， ∴BD=， ∴CD=，且C(2,8), ∴OM=CD，即OM的最大值为， ∵M是AC的中点，则M（4,4）， 故答案为：（4,4）． 【点睛】本题考查坐标和图形，三角形的中位线定理，勾股定理等知识．确定OM为最大值时点C的位置是解题关键，也是难点． 12．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查圆的定义、三角形的中位线性质、正方形的性质，解答的关键是构造三角形的中位线和得到点P的运动轨迹，属于中考填空题的常考压轴题． 延长至T，使得，连接，根据三角形的中位线性质得到，即只需求的最大值和最小值；根据圆的定义可得点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，，利用正方形的性质和勾股定理求得，进而求得的最小值和最大值即可求解． 【详解】解：延长至T，使得，连接， ∵的中点为E， ∴是的中位线， ∴，即只需求的最大值和最小值； ∵始终保证， ∴点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，， ∵，， ∴， ∴，， ∴的最小值为，的最大值为， ∴的最小值为，的最大值为， 故答案为：，． 13．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形，以为腰向正方形内部作等腰，且，过点E作于点F，点P是的内心，连接，，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查“等腰三角形的性质”“三角形内心的定义”“定弦定角构造隐圆”，通过角度代换，发现点P的运动轨迹是圆是解题关键． 根据点P是的内心，即三条角平分线交点，通过角度计算可以推出的度数，利用等腰三角形的性质，得到的度数，即可通过定弦定角确定点P的运动轨迹，根据点圆最值的求解方法即可得到答案． 【详解】解： ， ． ． 点P是的内心，即，分别平分和， ，． ． ，，， ≌． ． 如图，作出的外接圆，设圆心为Q，圆的半径为r，则的最小值即为． ， 设所对的圆心角优角为，则， ． ， ． ， ． ∵四边形是正方形， ． 过点Q作，则， ． ∴是等腰直角三角形． ． ． ． ． 的最小值为． 故答案为：． 14．（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值 ． 【答案】 【分析】由题意可知，，可得，可知点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧），设圆心为，连接，，，，，过点作，可知为等腰直角三角形，求得，，，，再由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号，即可求得的最小值． 【详解】解：∵B、G关于对称， ∴，且 ∵E为中点，则为的中位线， ∴， ∴， ∵，即， ∴点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧） 设圆心为，连接，，，，，过点作， 则， ∵， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 又∵为中点， ∴，， 又∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， 由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据得知点在以为弦，圆周角的圆上是解决问题的关键． 15．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则，通过计算得出当三点共线时，有最小值，求出最小值即可． 【详解】解：如图， 取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为等腰梯形， ， ，，， ， 点在以点为圆心，2为半径的圆上， ， ， ， ，， ， ， ，，， ， 当三点共线时，有最小值， 面积的最小值为． 【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点位置的确定是解题关键． 题型二：圆的翻折问题 16．如图，将半径为的⊙沿折叠，弧恰好经过与垂直的半径的中点，则折痕长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：延长CO交AB于E点，连接OB， ∵CE⊥AB， ∴E为AB的中点， 由题意可得CD=4，OD=4，OB=8， DE= （8×2-4）=×12=6， OE=6-4=2， 在Rt△OEB中，根据勾股定理可得：OE2+BE2=OB2， 代入可求得BE=2， ∴AB=4． 故选B． 17．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，已知⊙O的直径为10，将⊙O沿折叠，使弧与直径相切于点E，则折痕的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质以及垂径定理和勾股定理，切线的性质，作辅助线是解题的关键．如图，设，，设弧的圆心为，连接交于F，连接，，根据垂径定理以及勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设，，设弧的圆心为， 连接交于F，连接，， 由折叠得，，⊙的半径为5， ∴， ∴， ， 垂直平分， ， ∴， ∵弧与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，的值最大，最大值为， 当时，的值最小，最小值为， ∴． 故选：C． 18．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，将半径为的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB与点E，根据折叠的性质及垂径定理得到，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB与点E， ∵折叠后恰好经过圆心， ∴， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AOE中，， ∴； 故选：D． 【点睛】本题主要考查垂径定理，解题的关键是熟知垂径定理的应用． 19．（24-25九年级上·重庆渝北·月考）如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心O．若，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质和折叠的性质，直径所对的圆周角是90度，含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解题的关键． 过点作于点，交于点，连接，根据折叠的性质得到垂直平分，所以，再判断为等边三角形得到，得出，再证明，最后利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理得到的长． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，连接， 将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心， 垂直平分， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 是直径， ， ， ， 故选：C． 20．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点D．若的半径为，，则的面积是（    ）    A．3 B．1.5 C． D． 【答案】B 【分析】连接、、，过C点作于E点，过O点作于F点，于H点，如图，先根据垂径定理的推论得到，则利用勾股定理可计算出，再根据折叠的性质得到和在等圆中，由于它们所对的圆周角相等得到，则，于是根据等腰三角形的性质得到，接着证明四边形为正方形得到，则可计算出，，所以，然后利用勾股定理计算出，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：连接、、，过C点作于E点，过O点作于F点，于H点，如图， ∵点D为的中点， ，， 在中，， ∵沿折叠后刚好经过的中点D， ∴和在等圆中，又， ∴， ， ， ， ，， ∴四边形为正方形， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 在中，， ∴． 故选：B．    【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦的关系、等腰三角形的判定与性质、正方形的性质与判定、折叠的性质、垂径定理和勾股定理，熟练掌握圆圆周角、弧、弦的关系是解题的关键． 21．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，将半径为4的折叠，弧恰好经过与垂直的半径的中点，则折痕的长 ．    【答案】 【分析】如图，由折叠知，,，于是．．垂径定理，得．中，，得． 【详解】解：如图，由折叠知，, ∵ ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 中，． ∴．    故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，垂径定理，勾股定理，构建直角三角形运用勾股定理是解题的关键． 22．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的三等分点D，，若的半径为，，则的长是 ． 【答案】8 【分析】连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，首先根据题意可知，，结合垂径定理可知，进而由勾股定理可解得的值；再结合折叠的性质可知弧和弧所在的圆为等圆，进而可得，得到，由等腰三角形的性质可得，证明四边形为矩形，由矩形的性质可得，，在中，由勾股定理解得的值，然后解得，最后在中由勾股定理计算的长即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵的半径为，，点为的三等分点，且， ∴，，， ∴， ∵将弧沿折叠， ∴弧和弧所在的圆为等圆， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，弧、弦、圆周角的关系，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 23．（2023·重庆九龙坡·二模）如图，、是中关于直径对称的两条弦，以弦、为折线将弧，弧折叠后过圆心O，若的半径，则圆中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】根据对称性和直角三角形的边角关系求出扇形圆心角度数，再根据各个部分面积之间的关系进行计算即可． 【详解】如图，过点作于点，交于点，连接，    则，由折叠对称可知， ， ，是等边三角形， ， 的半径，， 由题意可知，， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，垂径定理、直角三角形的边角关系以及折叠轴对称的性质，掌握扇形面积的计算方法以及轴对称的性质是正确解答的提． 24．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，A，B，C为圆形纸片圆周上三点，其中为直径，以为折线将纸片向右折叠，弧与交于点D，若度数，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，圆周角与弧的关系，解答本题的关键是由折叠的性质得到．由折叠的性质和圆周角与弧的关系得到：，结合是圆的直径，即可求出的度数进而求出结论． 【详解】解：设为直径的圆的圆心为点O， 如图2，设上的点D翻折前为点E，连接，， 由折叠的性质得到：，， ∴， ∴， ∵为直径， ∴三段弧度数和为， 三段弧度数和为， 度数， 度数为， ∴度数， ∴ ， 故答案为：． 25．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图1，的半径为，是的弦，若将沿着弦翻折，翻折后的恰好经过圆心．    (1)求的长； (2)如图2，以为边在圆心的异侧作等边三角形，直线与相切于点，分别交、于点、． ①求的周长； ②如图3，当时，求的长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）作，垂足为H，交圆O于点C，连AC，由翻折的性质得出相等边，得出是等边三角形，然后利用锐角三角函数和垂径定理求解即可； （2）①连接，借助（1）中结论得出，，然后利用切线长定理求解即可； ②过点F作，设，，，，利用锐角三角函数表示出相关线段的长度，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：作，垂足为H，交圆O于点C，连AC，   ， ． 由翻折的性质得，， ， ， 是等边三角形， ， ， ； （2）解：①连接，    由（1）知， 是等边三角形， ，， ， ． 同理． EF与圆O相切， ， ，， ． ②如图，过点F作，    设，，，， ， ∴， ，， , ， 化简得：． ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理，翻折的性质，切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，解一元二次方程，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 题型三：圆中的新定义型问题 26．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图1，C，D是半圆上的两点，点P是直径上一点，且满足，则称是弧的“幸运角”． (1)如图2，若弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接．求证：是弧的“幸运角”； (2)如图3，若直径，弦，弧的“幸运角”为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，理解“幸运角”的概念是解题的关键．（1）根据垂径定理易得是等腰三角形，再根据等腰三角形“三线合一”的知识及对顶角的性质可得；（2）连接，，根据垂径定理求得，进而得出，再用勾股定理即可． 【详解】（1）解：∵是直径，， ∴平分， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是弧的“幸运角”； （2）解：如图，连接，， ∵弧的“幸运角”为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解：（1）如图1，点A，B，C在上，的平分线交于点D，连接． 求证：四边形是等补四边形． 探究：（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 运用：（3）如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点E，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）平分，见解析；（3） 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得，再由弧，弦，圆心角的关系，可得，即可解答； （2）过点B分别作于点E，垂直的延长线于点F，则，结合等补四边形的定义可证明，可得到，即可解答； （3）连接，证明，即可解答． 【详解】解：（1）证明：∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是等补四边形； （2）平分，理由如下： 如图：过点B分别作于点E，垂直的延长线于点F，则， ∵四边形是等补四边形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线，即平分； （3）连接，如图： ∵四边形是等补四边形， ∴， 又， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）知，平分， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）． 【点睛】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等． 28．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．    (1)如图1，，是⊙的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形； (2)如图2，弦与弦交于点，，． ①求证：，是⊙的等垂弦； ②连接，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形是矩形，根据垂径定理得出，即可判定矩形是正方形； （2）①连接，由圆心角、弦的关系及全等三角形的判定和性质可得，由圆周角定理可得，，可得结论； ②连接并双向延长交于点F，交于点G，根据题意得出为等腰直角三角形，再由垂直平分线的判定和性质得出，利用平行线的判定和性质及全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，是的等垂弦，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，是的等垂弦， ∴， ∵，， ∴， ∴矩形是正方形； （2）①证明：连接，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴、是的等垂弦． ②连接并双向延长交于点F，交于点G，如图所示：    由①得，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质及勾股定理解三角形，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 29．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）定义：同一个圆中，互相垂直的两条弦叫做“垂弦”，“垂弦”的交点叫做“垂弦点”． (1)如图1，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，_____（填“是”或“不是”）直径； (2)如图2，、是的两条弦，为直径，，请判断与是否是一组“垂弦”，并说明理由； (3)如图3，点是上一个动点，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，若的度数为，的度数为，试探究是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (4)如图4，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是 (2)与是一组“垂弦”，理由见详解 (3)m+n是定值， (4) 【分析】本题考查圆的垂弦定义、弧与圆心角的关系及扇形面积计算，运用转化与方程思想，关键是利用垂弦性质推导弧的度数关系，结合勾股定理和扇形面积公式求解，易错点为垂弦性质理解不清及扇形面积计算时的角度或半径错误； （1）根据垂弦定义判断直径；（2）利用弧相等推导角的关系证明垂弦；（3）结合垂弦性质和弧的度数和推导定值；（4）通过垂弦性质求半径和圆心角，进而计算阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”， ∴，即， ∵直径所对的圆周角是直角， ∴是的直径； 故答案为：是． （2）与是一组“垂弦” 连接、 为直径， ， ， ， ， ， 与是一组“垂弦” ． （3） 连接， 若的度数为，的度数为 ，， 、是的一组“垂弦”， ， ， 即， （4）连接并延长交于点，连，作，为垂足， 的度数为，的度数为，的度数为， 为直径 、是的一组“垂弦”， 由（3）知 即 即 ， 为等边三角形 ，， 为中点， ， 30．（24-25九年级上湖南期末）定义：对于凸四边形，对角线相等的四边形称为“等对”四边形，对角线垂直的四边形称为“垂对”四边形． (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“”，错误的打“”） ①平行四边形一定不是“等对”四边形； （    ） ②“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半；（   ） ③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是“垂对”四边形；（   ） (2)如图1，已知四边形既是“等对”四边形，又是“垂对”四边形，且四边形的四个顶点都在上，连接四边形的对角线，交于点P． ①记，，四边形的面积分别为，，求证： ； ②如图2，点为的中点，连接并延长交于点N，若 ，求的半径（用含，的式子表示）． 【答案】(1)①； ②；③ (2)①见解析；② 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，圆周角，“等对”四边形定义，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据“等对”四边形和“垂对”四边形定义，判断即可求解； （2）①根据“等对”四边形的性质可知，从而推导出，为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解； ②根据M为的中点，可得，进而根据勾股定理求解即可； 【详解】（1）解：①平行四边形对角线不相等， 平行四边形一定不是“等对”四边形，该说法正确； ②“垂对”四边形的对角线垂直，所以“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半；故正确； ③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是萎形，所以是“垂对”四边形；故正确； 故答案为：①； ②；③； （2）①∵四边形是“等对”四边形， ， ， ， 又∵四边形是“垂对”四边形， ， ，为等腰直角三角形， 设，， 则，，， ， ②， 在中， ， 又∵为的中点， ， ，，， ， 即， ， ， 即， 将 代入， 得， 解得： 31．（25-26九年级上江苏南京月考）如图1，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“幸运角”． (1)如图2，是的直径，弦，是上一点，连结交于点，连结，是的“幸运角”吗？请说明理由； (2)在（1）的条件下，直径，，的“幸运角”为，求CP的长． 【答案】(1)是的“幸运角”，理由见解析； (2)或． 【分析】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用“幸运角”的定义，说明 即可； （2）连接，利用“幸运角”的定义和等腰直角三角形的性质，设，利用勾股定理列出方程，解方程求得值，再利用等腰直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：是的“幸运角”，理由如下： ∵是的直径，弦， ∴平分， 即为的垂直平分线， ， ， ， ， 是的“幸运角”； （2）解：连接，如图： 的“幸运角”为，即， ， ， ， ， ∵直径， ， ， ，， 为等腰直角三角形， 设，则，在中， ， ， 解得：或， 或． 32．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“闪亮四边形”． (1)若是圆的“闪亮四边形”，则是 （填序号）； ①矩形；②菱形；③正方形 (2)如图1，已知的半径为于点E，四边形是的“闪亮四边形”． ①求证： ②求证： (3)如图2，四边形为的“闪亮四边形”，相交于点，，求的半径为R 【答案】(1)③ (2)①见解析；②见解析 (3) 【分析】（1）根据“闪亮四边形”的定义结合平行四边形的性质即可解答； （2）①连接并延长交于点F，分别连接，，，，利用垂径定理证明是的中位线，推出，再根据圆周角定理结合“闪亮四边形”的定义，推出，进而推出，，得到，最后，即可得出结论；②过点O作于点G，是等腰三角形，再证明，推出，再根据四边形是的内接四边形，得到，进而求出，，利用勾股定理即可证明； （3）同理（2）②可得，由圆周角定理推出，得到，再根据四边形为的“闪亮四边形”，结合，利用勾股定理可求出，求出，再利用勾股定理求出，由（2）②可得，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， ∴， ∵是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴是矩形， ∵圆的“闪亮四边形”， ∴， ∴是菱形， ∵是矩形， ∴是正方形， 故答案为：③； （2）①证明∶连接并延长交于点F，分别连接，，，， ∵， ∴， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵四边形是“闪亮四边形”， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点O作于点G， 由①知， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：同理（2）②可得， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为的“闪亮四边形”，， ∴，， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 由（2）②可得， ∴， ∴（负值舍去）． 【点睛】本题是圆的综合题，考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，圆的内接四边形，熟练的建立数学模型并灵活应用是解本题的关键． 33．（24-25九年级上广西南宁期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． (1)若平行四边形是“婆氏四边形”，则四边形是____________．（填序号） ①矩形；②菱形；③正方形 (2)如图1，中，，以为弦的交于，交于，连接、、．其中，交于，，，若四边形是“婆氏四边形”，求的长． (3)如图2，四边形为的内接四边形，连接，，，，，，已知． ①求证：四边形是“婆氏四边形”； ②当时，请直接写出半径的最小值． 【答案】(1)③ (2)； (3)①见解析；②半径的最小值为． 【分析】（1）根本圆内接四边形对角互补和平行四边形对角相等可得，从而可证明四边形为矩形，再根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可判断； （2）根据垂径定理和圆周角定理可得，，设，则，，在中解直角三角形即可； （3）①根据圆周角定理即可得出，从而可得，继而证明结论； ②作，垂足分别为M，N，证明，设，则，，，在中，根据勾股定理和二次函数的性质即可得出半径的最小值． 【详解】（1）解：如图， ∵平行四边形为的内接四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形为矩形， ∵四边形是“婆氏四边形”， ∴， ∴矩形为正方形， 故答案为：③； （2）解：∵，，， ∴，为直径， ∴， ∵四边形是“婆氏四边形”， ∴， ∴，， 设，则，， 在中，根据勾股定理， ，即， 解得，即； （3）解：①设相交于点E如图所示 ∵，，， ∴， ∴， 即， 又∵四边形是的内接四边形， ∴四边形是“婆氏四边形”； ②如图，作，垂足分别为M，N， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， 设，则，，， 在中， ， 当时，取得最小值，即半径的最小值为． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质、勾股定理、正方形的判定定理、二次函数的性质等．（1）中能正确证明出四边形的一个角是是解题关键；（2）中能正确表示出的三个边是解题关键；（3）中①正确利用圆周角定理是解题关键；②正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 34．（22-23九年级上浙江宁波期中）一个圆中，有公共端点的直径与弦构成的图形内，平行于这条弦的半径称为这条弦的“”形半径； (1)如图1，为直径，是弦的“”形半径，求证：； (2)如图2，中，，以为直径作交于C，交于，求证：是弦的“”形半径； (3)如图3，为直径，是弦的“”形半径，延长线上取点，使，交于点，若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直径所对的圆周是直角，，根据垂径定理，即可得证； （2）连接AP，可推出∠APB=90°，结合AD=AB，可推出点P是BD的中点，进而得出OP是三角形ABD的中位线，进而得出结论； （3）连接，设，根据平行线的性质以及三角形内角和定理，三角形外角的性质得出，进而得出，在中， ，，勾股定理求得，在中，根据，，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 为直径， ， ， ， ， （2）如图2， 连接， 是的直径， ， ， ， ， ， 是弦的“”形半径； （3）连接，，，设，   ， ， ， ，   ， ， ， ， ， ， ，    为直径， ，， 平分， ， 在中， ，， 由勾股定理得：，   在中，，， 由勾股定理得：． 【点睛】本题考查新定义下圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的中位线，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，转化条件． 35．（23-24九年级上江苏盐城期中）【了解概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． (1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则　　； (2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点； 【变式探究】 (3)如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【灵活应用】 (4)如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　 　． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3) (4)或 【分析】（1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出，再由所给的定义求出的长即可； （2）在上截取，连接、、、，可证明，得到，再由垂径定理得到，则有，即可证明是折弦的中点； （3）仿照（2）的方法，在上截取，连接、、、，证明，可得到； （4）分两种情况讨论：当点在上时，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出；当点在上时，如图6，，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出． 【详解】（1）解：是的切线，为切点， ， ， ，， ， ， 是折线段的中点， ， 故答案为：3； （2）证明：在上截取，连接、、、， 点是的中点， ， ， （SAS）， ， ， ， ， 是折弦的中点； （3）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接、、、， 点是的中点， ， ， （SAS）， ， ， ， ， ； （4）解：是的直径， ， ，， ， 当点在上时，如图， ， ， 过点作交于点， ， ， ； 当点在上时，如图，， 过点作交于点， ， ， ； 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，理解阿基米德折弦定理是解题的关键． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆中的最值、翻折与新定义型问题 题型一：圆中的最值问题 题型二：圆的翻折问题 题型三：圆中的新定义型问题 题型一：圆中的最值问题 1．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，是的弦，，是上的一个动点，且．若点，分别是的中点，则的最大值是（    ） A．5 B．10 C． D．20 2．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，等边的边长为4，的半径为2，D是上的动点，与相切于E，的最小值是（　　） A．2 B． C． D．3 3．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA+PB的最小值是（　　）．    A．20 B． C．14 D． 6．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过，，的半径为2，（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D． 8．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的一个交点为，点C是抛物线的顶点，且与y轴相切，点P为上一动点．若点D为的中点，连接，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级下·广东广州·开学考试）如图，在菱形中，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠，点D落在点N处，当点N在四边形内部（含边界）时，的长度的最大值是（   ） A． B．        B．       D． 10．（22-23九年级上·江苏南京·期中）如图，是⊙O的弦，点C在⊙O内，，连接，若⊙O的半径是4，则长的最小值为 ． 11．（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为 ． 12．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为 ，最大值为 ． 13．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形，以为腰向正方形内部作等腰，且，过点E作于点F，点P是的内心，连接，，，若，则的最小值为 ． 14．（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值 ． 15．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为 ． 题型二：圆的翻折问题 16．如图，将半径为的⊙沿折叠，弧恰好经过与垂直的半径的中点，则折痕长为（ ） A． B． C． D． 17．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，已知⊙O的直径为10，将⊙O沿折叠，使弧与直径相切于点E，则折痕的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，将半径为的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25九年级上·重庆渝北·月考）如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心O．若，则的长是（　　） A． B． C． D． 20．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点D．若的半径为，，则的面积是（    ）    A．3 B．1.5 C． D． 21．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，将半径为4的折叠，弧恰好经过与垂直的半径的中点，则折痕的长 ．    22．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的三等分点D，，若的半径为，，则的长是 ． 23．（2023·重庆九龙坡·二模）如图，、是中关于直径对称的两条弦，以弦、为折线将弧，弧折叠后过圆心O，若的半径，则圆中阴影部分的面积为 ．    24．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，A，B，C为圆形纸片圆周上三点，其中为直径，以为折线将纸片向右折叠，弧与交于点D，若度数，则的度数为 °． 25．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图1，的半径为，是的弦，若将沿着弦翻折，翻折后的恰好经过圆心．    (1)求的长； (2)如图2，以为边在圆心的异侧作等边三角形，直线与相切于点，分别交、于点、． ①求的周长； ②如图3，当时，求的长． 题型三：圆中的新定义型问题 26．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图1，C，D是半圆上的两点，点P是直径上一点，且满足，则称是弧的“幸运角”． (1)如图2，若弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接．求证：是弧的“幸运角”； (2)如图3，若直径，弦，弧的“幸运角”为，求的长． 27．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解：（1）如图1，点A，B，C在上，的平分线交于点D，连接． 求证：四边形是等补四边形． 探究：（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 运用：（3）如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点E，，求的长． 28．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．    (1)如图1，，是⊙的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形； (2)如图2，弦与弦交于点，，． ①求证：，是⊙的等垂弦； ②连接，若，，求的长度． 29．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）定义：同一个圆中，互相垂直的两条弦叫做“垂弦”，“垂弦”的交点叫做“垂弦点”． (1)如图1，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，_____（填“是”或“不是”）直径； (2)如图2，、是的两条弦，为直径，，请判断与是否是一组“垂弦”，并说明理由； (3)如图3，点是上一个动点，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，若的度数为，的度数为，试探究是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (4)如图4，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，若，，求阴影部分的面积． 30．（24-25九年级上�湖南�期末）定义：对于凸四边形，对角线相等的四边形称为“等对”四边形，对角线垂直的四边形称为“垂对”四边形． (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“”，错误的打“”） ①平行四边形一定不是“等对”四边形； （    ） ②“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半；（   ） ③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是“垂对”四边形；（   ） (2)如图1，已知四边形既是“等对”四边形，又是“垂对”四边形，且四边形的四个顶点都在上，连接四边形的对角线，交于点P． ①记，，四边形的面积分别为，，求证： ； ②如图2，点为的中点，连接并延长交于点N，若 ，求的半径（用含，的式子表示）． 31．（25-26九年级上江苏南京月考）如图1，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“幸运角”． (1)如图2，是的直径，弦，是上一点，连结交于点，连结，是的“幸运角”吗？请说明理由； (2)在（1）的条件下，直径，，的“幸运角”为，求CP的长． 32．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“闪亮四边形”． (1)若是圆的“闪亮四边形”，则是 （填序号）； ①矩形；②菱形；③正方形 (2)如图1，已知的半径为于点E，四边形是的“闪亮四边形”． ①求证： ②求证： (3)如图2，四边形为的“闪亮四边形”，相交于点，，求的半径为R 33．（24-25九年级上广西南宁期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． (1)若平行四边形是“婆氏四边形”，则四边形是____________．（填序号） ①矩形；②菱形；③正方形 (2)如图1，中，，以为弦的交于，交于，连接、、．其中，交于，，，若四边形是“婆氏四边形”，求的长． (3)如图2，四边形为的内接四边形，连接，，，，，，已知． ①求证：四边形是“婆氏四边形”； ②当时，请直接写出半径的最小值． 34．（23-24九年级上江宁波期中）一个圆中，有公共端点的直径与弦构成的图形内，平行于这条弦的半径称为这条弦的“”形半径； (1)如图1，为直径，是弦的“”形半径，求证：； (2)如图2，中，，以为直径作交于C，交于，求证：是弦的“”形半径； (3)如图3，为直径，是弦的“”形半径，延长线上取点，使，交于点，若，，求． 35．（23-24九年级上江苏盐城期中）【了解概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． (1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则　　； (2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点； 【变式探究】 (3)如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【灵活应用】 (4)如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　 　． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $