精品解析：重庆市求精中学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

重庆市求精中学校2025-2026学年度高一(上)二阶段考试 数学试题 一 、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 已知，“”是“函数 在上为增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若为函数的零点，则所在区间为（ ） A. B. （1，2） C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过.已知在过滤过程中的污染物的残留数量(单位：毫克/升)与过滤时间(单位：小时)之间的函数关系为： (为正常数，为原污染物数量)，若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（ ） A. 5小时 B. 10小时 C. 15小时 D. 小时 8. 函数的定义域为A，值域为B，若区域表示一个正方形区域，则该区域的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 不确定 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 集合，，若，则实数m的值为（ ） A. B. 0 C. D. 2 10. 已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. 当时，，上的值域为，则的取值范围是 D. 若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是. 11. 已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（ ） A. 实数m的取值范围为 B. 的最大值为1 C. D. 取值范围为 三 、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数，则函数的定义域为_______. 13. 已知幂函数在区间上单调递减，则___________. 14. 设函数（）的最大值为M，最小值为m，则________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1）计算 （2）计算 16. 已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且 . （1）求与的解析式： （2）求函数在上的值域. 17. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为. （1）试求函数的解析式； （2）有同学发现，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，试用此法证明：问题(1)中函数的图象关于点成中心对称图形. 18. 已知函数是奇函数. （1）求不等式的解集. （2）若函数在上单调递增，求b的取值范围. （3）是否存在正实数m，，使得在上的值域?存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由. 19. 若函数满足：对任意正数s，t，都有，则称函数为“H函数". （1）试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由： （2）若函数是“H函数”，求实数m的取值范围. （3）若函数f(x)为“H函数”，，且对任意正数x，都有，证明：对任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市求精中学校2025-2026学年度高一(上)二阶段考试 数学试题 一 、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的概念求解出结果. 【详解】因为，，所以. 故选：D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据范围代入解析式即可. 【详解】因为， 所以，. 故选：A. 3. 已知，“”是“函数 在上为增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出“”和“函数 在上为增函数”的充要条件，即可判断. 【详解】由，得.所以函数 在上为增函数； 由函数 在上为增函数，得.所以. 所以“”是“函数 在上为增函数”的充要条件. 故选：C. 4. 若为函数的零点，则所在区间为（ ） A. B. （1，2） C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理即可求解. 【详解】函数为上的增函数， 又， 且， 因为， 所以所在区间为. 故选：B 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除B，C，利用函数的单调性排除A即可. 【详解】对于函数，定义域为， 因为， 所以函数为偶函数，故B，C错误， 当时，， 又在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递增，故A错误，D正确． 故选：D． 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合待比较的三个数的指数，底数的特点，构造指数函数，幂函数，根据它们的单调性即可求解. 【详解】设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即； 设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即. 故. 故选：D 7. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过.已知在过滤过程中的污染物的残留数量(单位：毫克/升)与过滤时间(单位：小时)之间的函数关系为： (为正常数，为原污染物数量)，若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（ ） A. 5小时 B. 10小时 C. 15小时 D. 小时 【答案】A 【解析】 【分析】先利用函数关系式，结合前5个小时消除了的污染物，求出常数的值，然后根据污染物的残留含量不得超过，列出方程，即可求出结论． 【详解】由题意，前个小时消除了的污染物， ∵，∴， ∴，即，∴， 则由，即， ∴，即总共需要过滤10小时，污染物的残留含量才不超过， ∵前面已经过滤了5小时，所以还需过滤5小时. 故选：A. 8. 函数的定义域为A，值域为B，若区域表示一个正方形区域，则该区域的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】由题可先得函数的值域，并求出定义域，利用对应集合的长度相等求出的值，进而求得对应区域的面积. 【详解】由区域表示一个正方形区域，知. 由，得 令，则 记的解集为,， 则 所以，解得. 所以该区域的面积为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 集合，，若，则实数m的值为（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求出，根据交集结果得到，分，和三种情况，得到方程，求出答案. 【详解】， ，则，若，则，满足要求； 若，则，解得， 若，则，解得， 综上，实数m的值为或0或 故选：ABC 10. 已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. 当时，，上的值域为，则的取值范围是 D. 若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：根据二次不等式的性质即可判断的正负； 对于B：结合和韦达定理，化简不等式，解不等式即可； 对于C：由，，化简，再结合二次函数的性质即可计算的取值范围； 对于D：在的条件下，利用基本不等式计算的最小值，令，解不等式即可得到的取值范围； 【详解】对于A：根据二次不等式的性质：不等式的解集为，所以；故选项错误； 对于B：由题意得：，，根据韦达定理：得：， 所以，，代入不等式得：，因为，所以，因为分解得，解集为；故选项正确； 对于C：由，，得：，，代入，，，因为上的值域为， 所以，由得，或，因为时，，所以当时，，此时；当时，，此时，所以的取值范围是；故选项正确； 对于：由题意得：，令，由对勾函数得：在上单调递增，所以，即，因为恒成立，所以，即，故，解集为：，故选项错误； 故选：. 11. 已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（ ） A. 实数m的取值范围为 B. 的最大值为1 C. D. 取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】画出的函数图象，数形结合判断A；根据是方程的两根，利用韦达定理判断B；根据判断C；利用的范围求出的范围，再结合对勾函数的单调性判断D. 【详解】画出的函数图象如图： 由图象可知，，故A正确； 因是方程的两根，则， 故无最大值，故B错误； ，则，则，故C正确； 因，则，得， 则， 因在上单调递增，，， 故，即，故D正确. 故选：ACD 三 、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数，则函数的定义域为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知幂函数在区间上单调递减，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据幂函数定义求出值，再根据单调性确定结果． 【详解】由题意，解得或， 又函数在区间上单调递减，则，∴． 故答案为：． 14. 设函数（）的最大值为M，最小值为m，则________________. 【答案】4050 【解析】 【分析】变形得到，，得到为奇函数，则，故，故. 【详解】， 令，， 则，即为奇函数， 则， 由题意得，故 故答案为：4050. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1）计算 （2）计算 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用根式的性质和指数运算公式计算. （2）利用对数运算公式和对数的性质计算. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 16. 已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且 . （1）求与的解析式： （2）求函数在上的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设，，根据题意列方程组求解； （2）令，求一元二次函数的值域. 【小问1详解】 设，， 则由题意可知，，，，得，，， 则，； 【小问2详解】 ， 令，则，对称轴为， 又，，，则， 故函数在上的值域为. 17. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为. （1）试求函数的解析式； （2）有同学发现，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，试用此法证明：问题(1)中函数的图象关于点成中心对称图形. 【答案】（1） （2） 当时， 如图，设直线与分别交于、两点，则， 又，， 所以 综上所述. 由题意只需证明为奇函数即可， 在中， 当时，，则； 当时，，则， 令， 所以对任意，， 即函数的图象关于点成中心对称图形. 【解析】 【分析】（1）在求的解析式时，关键是要根据图象，对的取值进行恰当的分类，然后分类讨论. （2）结合新定义利用奇函数的性质证明即可. 【小问1详解】 当时， 如图，设直线与分别交于、两点，则， 又，所以， 所以， 当时也符合； 【小问2详解】 略 18. 已知函数是奇函数. （1）求不等式的解集. （2）若函数在上单调递增，求b的取值范围. （3）是否存在正实数m，，使得在上的值域?存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3） 假设存在正实数m，，，使得在上的值域， 由（2）可知在上单调递增，则， 即，整理得， 即，是关于的方程的两个实数根， 因为，， 所以， 即 所以，所以， 故不存在正实数m，，，使得在上的值域． 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义可得参数值，解分式不等式即可. （2）根据复合函数定义域及复合函数单调性列不等式，解不等式组即可； （3）根据函数单调性与值域列方程，可转化为方程在内有两个不等实根，可转化为二次方程问题，列不等式，解不等式即可判断. 【小问1详解】 因为是奇函数，所以，则， 即，则，因为，所以， 且当时，的定义域为，且，满足题意， 由，得，则，即，解得，则不等式的解集为； 【小问2详解】 由（1）可知， 易知函数在和上单调递增， 则在和上单调递增． 因为在上单调递增，所以， 解得，则的取值范围为； 【小问3详解】 略 19. 若函数满足：对任意正数s，t，都有，则称函数为“H函数". （1）试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由： （2）若函数是“H函数”，求实数m的取值范围. （3）若函数f(x)为“H函数”，，且对任意正数x，都有，证明：对任意，都有． 【答案】（1）是“H函数”；不是“H函数”，理由：对于任意，，， 所以， 即成立， 故是“H函数”； 对于， 取，则，． 因为，不满足， 故不是“H函数”. （2） （3）证明:由函数为“H函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数k与正数s， 都有， 对任意，且， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据“H函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“H函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到，即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数是“H函数”， 所以对于任意的，有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故，则， 则，即， 所以实数m的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $