上海市徐汇区2025-2026学年高三上学期学习能力诊断卷（一模）数学试卷

2025学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学试卷 2025.12 考生注意： 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分」 2、每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等相关信息， 3.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题所有作答务必填涂在答 题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分 一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）考生 应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果， 1.设复数z=2+i（其中i为虚数单位)，则|z= 2.设集合A=(-2,2),B=(1,+∞)，则A∩B=」 3.函数y=sinx+cosx的值域为 4.若幂函数y=f(x)的图像经过点(5,3，则该幂函数的表达式为y= 5.设向量a=(-1,-2),五=(-3,4)，则a在i上的数量投影为 6.相关部门在上海市随机调查了10户居民六月份的用电量（单位：kWh),从小到大排列依 次为31、74、78、99、101、107、127、131、208、223，则这10户居民用电量的第75百分 位数为 7.已知1+2x)0=a+ax+a2x2++aox0,则4= 8.一个底面积为1的正四棱柱的所有顶点都在同一球面上，若该球的表面积为4π，则该正四 棱柱的高为 9.从20名男生和18名女生中选取5人组成一个宜传小组，其中男生和女生都不少于2人的 选法有 种。 lx-2,x20 10.设f(x)= <0 1 ,若实数为为满足为<名<，旷)=f)=f传)，则V西 的最小值为 11.某城市核心区域可看作一个平面，市中心为点O,城市有两个交通枢纽站点A、B,其中 站点A在市中心O的正东方向，距离O点4公里，站点B在市中心O的正北方向，距离O点 徐汇区高三数学本卷共5页第1页 也是4公里.为了动态调整交通信号，相关部门计划在距离中心O点2公里的位置，设置一个 移动数据采集点C,通过监测∠ACB的大小来优化信号.当∠ACB最大时， sin∠ACB= 、（结果精确到0.01) 12.已知数列{a,}满足：a=0,对任意的正整数n均有an-an-1∈{1,2}，若存在正整数 k(1≤k≤9)，使得所有数列{an}均满足a+a2+…+ak≤akH+ak2+…+ao,则k的最大值为 二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）海 题有且只有一个正确选项，考生应在答题卷的相应编号上，将代表正确选项的小方格涂黑。 13.已知x为实数，则“x2是有理数”是“x是有理数的()条件 7 8 A.充分非必要B.必要非充分C.充要 D.既非充分又非必要 69 14.用简单随机抽样的方法抽取某个品种的小麦样本13株，测得麦穗长度 9 16778 (单位：cm),以其整数部分作为“茎”，小数部分作为叶”绘制茎叶图如右 10 026 图所示.用该样本数据估计此品种小麦麦穗长度平均为（)·（结果精 11 27 确到0.1cm) A.9.9cm B.9.8cm C.9.7cm D.9.6cm 15.设P为椭圆。+长=1上一动点，M、N分别为圆G:(x+3)+y2=1和圆 2516 C2:(x-3)2+y2=4上的动点，则PM+PW不可能为(). A.7.5 B.9.5 C.11.5 D.13.5 16.已知neN,集合P.={求=(：，x2,x,,x,bx∈{0,1,1≤i≤n,i∈N(x为n维向 量.若a=(44,4,,4)∈R,其中4=10≤i≤m,ie0,i=(4,4,4,,b)eR,定义ab-24 设满足a.五=m的的个数为fm).关于下列两个命题的判断：①当m=3时，则∑f(m)=8: m=0 ②当m=2k,k是正整数时，则艺了m)=2,说法正确的是( A.①和②均为真命题 B,①和②均为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D,①为假命题，②为真命题 徐汇区高三数学本卷共5页第2页 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 写出必要的步骤. 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 在△ABC中，角AB、C的对边分别为a、b、c,已知a=4,b±5. (1)若cos2C=4,求△MBC的面积： (2)若内角C的对边c=6,求角A的正弦值及△ABC外接圆的半径R. 18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分， 某校高三年级学生参加了一次时政知1识竞赛，为了了解 个频率/组距 本次竞赛的成绩情况，从所有答卷中随机抽取100份作 0.030 为样本进行统计，将样本的成绩（满分100分，成绩均 0.020 0.015 为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)， 2m …,[90,1001得到如图所示的频率分布直方图 405060708090100成绩 (1)求实数m的值：若年级准备选取80分及以上的学生进入下一轮竞赛，己知该校高三年 级有1000名学生，估计该校高三年级参加下-轮竞赛的人数： (2)王老师抽取了10名参加竞赛的学生，他们的分数为：x2,为，0·已知这10个分 数的平均数x=91,标准差5=5，若剔除其中的96和86这2个分数，求剩余8个分数的平均 数与方差， 徐汇区高三数学本卷共5贞第3页 19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，已知BD是⊙O的直径，点C是⊙O上异于B、D的一点.设过点C的直线AC垂直于 ⊙O所在的平面，且AC=BD=2, (1)若C为BD中点，E为线段AC的中点，F为线段AD上一点， 且EF∥平面BCD.求证：F为线段AD中点，并求三棱锥F-BCD 的体积： (2)记二面角A-BD-C的平面角为日，求B的最小值，并指出其 取得最小值时点C的位置： 20.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满 分8分： 己知抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为1. (1)若点E(4,4)在抛物线Γ上，求EF所在直线的斜率： (2)若准线1：x=-1,点P为抛物线Γ准线l上的一个 动点，过点P作圆M:x2-4x+y2+3=0的两条切线， 切点分别为A、B.若两条切线PA、PB与y轴分别交于 点S、T,求ST的最小值； 第（2)题图 (3)若点F到准线1的距离为2，过抛物线T的准线1上一点Q作圆 N:(x-m)2+y2=1(m>0)的两条切线4，l2,且4，l2分别与Γ交于C(s,4),D(S2,42)两点 和G(53,l3),H(54,l4)两点.问：是否存在某个圆N，使得当点2运动时，t24为定值？ 若存在，求出该定值；若不存在，诮说明理由. 徐汇区高三数学本卷共6页第4页 21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满 分8分. 已知函数y=∫(x)的定义域为D,若其导函数y=∫'(x)在D上是严格减函数，则称f(x)是 一个“S函数” (1)设(x)=血x,(x)=c.分别判断y=f(x小y=(x)是否为“S函数”，并说明理由； (2)已知数列仍，}是公差为d(d>0)的等差数列，且{亿，}的各项都为正数，若定义在(0，+∞) 上的函数y=g(x)是“S函数”，求证：g(6+)-g(佔2)<g(b1)-g(6.): (3)已知“S函数”y=F(x)的定义域为R,不等式F(x)>0的解集为(-o,0).证明：函数 y=F(x)在R上是严格减函数： 徐汇区高三数学本卷共5页第5页