5.4用一次函数解决问题同步练习题2025-2026学年苏科版八年级数学上册

5.4 用一次函数解决问题 同步练习题 一、单选题 1．某商店销售齐齐哈尔特色农产品，销量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，下列说法正确的是（   ） A．售价每提高1元，销量增加2千克 B．售价每降低1元，销量增加2千克 C．当售价为40元时，销量为0 D．当售价为0元时，销量为80千克 2．为保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划购买A、B两种类型的羽毛球拍．已知A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍．那么最省钱的购买方案是（   ） A．买22副A种球拍和8副B种球拍 B．买21副A种球拍和9副B种球拍 C．买20副A种球拍和10副B种球拍 D．买19副A种球拍和11副B种球拍 3．“行走是吾乡”2025年河南省自行车公开赛进商圈系列赛走进新乡，将新乡的骑行氛围再度点燃．某品牌的自行车链条每节长为，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为，按照这种连接方式，x节链条总长度为，则y与x的关系式是（   ） A． B． C． D． 4．已知平面直角坐标系中有三点，，，若直线将分成面积之比为两部分，则的值是（   ） A．2 B．2或 C．2或 D．或 5．、两地相距千米，慢车从地到地，快车从地到地，慢车的速度为千米/小时，快车的速度为千米/小时，两车同时出发．设两车的行驶时间为（小时），两车之间的路程为（千米）．则能大致表示与之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 6．《庄子天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则（    ） A． B． C． D． 7．某共享单车公司推出一种新的计价方式：前15分钟收费1.8元，之后每超过1分钟收费1.5元（不足1分钟按1分钟计算）．小华骑行了t分钟（且为整数），需要支付的总费用y元，则y与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 8．“双十一”期间，某网店开展了促销活动，购买原价超过300元的商品，超过300元的部分可享受打折优惠．如果购买的商品实际付款（元）与原价（元）之间的函数关系如图所示，则超过300元的部分可享受的打折优惠是（   ） A．打八折 B．打七折 C．打六折 D．打五折 9．如图，点A、B、C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2，分别过这些点作x轴和y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（   ） A．3 B．1 C． D． 10．定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“励志点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“励志点”，点，也是“励志点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“励志点”，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 11．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系．若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为600元，试写出利润与销售单价（元）之间的方程： ． 12．如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 时间就追上甲． 13．某市为鼓励居民节约用电，计划采用分段计费的方法收取电费．月用电量不超过时，按元计费；月用电量超过时，其中的仍按元计费，超过的部分按元计费．若某户家庭月用电量为，则应交电费（单位：元）与月用电量之间的函数关系式为 ． 14．某水池有水，现打开进水管进水，进水速度为，经过这个水池内有水，可得到关系式，请说明关系式中，所表示的实际意义是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在一次函数的图象上运动，求的最大值 ． 三、解答题 16．“谷雨前后，种瓜种豆”是一句广泛流传的农谚，此时春耕春播进入了关键期．琪琪家计划在某一天（一天以24小时计）租用播种机播种花生．现有两家农机公司可提供播种机租赁，按播种机租赁时间计费，每小时的租赁费标价都是40元，他们的优惠方案如下： 甲公司：按标价的8折租赁； 乙公司：一次性租赁时间不超过4小时的，按标价租赁；若超过4小时，则超过4小时的部分按标价的七折租赁． 根据以上信息，解答下列问题： (1)设租赁时间为小时，租用甲公司的播种机每日所需费用为元，租用乙公司的播种机每日所需费用为元，分别求出，与x之间的关系式； (2)当播种机的租赁时间为多少小时时，这两家公司提供的优惠方案所需租赁费用相同？ (3)琪琪家一次性拿出480元用于租赁播种机，选择哪家公司，能使租赁的时间更长？ 17．为助力乡村振兴，某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.6万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量不超过25吨． (1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为253万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（注：用二元一次方程组解决问题） (2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 18．甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲前往B地，乙前往A地，途经休息区时甲休息1小时后加速行驶，而乙没有休息继续原速行驶，结果甲比乙早到达目的地0.5小时，甲、乙两人离各自出发地的路程y（千米）与乙出发的时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)求甲休息前的速度和乙的速度； (2)求加速后甲离出发地的路程y与乙出发的时间x之间的函数关系式； (3)请直接写出乙出发多少小时两人相距30千米． 19．2025年政府工作报告提出“人工智能＋”行动，明确要求推广智能分拣、无人配送等技术，并通过专项债支持智慧物流园区建设，加快建设统一开放的交通运输市场，实施降低全社会物流成本专项行动．某快递公司的汽车在城市道路上匀速行驶30km后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上匀速行驶30km到达目的地．已知汽车在城市道路的行驶速度是乡村道路行驶速度的2倍．汽车行驶的时间x（单位：）与行驶的路程y（单位：km）之间的关系如图所示． (1)填空； ； (2)求该汽车在高速路上行驶的路程y与行驶时间x之间的函数表达式； (3)求该汽车行驶2小时时距离目的地的路程 20．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点． (1)求M的坐标______，并求出直线的函数解析式； (2)若点C是直线上一点，，求点C的坐标； (3)点P为x轴上一点，当时，请求出满足条件的点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《5.4 用一次函数解决问题 同步练习题2025-2026学年苏科版八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D C B C A A A 1．B 【分析】本题考查了一次函数的实际应用．根据一次函数中，，可知售价与销量呈负相关：售价每降低1元，销量增加2千克；售价每提高1元，销量减少2千克． 【详解】解：∵， ∴， 当售价x降低1元时，销量y的变化量为千克，即销量增加2千克，∴选项B不符合题意； 当售价提高1元时，千克，即销量减少2千克，∴选项A符合题意； 当时，，∴选项C不符合题意； 当时，，∴选项D不符合题意， 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设购买A型球拍x副，则B型球拍为副，根据题意，A型数量不少于B型的2倍，即，解得，设总费用为，求出关于的函数解析式，再由一次函数的性质求解． 【详解】解：设购买A型球拍x副，B型球拍为副， 根据题意，， 解得， 设总费用为，则。 ∵，总费用随x增大而增加，因此当x取最小值20时费用最低， ∴当时，B型球拍为10副， 故选：C． 3．D 【分析】本题考查函数关系式，掌握题目中数量关系是正确解答的关键，根据链条的连接规律进行计算即可． 【详解】解：由题意得， ， 故选： 4．D 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，根据题意作出图形，利用数形结合的思想进行解答，由题意有两种情况，需要进行分类讨论求解． 【详解】解：根据题意作出如下图形： 直线经过点，且将的面积分成两部分， 由图可知有两种情况， 当直线经过时，则，解得：， 当直线经过时，，解得：， 的值为：或， 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意，确定分段函数的解析式，并根据函数解析式确定函数图象是解题关键．分别求出慢车到达地、快车到达地、两车相遇时间，然后分、、三段求出函数关系式，再结合函数图象即可求解． 【详解】解：根据题意得：慢车从地到地所用时间为（小时）， 快车从地到地所用时间为（小时）， 两车同时出发，相遇时慢车所用时间为（小时）． 当时，﹔ 当时，； 当时，快车已到地，； 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，观察分析所得数据并找出数据之间的规律是解题的关键． 根据题意求出点坐标，得长即值，求出点、坐标，得长即得出，进而得出，把代入求值即可判断． 【详解】解：把代入：得， ∴， ∴，即， ∵过点A作x轴的平行线交直线于点，把代入得， ∴， ∵过点作轴的平行线交直线于点，把代入得， ∴， ∴，即， 同理可得，， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时得到：， 故选：． 7．C 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据计价规则，总费用包括前15分钟的固定费用1.8元和超过15分钟部分按每分钟1.5元计算的费用． 【详解】解：前15分钟收费1.8元，超过部分分钟数为 ，收费为 元， 总费用 ， 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键． 设超过300元的部分可享受的打折优惠打折，那么，然后代入，即可得出答案． 【详解】解：设超过300元的部分可享受的打折优惠打折，那么 代入，得 解得，即打八折， 故选：A． 9．A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及函数图象，根据一次函数上点的坐标特征，得出三个三角形均是底为1，高为2的直角三角形是解题的关键． 设轴于点；轴于点；于点，然后求出、各点的坐标，计算出长度，利用三角形面积公式即可计算出答案． 【详解】解：如图，设轴于点；轴于点；于点，    由题意可得： 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， ∴， ， ∴图中阴影部分的面积和等于， 故选：A． 10．A 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据“励志点”的定义，点满足，构成一个正方形，一次函数经过点 ，且与正方形有交点，通过求直线经过正方形顶点时的k值，确定k的取值范围． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， 即． ∴直线方程为． 当直线经过点时， 代入得， 解得； 当直线经过点时， 代入得 ， 解得， ∴当时，直线与正方形有交点，即存在“励志点”． 故选：A． 11．或 【分析】设，根据题意，得，解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，利润问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：设， 根据题意，得 解得， 故解析式为， 故或， 故答案为：或． 12． 【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂函数图象，熟练掌握待定系数法是解题关键．先分别求出线段所在直线的函数解析式、线段所在直线的函数解析式，再联立，求出它们的交点，则可得乙追上甲的时间点，然后减去乙出发的时间即可得． 【详解】解：设线段所在直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 则线段所在直线的函数解析式为， 设线段所在直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 则线段所在直线的函数解析式为， 联立，解得， 即乙在2点半的时候追上甲， 由函数图象可知，乙是在2点出发， 则乙从出发到追上甲所用时间为， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意是解决本题的关键． 由于月用电量，电费计算分为两部分：前按元计费，超过部分按元计费即可． 【详解】解：根据题意可得，前的电费为元； 超过部分的电费为元， ∴总电费 ， 故答案为：． 14．进水速度 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，关系式为一次函数形式，其中为一次项系数，表示水量随时间的变化率，即进水速度． 【详解】解：在关系式中，将其与一次函数标准形式对比，可得，则表示每小时进水的体积，即进水速度． 故答案为：进水速度． 15．4 【分析】本题考查一次函数图象上的点的特征、轴对称等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题． 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接．首先确定点的坐标，当点在的延长线上时，的值最大． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接． ，， 直线的解析式为：． 联立解得 ． ， ． ． 当点在的延长线上时，的值最大，最大值为4． 故答案为：4． 16．(1)；当时，；当时， (2)12小时 (3)乙公司，能使租赁的时间更长 【分析】本题考查了一次函数的表达式，方程的应用及函数值的计算与比较． （1）根据题意分别列出与x的关系式和与x的关系式，需注意分情况讨论； （2）由于两家公司提供的方案所需租赁费用相同，列出方程，解得x的值即为播种机的租赁的时间； （3）一次性用480元租赁播种机时，租赁时间一定超过4小时，将代入到和中，通过比较选择出租赁时间更长的公司即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 当时，； 当时，． （2）解：∵两家公司提供的方案所需租赁费用相同， 根据题意，得，解得， ∴当播种机的租赁时间为12小时时，这两家公司提供的优惠方案所需租赁费用相同． （3）解：由题可得，一次性用480元租赁播种机时，租赁时间一定超过4小时， 在中，当时，， 在中，当时，， ∵， ∴选择乙公司，能使租赁的时间更长． 17．(1)这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为17吨，83吨 (2)该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是30万元 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答． （1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为多少吨； （2）根据题意，可以得到利润与甲种特产数量的函数关系式，再根据甲种特产的取值范围和一次函数的性质，可以得到利润的最大值． 【详解】（1）解：设销售甲种特产x吨，销售乙种特产y吨， 根据题意得，， 解得，， 答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为17吨，83吨； （2）解：设利润为w万元，销售甲种特产a吨， ， ∵， ∴当时，w取得最大值，此时， 答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是30万元． 18．(1)甲休息前的速度为75千米/时，乙的速度为60千米/时 (2) (3)乙车出发2小时或3小时，相距30千米 【分析】本题考查函数图象，一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，是解题的关键． （1）根据甲车出发2小时，甲车的路程为150千米，乙车出发2.5小时，乙车的路程为150千米，利用路程除以时间，即可得解； （2）先求出C、E的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （3）设乙车出发x小时后两车相距30千米，由两车相向而行，故分相遇之前和相遇之后，两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：根据题意，得：甲休息前的速度为千米/时；乙的速度为千米/时； （2）解：乙车从B地到A地所用的时间为小时， ∵甲比乙早到达目的地0.5小时， ∴， 又， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴； （3）解：两车相遇前， 根据题意，得， 解得； 两车相遇后， 根据题意，得， 解得， 答：乙车出发2小时或3小时，相距30千米 19．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，掌握待定系数法求表达式是解题的关键． （1）根据题意得到，汽车在城市道路匀速行驶的速度，进而得到在乡村道路上匀速行驶的速度和时间即可； （2）根据待定系数法求函数表达式即可； （3）把代入求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，第一段城市道路行驶了，其速度为， 则在乡村道路上匀速行驶的速度为，行驶的时间为， ； 故答案为：； （2）解：设函数表达式为，根据题意函数过点， ，解得， 所以函数表达式； （3）解：当时，， ， 答：该汽车行驶2小时时距离目的地的路程为． 20．(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）求出A、B的坐标，中点公式得到点M的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）过点C作轴于点N，交直线于点D，设，则，分割法得到，结合，进行求解即可； （3）分点P在点A左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，，当时，， ，， 点M为线段的中点， ， 设直线的函数解析式为， 将代入，得：， 解得， 直线的函数解析式为， 故答案为： （2）解：过点C作轴于点N，交直线于点D，设，则， ， ， ， ， 或， 点C的坐标或； （3）解：分两种情况： 当点P在点A右侧时：将直线沿着y轴向上平移6个单位，得到直线，如图： 此时， ， 当时，， ； 当点P在点A左侧时，作的中垂线，交于点E，连接交x轴于点P，则：， ， 设， 则， ， 解得， ， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ， 当时，， ， 综上，或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $