第26章 概率初步（复习讲义）数学沪科版九年级下册

该初中数学概率初步复习讲义通过结构化框架梳理知识体系，将事件分类、概率性质及求法（列表法、树状图法等）按逻辑关系呈现，用对比表格明确不同求法适用条件，突出确定性事件与随机事件的区分、频率与概率的关系等重难点。 讲义亮点在于14类分层题型设计，如用“守株待兔”判断随机事件培养抽象能力，结合调查数据估计概率渗透数据意识，跨学科综合题（物理电路、生物遗传）发展应用意识。例题配变式题满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

第26章 概率初步（复习讲义） 1. 理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，能区分三类事件. 2. 掌握概率的定义，会用列举法（直接列举、树状图、列表法）计算简单随机事件的概率. 3. 了解频率与概率的关系，知道大量重复试验时频率可估计概率. ●一、事件 1、必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件. 2、不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件. ◆必然事件和不可能事件统称确定性事件. 3、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件. ●二、概率 1、概率的性质：P(必然事件)=1；P(不可能事件)=0；0＜P(不确定事件)＜1. 2、概率公式：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包括其中的m种结果，那么事件A发生的概率. 3、概率的求法 （1）列表法：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法. ◆列表法的应用场合：当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. （2）树状图法求概率：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法. ◆运用树状图法求概率的条件：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率. 4、利用频率估计概率 ◆在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率. 5、几何概率：表示为两个线段的长度之比，或两个平面区域的面积之比，或两个空间区域的体积之比. ◆几何概率的概率公式：P(A)=构成事件A的区域长度（面积或体积）/试验的全部所构成的区域长度（面积或体积 题型一 事件类型的判断 【例1】（2024·福建南平·一模）下列事件是必然事件的是（   ） A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 B．打开电视频道，正在播放新闻 C．射击运动员射击一次，命中十环 D．明天太阳从东边升起 【变式1-1】（2023·山西阳泉·二模）从数学的观点看，对以下成语及诗句中的事件判断正确的是（    ） A．成语“守株待兔”是随机事件 B．成语“水中捞月”是随机事件 C．诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 D．诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件 【变式1-2】（2025·山东省·淄博市·月考）下列说法中，正确的是（ 　　） A.“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心A”是随机事件 B.“三角形两边之和大于第三边”是随机事件 C.“车辆到达路口，遇到红灯”是不可能事件 D.“任意画一个三角形，其内角和是360°”是必然事件 题型二 可能性的大小 【例2】（2024·安徽省·阜阳市·月考）下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（ ） A. B. C. D. 【变式2-1】（2025·江苏省·同步练习）如图，一粒杂质从粗细相同且水平放置的“田字型”水管的进水口流入，在A，B，C三处装有过滤网，该杂质经过 处过滤网的可能性最大． 【变式2-2】 （2025·上海市市辖区·期末）如果将“度数”的英文单词“degree”中的6个字母分别写在6张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上,任取一张卡片，选到字母          的可能性大. 题型三 概率的意义 【例3】（2025·江苏省·徐州市·月考）若天气预报显示“明天降水概率为80%”，则下列说法正确的是（    ） A.明天将有80%的时间下雨 B.明天将有80%的地区下雨 C.明天下雨的可能性较小                    D.明天下雨的可能性较大 【变式3-1】（2025·江苏省·连云港市·月考）2008﹣2009NBA整个常规赛季中，姚明罚球投篮的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是（  ） A.姚明罚球投篮2次，一定全部命中 B.姚明罚球投篮2次，不一定全部命中 C.姚明罚球投篮1次，命中的可能性较大 D.姚明罚球投篮1次，不命中的可能性较小 【变式3-2】（2024·浙江杭州·入学测试）某商店开展“有奖销售活动”：凡购物满100元，就可以获得一次抽奖机会，中奖的可能性是85%，也就是说抽奖（ ） A.100个人抽奖必有85个人中奖        B.抽100次必有85次中奖    C.一定中奖                                            D.有可能中奖 题型四 概率公式 【例4】（2025·广东省·佛山市·月考）九年一班有12名同学报名参加校园踢毽子比赛，其中8名男生，4名女生，体育委员随机抽出一名同学代表班级参加比赛，则抽出的同学是女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【变式4-1】（2025·江苏省·南京市·月考）在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的1个白球2个红球，随机摸出1个球，恰好是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【变式4-2】（2025·江苏省·无锡市·月考）在一个不透明的盒中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是_____． 题型五 列表法与树状图法（放回） 【例5】（2023·广东深圳·模拟预测）一个不透明的口袋中有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．两次取出的小球标号之和为偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）为感受华夏五千年的文明脉络，某校组织学生开展“璀璨历史，古都魅力”的研学之旅，策划了三条研学路线让学生选择：A．秦文化，走进秦始皇兵马俑；B．唐文化，走在丝路上的传奇；C．汉文化，走进汉长安城未央宫遗址．每人只能选择一条线路，小明和小红两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了三张不透明的卡片，正面分别写上字母，代表线路，卡片除了正面的字母以外其余完全相同，将三张卡片正面向下洗匀，小明先随机抽取一张卡片，记下字母后放回、洗匀，小红再随机抽取一张卡片．请用画树状图或者列表法，求两人抽到同一路线的概率． 【变式5-2】（2023·新疆和田·二模）经过十字路口的汽车，可能直行，也可能向左或向右转，如果三种可能性大小相同，两辆车经过这个路口全部右行的概率是（    ） A． B． C． D． 题型六 列表法与树状图法（不放回） 【例6】（2023·四川省·广安市·月考）将分别标有“停”“课”“不”“停”“学”汉字的五个小球装在一个不透明口袋中，这些球除汉字外无其他差别每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字是“不”和“停”的概率是(    ) A. B. C. D. 【变式6-1】（2024·陕西渭南·模拟预测）2024年春晚里，魔术师表演了一个和纸牌相关的魔术，可以说让人大开眼界，实际上隐含了一个数学问题一约瑟夫问题，不仅仅是一场视觉盛宴，更是一次数学知识的传播和实践．春晚结束后，龙龙和春春玩抽扑克牌游戏，如图，他们拿出四张大小、形状和背面完全相同的扑克牌（扑克牌A当作数字1）． (1)龙龙将这四张扑克牌背面朝上洗匀后放在桌面上，春春从中随机抽出一张牌，则抽到这张牌的花色是______的可能性最大； A．红心（）    B．梅花（）    C．方块（） (2)春春将这四张扑克牌背面朝上洗匀后放在桌面上，让龙龙随机抽取一张（不放回）记下牌面上的数字，接着春春再从剩下的扑克牌中随机抽取一张，记下牌面上的数字，请用画树状图或列表法求他们抽到的两张扑克牌正面上的数字之和恰好是偶数的概率． 【变式6-2】（2024·湖北武汉·一模）甲、乙、丙、丁四位同学去看电影，还剩下如图所示座位，乙正好坐在甲旁边的概率是（    ）    A． B． C． D． 题型七 几何概率 【例7】（2025年·四川省·成都市·月考）一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方块上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖（阴影部分）上的概率是（ ） A. B. C. D. 【变式7-1】（2025·江苏省·同步练习）如图是一个可以自由转动的圆形转盘，转盘按1∶2∶3∶4的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，指针的位置固定，任意转动转盘1次，则停止后指针恰好落在B区域的概率为 ． 【变式7-2】（2025年·江苏省·徐州市·月考）正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（　　） A. B. C. D. 题型八 游戏的公平性 【例8】（22-23·浙江省·杭州市·月考）如图，转盘被分成2个半圆．甲、乙2人玩转盘游戏，规则如下：转动转盘2次，当转盘停止转动时，如果指针所落半圆内的字母相同，那么甲得1分；如果指针所落半圆内的宇母不同，那么乙得1分；做10次这样的游戏，得分高的为赢家．你认为这个游戏规则对双方公平吗？为什么？ 【变式8-1】（2025·黑龙江省·大庆市·月考）小明和小凡一起做游戏.在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色外都相同）的盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小凡获胜.这个游戏对双方公平吗？ 【变式8-2】（2025·广西壮族自治区·钦州市·月考）小宏和小倩抛硬币游戏，规定：将一枚硬币连抛三次，若三次国徽都朝上则小宏胜，若三次中只有一次国徽朝上则小倩胜，你认为这种游戏公平吗（ ） A.公平    B.小倩胜的可能大    C.小宏胜的可能大    D.以上答案都错 题型九 利用频率估计概率 【例9】（2025·山西省·临汾市·周考）某班的一个数学兴趣小组为了考察本市某条斑马线上驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员能主动给行人让路的概率（    ） 抽查车辆数 100 500 1000 2000 3000 4000 能礼让的驾驶员人数 95 486 968 1940 2907 3880 能礼让的频率 0.95 0.972 0.968 0.97 0.969 0.97 A.0.95    B.0.96    C.0.97     D.0.98 【变式9-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）某玩具超市开展有奖购物活动，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 下列说法中，不正确的是（    ） A．当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率是0.70 B．假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70 C．如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次 D．转动转盘10次，一定有3次获得文具盒 【变式9-2】（2025·福建省·福州市·期中）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（　　） A.6m2 B.7m2 C.8m2 D.9m2 题型十 概率与代数的综合应用 【例10】（2024·上海市市辖区·月考）从－1，0，π ，3， 中随机任取一数，取到无理数的概率是________． 【变式10-1】（2025·安徽省·滁州市·模拟题）我们把十位上的数字比个位、百位上的数字都要大的三位数叫做“凸数”，如：571就是一个“凸数”．若十位上的数字为4，则从2，3，5，6 中任取两个不同的数，能与4组成“凸数”的概率为（ ） A.                   B.                         C.                         D. 【变式10-2】（2024九年级·全国·竞赛）有三张不透明的卡片，正面上各写有一个数字，分别为，都背面朝上放在桌面上，现在随意翻开其中两张，翻出的数字分别记作，则关于的方程有实数根的概率为（    ） A． B． C． D． 题型十一 概率与几何的综合应用 【例11】（2024·四川泸州·二模）有背面完全相同，正面分别有等边三角形、平行四边形、菱形、正五边形、圆的卡片5张，正面朝下将其混合后从中随机抽取一张，则抽中卡片上的图形是轴对称图形的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2023·上海市市辖区·月考）从线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形中任选一个图形，选出的图形恰好是中心对称图形的概率是_________． 【变式11-2】（2025·福建省·福州市·月考）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已知取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是______． 题型十二 概率与函数的综合应用 【例12】（2022·浙江省·金华市·月考）从-1，0.5，1.6，2四个数中任取一个，作为一次函数y=kx-3的k值，则所得一次函数中y随x的增大而增大的概率是______. 【变式12-1】（2022·四川省·成都市·期中）小明为研究反比例函数的图象，在-2、-1、1中任意取一个数为横坐标，在-2、-1、2中任意取一个数为纵坐标组成点P的坐标，点P在反比例函数的图象上的概率是 ______ ． 【变式12-2】（2025年·山东省·淄博市·月考）已知二次函数的解析式为y＝x2+bx+1，从数字0，1，2中随机选取一个数作为b的值，得到的二次函数图像的顶点在坐标轴上的概率是________． 题型十三 概率跨学科的综合应用 【例13】（2023·广东广州·一模）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关、、中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（2025·安徽合肥·月考）苯丙酮尿症是常染色体上隐性基因控制的遗传病，主要表现为智力发育落后，生长发育受限和精神异常等．苯丙酮尿症由一对基因（A，a） 控制，体内由成对基因AA 、Aa 控制的个体是正常的，而体内由成对基因aa控制的个体患病．设母亲和父亲的基因是Aa ，那么他们的孩子不患苯丙酮尿症的概率是（      ） A.                     B.                  C.                          D. 【变式13-2】（2024·江苏盐城·一模）化学实验课上，杨老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、Cu(铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气.（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） (1)小贾从四个容器中随机选一个，则选到的概率为 ； (2)若小贾随机选择一个容器后，小秦再从剩下的三个容器中随机选择一个容器，求二人所选容器中的金属均能置换出氢气的概率． 题型十四 概率与统计的综合应用 【例14】（2023·贵州铜仁·模拟预测）近日，教育部印发的《2023年全国综合防控儿童青少年近视重点工作计划》明确，要指导地方教育行政部门督促和确保落实学生健康体检制度和每学期视力监测制度，及时把视力监测结果记入儿童青少年视力健康电子档案，并按规定上报全国学生体质健康系统．按照国家视力健康标准，学生视力状况分为：视力正常、轻度视力不良、中度视力不良和重度视力不良四个类别，分别用A，B，C，D表示．某校为了解本校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力状况调查，根据调查结果，绘制了如下尚不完整的统计图． (1)此次调查的学生总人数为______；扇形统计图中，______； (2)补全条形统计图． (3)已知重度视力不良的四名学生中，甲、乙为九年级学生，丙、丁分别为七、八年级学生，现学校要从中随机抽取2名学生调查他们对护眼误区和保护视力习惯的了解程度，请用列表法或画树状图法求这2名学生恰好是同年级的概率． 【变式14-1】 （2023·辽宁葫芦岛·一模）劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容．某校为加强家政学习，倡议学生在家帮助父母做力所能及的家务，某调查小组随机抽取本校部分学生进行调查，调查问卷如下表所示，并绘制了下面两幅不完整的统计图． 平均每周做家务时间的调查表 设平均每周做家务的时间为x小时，则最符合你的选项是（    ）（单选） A．0≤x<1    B．1≤x<2    C．2≤x<3    D．x≥3 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)接受问卷调查的学生共有_________人； (2)补全条形统计图：并估计该校1600名学生中平均每周做家务时间不少于2小时的人数； (3)学校准备从做家务表现突出的4人中评选2名学生授予“家务能手”称号，这4人中有2名男生，2名女生，请用画树状图或列表法求出授予称号的2名学生恰好都是女生的概率． 【变式14-2】（2024·四川泸州·二模）为了落实国家教育数字化战略行动的有关要求，提升师生数字素养，我县决定组织开展年度学生信息素养提升实践活动．某校九年级名学生在“信息素养提升”培训后参加了一次水平测试．为了解培训效果，学校用抽样调查的方式从甲、乙两班各随机抽取名学生（共人）查看测试成绩，将测试成绩分为如下的5组：A组：组：组：组：组：，分别制成如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图． (1)根据图中数据，补全频数分布直方图； (2)若成绩不低于分是“优秀”，试估计本校九年级学生测试成绩为“优秀”的人数； (3)甲班参加测试的学生被随机安排到3个不同的考场，请用画树状图或列表法求甲班的小亮、小刚两名同学被分在同一考场的概率． 基础巩固通关测 1．（2025·四川内江·中考真题）下列事件是必然事件的是（ ） A.打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻 B.从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级 C.小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票 D.从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 2．（2025·江苏省·同步练习）不透明的袋中装有除颜色外没有其他区别的红球4个和白球若干个．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是（   ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3．（2025·上海市市辖区·月考）盲盒，顾名思义，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶等，之所以叫盲盒，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己抽到了什么，具有随机性.这种诞生于日本的潮玩，最初名字叫mini figures，流行欧美后也开始被称作blind box.现有某种盲盒，商家承诺该盲盒中可开出6种普通款玩偶中的一种，概率相同，还有百分之一的概率开出一种隐藏款玩偶，那么以下说法中正确的是（ ） A.若要集齐6种普通款玩偶，只需要购买6个盲盒即可 B.考虑到隐藏款的存在，若要集齐6种普通款玩偶，只需要购买7个盲盒即可 C.若购买100个盲盒，其中一定会有一个隐藏款玩偶 D.若购买8个盲盒，肯定会重复出现某款玩偶 4．（2025·四川省·达州市·月考）从单词“happy”中随机抽取一个字母，抽中p的概率为（　） A.                      B.                          C.                         D. 5．（2025·湖北省·同步练习）一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（    ）. A. B. C. D. 6．（2025·宁夏回族自治区·同步练习）从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下： 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 85 318 652 793 1 604 4005 发芽频率 0.850 0.795 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为 （精确到0.01）． 7．（24-25·浙江省·宁波市·期中测试）不透明袋子中有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是黄球的概率是 ． 8．（2023·广东省·佛山市·月考）小明、小强做游戏，掷两枚均匀的硬币，若出现朝上的两个面都是正面时，小明赢，否则小强赢，该游戏对______有利． 9．（2025·浙江省·杭州市·入学测试）桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片（不放回），其数字为p，随机摸出另一张卡片，其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是______． 10．（2025·陕西省·同步练习）在物理实验中，当电流在一定时间段内正常通过电子元件时，每个电子元件的状态有两种可能：通电或断开，并且这两种状态的可能性相等. 如图1，当只有一个电子元件时，A，B之间的电流通过的概率是 ； 如图2，当有三个电子元件串联时，猜想A，B之间电流通过的概率是 ．    能力提升进阶练 11．（2025·河南省·新乡市·月考）为弘扬中华传统文化，某校举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． （1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？ （2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 12.（2025·西藏自治区·月考）甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字． （1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果； （2）求出两个数字之和能被3整除的概率． 13．（2025·湖北省·襄阳市·月考）现有A、B两个不透明袋子，分别装有个除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个白球，1个红球；袋装有2个红球，1个白球． （1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白球的概率； （2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平． 14．（2024·河北保定·一模）先在纸上写第一组数据：，，．如图，现有四张规格、质地完全相同的卡片，正面分别写有数字，，，，背面相同，将这四张卡片背面朝上洗匀，随机抽取若干张，把抽到卡片上的数字与第一组数据合在一起，得到第二组数据．将第二组数据与第一组数据进行比较．    (1)若随机抽取一张，求中位数不变的概率； (2)若随机同时抽取两张，请用画树状图法或列表法，求众数不变的概率． 15.（2024·吉林长春·一模）如图，可以自由转动的圆形转盘被它的三条半径分成了三个相同的区域，每个区域分别标有数字、、，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向的扇形内的数字即为转出的数字．此时称为转动转盘一次（当指针指向两个扇形的交界处的半径时，不计转动次数重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止） (1)转动转盘一次，则转出的数字为的概率为______； (2)转动转盘两次，用画树状图法或列表法求两次转出的数字之和为正数的概率． 16．（2024·湖南永州·三模）某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的初中学生人数为___________，图（1）中m的值为___________； (2)求接受调查的学生每天在校体育活动时间的平均数、众数和中位数； (3)若接受调查的学生中，每天在校体育活动时间小于的4人中，有男、女学生各2人现从这4人中随机选取2人，求选取的2人中，恰好是一男一女的概率． 17.（2023·江苏常州·单元测试）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字-2，-1，1，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小华先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为a；放回盒子摇匀后，再由小夏随机取出一个小球，记下数字为b． （1）用列表法或画树状图表示出（a，b）的所有可能出现的结果； （2）求小华、小夏各取一次小球所确定的点（a，b）落在二次函数y＝x2的图象上的概率； （3）求小华、小夏各取一次小球所确定的数a，b满足直线y＝ax+b经过一、二、三象限的概率． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 概率初步（复习讲义） 1. 理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，能区分三类事件. 2. 掌握概率的定义，会用列举法（直接列举、树状图、列表法）计算简单随机事件的概率. 3. 了解频率与概率的关系，知道大量重复试验时频率可估计概率. ●一、事件 1、必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件. 2、不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件. ◆必然事件和不可能事件统称确定性事件. 3、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件. ●二、概率 1、概率的性质：P(必然事件)=1；P(不可能事件)=0；0＜P(不确定事件)＜1. 2、概率公式：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包括其中的m种结果，那么事件A发生的概率. 3、概率的求法 （1）列表法：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法. ◆列表法的应用场合：当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. （2）树状图法求概率：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法. ◆运用树状图法求概率的条件：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率. 4、利用频率估计概率 ◆在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率. 5、几何概率：表示为两个线段的长度之比，或两个平面区域的面积之比，或两个空间区域的体积之比. ◆几何概率的概率公式：P(A)=构成事件A的区域长度（面积或体积）/试验的全部所构成的区域长度（面积或体积 题型一 事件类型的判断 【例1】（2024·福建南平·一模）下列事件是必然事件的是（   ） A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 B．打开电视频道，正在播放新闻 C．射击运动员射击一次，命中十环 D．明天太阳从东边升起 【答案】D 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，准确判断是什么事件是解题的关键． 根据事件发生的可能性大小判断即可. 【详解】解：A、抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上，是随机事件； B、打开电视频道，正在播放新闻，是随机事件； C、射击运动员射击一次，命中十环，是随机事件； D、明天太阳从东边升起，是必然事件， 故选：D． 【变式1-1】（2023·山西阳泉·二模）从数学的观点看，对以下成语及诗句中的事件判断正确的是（    ） A．成语“守株待兔”是随机事件 B．成语“水中捞月”是随机事件 C．诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 D．诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件 【答案】A 【分析】本题考查事件类型的判断，解题的关键是掌握事件的分类知识． 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；在一定条件下，肯定它一定不会发生的事件，称为不可能事件；在一定条件下，肯定它一定会发生的事件，称为必然事件；根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义进行分析即可． 【详解】解：A：“守株待兔”可能发生也可能不发生，故是随机时间，符合题意； B：“水中捞月”是肯定会失败的，是不可能事件，故不符合题意； C：“清明时节雨纷纷”可能发生也可能不发生，是随机时间，故不符合题意； D：“离离原上草，一岁一枯荣”是肯定会发生的事件，是必然事件，故不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】（2025·山东省·淄博市·月考）下列说法中，正确的是（ 　　） A.“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心A”是随机事件 B.“三角形两边之和大于第三边”是随机事件 C.“车辆到达路口，遇到红灯”是不可能事件 D.“任意画一个三角形，其内角和是360°”是必然事件 【答案】A 【分析】本题考查的是随机事件、必然事件、不可能事件的概念．确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心A”是随机事件，本选项说法正确，符合题意； B、“三角形两边之和大于第三边”是必然事件，本选项说法错误，不符合题意； C、“车辆到达路口，遇到红灯”是随机事件，本选项说法错误，不符合题意； D、“任意画一个三角形，其内角和是360°”是不可能事件，本选项说法错误，不符合题意； 故选A． 题型二 可能性的大小 【例2】（2024·安徽省·阜阳市·月考）下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查可能性的大小．各选项袋子中分别共有10个小球，若要使摸到红球可能性最大，只需找到红球的个数最多的袋子即可得出答案． 【详解】解：在四个选项中，D选项袋子中红球的个数最多， 所以从D选项袋子中任意摸出一个球，摸到红球可能性最大， 故选：D． 【变式2-1】（2025·江苏省·同步练习）如图，一粒杂质从粗细相同且水平放置的“田字型”水管的进水口流入，在A，B，C三处装有过滤网，该杂质经过 处过滤网的可能性最大． 【答案】B 【分析】本题主要考查可能性的大小．根据经过B处的可能性最多，即可得出答案． 【详解】解：由题图可知，其中经过A处的可能性有1种，经过B处的可能性有2种，经过C处的可能性有1种，  所以该杂质经过B处过滤网的可能性最大． 故选:B. 【变式2-2】 （2025·上海市市辖区·期末）如果将“度数”的英文单词“degree”中的6个字母分别写在6张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上,任取一张卡片，选到字母          的可能性大. 【答案】C 【分析】本题主要考查可能性的大小．根据哪个字母的卡片最多，选到的可能性就最大，即可得出答案． 【详解】解：因为英文单词“degree”中有3个字母e，是个数最多的， 所以把英文单词“degree”中的6个字母分别写在6张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，任取一张卡片，选到字母e的可能性大. 故选C. 题型三 概率的意义 【例3】（2025·江苏省·徐州市·月考）若天气预报显示“明天降水概率为80%”，则下列说法正确的是（    ） A.明天将有80%的时间下雨 B.明天将有80%的地区下雨 C.明天下雨的可能性较小                    D.明天下雨的可能性较大 【答案】D 【分析】本题考查了概率的意义及应用，熟练掌握概率的意义是解题的关键. 根据概率反映随机事件出现的可能性大小，即可进行解答. 【详解】解：若天气预报显示“明天降水概率为80%”表示明天下雨的可能性较大． 故选：D． 【变式3-1】（2025·江苏省·连云港市·月考）2008﹣2009NBA整个常规赛季中，姚明罚球投篮的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是（  ） A.姚明罚球投篮2次，一定全部命中 B.姚明罚球投篮2次，不一定全部命中 C.姚明罚球投篮1次，命中的可能性较大 D.姚明罚球投篮1次，不命中的可能性较小 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A、姚明罚球投篮2次，不一定全部命中，故本选项说法错误； B、姚明罚球投篮2次，不一定全部命中，故本选项说法正确； C、∵姚明罚球投篮的命中率大约是83.3%， ∴姚明罚球投篮1次，命中的可能性较大，故本选项说法正确； D、姚明罚球投篮1次，不命中的可能性较小，故本选项说法正确． 故选：A． 【变式3-2】（2024·浙江杭州·入学测试）某商店开展“有奖销售活动”：凡购物满100元，就可以获得一次抽奖机会，中奖的可能性是85%，也就是说抽奖（ ） A.100个人抽奖必有85个人中奖        B.抽100次必有85次中奖    C.一定中奖                                            D.有可能中奖 【答案】D 【分析】本题主要考查的是概率的意义的有关知识，根据概率的意义，即可解答． 【详解】解：某商店开展“有奖销售活动”：凡购物满100元，就可以获得一次抽奖机会，中奖的可能性是85%，也就是说抽奖有可能中奖. 故选D. 题型四 概率公式 【例4】（2025·广东省·佛山市·月考）九年一班有12名同学报名参加校园踢毽子比赛，其中8名男生，4名女生，体育委员随机抽出一名同学代表班级参加比赛，则抽出的同学是女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题主要考査了概率的求法:如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率. 用女生的人数除以总人数即可求得答案. 【详解】解：∵共有12名同学，其中女生有4名， ∴随机抽出一名同学代表班级参加比赛，则抽出的同学是女生的概率是， 故选B. 【变式4-1】（2025·江苏省·南京市·月考）在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的1个白球2个红球，随机摸出1个球，恰好是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查概率公式，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率． 根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：随机的从这个装有1个白球，2个红球的袋子中摸出一个球，共有3种等可能结果， 其中摸到红球的有2种可能结果， 所以摸到红球的概率为， 故选：D． 【变式4-2】（2025·江苏省·无锡市·月考）在一个不透明的盒中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是_____． 【答案】6 【分析】此题主要考查了概率公式，正确利用摸到黄色乒乓球的概率求出黄球个数是解题关键．直接利用摸到黄色乒乓球的概率为，利用总数乘以概率即可得出该盒子中装有黄色乒乓球的个数 【详解】解：∵ 装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，摸到黄色乒乓球的概率为， ∴该盒子中装有黄色乒乓球的个数是16× = 6. 故答案为6. 题型五 列表法与树状图法（放回） 【例5】（2023·广东深圳·模拟预测）一个不透明的口袋中有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．两次取出的小球标号之和为偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 先画树状图展示所有25种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号之和为偶数的占13种，然后根据概率的概念计算即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有25种等可能的情况数，其中两次取出的小球标号之和为偶数的有13种， 则两次取出的小球标号之和为偶数的概率是． 故选：B． 【变式5-1】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）为感受华夏五千年的文明脉络，某校组织学生开展“璀璨历史，古都魅力”的研学之旅，策划了三条研学路线让学生选择：A．秦文化，走进秦始皇兵马俑；B．唐文化，走在丝路上的传奇；C．汉文化，走进汉长安城未央宫遗址．每人只能选择一条线路，小明和小红两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了三张不透明的卡片，正面分别写上字母，代表线路，卡片除了正面的字母以外其余完全相同，将三张卡片正面向下洗匀，小明先随机抽取一张卡片，记下字母后放回、洗匀，小红再随机抽取一张卡片．请用画树状图或者列表法，求两人抽到同一路线的概率． 【答案】 【分析】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有9种等可能的结果，其中两人抽到同一路线的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：依题意，画树状图如下：    共有9种等可能的结果，其中小明和小红两人都抽到相同字母的结果有3种，即两人抽到同一路线的结果有3种， ∴两人抽到同一路线的结果的概率是． 【变式5-2】（2023·新疆和田·二模）经过十字路口的汽车，可能直行，也可能向左或向右转，如果三种可能性大小相同，两辆车经过这个路口全部右行的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了树状图法求概率，解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解． 可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有9种情况，恰好全部右行的有1种结果，根据概率公式计算可得． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知，共有9种等可能结果，其中两辆汽车经过这个十字路口时，恰好全部右行的有1种结果 有两辆汽车经过十字路口全部直行的概率是， 故选：A． 题型六 列表法与树状图法（不放回） 【例6】（2023·四川省·广安市·月考）将分别标有“停”“课”“不”“停”“学”汉字的五个小球装在一个不透明口袋中，这些球除汉字外无其他差别每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字是“不”和“停”的概率是(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】此题考查的是列举法求概率，包括列表法和树状图法.树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 根据题意画出树状图得出所有等情况数和两次摸出的球上的汉字是“不”、“停”的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有20种等情况数，其中两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的有4种， 则随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的概率是， 故选：D． 【变式6-1】（2024·陕西渭南·模拟预测）2024年春晚里，魔术师表演了一个和纸牌相关的魔术，可以说让人大开眼界，实际上隐含了一个数学问题一约瑟夫问题，不仅仅是一场视觉盛宴，更是一次数学知识的传播和实践．春晚结束后，龙龙和春春玩抽扑克牌游戏，如图，他们拿出四张大小、形状和背面完全相同的扑克牌（扑克牌A当作数字1）． (1)龙龙将这四张扑克牌背面朝上洗匀后放在桌面上，春春从中随机抽出一张牌，则抽到这张牌的花色是______的可能性最大； A．红心（）    B．梅花（）    C．方块（） (2)春春将这四张扑克牌背面朝上洗匀后放在桌面上，让龙龙随机抽取一张（不放回）记下牌面上的数字，接着春春再从剩下的扑克牌中随机抽取一张，记下牌面上的数字，请用画树状图或列表法求他们抽到的两张扑克牌正面上的数字之和恰好是偶数的概率． 【答案】（1）A；（2） 【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是掌握概率的知识，用树状图或者列表法求出所有的结果，进行解答，即可． （1）根据概率的知识，即可； （2）用树状图或者列表法求出所有的结果，进行解答，即可． 【详解】解：（1）∵张扑克牌中有张红心，一张梅花，一张方块 ∴抽到红心为：，抽到梅花为：，抽到方块为： ∴抽到红心的概率最大， 故选：A． （2）树状图如下： ∴共种结果，其中两张扑克牌正面上的数字之和恰好是偶数的结果为：，，，共种； ∴两张扑克牌正面上的数字之和恰好是偶数的概率为：． 【变式6-2】（2024·湖北武汉·一模）甲、乙、丙、丁四位同学去看电影，还剩下如图所示座位，乙正好坐在甲旁边的概率是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了画树状图求概率．根据题意画出树状图，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：将座位分别标为1，2，3，4，5，画树状图，如图，    共的20种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中甲、乙相邻的组合有8种， ∴乙正好坐在甲旁边的概率是， 故选：A． 题型七 几何概率 【例7】（2025年·四川省·成都市·月考）一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方块上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖（阴影部分）上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据题意知小狗随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有15块，花形方砖占4块，然后用概率公式即可求解． 【详解】解：∵图中共有15块方砖，花形方砖有4块， ∴它最终停留在花形方砖上的概率是， 故选：A． 【变式7-1】（2025·江苏省·同步练习）如图是一个可以自由转动的圆形转盘，转盘按1∶2∶3∶4的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，指针的位置固定，任意转动转盘1次，则停止后指针恰好落在B区域的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考査几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)，然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率. 首先确定在图中B区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向B区域的概率． 【详解】解：因为一个圆形转盘按1∶2∶3∶4的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，所以若圆被等分成10份，则B区域占2份， 所以落在B区域的概率=， 故答案为． 【变式7-2】（2025年·江苏省·徐州市·月考）正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大． 求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率． 【详解】解：如图，连接PA、PB、OP； 则，S△ABP = × 2 × 1 = 1， 由题意得：图中阴影部分的面积=4（） =4×（ -1） =2π-4， ∴米粒落在阴影部分的概率为， 故选：A． 题型八 游戏的公平性 【例8】（22-23·浙江省·杭州市·月考）如图，转盘被分成2个半圆．甲、乙2人玩转盘游戏，规则如下：转动转盘2次，当转盘停止转动时，如果指针所落半圆内的字母相同，那么甲得1分；如果指针所落半圆内的宇母不同，那么乙得1分；做10次这样的游戏，得分高的为赢家．你认为这个游戏规则对双方公平吗？为什么？ 【答案】游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件． 用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“两次指针字母相同”，“两次指针字母不同”的结果数，进而求出概率，比较得出答案． 【详解】解：转动两次所有出现的结果情况如下： 共有4种可能出现的结果数，其中两次指针指向字母相同的有2种， ∴，， 所以这个游戏公平． 【变式8-1】（2025·黑龙江省·大庆市·月考）小明和小凡一起做游戏.在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色外都相同）的盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小凡获胜.这个游戏对双方公平吗？ 【答案】不公平 【分析】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． 根据概率公式分别计算出摸到红球和白球的概率，比较大小即可得出答案． 【详解】解：这个游戏不公平， 理由如下：摸到红球的可能性：， 摸到白球的可能性：， 因为， 所以小凡获胜的可能性大， 因此这个游戏对双方不公平． 【变式8-2】（2025·广西壮族自治区·钦州市·月考）小宏和小倩抛硬币游戏，规定：将一枚硬币连抛三次，若三次国徽都朝上则小宏胜，若三次中只有一次国徽朝上则小倩胜，你认为这种游戏公平吗（ ） A.公平    B.小倩胜的可能大    C.小宏胜的可能大    D.以上答案都错 【答案】B 【分析】本题考查了游戏的公平性问题，利用树状图来计算相应情况的概率，进而判断某个游戏的公平性，只有概率相等，游戏规则才是公平的. 画树状图，列出所有等可能情况总数，分别求出小宏和小倩获胜的概率并进行对比即可. 【详解】解：记“国徽朝上为正”，“国徽朝下为反”，根据题意，画出树状图： 由图可知，所有等可能情况总数为8，三次国徽都朝上的情况数为1，只有一次国徽朝上的情况数为3，则： P小宏=，P小倩=， 故该游戏不公平，小倩获胜的概率更大， 故选B. 题型九 利用频率估计概率 【例9】（2025·山西省·临汾市·周考）某班的一个数学兴趣小组为了考察本市某条斑马线上驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员能主动给行人让路的概率（    ） 抽查车辆数 100 500 1000 2000 3000 4000 能礼让的驾驶员人数 95 486 968 1940 2907 3880 能礼让的频率 0.95 0.972 0.968 0.97 0.969 0.97 A.0.95    B.0.96    C.0.97     D.0.98 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率. 根据6次调查从100辆增加到4000辆时，能礼让车辆的频率趋近于0.97，从而求得答案. 【详解】解：∵从100辆增加到4000辆时，能礼让车辆的频率趋近于0.97， ∴可估计驾驶员能主动给行人让路的概率为0.97， 故选：C. 【变式9-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）某玩具超市开展有奖购物活动，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 下列说法中，不正确的是（    ） A．当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率是0.70 B．假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70 C．如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次 D．转动转盘10次，一定有3次获得文具盒 【答案】D 【分析】本题主要考查用频率估计概率，根据图表可求得指针落在铅笔区域的概率即可解答问题． 【详解】解：A、大量重复试验中频率稳定在0.7左右，故用频率估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，故A选项正确； B、由A可知转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，故B选项正确； C、指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有次，故C选项正确； D、随机事件，结果不确定，故D选项不正确． 故选：D． 【变式9-2】（2025·福建省·福州市·期中）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（　　） A.6m2 B.7m2 C.8m2 D.9m2 【答案】B 【分析】本题考查概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高，本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为x， 由已知得：长方形面积为20， 根据概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35， 综上有：，解得x=7． 故选B． 题型十 概率与代数的综合应用 【例10】（2024·上海市市辖区·月考）从－1，0，π ，3， 中随机任取一数，取到无理数的概率是________． 【答案】 【分析】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 由从-1，0，π，3，中随机任取一数，无理数是π，，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵从-1，0，π，3，中随机任取一数，无理数是π，， ∴从-1，0，π，3，中随机任取一数，取到无理数的概率是． 故答案为：． 【变式10-1】（2025·安徽省·滁州市·模拟题）我们把十位上的数字比个位、百位上的数字都要大的三位数叫做“凸数”，如：571就是一个“凸数”．若十位上的数字为4，则从2，3，5，6 中任取两个不同的数，能与4组成“凸数”的概率为（ ） A.                   B.                         C.                         D. 【答案】A 【分析】本题考查了用列举法求概率(列表法与树状图法)，列表展示所有等可能的结果数，找出满足能与4组成“凸数”的结果数，然后根据概率公式计算. 【详解】解：列表： 2 3 5 6 2 243 245 246 3 342 345 346 5 542 543 546 6 642 643 645 共有12种等可能的结果数，其中能与4组成“凸数”的结果数为2， 所以能与4组成“凸数”的概率=， 故选A. 【变式10-2】（2024九年级·全国·竞赛）有三张不透明的卡片，正面上各写有一个数字，分别为，都背面朝上放在桌面上，现在随意翻开其中两张，翻出的数字分别记作，则关于的方程有实数根的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图，利用满足题意的结果数除以总的结果数即可得到答案． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的结果数，其中关于的方程有实数根即的情况数共有4种， ∴关于的方程有实数根的概率为， 故选：D 题型十一 概率与几何的综合应用 【例11】（2024·四川泸州·二模）有背面完全相同，正面分别有等边三角形、平行四边形、菱形、正五边形、圆的卡片5张，正面朝下将其混合后从中随机抽取一张，则抽中卡片上的图形是轴对称图形的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别以及概率公式．卡片中，找出轴对称图形，再根据概率公式P=满足条件的样本个数÷总体的样本个数，可求出最终结果． 【详解】解：卡片中，轴对称图形有等边三角形、菱形、正五边形、圆共4张， 根据概率公式，P（轴对称图形）= ． 故选：D． 【变式11-1】（2023·上海市市辖区·月考）从线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形中任选一个图形，选出的图形恰好是中心对称图形的概率是_________． 【答案】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的定义以及概率公式的应用，正确把握中心对称图形的定义是解题关键． 根据中心对称图形的定义得出所有的中心对称图形，进而利用概率公式求出即可． 【解答】 解：∵线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形共6个图形中， 中心对称图形有：线段、平行四边形、矩形、菱形共4个， ∴4个图形中任选一个图形，选出的图形恰好是中心对称图形的概率为：． 故答案为：． 【变式11-2】（2025·福建省·福州市·月考）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已知取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况， ∴使△ABC为直角三角形的概率是：． 故答案为：． 题型十二 概率与函数的综合应用 【例12】（2022·浙江省·金华市·月考）从-1，0.5，1.6，2四个数中任取一个，作为一次函数y=kx-3的k值，则所得一次函数中y随x的增大而增大的概率是______. 【答案】 【分析】本题考查一元函数的性质和等可能事件概率的计算．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．当一次函数y随x的增大而增大时，k＞0． 根据一次函数的性质以及概率公式解答即可. 【详解】解：∵y=kx-3，当y随x的增大而增大时，k＞0， 其中4个数中大于0的数为3个，因此概率为， 故答案为． 【变式12-1】（2022·四川省·成都市·期中）小明为研究反比例函数的图象，在-2、-1、1中任意取一个数为横坐标，在-2、-1、2中任意取一个数为纵坐标组成点P的坐标，点P在反比例函数的图象上的概率是 ______ ． 【答案】 【分析】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点P在反比例函数的图象上的情况数，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，点P在反比例函数的图象上的有3种情况， ∴点P在反比例函数的图象上的概率是：． 故答案为：． 【变式12-2】（2025年·山东省·淄博市·月考）已知二次函数的解析式为y＝x2+bx+1，从数字0，1，2中随机选取一个数作为b的值，得到的二次函数图像的顶点在坐标轴上的概率是________． 【答案】 【分析】本题考查概率公式、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握概率公式、二次函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键. 二次函数y=x2+bx+1的顶点坐标为(，)，则能使二次函数图象的顶点在坐标轴上的b的值为0和2，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：二次函数y=x2+bx+1的顶点坐标为(，)， 从数字0，1，2中随机选取一个数作为b的值，能使二次函数图象的顶点在坐标轴上的有：0，2， ∴从数字0，1，2中随机选取一个数作为b的值，得到的二次函数图象的顶点在坐标轴上的概率是， 故答案为. 题型十三 概率跨学科的综合应用 【例13】（2023·广东广州·一模）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关、、中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两个小灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的有2种情况， ∴能让两个小灯泡同时发光的概率为， 故选：C． 【变式13-1】（2025·安徽合肥·月考）苯丙酮尿症是常染色体上隐性基因控制的遗传病，主要表现为智力发育落后，生长发育受限和精神异常等．苯丙酮尿症由一对基因（A，a） 控制，体内由成对基因AA 、Aa 控制的个体是正常的，而体内由成对基因aa控制的个体患病．设母亲和父亲的基因是Aa ，那么他们的孩子不患苯丙酮尿症的概率是（      ） A.                    B.                         C.                         D. 【答案】D 【分析】此题考查了树状图法或列表法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： A a A AA Aa a Aa aa 共有4种等可能的情况数，其中孩子不患苯丙酮尿症的情况数是3， 则他们有正常孩子的概率是  ， 故选：D． 【变式13-2】（2024·江苏盐城·一模）化学实验课上，杨老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、Cu(铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气.（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） (1)小贾从四个容器中随机选一个，则选到的概率为 ； (2)若小贾随机选择一个容器后，小秦再从剩下的三个容器中随机选择一个容器，求二人所选容器中的金属均能置换出氢气的概率． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了列树状图求概率以及概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，（镁）、（铝）、（锌）、Cu(铜）四种金属，选到的概率为，即可作答． （2）先运用列树状图，得出共有种等可能结果，满足二人所选容器中的金属均能置换出氢气的结果有种，即可作答． 【详解】解：（1）∵（镁）、（铝）、（锌）、Cu(铜）四种金属 ∴小贾从四个容器中随机选一个，则选到的概率为； （2）画树状图如下： 共有种等可能结果，满足二人所选容器中的金属均能置换出氢气的结果有种， ∴二人所选容器中的金属均能置换出氢气的概率为． 题型十四 概率与统计的综合应用 【例14】（2023·贵州铜仁·模拟预测）近日，教育部印发的《2023年全国综合防控儿童青少年近视重点工作计划》明确，要指导地方教育行政部门督促和确保落实学生健康体检制度和每学期视力监测制度，及时把视力监测结果记入儿童青少年视力健康电子档案，并按规定上报全国学生体质健康系统．按照国家视力健康标准，学生视力状况分为：视力正常、轻度视力不良、中度视力不良和重度视力不良四个类别，分别用A，B，C，D表示．某校为了解本校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力状况调查，根据调查结果，绘制了如下尚不完整的统计图． (1)此次调查的学生总人数为______；扇形统计图中，______； (2)补全条形统计图． (3)已知重度视力不良的四名学生中，甲、乙为九年级学生，丙、丁分别为七、八年级学生，现学校要从中随机抽取2名学生调查他们对护眼误区和保护视力习惯的了解程度，请用列表法或画树状图法求这2名学生恰好是同年级的概率． 【答案】（1）80，45；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，条形统计图，扇形统计图等知识. （1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数，C类别人数除以总人数可得m的值； （2）根据四个类别人数之和等于总人数求出B类人数画出统计图即可； （3）画树状图列出所有等可能结果，并从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：（1） ，即， 故答案为：80，45． （2）B类人数为：人 补全条形统计图如图所示： （3）画树状图如下： 可知共有12种等可能的情况，其中这2名学生恰好是同年级的情况有2种， 故这2名学生恰好是同年级的概率为． 【变式14-1】 （2023·辽宁葫芦岛·一模）劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容．某校为加强家政学习，倡议学生在家帮助父母做力所能及的家务，某调查小组随机抽取本校部分学生进行调查，调查问卷如下表所示，并绘制了下面两幅不完整的统计图． 平均每周做家务时间的调查表 设平均每周做家务的时间为x小时，则最符合你的选项是（    ）（单选） A．0≤x<1    B．1≤x<2    C．2≤x<3    D．x≥3 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)接受问卷调查的学生共有_________人； (2)补全条形统计图：并估计该校1600名学生中平均每周做家务时间不少于2小时的人数； (3)学校准备从做家务表现突出的4人中评选2名学生授予“家务能手”称号，这4人中有2名男生，2名女生，请用画树状图或列表法求出授予称号的2名学生恰好都是女生的概率． 【答案】（1）50；（2）补图见解析，1600名学生中平均每周做家务时间不少于2小时的人数为832人； （3）画树状图或列表法见解析， 【分析】本题主要考査了条形统计图、扇形统计图以及概率的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解此题的关键. （1）根据选择D的人数和所占的百分比即可求出总人数． （2）计算出选择的人数，求出每周做家务时间不少于2小时的人数的百分数乘以即可求出． （3）用画树状图或列表法列出所有结果，根据条件用概率公式即可求出． 【详解】解：（1）接受调查的总人数为：（人）． （2）C区域的人数为：（人）， 补全条形图如图： 该校1600名学生中平均每周做家务时间不少于2小时的人数为： （人）； （3）用男1和男2分别表示两名男生，用女1和女2分别表示两名女生，根据题意，列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男2，男1） （女1，男1） （女2，男1） 男2 （男1，男2） （女1，男2） （女2，男2） 女1 （男1，女1） （男2，女1） （女2，女1） 女2 （男1，女2） （男2，女2） （女1，女2） 由表可知，从人中评选名学生，总共有种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中所评选名学生都是女生的结果有两种， ∴（授予称号的名学生恰好都是女生）． 【变式14-2】（2024·四川泸州·二模）为了落实国家教育数字化战略行动的有关要求，提升师生数字素养，我县决定组织开展年度学生信息素养提升实践活动．某校九年级名学生在“信息素养提升”培训后参加了一次水平测试．为了解培训效果，学校用抽样调查的方式从甲、乙两班各随机抽取名学生（共人）查看测试成绩，将测试成绩分为如下的5组：A组：组：组：组：组：，分别制成如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图． (1)根据图中数据，补全频数分布直方图； (2)若成绩不低于分是“优秀”，试估计本校九年级学生测试成绩为“优秀”的人数； (3)甲班参加测试的学生被随机安排到3个不同的考场，请用画树状图或列表法求甲班的小亮、小刚两名同学被分在同一考场的概率． 【答案】（1）图见详解；（2）本校九年级学生测试成绩为“优秀”的人数为人；（3）； 【分析】本题考查补全直方图，利用样本估算总体情况，树状图法求概率： （1）根据占比求出D的量，利用总数减去已知量得到C的量补全直方图即可得到答案； （2）利用总数乘以占比即可得到答案； （3）利用树状图法画出所有情况，找到需要情况即可得到答案； 【详解】解：（1）由题意可得： D组的人数为：（人）， C组的人数为：（人）， ∴直方图如图所示： （2）由题意可得， 本校九年级学生测试成绩为“优秀”的人数：（人）， 答：本校九年级学生测试成绩为“优秀”的人数为人； （3）树状图如下， 总共有：9种情况，在同一个考场的有3种， ∴， ∴甲班的小亮、小刚两名同学被分在同一考场的概率为． 基础巩固通关测 1．（2025·四川内江·中考真题）下列事件是必然事件的是（ ） A.打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻 B.从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级 C.小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票 D.从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 【答案】B 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻是随机事件，不符合题意； B、从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级是必然事件，符合题意； C、小明在内江平台能抢到龙舟节开幕式门票是随机事件，不符合题意； D、从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》是随机事件，不符合题意， 故选：B． 2．（2025·江苏省·同步练习）不透明的袋中装有除颜色外没有其他区别的红球4个和白球若干个．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是（   ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】D 【分析】本题考査了可能性的大小，通过计算某事件的概率大小判断这个事件发生的可能性较大. 如果取到白球的可能性较大，说明取到白球的概率大，则白球的个数大于4. 【详解】解：因为，袋中有红球4个，取到白球的可能性较大， 所以，袋中的白球数量大于红球数量， 即袋中白球的个数可能是5个或5个以上． 故选D. 3．（2025·上海市市辖区·月考）盲盒，顾名思义，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶等，之所以叫盲盒，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己抽到了什么，具有随机性.这种诞生于日本的潮玩，最初名字叫mini figures，流行欧美后也开始被称作blind box.现有某种盲盒，商家承诺该盲盒中可开出6种普通款玩偶中的一种，概率相同，还有百分之一的概率开出一种隐藏款玩偶，那么以下说法中正确的是（ ） A.若要集齐6种普通款玩偶，只需要购买6个盲盒即可 B.考虑到隐藏款的存在，若要集齐6种普通款玩偶，只需要购买7个盲盒即可 C.若购买100个盲盒，其中一定会有一个隐藏款玩偶 D.若购买8个盲盒，肯定会重复出现某款玩偶 【答案】D 【分析】本题考查了概率的意义，理解概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小． 根据概率的意义解答即可. 【详解】解：A.若要集齐6种普通款玩偶，只需要购买6个盲盒即可，错误，因为可能出现隐藏款玩偶； B.考虑到隐藏款的存在，若要集齐6种普通款玩偶，只需要购买7个盲盒即可，错误，因为有可能出现多个隐藏款； C.若购买100个盲盒，其中一定会有一个隐藏款玩偶，错误，因为百分之一的概率开出一种隐藏款玩偶，并不是100个中一定有一个； D.若购买8个盲盒，肯定会重复出现某款玩偶，正确，6个普通款加一个隐藏款共7个，所以第8个一定会出现相同的， 故选D. 4．（2025·四川省·达州市·月考）从单词“happy”中随机抽取一个字母，抽中p的概率为（　） A.                      B.                          C.                         D. 【答案】C 【分析】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 由单词“happy”中有两个p，直接利用概率公式求解即可求得答案．  【详解】解：因为单词“happy”中有两个p，  所以抽中p的概率为：．  故选C．  5．（2025·湖北省·同步练习）一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（    ）. A. B. C. D. 【答案】B 【分析】此题主要考查了几何概率，熟知概率公式是解答此题的关键．先求出黑色方格在整个方格中所占面积的比值，再根据其比值即可得出结论．  【详解】解：∵图中共有15个方格，其中黑色方格5个， ∴黑色方格在整个方格中所占面积的比值， ∴最终停在阴影方砖上的概率为， 故选B. 6．（2025·宁夏回族自治区·同步练习）从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下： 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 85 318 652 793 1 604 4005 发芽频率 0.850 0.795 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为 （精确到0.01）． 【答案】0.80 【分析】此题考查了利用频率估计概率，属于基础题． 观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，即可估计出这种玉米种子发芽的概率． 【详解】解：观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近， 0.801≈0.80， 则这种玉米种子发芽的概率是0.80， 故答案为：0.80． 7．（24-25·浙江省·宁波市·期中测试）不透明袋子中有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是黄球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是黄球的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是黄球的结果数为4， 所以两次摸出的球都是黄球的概率=． 故答案为． 8．（2023·广东省·佛山市·月考）小明、小强做游戏，掷两枚均匀的硬币，若出现朝上的两个面都是正面时，小明赢，否则小强赢，该游戏对______有利． 【答案】小强 【分析】此题考查了游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．列表得出所有等可能的情况数，找出两个角都是正面时的情况数，求出小明获胜的概率，进而求出小强获胜的概率，比较大小即可得到游戏公平与否． 【详解】解：列表如下： 正 反 正 （正，正） （反，正） 反 （正，反） （反，反） 所有等可能的情况有4种，其中两个面都为正面的情况有1种， 所以P（小明获胜），P（小强获胜），则游戏对小强有利． 故答案为小强． 9．（2025·浙江省·杭州市·入学测试）桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片（不放回），其数字为p，随机摸出另一张卡片，其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 画树状图列出所有等可能结果，从中依据根的判别式找到使方程x2+px+q=0有实数根的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：当p2-4q≥0时，关于x的方程x2+px+q=0有实数根， 即p2≥4q时，关于x的方程x2+px+q=0有实数根， 画树状图如下： ​ 由树状图知共有6种等可能结果，其中使关于x的方程x2+px+q=0有实数根的结果有3种结果， ∴关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率为， 故答案为：. 10．（2025·陕西省·同步练习）在物理实验中，当电流在一定时间段内正常通过电子元件时，每个电子元件的状态有两种可能：通电或断开，并且这两种状态的可能性相等. 如图1，当只有一个电子元件时，A，B之间的电流通过的概率是 ； 如图2，当有三个电子元件串联时，猜想A，B之间电流通过的概率是 ．    【答案】； 【分析】本题考查了概率公式，用列表法或画树状图法求概率的方法. 依据题意先用列表法或画树状图法分析所有可能出现的结果.然后根据概率公式求出事件的概率. 【详解】解：①∵A，B之间只有一个电子元件， ∴电流通过的概率是； ②画树状图如下： 当有三个电子元件串联时，共有8种等可能情况，A，B之间电流通过的结果有1种：（通电，通电，通电），∴A，B之间电流通过的概率为. 能力提升进阶练 11．（2025·河南省·新乡市·月考）为弘扬中华传统文化，某校举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． （1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？ （2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了列举法求概率（列表法与树状图法），概率公式. （1）直接利用概率公式计算即可； （2）画出树状图，展示所有的12种等可能结果，再找出​恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的数量，利用概率公式计算即可. 【详解】解：（1）小丽从中随机抽取一个比赛项目，所有可能的情况一共有4种，恰好抽中“三字经”的情况只有1种， ∴恰好抽中“三字经”的概率是； （2）画树状图为： ， 由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”出现了1次， ∴P（恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”）=. 12.（2025·西藏自治区·月考）甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字． （1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果； （2）求出两个数字之和能被3整除的概率． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，解决问题的关键是掌握概率的计算公式．随机事件A的概率P（A）等于事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 先根据题意画树状图，再根据所得结果计算两个数字之和能被3整除的概率． 【详解】解：（1）树状图如下： （2）∵共6种情况，两个数字之和能被3整除的情况数有2种， ∴两个数字之和能被3整除的概率为， 即P（两个数字之和能被3整除）． 13．（2025·湖北省·襄阳市·月考）现有A、B两个不透明袋子，分别装有个除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个白球，1个红球；袋装有2个红球，1个白球． （1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白球的概率； （2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平． 【答案】（1）；（2）不公平，理由见解析 【分析】本题考查了概率，根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. （1）P（摸出白球）； （2）由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有4种，颜色相同的结果有5种P（颜色不相同），P（颜色相同），，这个游戏规则对双方不公平. 【详解】解：（1）共有3种等可能结果，而摸出白球的结果有2种， ∴P（摸出白球）； （2）根据题意，列表如下： 红1 红2 白 白1 （白1，红1） （白1，红2） （白1，白） 白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，白） 红 （红，红1） （红，红2） （白1，白） 由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有4种，颜色相同的结果有5种， ∴P（颜色不相同），P（颜色相同）， ∵， ∴这个游戏规则对双方不公平. 14．（2024·河北保定·一模）先在纸上写第一组数据：，，．如图，现有四张规格、质地完全相同的卡片，正面分别写有数字，，，，背面相同，将这四张卡片背面朝上洗匀，随机抽取若干张，把抽到卡片上的数字与第一组数据合在一起，得到第二组数据．将第二组数据与第一组数据进行比较．    (1)若随机抽取一张，求中位数不变的概率； (2)若随机同时抽取两张，请用画树状图法或列表法，求众数不变的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查数据的中位数和众数、用列表法或画树状图法求事件的概率，解题的关键是掌握相关的知识． （1）根据第一组数据的中位数是，若随机抽取一张，中位数不变，则抽取卡片上的数字是，即 可 求 解； （2）若随机同时抽取两张，众数不变，则抽取卡片上的数字有，列表得出所有等可能的情况数和有数字的情况数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：（1）第一组数据的中位数是． 若随机抽取一张，中位数不变，则抽取卡片上的数字是， 则所求概率为； （2）第一组数据的众数是． 若随机同时抽取两张，众数不变，则抽取卡片上的数字有． 列表如下： 2 2 3 3 2 （2，2） （2，3） （2，3） 2 （2，2） （2，3） （2，3） 3 （3，2） （3，2） （3，3） 3 （3，2） （3，2） （3，3） 由表可知，共有种等可能的结果，有数字的结果有种， 所以所求概率为． 15.（2024·吉林长春·一模）如图，可以自由转动的圆形转盘被它的三条半径分成了三个相同的区域，每个区域分别标有数字、、，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向的扇形内的数字即为转出的数字．此时称为转动转盘一次（当指针指向两个扇形的交界处的半径时，不计转动次数重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止） (1)转动转盘一次，则转出的数字为的概率为______； (2)转动转盘两次，用画树状图法或列表法求两次转出的数字之和为正数的概率． 【答案】（1）；（2）（两次转出的数字之和为正数），图见解析 【分析】本题考查利用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数的比． （1）根据周角的定义可得，自由转动的圆形转盘被它的三条半径分成了三个相同的区域，、、的扇形圆心角都是，根据概率公式即可得答案． （2）由（1）可知转出、、的概率相同，画出树状图，得出所有可能结果和两次分别转出的数字之和为正数的结果，根据概率公式即可得答案． 【详解】解：（1）∵自由转动的圆形转盘被它的三条半径分成了三个相同的区域，、、的扇形圆心角都是， ∴转到、、三种情况的可能性相同， ∴转出的数字为这一种情况发生的概率为． （2）画树状图如下： ∴两次转出的数字之和为正数的情况有三种， ∴（两次转出的数字之和为正数）． 16．（2024·湖南永州·三模）某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的初中学生人数为___________，图（1）中m的值为___________； (2)求接受调查的学生每天在校体育活动时间的平均数、众数和中位数； (3)若接受调查的学生中，每天在校体育活动时间小于的4人中，有男、女学生各2人现从这4人中随机选取2人，求选取的2人中，恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）40，25；（2），众数为，中位数；（3） 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联，涉及求平均数、中位数和众数，用树状图法求事件的概率等知识，能从统计图中准确获取有用信息是解答的关键． （1）根据初中学生每天在校体育活动的时间为的人数除以其所占的百分比可得调查总人数，用初中学生每天在校体育活动的时间是的人数除以调查总人数即可求解m值； （2）分别根据平均数、众数、中位数的求解方法求解即可； （3）画树状图得到所有等可能的结果数，然后找出恰好是一男一女的结果数，进而利用概率公式求解即可． 【详解】解：（1）本次接受调查的初中学生人数为（人），， 故答案为：40，25； （2）根据统计数据，接受调查的学生每天在校体育活动时间的平均数为 ； ∵40个数据中，出现了15次，出现次数最多， ∴众数是； ∵40个数据从小到大顺序排列，第20、21个数据都是1.5， ∴中位数是； （3）2名女生分别记为A、B，2名男生分别记为C、D， 画树状图如图： 共有12种等可能的结果，其中恰好恰好是一男一女的8种结果， ∴选取的2人中，恰好是一男一女的概率为． 17.（2023·江苏常州·单元测试）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字-2，-1，1，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小华先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为a；放回盒子摇匀后，再由小夏随机取出一个小球，记下数字为b． （1）用列表法或画树状图表示出（a，b）的所有可能出现的结果； （2）求小华、小夏各取一次小球所确定的点（a，b）落在二次函数y＝x2的图象上的概率； （3）求小华、小夏各取一次小球所确定的数a，b满足直线y＝ax+b经过一、二、三象限的概率． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，也考查了一次函数图象与系数的关系和二次函数图象上点的坐标特征． （1）画树状图可得所有16种等可能的结果； （2）根据二次函数图象上点的坐标特征得到点（-2，4），（-1，1），（1，1）落在二次函数y=x2的图象上，然后根据概率公式求解； （3）根据一次函数图象与系数的关系可得到a＞0，b＞0，则（1，1），（1，4），（4，1），（4，4）满足直线y=ax+b经过一、二、三象限，然后根据概率公式求解． 【详解】解：（1）画树状图如下： 共有16种等可能的结果，它们为（-2，-2）、（-2，-1）、（-2，1）、（-2，4）、（-1，-2）、（-1，-1）、（-1，1）、（-1，4）、（1，-2）、（1，-1）、（1，1）、（1，4）、（4，-2）、（4，-1）、（4，1）、（4，4）； （2）落在二次函数y=x2的图象上的点有（-2，4），（-1，1），（1，1）， 所以落在二次函数y=x2的图象上的概率； （3）满足直线y=ax+b经过一、二、三象限的结果有（1，1），（1，4），（4，1），（4，4）， 所以满足直线y=ax+b经过一、二、三象限的概率． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $