福建省同安第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

同安一中2024-2025学年（上)高三数学期中考试 (考试时间：120分钟满分：150分) 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.已知复数二在复平面内对应的点与复数1-2i在复平面内对应的点关于虚轴对称，则复数二的共轭复数二=() A.-1+2i B.1-2i C.-1-2i D.1+2i 2.设x∈R,则x2-5x<0”是x-1K1”的() A.充分而不必要条件B.既不充分也不必要条件C.充要条件 D.必要而不充分条件 3.已知AB=I0,C是以AB为直径的圆上一点，AC=8,D为BC的中点，则DA.DB=() A.-10 B.-9 C.-8 D.-7 4.已知数列a}的首项a=}且满足an-i),则a,的值为〈) 4a+1N 1 A.79 B C. D. x3+1,x>0 5.已知函数∫(x)= 偶函数，则2+b=() ax+b,x<0 1 A.3 B.- 3 2 C. D.- 2 6.已知一张边长为2的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转亚弧度，则该纸片扫过的区域形成的几何体的 4 表面积为() A.2π B.π+8 C.2π+8 D.4π+8 7.已知“水滴的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为球冠”）所围成的几何体如图所 示，将“水滴”的轴截面看成由线段AB,AC和优弧BC所围成的平面图形，其中点B,C所在直线与 水平面平行，AB和AC与圆弧相切.已知“水滴”的竖直高度”与“水平宽度”(“水平宽度指的是平 行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值)的比值为4，则sim∠AC=(） C. D.24 5 8.已知函数f(x)的定义域为R,且f(1+x)+f(1-x)=f(x)f(0)=2,则f(20)+f(24)=() A.1 B.2 C.3 D.4 答案第1页，共11页 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要 求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分： 9.己知△ABC三个内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且c=2,则() A.若AD=AB,则cD=2cA+C8 B.若A=兀，则AB在AC上投影向量的模长为1 6 c,若8牙b}则角：有丙解 D.若cA.CB<0,则CA+CB<4 10.函数f(x)=sin(ox+p)(o>0,p∈0,2π)的部分图象如图所示，点P是图象上的 最高点，点A是图象与x轴的交点，点B在x轴上.若△PAB是等腰直角三角形，则下列 结论正确的是() A.@= 2 B.f(x)在区间(1,2)上单调递增 C.f(x)的图象关于点 对称 D.f(x)在区间[5,10]上有1个极值点 11.如图，四棱锥P-ABCD中，PD1底面ABCD,底面ABCD为正方形，且PD=AD=2,M, N,G分别为PA,PC,PB的中点，则() A.DN⊥BW B.CG与MW所成角的余弦值是 6 C.点G到平面PAC的距离为3 D.过点M,X,B的平面截四棱锥P-ABCD的截面面积为 3 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知a=(6,9,3),b=1,-2,-2),则a在b上的投影向量坐标为 13.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2=11,So=40.则数列{a}的前20项和为 14.若2x2-2x+anx≥0，则4的取值范围为 答案第2页，共11页 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15.已知数列{an}和等差数列bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且Sn+an=2,b=a,T4=4T2 (1)求数列{a},{b}的通项公式： (2)若cnan-bn=1,求数列{cn}的前n项和. 16.己知函数f(x)=ax In(1+x)+x2+x,a∈R, (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)若函数f(x)有三个零点，求实数a的取值范围. 17.如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，MB∥AN,AB=1,NA=2,BM=4,CN=√6. (1)证明：B⊥平面ABCD: (2)在线段CM(不含端点)上是否存在一点E,使得平面88N与平面WD夹角的余弦值为5 若存在求出 CE EM 的值，若不存在请说明理由。 答案第3页，共11页 18△MBC的内角A,B,C所对的边分别为ab,c.已知b=√5，sm(B+C） b-c sinB+sinc a-c (1)若C=刀，求a; 6 2》点D是aMBC外-点，AC平分一2MD,且∠AC-号a,求△BCD的面积的取值夜围 19.人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术，主要应用距离测试样本之间的相似度.在平面 直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A(x,),B(x2,y2),定义两种距离：欧几里得距离 D(AB)=V(x-x)+(y-y);曼哈顿距离(4，B)=-,+以-y, (1)求满足d(O,M)=1的点M的轨迹方程及轨迹曲线围成的图形面积； (2)在△ABC中，求证：d(A,C)+d(C,B)2d(A,B): (3)已知点P,Q是直线l:y-1=k(x-1)上的两动点，问是否存在直线l使得D(O,P)m=d(O,Q)mm？若存在，求出 所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由 答案第4页，共11页 同安一中20242025学年（上）高三数学期中考试参考答案 题号 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 答案 A D B A Q C 0 A ACD AC 题号 11 答案 AC 1.A【详解】复数1-2i在复平面内对应的点为1，-2，关于虚轴对称的点为(-1，-2)， 所以二=-1-2i,则=-1+2i.故选：A 2.D【详解】化简不等式，可知0<x<5推不出x-1<1;由x-1<1能推出0<x<5, 故“x2-5x<0”是“|x-1<1的必要不充分条件，故选D. 3.B【详解】如图，连接AD,BC,因为AB是圆的直径，所以AC⊥BC, 又AB=10,AC=8,则BC=6,又D是BC的中点，则BD=CD=3, .DA.DB=DBDC+CA=DB.DC+DB.CA=3×3×cos180°=-9.故选：B. EA详解因为aA00N,易知a0,所以=4+a即4 a4+1a 又4-所以日3，数 1 1 1 a 是以3为首项，4为公差的等差数列，则-344(n-)=4n-1,放a二 11 所以a,=4x20-179故选：A 5.C【详解】由已知得，当x>0时，则-x<0,即f(x)=x3+1,f(-x)=-a+b, ,f(x)为偶函数，.f(-x)=f(x),即x3+1=-x3+b, Q1,b=1,2+b=2+1正，放选 6.C【详解】因为一个边长为2的正方形纸片绕着一条边旋转T弧度，所形成的几何体为柱体的一部分， 是底面半径r为2，高h为2的圆柱的八分之一， 所以其表面积S=2（2元h+2m7)+2×2=（2π×2x2+2r×2)+8=2元+8， 8 故选：C 7.D【详解】设优弧BC所在圆的圆心为O,半径为R,连接OA,OB,OC,如图所示. 号知水清价多宜%度为Q1+,水T窗度为2，内越整知Q县有解得Q1, 3 因为4B与圆弧相切于点B,所以OB1AB,在Rt△4BO中，sm<BA0OBR3 OA5 5, R 3 B 又B40,所以BA0-m0- ,由对称性知，∠BA0=∠CAO,则 ∠BAC=2∠BAO,所以sin∠BAC=2sin∠BAOcos∠BAO=2× 5525,故选：D. 3424 答案第5页，共11页 8A【详解】由题意可知：函数f(x)的定义域为R,因为f(1+x)+f(1-x)=f(x), 则f(1-x)+f(1+x)=f(-x),可得f(x)=f(-x),所以f(x)为偶函数，由 f(1+x)+f(1-x)=f(x)可得f(2+x)+f(-x)=f(x+1)， 即 f(2+x)+f(x)=f(x+1)，整理得f(2+x)+f(1-x)=0,可得 f(3+x)+f(-x)=f(3+x)+f(x)=0,则f(6+x)+f(3+x)=0,可得f(6+x)=f(x), 所以6为f(x)的周期，由f(1+x)+f(1-x)=f(x),f(0)=2, 令x=0,可得f(1)+f(1)=f(0)=2,可得f(1)=1:令x=1,可得f(2)+f(0)=f(1)=1,可得f(2)=-1: 所以f(20)+f(24)=f(2)+f(0)=-1+2=1.故选：A. 9.ACD【详解】对于A,如图所示， AD-,根搭三点共线的向量表达武钓到CD=写C1+时C5放A正确 3 对于B,AB在AC上投影向量的模长为1AB1cosA=2×5=5.故B错误 2 对于C,如图所示，求得AH=2sm严=反<？=b,则有两组解，故C正确， 对于D,C,CB<0,则c为钝角，则cosC=B+ac<0,即E+d-c2<0, 2ba 即B+d<4,故C+CB<4,故D正确.故选：ACD, 10Ac详解】由题意可符AB=PB-1,则B行0该硒数的最小正周期7-42 则w=严 点刊在怕图限上.所i以付m1,e02,则m B CHC2 4 所以行》所以0=m经-9A正确：当习所，子牙行行》单调楼庆 B错误； 了)=mx=0,所以)的图候关于点行对你，c稳：令a)m〔任引=1，则经+年子ka, 42 +2k,keZ.又x[5,10],则：=3或4，即f(x)在区间[5,10]上有2个极值点，D错误故选：AC 1 k∈Z,即x= 11.AC【详解】如图，以点D为原点，以DA,DC,DP所在直线为x,y,二轴建立空间直角坐标系， 则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),D(0,0,0),M(10,1),N(0,1,1),G(1,1,1), DN=(0,1,1),BN=(-2,-1,1),所以DN.BN=0,DN⊥BN,故A正确：CG=(1,-1,1),N=(-1,1,0),则CG与MW 所成角的余弦值为cosCG,MN= CG.MN CG MN 5x√2 答，故B错谈：A(20-2,C=(02-2,设平面4C 1-1+06 答案第6页，共11页 的法向量为元=(x,y,z),则 :P1=2x-2z=0,令x=1,可得n=(11,),则点G到平面PAC的距离为 n.PC=2y-2z=0, 4-c列_-1+15 故C正确：设过点M,X,B的平面与线段PD的交点为Q(0,01), √3 3 则BM=(-1,-2,1),BN=(-2,-1,1),BQ=(-2,-2,t),因为M,N,B,Q共面，则BM,BN,BO共面， 故存在唯一实数对(2,4)使得BQ=元BM+BN,即(-2，-2，t)=2(-1,-2,1)+(-2,-1,1)=（-元-2，-2元-，+)， 「-2=-1-2， 所以-2-2-4解得t=号所以Q00)则0-(2-2) 因为MN.BO=2-2+0=0,所以 t=九+4， v180i+10=6,Bgh+4s2 3 ,所以过点M,N,B的平面截四棱锥P-ABCD的截面面积 为wB0=×5x2E_2,版D错误，放选：AC 3 3 12.(-2,4,4【详解】根据题意，ā=(6,9,3)，b=1,-2，-2), 则a-6=6-18-6=-18,b+4+4=3,则a在5上的投影向量1acos≤，6>6-a66=-2b. 1B11812 8-292 a=a+d=11 4=13 13.218【详解】设等差数列{an}的公差为d,由题意可得 即24+91=8解得d-2 ∴an=-2n+15,可得当n≤7时，a>0,当n≥8时，an<0,设数列a}的前20项和为To, 则T0=4+2+…+☑20=4+a2+…+4-4-4,--420=2(4+2+…+4）-(4+42+…+a20)） =2(+7264小2+201）241-220-(0x1-2019=218放答为218 14.{-2}【详解】令fx)=2x2-2x+adnx,则定义域为(0，+o),且f)=0, 由题意，x>0,f(x)≥0=f),f(x)mn=f),又fx)在(0，+o)上可导，所以x=1为函数f)的极值点， :f()=4x-2+0,f0=4-2+a=0,即a=-2,当a=-2时 f9=4-224-2x-2_22x+x-D,当x0,D时，f<0,单调递减，当x0,+m)时 f'"(x)>0,fx)单调递增，所以f(x)mm=f()=0，f(x)≥0成立.综上，2x2-2x+adnx≥0时a的取值范围为 {-2}.故答案为：{-2} 15.【小问1详解】由Sn+☑n=2,得S1+4=2,即2☑1=2，解得☑1=1，则b=4=1,…1分 设等差数列{bn}的公差为d,由T4=4T,,得4b+6d=4(2b+d),解得d=2b=2, 所以数列{bn}的通项公式为bn=b+(n-1)d=2n-1;… …3分 答案第7页，共11页 1 由Sn+a=2,得当n≥2时，S1+a1=2,两式相减得2a-a1=0,即a.=a-1,因此数列{a,}是首项 为1，公比为的等比数列，… …5分 所以数列a,}的通项公式为a,=4分1=（分 …6分 【小问2详解】由(1)及cnan-bn=1,得Cn= b.+1=2m2-1=n2 ……7分 a 令数列{cn}的前n项和为A，,则A,=1×2+2×22+3×23++n×2”, 于是2A=1×22+2×23+…+(n-1)×2”+n×2,两式相减得… …8分 A,=2+22+23++2”--21=20-2） -n21=-2-n-1)2+1,…12分 1-2 所以A=(n-1）:221+2.… …13分 16.【小问1详解】"(y)=ah(x+1)+ x+1 +2x+1,… …2分 则k=f'(0)=1,又f(0)=0,…4分 所以y=f(x)的切线方程为y=X;…5分 【小问2详解】f()=al血0+x)+x2+x=x[a血(1+x)+x+1], 故x=0是函数f(x)的一个零点， 由题意可知，方程a血(x+1)+x+1=0有两个不同的非零实数根，… …6分 显然=0不合题意，…7分 令t=x+1>0,则-1=血上， ………………9分 a t 设g0-兴，得g0 2 …10分 当t∈(0，e)时，g'()>0,8(t)单调递增， 当te(e,+∞)时，g'(t)<0,g(t)单调递减，… …12分 放g0m=g回-日 又t→0时，g()<0,t→+0时，8(t)→0，…l4分 放0<-】<，银即a<-€.…5分 17.【详解】(I)正方形ABCD中，BC⊥AB,,平面ABCD⊥平面ABMN,平面ABCD∩平面ABN=AB,BCc 平面ABCD,口BC⊥平面ABN,…3分 又BM,BNC平面ABMN,所以BC⊥BM,BC⊥BN, 答案第8页，共11页 又BC=1,CN=√6，则BN=VCN2-BC2=√5， 又AB=1,MA=2,则BN2=AB2+AN2,即NA⊥AB, …5分 又NA∥BM,则BM⊥AB,BC∩BA=B,BA,BCC平面ABCD, 口BM⊥平面ABCD; …7分 (2)由(1)知，BM⊥平面ABCD,BC⊥AB, 以B为坐标原点，BA,BM,BC为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则B(0,0,0),A(1,0,0),C(0,0,1),D(1,0,1),N(1,2,0),M(0,4,0), 设点E(x,y,z),CE=CM,∈(0,1)， [x=0 0(x,y,z-1)=元(0,4，-1)，☐y=42,故E(0,42,1-),☐BN=(1,2,0), z=1-1 BE=(0,4元，1-），…9分 BN.=+2y=0 设平面BEN的法向量为m=(x,,3), B孤m=4+1-)3=0令4=-2，则y=1,名=42 1-11 0= -21,-1 4元】 为平面BEN的一个法向量，又BD=(1,0,1),… …11分 设平面BDN的法向量为i=(x2,y2,z2),口 BN.i=x2+2y2=0 BD.=x+=0 令x2=2,则y2=-1,22=-2,所以i=(2,-1,-2)为平面BDW的一个法向量，…13分 8 cosm,= m列 -1 √5 3， 解得1=0或 …14分 则线段CM(不含端点)上不存在一点E,使得平面8BN与平面BwD夹角的余弦值为5 …15分 18【小问1详解】由正弦定理可知a=b sinA sin B sinC' 所以 in(B+C)）sin(π-A)sinA_a_b-c sinB+sinC sin B+sinC sin B+sinC b+c a-c 所以ad2-ac=b2-c2→a2+c2-b2=ac, 由余弦定理c0sB=4+2-B21 2ac 因为△ABC的内角AB,C,所以B=T, 3’ ……4分 答案第9页，共11页 又C-所以4牙。 =2 3 ………6分 6 6 2 AC BC 5 【小问2详解】由正弦定sin B sin∠BAC =2→BC=2sim∠BAC 2 AC CD 5 si∠ADC sin.∠DAC√3 =2→CD=2sin∠DAC …8分 3 又AC平分∠BAD,所以∠BAC=∠DAC, 因为四边形ABCD的内角和为2元，且∠B+∠ADC=元，易知π-2BAC=BCD,…10分 FSB2=BC,CDsn∠BCD=号×2sin∠B4C×2sin∠DAC×sn∠BC =2sin2∠BAC×sin(元-2∠BAC）=2sim2∠BAC×sin2∠BAC=(1-cos2∠BAC)sin2∠BAC,①…12分 设2∠BAC=x,则①=(1-cosx)sinx=sinx-cosxsinx 令f()=SinX-C0 sxsinx,则…I3分 f(x)=cosx--sin2x+cos2x)=-2cosx+cosx+1=(2cosx+1)(-cosx+1),........... 因为在4CD中0∠n4C骨所以02MC号，所以-分cosx<1, 2 1 3 1 所以 2cosr<1时f()>0恒成立， 且c=-分号时f网3 ,c0SX=1,X=0时f(x)=0,…16分 3 则0<f田<35 所以0<5如 3W5 …17分 4 4 19.【详解】(1)设M(x,y),则+y=1, 当x≥0，y≥0时，则x+y=1;当x≥0，y<0时，则x-y=1; 当x<0,y≥0时，则x-y=-1;当x<0,y<0时，则x+y=-1…4分 十1= 如图，点M的轨迹是一个边长为√2的正方形， X-= ∴点M的轨迹所围成的图形面积为(2)=2.…6分 (2)A(x:y),B(xg,y8),C(x.v), 答案第10页，共11页