专题02 与圆的基本性质有关的辅助线作法（高效培优专项训练）数学华东师大版九年级下册

专题02 与圆的基本性质有关的辅助线作法 题型一：构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角 题型二：利用直径构造直角三角形 题型三：构造圆内接四边形 题型四：与圆的性质有关的综合题 题型一：构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角 1．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，为的直径，点A为弧的中点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，根据圆周角定理作答即可． 连接，根据圆周角定理得出，确定所对的圆心角为，得出其所对的圆周角为，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意可知，所对的圆周角， ∴其所对的圆心角为， 所对的圆心角为， ∴其所对的圆周角为， 又∵点A是的中点， ∴． 故选：C． 2．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，是的直径，、是上的两点，连接，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直径定理，圆周角定理，解题的关键是掌握以上性质定理． 连接，根据直径得出直角，求出，然后根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，是的直径，C，D为圆上两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角及等腰三角形、三角形内角和的相关性质，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．根据同弧所对的圆周角相等即可求得的度数，再由等腰三角形的性质得出，最后由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵， ∴由圆周角定理推论得：， ∵， ∴， ∴， 故选B． 4．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是的直径，是的中点，连接AC，OD，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求得，再说明，从而可求得． 【详解】解：连接， ∵，是的直径， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 故选：C． 5．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，为的直径，为的中点，弦，与相交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，平行线的性质等．根据题意连接，利用圆周角定理可得，利用平行线性质可求出，再利用圆周角定理即可求出本题答案． 【详解】解：连接， ， ∵为的中点， ∴， ∵对的圆周角为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴所对的圆周角和所对的圆周角之和为， 即， ∴， 故选：B． 6．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图， 是的直径，C，D是上两点．若，则的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题主要考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，先根据同弧所对的圆周角相等得，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，是的直径，弦于点，点在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，等边三角形的判定和性质，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键： （1）由平行线的性质，得到，再根据同弧所对的圆周角相等得到，即可得证； （2）连接，证明为等边三角形， 得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵与都是所对的圆周角， ， ． （2）解：如图，连接， ， ． ， ． ， 为等边三角形， ， 8．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图，是的直径，弦交于点E，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据是的直径，得出，再根据圆周角定理得出，即可求解． （2）连接，根据垂径定理得出，根据圆周角定理得出，从而得出，等角对等边得出．设，则，．在中，根据勾股定理列方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴． ∵． ∴． （2）解：连接， ∵，是的直径， ∴． ∵． ∴． ∴． 设，则，． 在中，， ∴． 解得：（负值舍去）． ∴． 题型二：利用直径构造直角三角形 9．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，内接于，是的直径，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理的性质，直径所对的圆周角为，解决本题的关键是利用同弧所对的圆周角相等这一性质来求解． 构造辅助线，利用直径所对的圆周角为，可求解，再根据同弧所对的圆周角相等这一性质即可求解． 【详解】解：连接，如图， 因为是的直径， 所以． 在中，，， 所以． 因为和都是弧所对的圆周角， 所以． 故选：A． 10．（25-26九年级上·北京·期中）如图，是的直径，C，D是上的两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补， 半圆或直径所对的圆周角是直角，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，如图，利用圆周角定理得到，则，然后利用圆的内接四边形的性质求的度数． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ． 故选：B． 11．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知是的直径，点，是圆上两点，连接，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后利用直角三角形两锐角互余，即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 12．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，内接于，点B是的中点，是的直径．若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据弧中点的意义得出，再根据直径所对的圆周角是直角得出，从而可利用勾股定理得出，进而得到，再利用圆周角定理得出，从而可求得，于是有，从中可求得． 【详解】解：连接， ∵点B是的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， 故选：C． 【点睛】本题考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，圆周角定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 13．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，为⊙的直径，点，在⊙上，且，，，连接，则的长为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理，含度角的直角三角形的性质．连接，根据题意得出，根据勾股定理求出，再根据角的直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， 在中，，， ， ， ， 在中，， ． 故选：B． 14．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的直径，若为，为上一点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为，圆内接四边形对角互补，掌握相关知识是解决问题的关键．连结、，由题意，再利用圆周角定理得到，，接着利用互余计算出，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数． 【详解】解：连结、，如图， 为， ， ， 是的直径， ， ， ， ． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径．若，则 °． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质．连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∴， 又∵是的内接四边形， ∴， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，是的外接圆，直径，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆周角的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键；连接，由题意易得是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，是的直径， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； 故答案为． 17．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）如图，是的直径，、是上的两点，且，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，角平分线的性质等知识点， （1）根据圆周角定理证明，则，再由平行线的性质证明即可； （2）过点作，连接，先证明，然后角平分线性质定理得到，在中，，设的半径为，则，，在中运用定理建立方程求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 又∵ （2）解：如下图所示，过点作，连接， ， ，， ∵， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ， 解得：， ． 18．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）如图1，在中，，是的直径，交于点，连接交于点． (1)求的度数； (2)如图2，当点是的中点，的半径为2时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质； （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据等腰三角形的性质可得，根据圆周角定理可得，进而求得，再根据邻补角的定义，即可求解； （2）连接根据题意证明是等边三角形，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，则 ∵ ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分 ∴ 又∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴． 题型三：构造圆内接四边形 19．（2023陕西中考真题）如图，是的外接圆，．过点O作的垂线交于点D，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆的内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质． 连接，则是四边形的内接四边形，则与互补，从而求得，根据垂径定理得到垂直平分，从而，进而求得，即可解答． 【详解】    连接，则是四边形的内接四边形， ∴， ∵经过圆心O，且， ∴垂直平分， ∴， ∴． 故选：B． 20．（23-24九年级上河南开封期末）如图，点、、均在上，当时，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在优弧上取一点，连接，根据圆内接四边形对角互补，求得，进而根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，在优弧上取一点，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴ 故答案为：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 21．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知是的内接等边三角形，点是上一点，连结，，若，，则的周长为（   ） A． B． C．25 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，连接，根据等腰直角三角形的性质得到，证明，得到，根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，连接， ，， ． ． ． 为等边三角形， ． 由圆周角定理得：，， ． 四边形为的内接四边形，     ． ． 又，， ． ． ． 故选：A． 22．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，是的直径，C，D在上，若，则的度数为 ． 【答案】/111度 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质．连接，根据等腰三角形的性质得，再根据圆内接四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 23．（2025九年级上·北京·专题练习）如图，是的直径，点A是外一点，连接并延长交于点D，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质等知识点，掌握圆的内接四边形的对角互补是解答本题的关键．连接、，由圆周角定理可得，再结合可得，进而得到；再根据圆的内接四边形的性质可得，进而得到，最后根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：如图，连接，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴． 24．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是的外接圆，是的中点，是弦上一点，连接．若的半径为2，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质勾股定理等知识，证明是解答的关键． 连接、、、，根据弦、弧关系和等腰三角形的性质得到，结合圆内接四边形的性质推导出，证明得到，进而利用圆周角定理得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接、、、，如图， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴，又， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 故答案为：． 25．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，等腰内接于，，将劣弧沿翻折，与交于，连接. (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，若，求的半径. 【答案】(1) (2)的半径为2 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质、折叠的性质及圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质、折叠的性质及圆周角的定理是解题的关键； （1）在上取点D关于的对称点E，连接，由折叠的性质可知：，由题意易得，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和可进行求解； （2）连接，由（1）及折叠的性质可知：，，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在上取点D关于的对称点E，连接，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∵四边形内接于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图所示： 由（1）及折叠的性质可知：，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即的半径为2． 26．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，点A，B，C，D，E 在上顺次排列，已知 (1)求证： (2)求证：． (3)若直线过圆心O，的度数为，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆周角和圆心角之间的关系，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）根据弧与弦之间的关系可得，据此可证明结论； （2）根据弧与圆周角之间的关系可得，则可证明，再由（1）的结论即可证明结论； （3）根据圆心角与弧之间的关系可得；由（2）可知，则，据此根据对边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接， ∵的度数为， ∴， ∴； 由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆O的内接四边形， ∴． 27．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，是直径，弦，垂足为，点在上，且，连接，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的长为1 【分析】题目主要考查垂径定理，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，解一元二次方程，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据垂径定理得出，再由弧、弦之间的关系求解即可； （2）连接，根据圆周角定理，平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，再由其性质即可证明； （3）设，则，再由中位线的性质及平行四边形的性质，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：是的直径，， ． ， ， ， ． （2）证明：如图，连接． ． ， ∴． 是的直径， ． 是的直径，， ， ∴， 四边形为平行四边形， ， ． （3）解：设，则． ， 为的中位线， ． 四边形为平行四边形， ， ． ， ． 在Rt中，由勾股定理得， 即，整理得， 解得（不合题意，舍去）， 即的长为1． 题型四：与圆的性质有关的综合题 28．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，直径交于点，连接，弦过点且与相交于点G，点D平分． (1)求证：； (2)若的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理的应用； （1）根据垂径定理的推论可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据圆周角定理可得，进而即可得证； （2）根据直径所对的圆周角是直角，以及勾股定理求得的长，进而根据中位线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵弦过点 ∴是的直径， ∵点D平分 ∴， ∴，， ∴ 又∵ ∴ （2）解：连接， ∵ ∴ 又∵是的直径，则， ∴， ∴， 由（1）可得，是的直径， ∴， 又∵， ∴ 29．（25-26九年级上·江西·期中）如图，是的直径，弦，是延长线上的一点，连接交于点，连接． (1)试说明：； (2)求证：平分； (3)若，，且经过圆心，求的长． 【答案】(1)说明见详解 (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）先由垂径定理得到，再由同弧所对的圆周角相等即可说明； （2）由（1）中得到，从而由同弧所对的圆周角相等得到，再由圆内接四边形性质得到，等量代换有，即可得证； （3）先由垂径定理得到，在中，由勾股定理可得，从而得到，在中，由勾股定理可得，最后，在中，由勾股定理可得． 【详解】（1）解： 是的直径，弦， 由垂径定理可得， ； （2）证明： 是的直径，弦， 由垂径定理可得， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 即平分； （3）解：如图所示： 是的直径，弦， 由垂径定理可得， 经过圆心，即为的直径， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， 在中，由勾股定理可得， 是的直径， ， 在中，由勾股定理可得． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆的基本性质、垂径定理、圆周角定理及其推论、圆内接四边形性质、角平分线定义、勾股定理等知识，熟记圆的基本性质及相关几何性质是解决问题的关键． 30．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，是等腰直角三角形的外接圆，是直线下方的圆上一动点，的角平分线交于点，连接． (1)若，， ①求的长； ②求的长； (2)探究线段、、三者间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)①；② (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质定理，勾股定理，直径定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，圆周角定理等内容，解题的关键是掌握以上性质． （1）①根据直径定理得出直角，然后利用勾股定理求解即可； ②利用等腰直角三角形的性质得出相等边和角的度数，然后利用勾股定理求出，根据圆周角定理得出，根据等边对等角即可求解； （2）将绕点逆时针旋转得，得出相等边，根据圆内接四边形的性质得出点D、B、F三点共线，然后利用勾股定理得出结论即可． 【详解】（1）解：①等腰直角三角形内接， 为圆的直径， ， 由勾股定理得； ②在等腰直角三角形中， ，， 由勾股定理得，即， 解得，（负值已舍）， 在中，， 为的角平分线， . ， ， ； （2）解：，证明如下： ，， 如图，将绕点逆时针旋转得， 即， ∴，， 四边形为圆的内接四边形， ， ， 即点D、B、F三点共线． ∴， ， ， ． 31．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，是的直径，C是上的一点，且于点O，点D是的中点，连接交于M，连接． (1)的度数为 度． (2)求证：； (3)过点C作于点E，若，求的长． 【答案】(1)22.5 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了圆的相关概念性质的应用，等腰直角三角形的性质及勾股定理的计算是解题关键． （1）由圆周角定理及弧中点性质可得答案； （2）根据等腰三角形的判定，判断，即可证明； （3）利用（1）、（2）的结论，再证明出是等腰直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：22.5． （2）解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴． 32．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，已知是的直径，于点E，点P为劣弧上一个动点，且． (1)如图1，连接，则的度数为 ； (2)如图2，连接、、、．若平分交于点F，求的长； (3)如图3，连接、、，在点P的运动过程中（不与B、C两点重合），请问的值是否会发生变化，若发生变化，请说明理由，若不发生变化，请求出这个值． 【答案】(1) (2) (3)不变， 【分析】（1）连接，由线段垂直平分线的性质可得，再结合得出为等边三角形，即可得解； （2）由垂径定理可得，由圆周角定理可得，由角平分线的定义可得，证明，得出，即可得解； （3）由题意可得垂直平分，连接，，则，由（1）可知，，将绕A点顺时针旋转至，则，，，，证明、、三点共线，过A作于，则，设，则，证明出，即可得解． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵，， ， ， ， ∴为等边三角形， ∴； （2）解：直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ∵， ， ； （3）解：由题可得，直径，， ∴垂直平分， 如图，连接，，则， 由（1）可知，， 将绕A点顺时针旋转至， ，，，， 四边形为圆内接四边形， ， ， ∴、、三点共线， ， 过A作于，则， ∵， 在中，， 设，则， ， ， ， ， 为定值． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质、旋转的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 33．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，D、E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交于点F，连接、、． (1)证明：； (2)若，求的度数； (3)设E是半圆的中点，交于点G，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明是线段的垂直平分线，进而即可得出结论； （2）根据圆周角定理得，根据（1）的结论得，再根据四边形是的内接四边形得，然后根据三角形的外角性质可得出的度数； （3）过点作于，于，证明四边形是正方形，设，证明得，则，进而得，再根据三角形的面积求出，进而根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：是的直径， ， 即， ， 是线段的垂直平分线， ； （2）解：∵， ∴， ， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵ ， 是的一个外角， ； （3）解：过点作于，于，如图所示： 则， ， ∴四边形是矩形， ∵点是半圆的中点， ∴， ， 是的平分线， 又， ， ∴矩形是正方形， 设， ， ， ∵， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 解得：， ， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，理解圆周角定理，圆内接四边形的性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 34．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，是的直径，与边相交于点为的中点，连接，与相交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，求的半径长． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）连接，如图所示，由直径所对的圆周角是直角可得，由直角三角形两锐角互余求出，再根据为的中点，结合圆周角定理求解即可； （2）连接，如图所示，由直径所对的圆周角是直角可得，设，由直角三角形两锐角互余求出，再根据为的中点，结合圆周角定理求出，即可得证； （3）连接，如图所示，由相似三角形的判定与性质，结合中点定义可得，进而可得，再由含有角的直角三角形性质求解即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 为直径， ， ， ， 为的中点， ； （2）证明：连接，如图所示： 为直径， ， 设，则， 为的中点， ； ， ， ， ， ； （3）解：连接，如图所示： 为的中点， ， ， ， ， ，即， 是中点， ， ， 在中，， 在中，，，则， ， 的半径长为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、含有角的直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 35．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图1， AB是⊙O的直径， C在⊙O上， ∠BAC=45°， 弧CE=弧BD， 连接AD， CD． (1)求证∶ CD⊥AE； (2)若AB=4， ∠BAD=30°， 求AE的长； (3)若D在如图2所示位置时，连接BD，则 的值是否为常数？若是常数，请求此值：若不是常数，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）先证明和，然后推出即可证明结论．（2）根据圆周角定理推出，然后在中分别求出和的长度，再根据勾股定理在中求出的长度． （3）先根据圆周角定理证明四边形为平行四边形，然后得出为等腰直角三角形，再由得出为常数． 【详解】（1）证明：如图，交于点，连接． ∵为直径， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴． （2）解：如图，过点作的垂线，为垂足． ∵， ∴， 在中，． ∴， 在中，． （3）解：结论：． 如图，连接延长与的延长线交于点，连接，，． ∵， ∴，． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴． 【点睛】本题考查圆的性质（直径、弧与圆周角）、等腰直角三角形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理，解题中用到的思想是转化思想（将线段转化为全等三角形的对应边）、常数思想（通过几何关系推导固定比值）；方法技巧是利用弧相等转化圆周角与弦长，结合等腰直角三角形的边长比例简化计算．解题关键是熟练应用圆的基本性质和全等三角形判定，避免弧与角的对应关系混淆．易错点是忽略直径对应的直角，或在全等三角形证明中对应边 / 角匹配错误． 36．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E，满足，连接并延长交的延长线于点F，与交于点G． (1)若，请用含的代数式表示． (2)如图2，连接，若，求证：． (3)在（2）的条件下，若，，求的周长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆中有关性质以及添加常用的辅助线是解决此类问题的关键． （1）利用圆周角定理解答即可； （2）连接，利用圆周角定理和三角形的内角和定理得到，再利用全等三角形的判定； （3）连接，过点作于点，利用圆周角定理得到，利用直角三角形的边角关系定理求得，，利用圆周角定理和勾股定理求得，，，，利用（2）的结论和勾股定理求得，再利用△的周长解答即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， 为直径， ， ； （2）证明：连接，如图， 为直径， ， ， ， ． 由（1）知：， ， ． 在△和中， ， ． （3）解：连接，过点作于点，如图， ， ． ， ． 为直径， ， ， ，． ， ， 为直径， ， ，． 由（2）知：， ， ，， 的周长． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 与圆的基本性质有关的辅助线作法 题型一：构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角 题型二：利用直径构造直角三角形 题型三：构造圆内接四边形 题型四：与圆的性质有关的综合题 题型一：构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角 1．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，为的直径，点A为弧的中点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，是的直径，、是上的两点，连接，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，是的直径，C，D为圆上两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是的直径，是的中点，连接AC，OD，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，为的直径，为的中点，弦，与相交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图， 是的直径，C，D是上两点．若，则的度数为 ． 7．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，是的直径，弦于点，点在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 8．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图，是的直径，弦交于点E，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 题型二：利用直径构造直角三角形 9．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，内接于，是的直径，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·北京·期中）如图，是的直径，C，D是上的两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知是的直径，点，是圆上两点，连接，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，内接于，点B是的中点，是的直径．若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 13．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，为⊙的直径，点，在⊙上，且，，，连接，则的长为(   ) A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的直径，若为，为上一点，则的度数是 ． 15．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径．若，则 °． 16．（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，是的外接圆，直径，，则长为 ． 17．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）如图，是的直径，、是上的两点，且，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 18．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）如图1，在中，，是的直径，交于点，连接交于点． (1)求的度数； (2)如图2，当点是的中点，的半径为2时，求的长． 题型三：构造圆内接四边形 19．（2023陕西中考真题）如图，是的外接圆，．过点O作的垂线交于点D，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24九年级上河南开封期末）如图，点、、均在上，当时，则的度数是（    ） A． B． C． D． 21．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知是的内接等边三角形，点是上一点，连结，，若，，则的周长为（   ） A． B． C．25 D． 22．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，是的直径，C，D在上，若，则的度数为 ． 23．（2025九年级上·北京·专题练习）如图，是的直径，点A是外一点，连接并延长交于点D，若，则 ． 24．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是的外接圆，是的中点，是弦上一点，连接．若的半径为2，，，则的长为 ． 25．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，等腰内接于，，将劣弧沿翻折，与交于，连接. (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，若，求的半径. 26．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，点A，B，C，D，E 在上顺次排列，已知 (1)求证： (2)求证：． (3)若直线过圆心O，的度数为，求 的度数． 27．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，是直径，弦，垂足为，点在上，且，连接，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 题型四：与圆的性质有关的综合题 28．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，直径交于点，连接，弦过点且与相交于点G，点D平分． (1)求证：； (2)若的半径为3，求的长． 29．（25-26九年级上·江西·期中）如图，是的直径，弦，是延长线上的一点，连接交于点，连接． (1)试说明：； (2)求证：平分； (3)若，，且经过圆心，求的长． 30．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，是等腰直角三角形的外接圆，是直线下方的圆上一动点，的角平分线交于点，连接． (1)若，， ①求的长； ②求的长； (2)探究线段、、三者间的数量关系，并加以证明． 31．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，是的直径，C是上的一点，且于点O，点D是的中点，连接交于M，连接． (1)的度数为 度． (2)求证：； (3)过点C作于点E，若，求的长． 32．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，已知是的直径，于点E，点P为劣弧上一个动点，且． (1)如图1，连接，则的度数为 ； (2)如图2，连接、、、．若平分交于点F，求的长； (3)如图3，连接、、，在点P的运动过程中（不与B、C两点重合），请问的值是否会发生变化，若发生变化，请说明理由，若不发生变化，请求出这个值． 33．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，D、E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交于点F，连接、、． (1)证明：； (2)若，求的度数； (3)设E是半圆的中点，交于点G，若，，求的长． 34．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，是的直径，与边相交于点为的中点，连接，与相交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，求的半径长． 35．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图1， AB是⊙O的直径， C在⊙O上， ∠BAC=45°， 弧CE=弧BD， 连接AD， CD． (1)求证∶ CD⊥AE； (2)若AB=4， ∠BAD=30°， 求AE的长； (3)若D在如图2所示位置时，连接BD，则 的值是否为常数？若是常数，请求此值：若不是常数，请说明理由． 36．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E，满足，连接并延长交的延长线于点F，与交于点G． (1)若，请用含的代数式表示． (2)如图2，连接，若，求证：． (3)在（2）的条件下，若，，求的周长． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $