精品解析：重庆市育才中学校2025-2026学年九年级上学期12月份数学考试试卷（第三次自主作业模拟）

重庆育才中学初2026届初三（上）第三次自主作业模拟 数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，比较四个数的大小，先区分正负数，负数小于正数；再比较两个负数，绝对值大的负数更小，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴最小的数是， 故选：C． 2. 如图所示，用木板制作的“中”字的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据立体图形俯视图的作法求解即可得． 【详解】解：俯视图是从上方往下所看到的平面图形，实际存在的部分，但是上方不能直接看到，用虚线表示，直接看到的部分用实线表示，如下： 故选：C． 【点睛】题目主要考查立体图形的三视图，理解俯视图的作法是解题关键． 3. 已知正比例函数与反比例函数的图象交于点和点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称即可求得点B的坐标． 【详解】解：∵正比例函数y=k1x与反比例函数的图象交于点A（3，6）和点B， ∴点A、点B关于原点对称， ∴B（-3，-6）， 故选：D． 【点睛】本题考查的是正比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键． 4. 已知，则实数m的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法、利用二次根式的性质进行化简、无理数的估算，由二次根式的乘法法则以及二次根式的性质计算得出，估算出得出，即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即， 故选：B． 5. 如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为5，则的面积为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 45 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查位似，熟练掌握位似的性质是解题的关键；由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似，位似中心是点， ∴，， ∴， ∵的面积为5， ∴的面积为20； 故选C． 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 矩形的对角线相等且互相平分 B. 同弦或等弦所对的圆周角相等 C. 平分弦的直径一定垂直于弦 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、圆周角定理、垂径定理和平行四边形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据矩形的性质、圆周角定理、垂径定理和平行四边形的判定，逐一判断选项的正误． 【详解】解：A、矩形的对角线相等且互相平分，故此选项正确，符合题意； B、同弦所对的圆周角可能相等也可能互补，故此选项错误，不符合题意； C、当弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，故此选项错误，不符合题意； D、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故此选项错误，不符合题意． 故选：A． 7. 肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染，若设1人平均感染人，依题意可列方程 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题可设1人平均感染人，则第一轮共感染人，第二轮共感染人，根据题意列方程即可． 【详解】解：设1人平均感染人， 依题意可列方程：， 故选：D． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 8. 如图是二次函数的图象一部分，其对称轴是，且过点，以下几种说法：①；②；③；④多项式可因式分解为；⑤若、是抛物线上两点，则；其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ①③⑤ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用二次函数的图象正确判断式子的符号是解题的关键．由图可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴，得到，，根据对称轴为得到，可判断①；代入到，可判断②；当时，，可判断③；用表示出和，再利用因式分解的知识可判断④；根据二次函数的增减性可判断⑤，即可得出结论． 【详解】解：由图可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线过点， ∴，即 ∴，故②正确； ∵抛物线过点，对称轴是直线， ∴抛物线也过点， ∴当时，， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∴多项式可因式分解为，故④错误； ∵在抛物线上， ∴关于对称轴对称点为也在抛物线上， ∵， ∴，故⑤正确； ∴综上所述，正确的是①②⑤． 故选：B． 9. 如图，正方形中，点分别是和边的点，满足，连接，过点作，连接是上一点，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定及圆的基本性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定及圆的基本性质是解题的关键；由题意得，则有，然后根据题意可知点D、C、F、G四点共圆，且为直径，由可知点H为圆心，进而根据圆的基本性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点D、C、F、G四点共圆，且为直径，由可知点H为圆心，如图所示， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 10. 设整式，其中为整数且．下列说法： ①可以表示为关于的二次多项式； ②若且，则； ③满足且的正整数解有7组． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式的定义，三元一次方程组的整数解，不等式的性质；根据二次多项式得到，即可判断①错误；由且，得到，整理得到，②错误；由且，得到，，则，正整数或或，据此分情况讨论求解即可判断③正确． 【详解】解：①若表示为关于的二次多项式，则，不满足，故①错误； ②若且，则 ， ∴， 故②错误； ③∵且， ∴，， ∴， ∴正整数或或， 当时，，则或或或，一共4组正整数解， 当时，，则或，一共2组正整数解， 当时，，，一共1组正整数解， 综上，满足且的正整数解有7组， 故③正确． 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值，，并计算平方根，然后进行有理数运算． 【详解】原式 ． 故答案为：． 12. 一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是___． 【答案】8 【解析】 【分析】n边形的内角和为，外角和为，根据正多边形的内角和比其外角和的度数大列方程求解即可． 【详解】解：设该多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 即该多边形的边数为8． 13. 在一个不透明的袋子里装有3个分别标有数字2，3，4的小球，这些球除标号外完全相同．从袋中随机抽取一个小球并记下数字后放回，将袋中小球摇匀，再随机抽取一个小球记下数字，两次记下的数字之和是奇数的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法求概率．先根据题意列表确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意列表如下， 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 共有9种可能，其中和为奇数的有4种， ∴两次数字之和为奇数的概率是． 故答案为：． 14. 如图，点A，B分别在反比例函数 的图像上，点C在x轴的负半轴上，若平行四边形ACOB 的面积是4，则k的值为____． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，先求出，，得到，根据反比例函数系数k的几何意义即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D，连接， ∵平行四边形的面积是4， ∴ ∵点A在反比例函数的图象上， ∴ ∴， ∵点B在的图象上， ∴ 故答案为：6 15. 如图，在中，以为直径的分别交、于点、．与交于点，为射线上的一点，连接，且，．若，，则___________，___________． 【答案】 ①. 5 ②. ####3.75 【解析】 【分析】连接，，证明得出，，，进而证明，根据相似三角形的性质得出，代入数据求得和的长，通过证明得到，求出的长，利用勾股定理求出的长，再证明即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：5；． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16. 若一个三位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足百位数字与个位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“拉手数”．若一个“拉手数”，将M的百位数字与个位数字对调得到一个新的三位数N，则N一定能被______整除．若将“拉手数”M与N相加再减去能被7整除，则所有满足条件的M的最大值与最小值的差为______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，整式加减的应用，本题属于新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． 利用“拉手数”的定义可得，求出即可得出这个数；根据题意表示出，根据整除可得是7的整数倍，再利用数位上的数字的特征和整除的特性解答即可． 【详解】解：由“拉手数”的定义可得， ∴， ∴N一定能被整除； ， ∵M与N相加再减去能被7整除， ∴是7的整数倍，即是7的整数倍， ∵，且三位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0， ∴，，； 若，或（舍去），这时； 若，，这时； 若，，这时； 若，或（，舍去），这时； 若，，这时； 若，，，舍去； 若，，舍去； 若，，，舍去； 则最大的数为，最小的数为， ∴差为， 故答案为：，． 三、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，并指出它的所有的非负整数解． 【答案】，非负整数解为0和1 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的非负整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其非负整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的非负整数解为0和1． 18. 如图，在中，点为线段上一点． （1）用尺规完成以下基本作图：在上方作交于点，在延长线上取一点，使，连接； （2）在（）所作的图形中，若， ， ，求的周长． 解：∵，，， ∴， ∴_____________， 在和中， ， ∴， ∴，_____________， ∵，， ∴的周长_______． 【答案】（1） 解：如图所示： （2）；；；． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段的方法作图即可； （）根据三角形外角的性质可得出，证明，得出，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题：（本大题共7小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分为四组：，．，．，．，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级名学生的竞赛成绩是：． 九年级名学生竞赛成绩在组的数据是：． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级有名，九年级有名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】（1）；； （2）九年级，理由：因为均值相同，九年级的方差小于八年级的方差，方差越小成绩越稳定 （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布表、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键． （）根据众数、中位数的定义求解即可； （）根据中位数、方差的意义求解即可； （）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：根据数据，八年级名学生的竞赛成绩中，出现次数最多， ∴众数， 由题知，九年级名学生竞赛成绩在组的数据有个， ∴占，则， 根据扇形图可知，竞赛成绩在占，共名学生， 又名学生竞赛成绩的中位数为从小到大排列第位的平均值， ∴中位数， 故答案为：；；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又八年级有名， ∴知识竞赛成绩达到优秀有(人)； 九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又九年级有名，所以知识竞赛成绩达到优秀有(人)； (人) 答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有人. 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式和整式的混合运算，涉及负整数指数幂和零指数幂、立方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行整式的混合运算，再进行分式的混合运算，然后计算出，再代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 21. 某学校去年通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费3000元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的倍，每个足球的售价A品牌比B品牌便宜12元 （1）求去年A品牌足球和B品牌足球的单价； （2）今年需要从该店再购买A、B两种足球共60个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年降低了，B品牌比去年提高了，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个A 品牌足球？ 【答案】（1）去年A品牌足球的单价为48元，B品牌足球的单价为60元 （2）50 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，正确找出数量关系是解题的关键． （1）设去年A品牌足球的单价为元，则去年B品牌足球的单价为元，根据“购买A品牌足球数量是B品牌数量的倍”列方程即可求解； （2）先求出今年A、B两种品牌的单价，再设学校今年购买个A品牌足球，根据“今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半”列不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设去年A品牌足球的单价为元，则去年B品牌足球的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则去年B品牌足球的单价为（元）， 答：去年A品牌足球的单价为48元，B品牌足球的单价为60元． 【小问2详解】 解：今年A品牌足球的单价为（元）， 今年B品牌足球的单价为（元）， 设学校今年购买个A品牌足球， 根据题意，得， 解得， 答：学校至少要购买50个A 品牌足球． 22. 如图，在中，，，，为边上的中点，连接，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着——的路线运动，到达点停止．同时动点以相同的速度从点出发，沿运动，到达点停止，连接，过点作交于点运动的时间为秒．点，的距离为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2） 画函数图象如下： 的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（不唯一）； （3） 【解析】 【分析】本题综合考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形面积公式、一次函数和反比例函数的图象与性质．解题关键是分情况讨论动点位置，利用相似关系建立函数． （1）需要根据动点P的位置分情况，利用相似三角形的性质求出关于x的函数解析式；根据三角形面积公式求出关于x的函数解析式． （2）根据（1）中所求函数解析式，通过确定关键点坐标来画出函数图象，再观察图象得出的性质． （3）通过观察画出的与的函数图象，找出图象在图象上方时的取值范围． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得， ∵是中点，， ∴ 当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得 在中，根据勾股定理 当时， ∵，为边上的中点， ∴， ∴， 过作于， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴，即， 解得， ∴ 综上，， ， 设，则， ∴； 【小问2详解】 解：的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（不唯一）； 【小问3详解】 解：当时，找到图象在图象上方时对应的取值范围，可得 ． 23. 如图，处位于处正北方向7千米处，处位于处的正东方向，处位于处南偏东方向6千米处，处在处的东北方向．（参考数据：，） （1）求与之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）甲，乙两人相约跑步，甲从处出发，沿某方向匀速直线运动，乙从处出发，沿正南方向匀速直线运动．甲的速度是乙的速度的1.5倍，两人同时出发，在上某处相遇．当两人相遇时，乙一共跑了多少千米？（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）千米 （2）3.5千米 【解析】 【分析】（1）如图所示，过点D作于点E，过点C作于点F，解直角三角形求出，，然后求出，证明出四边形是矩形，得到，证明出是等腰直角三角形，得到，进而求解即可； （2）如图所示，设甲，乙两人在点G处相遇，根据题意得到，设，则，然后根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 如图所示，过点D作于点E，过点C作于点F， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴（千米）； 【小问2详解】 如图所示，设甲，乙两人在点G处相遇， ∵甲的速度是乙的速度的1.5倍，两人同时出发， ∴甲的路程是乙的路程的1.5倍， ∴ 设，则 由（1）得，， ∴， ∵ ∴ ∴， ，（舍去）． ∴当两人相遇时，乙一共跑了3.5千米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点B，与x轴交于A、C两点（A在C的左侧），连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作交y轴于点D，交x轴于点E，点F为y轴上一动点，当取最大值时，求此时点P的坐标及的最大值； （3）如图，点Q是抛物线的对称轴与的交点，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线刚好经过点Q，K为新抛物线上一动点，当，请写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解其中一个点K坐标的过程． 【答案】（1） （2），的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点B的坐标，再解直角三角形求出的长，进而得到点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出直线解析式为；设，则直线解析式，求出，，进而求出，，则，据此可得到有最大值时，点P的坐标为；再由，得到当A、P、F三点共线时，有最大值，最大值为的长，据此利用勾股定理即可求出答案； （3）先求出；可设原抛物线向下平移个单位长度，向左平移个单位长度得到抛物线，则新抛物线解析式为，利用待定系数法可得新抛物线解析式为；如图所示，取，连接，证明，得到；导角可证明，如图所示，过点Q作交新抛物线与，则，即点即为所求；可求出直线的解析式为，联立，可得；如图所示，过点A作，且使得，连接并延长，交新抛物线于，则，可证明，即点即为所求；求出点R的坐标，进而求出直线的解析式，同理可得． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 把，代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 设，直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值， ∴此时点P的坐标为； ∵， ∴， ∴当A、P、F三点共线时，有最大值，最大值为的长， ∵， ∴； ∴的最大值为； 【小问3详解】 解：∵原抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴； ∵将原抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线， ∴可设原抛物线向下平移个单位长度，向左平移个单位长度得到抛物线， ∴新抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过， ∴， ∴或（舍去）， ∴新抛物线解析式为； 如图所示，取，连接， 在中，当时，或， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点Q作交新抛物线与，则，即点即为所求； 同理可得直线解析式为， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 如图所示，过点A作，且使得，连接并延长，交新抛物线于，则， ∵， ∴， ∴，即点即为所求； 同理可得直线解析式为， 设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 同理可得直线解析式为； 联立，解得或， ∴； 综上所述，点K的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解（2）的关键在于设出点P的坐标，进而求出直线解析式，再用点P的横坐标表示出的长，解（3）的关键在于证明． 25. 如图，在三角形中，，，D为上一点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，若点D在边上，延长交于点E，，，求的长； （2）如图2，若点D在延长线上，延长交于点E，交于点G，求证：； （3）若点D在边上，P为边上一点，，N为上方一点，，，连接，H为上一点，，当取得最大值时，将线段绕点D旋转得到线段，连接，线段绕点B逆时针方向旋转得到线段，直接写出的最大值． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，以为边作等边三角形，连接，交于M， ∴，， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）作于G，设，根据等边对等角，得出，利用锐角三角函数得出，，，，从而求出，则，，，由旋转的性质可得，进而推出，得到，即可求解； （2）以为边作等边三角形，连接，交于M，结合旋转的性质，证明，得到，，进而得出，由三线合一的性质，得到，，从而推出，，再根据相似三角形对应边成比例，得出，即可得证； （3）根据题意，可以固定，使进行变动，以为边作等边三角形，以O为圆心，为半径作圆O，结合圆周角定理，可得点B在上运动，当点B在的延长线上时（图中），最大为的长，设交于G，此时，从而求出，再根据锐角三角函数求出，将绕点B逆时针旋转至，则点在以为圆心，2为半径的圆上运动，连接并延长，交与K，则最大，推出，利用勾股定理得出，即可得解． 【小问1详解】 解：如图1，作于G， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，， ∴是固定大小的等腰三角形， ∴可以固定，使进行变动， 如图3，以为边作等边三角形，以O为圆心，为半径作圆O， ∵，， ∴， ∴点B在上运动， ∴当点B在的延长线上时（图中），最大为的长， 设交于G，此时， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵线段绕点D旋转得到线段， ∴， 将绕点B逆时针旋转至， ∴， ，， ∴点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 连接并延长，交与K，则最大， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴最大值． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形的应用，圆的定义及圆周角定理，二次根式，熟练掌握这些性质与判定，并掌握轨迹圆和主动从动圆是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆育才中学初2026届初三（上）第三次自主作业模拟 数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，用木板制作的“中”字的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知正比例函数与反比例函数的图象交于点和点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则实数m的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为5，则的面积为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 45 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 矩形的对角线相等且互相平分 B. 同弦或等弦所对的圆周角相等 C. 平分弦的直径一定垂直于弦 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 7. 肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染，若设1人平均感染人，依题意可列方程 A. B. C. D. 8. 如图是二次函数的图象一部分，其对称轴是，且过点，以下几种说法：①；②；③；④多项式可因式分解为；⑤若、是抛物线上两点，则；其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ①③⑤ D. ①③④ 9. 如图，正方形中，点分别是和边的点，满足，连接，过点作，连接是上一点，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 设整式，其中为整数且．下列说法： ①可以表示为关于的二次多项式； ②若且，则； ③满足且的正整数解有7组． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是___． 13. 在一个不透明的袋子里装有3个分别标有数字2，3，4的小球，这些球除标号外完全相同．从袋中随机抽取一个小球并记下数字后放回，将袋中小球摇匀，再随机抽取一个小球记下数字，两次记下的数字之和是奇数的概率为___________． 14. 如图，点A，B分别在反比例函数 的图像上，点C在x轴的负半轴上，若平行四边形ACOB 的面积是4，则k的值为____． 15. 如图，在中，以为直径的分别交、于点、．与交于点，为射线上的一点，连接，且，．若，，则___________，___________． 16. 若一个三位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足百位数字与个位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“拉手数”．若一个“拉手数”，将M的百位数字与个位数字对调得到一个新的三位数N，则N一定能被______整除．若将“拉手数”M与N相加再减去能被7整除，则所有满足条件的M的最大值与最小值的差为______ 三、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，并指出它的所有的非负整数解． 18. 如图，在中，点为线段上一点． （1）用尺规完成以下基本作图：在上方作交于点，在延长线上取一点，使，连接； （2）在（）所作的图形中，若， ， ，求的周长． 解：∵，，， ∴， ∴_____________， 在和中， ， ∴， ∴，_____________， ∵，， ∴的周长_______． 四、解答题：（本大题共7小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分为四组：，．，．，．，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级名学生的竞赛成绩是：． 九年级名学生竞赛成绩在组的数据是：． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级有名，九年级有名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某学校去年通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费3000元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的倍，每个足球的售价A品牌比B品牌便宜12元 （1）求去年A品牌足球和B品牌足球的单价； （2）今年需要从该店再购买A、B两种足球共60个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年降低了，B品牌比去年提高了，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个A 品牌足球？ 22. 如图，在中，，，，为边上的中点，连接，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着——的路线运动，到达点停止．同时动点以相同的速度从点出发，沿运动，到达点停止，连接，过点作交于点运动的时间为秒．点，的距离为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 如图，处位于处正北方向7千米处，处位于处的正东方向，处位于处南偏东方向6千米处，处在处的东北方向．（参考数据：，） （1）求与之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）甲，乙两人相约跑步，甲从处出发，沿某方向匀速直线运动，乙从处出发，沿正南方向匀速直线运动．甲的速度是乙的速度的1.5倍，两人同时出发，在上某处相遇．当两人相遇时，乙一共跑了多少千米？（结果保留小数点后一位） 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点B，与x轴交于A、C两点（A在C的左侧），连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作交y轴于点D，交x轴于点E，点F为y轴上一动点，当取最大值时，求此时点P的坐标及的最大值； （3）如图，点Q是抛物线的对称轴与的交点，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线刚好经过点Q，K为新抛物线上一动点，当，请写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解其中一个点K坐标的过程． 25. 如图，在三角形中，，，D为上一点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，若点D在边上，延长交于点E，，，求的长； （2）如图2，若点D在延长线上，延长交于点E，交于点G，求证：； （3）若点D在边上，P为边上一点，，N为上方一点，，，连接，H为上一点，，当取得最大值时，将线段绕点D旋转得到线段，连接，线段绕点B逆时针方向旋转得到线段，直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $