福建省同安第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题

同安一中2024-2025学年（上)高三数学第一次月考 (考试时间：120分钟满分：150分) 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.己知集合A={x∈N| 4eZ,B=xeNr-3x=4s0,则AnB=(】 A.[-1,2] B.[0,2] C.{0,2,3} D.{1,2} 2.cos480=() A为 B. 2 c月 2 3.若tan=2tanB,sin(a-β)=t,则sin(a+B)=() A.2t B.-2t C.3t D.-3t 4.如图是函数f(x)的部分图象，则f(x)的解析式为() A.f(x)=sin 6x 2-20 B.f(x)=sin6x 2*-2 C.f()=cos6x COS6x 2-2 D.f(x)= 2x-2 1 5.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每 天的“进步”率都是1%，那么一年后是1+1%)65=1.01365；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是 1-1%%=099%,一年后“进步”的是“退步”的101心=(011481倍如果每天的“进步”率和“退 0.993651 0.99 步”率都是20%，那么大约经过（)天后“进步”的是“退步”的一万倍.(1g2≈0.3010，g3≈0.4771) A.20 B.21 C.22 D.23 π） 则cosa+（) 4 6.若sin 12 121 A.- 5 D. 7.设函数f(x)的定义域为R,且f(2x-)是偶函数，f(x+)是奇函数，则下列说法一定正确的有() ①f(x-8)=f): ②f1+x)=-f1-x):③f(-3)=0: ④f(2+x)=f(2-x) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2 8夜a=号-c2世0u份大小关系芳() A.c>b>a B.b>cza C.b>a>c D.c>a>b 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个 选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9.若函数f(x)=x3-3x2,则( A.f(x)的极大值点为2 B.f(x)有且仅有2个零点 3 C.点(1，-2)是f(x)的对称中心 4042 4043 D.f 1 2022 f2+f3） + +…+f +∫ =-8086 2022 J2022 2022 2022 10.已知函数f(x)=Acos(x+p)(A>0,o>0,0<p<)的部分图象如图所示，令8(x)=f(x)-cos2x,则() A8国的一个对称中心是侣0 B.&)的对陈袖方为：石经kc☑ 上的值域为 D.g(x)的单调递减区间为 - 5 4 1西装四=a。一广Eo在区间0受份原小信为，具在区同写唯-的极人位点长，则下使 法正确的有( A.a=1 3π C.xo∈( D.f(x)<1 4 ,) 5 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分」 12.命题“1≤x≤2,3x2-a≥0”为真命题的一个充分不必要条件是 13.已知函数f(x)=(x-2a)lg1-)的图象关于直线x=b对称，则a+b=-一 6 14已知x>0,y>0,x+2y=8且4+25x>m+2m恒成立，则实数m的取值范围为 x 16y 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 3 15.(13分).设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为4，b,c,且acos B-bcosA=二c· (1)未anA的值 tan B (2)求tan(A-B)的最大值. 16.(15分).已知函数f(x)=l1nx+ax2+(a+2)x+a. (1)讨论f(x)的单调性： (2)证明：当a<0时，f()≤-2-2+a. 7 17.15分).已知边长为4的菱形ABCD(如图1)，∠BAD=兀，AC与BD相交于点O,E为线段A0上一点，将三角 形ABD沿BD折叠成三棱锥A-BCD(如图2). ) y E B C B C 图1 图2 (1)证明：BD⊥CE; (②)若三棱锥A-BCD的体积为8，二面角B-CE-O的余弦值为西 求OE的长. 0 8 8,Q7分)已知椭圆C:￡+=1a>b>0的两个焦点分别为，，离心率为，，点P为C上一点，P听E周 长为2√2+2，其中0为坐标原点. (1)求C的方程； (②)直线l:y=x+m与C交于A,B两点， 9 19.(17分)定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该 数列的一次“和扩充”，例如：数列1,3,5经过第一次“和扩充”后得到数列1,4,3,85；第二次“和扩充”后 得到数列1,5,4,7,3,11,8,13,5.设数列a,b,c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为P,所有项的和为Sn (1)若已知数列3,4,5，求，S2: (2)求不等式Pn≥2049的解集； (3)是否存在不全为0的数列a,b,c(a,b,c∈R),使得数列{Sn}为等差数列？请说明理由 10同安一中2024-2025学年（上)高三数学第一次月考 (考试时间：120分钟满分：150分) 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.己知集合A={x∈N 4eZ,B=x∈N-3x-4s0,则AnB=（D A.[-1,2] B.[0,2] C.{0,2,3} D.{1,2} 【答案】C 【详解】x2-3x-4≤0即(x-4)x+1)≤0，解得-1≤x≤4， 由题意得A={0,2,3,5,6,8,B={0,1,2,3,4}, 则A∩B={0,2,3}.故选：C 2.cos480=() 4号 B.3 D.- √ 2 2 【答案】A 【分析】根据诱导公式结合特殊角的余弦值即可求解， 【详解】c0s480=c0s(360+120)=c0s120=-c0s60=-1 故选：A 3.若tano=2tanβ，sin(o-B)=t,则sin(+B)=() A.2t B.-2t C.3 D.-3t 【答案】c 【详解】由ana=2anB,得sing-2sinP sin acos B=2cos asinB, cosa cosB, 由sin(a-B)=t,得sin acosB-cos asinB=t,故sin acos B=2t,cos asinB=t, 则sin(a+B)=sin acos B+cosasinB=3t,故选：C 4.如图是函数f(x)的部分图象，则f(x)的解析式为() A.f(x)= sin 6x 2-2 B.f(x)=sin6x 2*-2 C.f(x)= cOS6x coS6x 2*-2 D.f(x)=- 2-2 【答案】B 【详解】由图象可知函数f(x)为偶函数，且x→0，f(x)<0, 四个选项函数的定义域均为{xx≠O}, 1 对行于原，小当g:f0.国7为离故 而x→0,2-2>0，sin6x>0→f(x)>0,故A错误： 对行，小经， f(-)=c0(-6y_c0s6x 2*-2x-(2*-2） =-f(x),显然两项均为奇函数，故C、D错误： 对于B项，f(←刘=s如(-6型sin6x」 2-2=2-2=f(),即f(x)为偶函数， 而x→0,2-2(0，sin6x0→f(x)<0,故B正确.故选：B 5.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每 天的“进步”率都是1%，那么一年后是(1+1%)5=1.01365；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是 @16=09一年后“进步”的是“退步”的95=(01481倍，如果每天的“近步”帝和“迅 0.99 步”率都是20%，那么大约经过（)天后“进步”的是“退步”的一万倍.(1g2≈0.3010，g3≈0.4771) A.20 B.21 C.22 D.23 【详解】设经过x天“进步“的值是“退步”的值的10000倍， 则10000×0-0.2y=1.25,即3=10000， 0.81 ÷t=1og1210000=lg10000.4 4 4 23 0.8 后ee@-g*aa 故选：D. π4 6.若sina- 2)则cosa+-() 12 3 4 A.- B.- 5 5 c.5 D. 【答案】C 【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可代入求解. 【详解】casa+=coa-”+1图 4 12 1212 -ca合-刘ma9-号 故选：C 7.设函数f(x)的定义域为R,且f(2x-)是偶函数，f(x+)是奇函数，则下列说法一定正确的有() ①fx-8)=fw): ②f1+x)=-f1-):③f(-3)=0; ④f(2+x)=f(2-x) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2 【答案】B 【详解】由题意，函数f(x+)是奇函数，可得f(x)的图象关于点(I,0)对称， 所以f1+x)+f1-x)=0,所以②正确：令x=0,则f)=0, 又由f(2x-)是偶函数，所以f(2)的图象关于x=对称， 所以f(x)的图象关于x=-1对称，则有f(-1-x)=f(-1+x),令x=2, 则f(-3)=f)=0,所以③正确 在f(-1-x)=f(-1+x)中，将x用x-7替换，则f(x-8)=f(6-x), 在f(1+x)=-f1-x)中，将x用x-5替换，则f(6-x)=-f(x-4), 所以f(x-8)=-f(x-4),再将x用x+4替换，则f(x-4)=-f(x), 所以f(x-8)=f(x),所以①正确： 对于④中，由f(2-x)=-f(x),f(2+x)=-f(-x),无法推出其一定相等. 故选：B. &设a=竖- 。,c-2+h3,则a,b,c的大小关系为() e A.c>b>a B.b>cza C.b>a>c D.c>a>b 【答案】C 【分行】元将=坚-，将适商数()坚>0。胡究华调任：进面数大小时 【详解】构造函数f()=(>0),可得'(=-血x x2 当x∈(e,+o)时，f'(x)<0,f(x)单调递减， a-I2-Ind-f(4)b-e-f(e).c 24 e n3e=f3e） 3e2 由e<4<3e2,故f(e)>f(4)>f(3e2),即b>a>c 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个 选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.若函数f(x)=x3-3x2,则( A.f(x)的极大值点为2 B.f(x)有且仅有2个零点 3 C.点(1，-2)是f(x)的对称中心 1 2 3 4042 4043 D. + + …+f + -8086 、2022 2022 2022 2022 2022 【答案】BCD 【详解】对于A,由题意知f'(x)=3x2-6x yf(x) 令f'(x)>0,解得x<0或x>2,所以f(x)在(-o,0)上单调递增，在(2，+o)上单 调递增； 令f'(x)<0,解得0<x<2,所以f(x)在0,2)上单调递减。 所以f(x)在x=0处有极大值.所以f(x)的极大值点为0，A项错误： 对于B,又因为极小值f(2)=4<0,极大值f(0)=0,故f(x)有且仅有2个零点，故B正确： 对于C,f(2-x)+f(x)=(2-x)3-3(2-x)+x-3x2=-4,对称中心为(1，-2)，故C正确： 对于D,由C选项，所以f 1 2 3 4042 +f 4043 f =-4 2022 (2022 +f +…+f 2022 2022 、2022 4043=-8086.故D正确。 2 故选：BCD. 10.已知函数f(x)=Acos(x+p)(A>0,⊙>0,0<p<)的部分图象如图所示，令g(x)=f(x)-Cos2x,则() A8国的一个对称中心是侣0 B.&)的对陈袖方为：石经kc☑ c.8在0 2π 上的值域为 D.g(x)的单调递减区间为 m、 + (kez) 【答案】ABD 【详解】由短器可得圣数1=o的装小值为-5，否（哥}证， 2元 又A>0,00,T=园，所以A=5.=2: 结合对称性可西数了()的图象过点行5 所以r(}-=v5c（石+ 解得p=兀+2，k∈Z,又0<p<元，所以p= 6 所ra2r+ 所以g6)-fes2=6aor2x+8-em2-m 2sin2x-cos2, 4 所以e2:9m2m2:到对干当=音m层引-0.所以后是时 个对称中心，故A正确：对于B,令2x+背：，ke2,可得x=经石，太e乙，故8（的对称轴方程为- 26 2 6 z,版nE:对于c引，x后所以到{引放车t的线 为 故C错误；对于D,令2km≤2x+≤π+2km(keZ),解得-亚+km≤x≤+km(k∈Z, 3 所以(e)的年调运减区间为红名6+k∈Z,夜D正路 故选：ABD L臣数=ae--5casx车区间0孕的最小值为-1，且在区间写)唯一的极大值点，则下列谈 法正确的有( A.a=1 .∈3 D.f(x)<1 ,) 【译解1：因=e小 cosx,f)=-ae+sinx 数在区同0引不单调。又。- V5os=-1, ..X=- 时，函数在区向0 2 上取得最小值，可得原条件的一个必要条件f'(受)=0， f()=-ae+2sin=-a+1=0,a=1, A 下面证明充分性： 当a=1时，f)=e子-1-V5cosx”f)=-6÷+反sinx 令g)=-e÷'+V5sinx,则g(因)=e子+V反cosx>0: 函数f在〔0引上单调通增，又f0=-e<0r受=-e+5>0, ∴.函数f(x)在 0写到上存在唯一的零点x-年且在0日到上f<0,在任)上f)>0, 函数在区问0习的最小值为f孕=-1，综上，a-=1放A正确， :f=-e子+2inx,令f=-e+V反sin=0,得e=2sinx 由函数图象可知y=e“y-2n在区同（行上只有一个交点， 即布在度一%〔任小传物。=反 又f语-e1re=-<0,故无年 3 =√5smy 月当e(5时，f>0,当ek时.f<0 在区间后上，5因唯一伤楼大值么气， 0 f)=e1小-5cs5-反n1-csx2s5-1. 故CD正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.命题“1≤x≤2,3x2-a≥0”为真命题的一个充分不必要条件是」 【答案】(-∞，3]的真子集，如：(-，2]（答案不唯一） 【详解】由“1≤x≤2,3x2-a≥0”为真命题，等价于a≤3x2在[1,2]上恒成立， 所以a≤(3r),x∈l,2]即可. 设f(x)=3x2,x[1,2],则 由二次函数的性质知，对称轴为x=0,开口向上， 所以f(x)在[1,2]上单调递增， 当x=1时，f(x)取得最小值为f(I)=3×12=3,即a≤3， 所以a≤3的一个充分不必要条件是(-0,3]的真子集，则a≤2满足条件. 故答案为：(0,2]（答案不唯一） 13.己知函数f(x)=(x-2a)lg1-)的图象关于直线x=b对称，则a+b=-一一 【详解】函数f(x)=(x-2a)lg(l-)的定义域为(-0,0)U(1,+o), 由函数∫(x)的图象关于直线x=b对称，得f(x)的定义域关于数b对称， 则b=0+11 D生-方此时必有-》=f2.(120lg2=2-20ls 1 解得a子成时0--d-白-兮动g高2e0-之-0. 61 因此至数心四的图除关于直线-方对格，即a 4·62满足愿意， 所以a+b=3 4 故答案为：4 6 14已知x>0,y>0,x+2y=8且兰+2>m+2m恒成立，则实数m的取值范围为 x 16y 【答案】-3<m<1 【详解】因为x+2y=8,所以x=8-2y, 所以4+25-4+258-2y)42525 x 16y x 16y x 2y 8 8y25x- x2y8x2y月 Vx2y 8 当且仅当8y-25x =2y,即4y=5x,即x=16v=20 7:y= 时取得等号， 所以4+2525 x 2y 8 有最小值为3， 因为8 >m2+2m恒成立，所以3>m2+2m,即m2+2m-3<0, 解得-3<m<1, 故答案为：-3<m<1. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 3 15.(13分).设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为，b,c,且acos B-bcos A=二c· 5 ()未an4的值 tan B (2)求tan(A-B)的最大值. 3 解：(1)在△ABC中，由正弦定理及acos B-bcos A= 可得sin Acos B--sin BcosA=3sinC sinC=3sin(A+B)=3s sin AcosBcs Asin B 5 5 即sin Acos B=4 cos Asin B.则lamA=4;7分 tan B (2)由anA-4得tanA=4anB>0 tanB tan(A-B)=tan A-tan B 3tan B 3 ≤3…10分 1+tan Atan B 1+4tan2 B 1 +4tan B 4 tanB 当且仅当4tanB=cot6,am6=tanA=2时.等号成立 1 3 故当anA=2,tanB=2时.tan(A-B)的最大值为413分 16.(15分).已知函数f(x)=l1nx+ax2+(a+2)x+a. (1)讨论f(x)的单调性： (2证明：当a<0时，f()5-2-2+a. 【详解】(1)f(x)=lnr+ax2+(a+2)x+a,定义域为(0，+o), 则f')=1+2ar+a+2-2ar'+(a+2x+1_(2x+)(ax+ ,(x>0),2分 ①当a≥0时，f'(x)>0,f(x)在(0，+∞)上单调递增：4分 ②当a<0时， 当x0月时，了的0,1在0君1单洞莲始： a 上单调递减 …7分 综上，①当a≥0时，f(x)在(0，+o)上单调递增， ②当a<0时，)在0-日)上单调道描，在上单洞递藏 …8分 a (2)当a<0时，要证f()5-2-2+a,只需证fS-2-2+a, a 11 即证na十。1≤0恒成立12分 令1=-。80=r-+a≥0.则g0-1号.-3分 当t∈(0,1)时，g'(t)>0,g(t)单调递增， 当t∈(L,+∞)时，g'(t)<0,g(t)单调递减， ∴g(t)的最大值为g(1)=0,即g(t)≤0. 1 .In 十一 a)a +1≤0恒成立，原命题得证.…15分 17.Q5分).己知边长为4的菱形ABCD(如图1)，∠BAD=工，AC与BD相交于点O,E为线段A0上一点，将三角 形ABD沿BD折叠成三棱锥A-BCD(如图2). D E B B 图1 图2 (1)证明：BD⊥CE: (2若三棱锥A-BCD的休体积为8，二面角B-CE-0的余弦值为店，求OE的长 10 【详解】()因为四边形ABCD是边长为4的菱形，并且∠BAD-号，所以ABD,%sCD均为等边三角形， 8 故AO⊥BD,C0⊥BD,且A0=C0=25,因为A0C平面AC0,C0c平面AC0,且AO∩CO=O, 所以BDL平面ACO因为CEC平面ACO,所以BD⊥CE.…7分 (2)设A到平面BCD的距离为h,因为等边三角形△BCD的边长为4， 所以三棱锥A-BCD的体积为二×5x4h=8,所以h=25,9分 34 因为A0=2√3，所以AO⊥平面BCD,…10分 以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O-z; Z 则0(0,0,0)，B(2,0,0),C(0,25,0,A(0,0,2W5),设E(0,0,n)>0) 因为BD⊥平面AC0,所以m=(（1,0,0)是平面ECO的一个法向量，…12分 设平面BCE的法向量为m=(x,y,), 又BC=-2,2W3,0),BE=(-2,0,nm), m,·BC=-2x+2√3y=0 故 2·BE=-2x+z=0 取=5，则)=：-9.行网（62 …14分 n mm 因为二面角B-CE-O的余弦值为 W15 10 10 L,所以四m1×4+ 2 2 解得：n=5或=5（舍去)，此时OE= 2 …15分 2 8,7分)已知椭圆C二+XQ>b>0的两个焦点分别为，5，离心率为号，点P为c上一点，4PF5周 长为2√2+2，其中0为坐标原点. (1)求C的方程； (2)直线l:y=x+m与C交于A,B两点， (1)求△OAB面积的最大值： (11)设OQ=OA+OB,试证明点Q在定直线上，并求出定直线方程. 【详解】(1)设焦距为2c,依题意， a2’ 解得 a=√2， 2a+2c=2W2+2, c=1, 又a2=b2+c2,所以b2=a2-c2=1, 所以C的方程为+y2=1.…4分 2 (2)(i)设A(x,y),B(x2,y2) 9 「x 因为{2 +y=1.所以32+4mx+2m2-2=0. y=x+m △=16m2-4×3×(2m2-2）>0,解得m2<3,6分 所以x,+2=-3,=2n二2 ,…7分 3 h=-广+(y-为-万x+5-45-5×V24--46-m9分 3 3 点0到直线1：x-y+m=0的距离d=四 …11分 △0AB的面积5=×4W5-m× 23√2 ×V8-m)ms2x-m)+m迈 …13分 3 3 2 当且仅当3-㎡2=m2,即m=士6时，△O4B面积的最大值为5.14分 2 (i)设2(xy),由OQ=OA+OB,有(xy)=(x+x2,y+y2) 即=考+5 y=%+y2 因为x+x34所以y+为=+5+2m=2m 3 4m =- 3 1 故 2m 于是有y=2x y=- 3 1 所以点卫在定直线y=2.17分 19.(17分).定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该 数列的一次“和扩充”，例如：数列1,3,5经过第一次“和扩充”后得到数列1,4,3,8,5；第二次“和扩充”后 得到数列1,5,4,7,3,11,8,13,5.设数列a,b,c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为n,所有项的和为Sn (1)若已知数列3,4,5，求，S2: (2)求不等式Pn≥2049的解集： (3)是否存在不全为0的数列a,b,c(a,b,c∈R),使得数列{Sn}为等差数列？请说明理由 【详解】(1)第一次“和扩充”：3,7,4,9,5；第二次“和扩充”：3,10,7,11,4,13,9,14,5； 故2=9，S2=76.…4分 10