精品解析：广东省广州市真光中学汾水校区2025-2026学年高二上学期12月阶段测试数学试卷

广州市真光中学 （高中部汾水校区）2025学年 高二12月阶段测试 数学 命题人：林菊 审题人：莫祺 2025.12 本试卷共4页，满分 150分，考试时间120分钟 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的. 1. 已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 相交 C. 相切 D. 内含 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系. 【详解】对圆，圆心，半径. 圆：，圆心，半径. 圆心距：. 因为，所以两圆相交. 故选：B 2. 在中，已知，，，则边上的中线长为（ ） A. B. 6 C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】需要先求出边的中点坐标，然后根据空间两点间距离公式来计算中线长. 【详解】已知，，根据中点坐标公式， 中点的坐标为. 已知，，根据空间两点间距离公式，. 故选：B. 3. 如图，在平行六面体中，M为，的交点.若，，，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，用基底表示空间向量即可. 【详解】因为：. 故选：D 4. 已知在等差数列中，，，则（ ） A. 12 B. 10 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，即可求解作答. 【详解】在等差数列中，，得，公差， 所以. 故选：C 5. 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由及已知条件，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，且 所以 故选:C. 6. 已知是椭圆：上一点，，是其左右焦点，则（ ） A. 椭圆的焦距为 B. C. 椭圆的离心率 D. 的面积的最大值是 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程、计算出焦距、离心率、焦点三角形面积并判断各选项． 【详解】如图： 根据椭圆的标准方程：，得，，所以. 所以：椭圆的焦距为：，故A错； 根据椭圆的定义：，故B错； 椭圆的离心率：，故C正确； 当点为椭圆短轴端点时，的面积最大，为：，故D错. 故选：C 7. 在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，用向量法即可求出底面边长，即可求解. 【详解】 如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设底面正方形边长为， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，可取， 所以， 因直线与平面所成角的余弦值为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得 故正四棱柱的体积为， 故选：B. 8. 双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，确定的关系，求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设直线与圆的切点为，作，交于点，则. 因为，，所以. 又为中点，所以，. 又，， 所以可设：，，. 由. 根据双曲线的定义：. 所以. 所以. 故选：A 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分 9. 已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A. 直线l恒过定点 B. y轴被圆C截得的弦长为 C. 直线l与圆C恒相交 D. 直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和y轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最长时，直线过圆心从而判断选项D. 【详解】对于A，直线，即， 由，解得，故直线过定点，故A错误； 对于B, 圆，当时，，故y轴被圆C截得的弦长为，故B错误； 对于C，直线过定点，,故点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确； 对于D，当直线l被圆C截得弦长最长时，直线过圆心，则，解得， 故直线方程为：，即，故D正确. 故选：CD 10. 已知，为双曲线的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则（ ） A. B. 双曲线C的渐近线方程为 C. 双曲线C的离心率为 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用双曲线的定义判断A，求出渐近线方程判断B，求出离心率判断C，利用判断D． 【详解】根据双曲线的定义，A错； 由双曲线方程知，，双曲线渐近线为，B错； ，离心率为，C正确； ，又的最小值是，从而，D正确， 故选：CD． 11. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ）. A. 异面直线与所成角为 B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 直线与平面所成角正切值的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：利用异面直线的夹角求解即可，选项B：应用线面垂直判定定理及性质判断.选项C：利用等体积法求解即可，选项D：利用空间直角坐标系使用代数法求解线面角的取值范围. 【详解】 对于A，因为正方体中，且为等边三角形，故异面直线与夹角为，故A正确； 对于C，因为平面，平面，所以平面 所以为定值，故C正确； 对于D，建立如图所示的直角坐标系，设正方体的棱长为1，设， ，，，，则， 所以， 由正方体的性质知：平面，平面， 平面， 故平面的法向量为， 对于B，不平行，所以平面不成立，B错误； 直线与平面所成角正弦值为， 因为，，所以当时取得最大值， 因，则，， 若或时，取得为，同法可得， 所以，则得，故D正确. 故选：ACD 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若向量，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标计算可得，进而结合模的坐标公式求解即可. 【详解】由，则，解得， 则，所以. 故答案为：. 13. 已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点弦长公式，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 所以，所以，， 所以， 所以直线的斜率为. 故答案为： 14. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离比为，则点到圆上的点的距离最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设点，先利用距离比值求出点的轨迹方程，确定圆心和半径，再根据圆的方程确定圆的圆心和半径，利用两点间距离公式求出圆心距，确定两圆的位置关系，最后利用两圆的位置关系求出点到圆的最大值． 【详解】设点，， ，整理得， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 圆的标准方程为， 圆是以为圆心，半径是， 圆心与之间的距离， ， 点到圆的距离的最大值为． 故答案为：． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 【答案】（1） （2），的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据等差数列性质可得，进而可得公差和通项公式； （2）根据等差数列求和公式求，再根据的符号分析最值. 【小问1详解】 因为为等差数列的前项和，且，， 则，即，可得公差， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为，则， 令，解得， 可知当时，；当时，； 所以的最小值为. 16. 已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长； （3）若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出，得出椭圆C的标准方程. （2）直线l与椭圆方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式得出结果. （3）设，根据“点差法”求出直线的斜率，由点斜式即可求解. 【小问1详解】 由题意设椭圆C的方程为， 因为椭圆经过点且长轴长为， 所以， 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由已知设直线l的方程为，设，. 将直线代入， 得， 所以，， . 【小问3详解】 设，则中点是， 于是，即， 由于在椭圆上，故， 两式相减得到，即， 故，于是， 故直线的方程是， 整理得 17. 已知动圆经过点，且与直线相切. （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2）已知是（1）中的轨迹上的两个动点，为坐标原点，且直线与的斜率之积为，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标. 【答案】（1）； （2）证明：设，直线的方程为， 由题意可知，把直线的方程代入（1）中的轨迹方程可得 所以， ， 又因为直线与的斜率之积为， 所以，即， 所以，解得:（舍）或 所以直线的方程为，所以直线恒过定点 【解析】 【分析】（1）利用几何关系，转化为抛物线的定义，求轨迹方程； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示直线与的斜率之积,即可求出定点坐标. 【详解】（1）设点与直线的切点为， 则，即动点到定点和定直线的距离相等， 点的轨迹是抛物线，且以为焦点，以直线为准线. ，故动圆圆心的轨迹方程是； （2）证明略，定点. 18. 如图，把的菱形纸片沿对角线翻折，E，F，G，H分别为，，，的中点，O是菱形对角线的交点. （1）证明：E，F，G，H四点共面； （2）若菱形纸片沿对角线翻折成直二面角，求折纸后异面直线，所成角的余弦值； （3）若菱形纸片沿对角线翻折到使异面直线，的所成角为，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 如图，连接. ∵E，F，G，H分别为，，，的中点， ∴，∴， ∴E，F，G，H四点共面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据可得E，F，G，H四点共面. （2）通过面面垂直证明线面垂直，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量计算异面直线所成角的余弦值. （3）通过分析得为二面角的平面角，利用余弦定理可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形为菱形，， ∴，为等边三角形，. 设菱形的边长为2，则. ∵二面角为直二面角，∴平面平面， ∵平面平面，，平面，∴平面. 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， ∴，故， ∴异面直线，所成角的余弦值为. 【小问3详解】 设菱形的边长为2，则. 如图，连接. ∵为等边三角形，∴， ∵异面直线，的所成角为，∴， ∵平面，，∴平面， ∵平面，∴，∴. ∵，平面，平面，平面平面， ∴为二面角的平面角. ∵， ∴平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 已知双曲线的左右顶点分别为，实轴，且左焦点到其中一条渐近线的距离为. （1）求双曲线的标准方程； （2）过左焦点的直线交双曲线左右两支于两点（点位于第一象限），直线与相交于点. （i）求证：点在定直线上； （ii）求证：射线平分. 【答案】（1） （2）（i）证明：由题知， 因为直线过，，点在第一象限，故直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 则， 方程的判别式， 由已知为方程的两个根， 所以， 因为直线的方程为，直线的方程为 联立可得 ， 则，即在直线上； （ii）证明：由（i）知，（其中） 则 即，故射线平分. 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，再求即可求解， （2）联立直线与双曲线的方程得韦达定理，可得， （i）求直线的方程，由此可得，再求，由此证明结论； （ii）由（i）求的坐标，求，，，由此证明. 【小问1详解】 由题意，设左焦点的坐标为， 双曲线的渐近线方程为：，， 左焦点到其中一条渐近线的距离为，可得， 又因为，解得， 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市真光中学 （高中部汾水校区）2025学年 高二12月阶段测试 数学 命题人：林菊 审题人：莫祺 2025.12 本试卷共4页，满分 150分，考试时间120分钟 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的. 1. 已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 相交 C. 相切 D. 内含 2. 在中，已知，，，则边上的中线长为（ ） A. B. 6 C. D. 7 3. 如图，在平行六面体中，M为，的交点.若，，，则向量（ ） A. B. C. D. 4. 已知在等差数列中，，，则（ ） A. 12 B. 10 C. 6 D. 4 5. 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是椭圆：上一点，，是其左右焦点，则（ ） A. 椭圆的焦距为 B. C. 椭圆的离心率 D. 的面积的最大值是 7. 在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分 9. 已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A. 直线l恒过定点 B. y轴被圆C截得的弦长为 C. 直线l与圆C恒相交 D. 直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 10. 已知，为双曲线的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则（ ） A. B. 双曲线C的渐近线方程为 C. 双曲线C的离心率为 D. 11. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ）. A. 异面直线与所成角为 B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 直线与平面所成角正切值的取值范围为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若向量，且，则__________. 13. 已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为___________ 14. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离比为，则点到圆上的点的距离最大值是______． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 16. 已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长； （3）若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程. 17. 已知动圆经过点，且与直线相切. （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2）已知是（1）中的轨迹上的两个动点，为坐标原点，且直线与的斜率之积为，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标. 18. 如图，把的菱形纸片沿对角线翻折，E，F，G，H分别为，，，的中点，O是菱形对角线的交点. （1）证明：E，F，G，H四点共面； （2）若菱形纸片沿对角线翻折成直二面角，求折纸后异面直线，所成角的余弦值； （3）若菱形纸片沿对角线翻折到使异面直线，的所成角为，求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 已知双曲线的左右顶点分别为，实轴，且左焦点到其中一条渐近线的距离为. （1）求双曲线的标准方程； （2）过左焦点的直线交双曲线左右两支于两点（点位于第一象限），直线与相交于点. （i）求证：点在定直线上； （ii）求证：射线平分. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $