精品解析：广东省江门市新会华侨中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

新会华侨中学25—26学年第一学期高二级期中数学科试题 命题人：赖萍仙 审题人：彭燕梅 时间: 2025.11.24 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知直线过点且与直线垂直，则该直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线垂直的性质设出直线方程，再代入点求解参数即可. 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 将点代入，可得，解得， 可得所求直线方程为. 故选：D 2. 已知直线：：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据求出的值并进行检验，再利用充分必要条件的概念判断即可. 【详解】由，解得或, 当时，直线：，：，此时两条直线重合，舍掉， 当时，直线：，：，此时两条直线平行， “”是“”的充分必要条件. 故选：. 3. 如图，已知四面体的棱长都是4，点M为棱的中点，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据四面体的性质，结合向量加减法求向量的数量积． 【详解】四面体的棱长都是4， 四面体的4个面均为边长是4的等边三角形， 点M为棱的中点， ， ， 故选：A． 4. 已知点，，若直线与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得直线恒过的定点，数形结合只需求得线段与直线有交点时的斜率，结合斜率和倾斜角的关系即可求得结果. 【详解】因为直线的方程可化为， 所以直线过定点， 又，， 所以直线的斜率，直线的斜率， 所以PA的倾斜角为，PB的倾斜角为， 结合倾斜角和斜率的关系可知倾斜角的取值范围是， 故选：C． 5. 设数据1，2，3，4，m的下四分位数为m，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据下四分位数的定义将条件转化为由小到大排列是第二位，再求解. 【详解】因为，且五个数中下四分位数为， 所以由小到大排列，在第二位，所以. 故选：A. 6. 如图，在长方体中，，，E为中点，则D到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用距离公式即可得到答案. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系， 则,， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以，， 则点到平面的距离为. 故选：C. 7. 已知点在圆上，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知确定的几何意义，结合其最值对应直线与圆的位置关系及点线距离公式列方程求参数值，即可得. 【详解】由圆，圆心为，半径为1，表示点与原点连线的斜率， 所以的最大值和最小值，即该圆上点与原点所成直线斜率的最值，即直线与圆相切时的斜率， 设过原点的直线的方程为，直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 所以，解得或， 的最大值为，最小值为0. 故选：B 8. 如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，根据相互独立事件的概率公式求出、，即可求出、，再根据对立事件及独立事件的概率公式计算可得. 【分析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件， 则，， ，所以， 所以， 即该电子元件能正常工作的概率是. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的的部分分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组数据的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记，的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据平均值、方差、极差、中位数的定义及性质可得. 【详解】由题意可得，，，，. 故选：AD 10. 如图，在平行六面体中，，则（ ） A. 不能构成空间的一个基底 B. C. 平面 D. 直线与直线所成的角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：由题意得到不共面即可判断A不正确；对于B：由，结合向量的数量积计算即可判断；对于C：用向量法证得，再由线面垂直的判定定理即可判断；对于D：用向量法计算即可判断 【详解】对于A，因为在平面内，平面，所以不共面.能构成空间的一个基底，故A不正确； 对于B，， ，故B正确； 对于C，因为， 所以.，所以，所以. 又四边形为菱形，所以. 又，平面，所以平面.故C正确； 对于D，因为， 所以，所以， 所以直线与直线所成的角为.故D正确 故选：BCD. 11. 已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则（ ） A. 直线过定点 B. 的最小值为2 C. 的取值范围为 D. 当圆上恰有三个点到直线的距离等于时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，将直线整理成，得到，此方程组的解构成的点就是直线恒过的定点；对于选项B，先求出的圆心和半径，由直线过定点，可知过定点的直径是最长的弦，过定点且与这条直径所在直线垂直的直线与圆相交的弦长是最短的弦，求出定点到圆心的距离，则的最小值为代入数值即可得解；对于选项C，由求出，结合余弦定理求出的范围，利用向量的数量积的定义得到，由的范围得解；对于选项D，由圆上恰有三个点到直线的距离等于，得到圆心到直线的距离等于，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，则，计算即可得解. 【详解】对于选项A，直线，， ，，直线过定点，选项A正确； 对于选项B，的圆心为，半径为， 直线过定点，过定点的直径是最长的弦， 过定点且与这条直径所在直线垂直的直线与圆相交的弦长是最短的弦， 定点到圆心的距离为， 的最小值为，选项B错误； 对于选项C，，， ， ，，， ， ，，，选项C正确； 对于选项D，圆上恰有三个点到直线的距离等于， 圆心到直线的距离等于， ，圆心 圆心到直线的距离， ，选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间点到直线的距离计算方法求得正确答案. 【详解】因为，， 所以点P到直线的距离为. 故答案为： 13. 已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量公式求得，利用数量积的运算律化简得，将已知条件代入得，最后利用数量积的定义求解即可. 【详解】由于在上的投影向量为， 则，即， 即，由，则，所以， 于是． 故答案为： 14. 正方体中，棱长为，则直线与的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与的距离． 【详解】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， ， ，，， 设和的公共法向量， 则，取，得， 直线与的距离为：． 故直线与的距离为． 故答案为：． 四、解答题：本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知三棱柱，平面平面，，，，分别是的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 因为，且是的中点，则， 又因为平面平面，平面平面，平面， 可得：平面，且平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而可得； （2）建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角的正弦值，进而可得余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在底面内作，以点E为坐标原点，方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系. 则， 可得，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得平面的一个法向量为， 又因为， 设直线EF与平面所成角为， 可得， 可得，所以直线与平面所成角的余弦值为. 16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的众数，中位数和平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】（1）； （2）众数为75，中位数为75，平均数为74； （3）平均数为62，方差为37. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求得； （2）根据直方图，及众数、中位数、平均数求法求值； （3）根据已知求样本总均值，再由总方差公式求样本总方差. 【小问1详解】 由每组小矩形的面积之和为1，得，解得； 【小问2详解】 由，得样本成绩的众数为75， 成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， 故中位数在内，由，得样本成绩的中位数为75， 由， 得样本成绩的平均数为74； 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的样本数为， 成绩在的样本数为， 所以， 总方差为. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面ABCD是直角梯形，，，且，E为CD的中点，F为线段PD上的点，. （1）证明：平面； （2）若，点M是AB的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）在线段PA上取N，使得，取线段的中点，连接， 则，，， 在梯形中，，E为CD的中点，则， 因此，四边形为平行四边形，， 而平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）在线段PA上取N，使得，取线段的中点，利用线面平行的判定推理得证. （2）由已知证得直线两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面平面，平面平面， ，平面，则平面， 因为，， 则，则，即直线两两垂直， 以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 则， 设平面MEF的法向量为， 则，取，得， 设平面的法向量为， 则，取，得， 则， 所以平面MEF与平面PEF夹角的余弦值为. 18. 在平面直角坐标系中，已知直线：，圆： （1）若直线与圆相切，求实数的值； （2）若，直线与圆相交于两点，求的面积； （3）若直线：与圆交于两点，且（为坐标原点），求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由圆的方程确定圆心的坐标和圆的半径，求到直线的距离，根据条件直线与圆相切，列方程求； （2）求圆心到直线的距离，再由弦长公式求，利用三角形面积公式求结论； （3）设，，由可得，联立与圆方程可得，，由可得，化简并求解方程可得结论. 【小问1详解】 圆的方程 可化为， 所以圆的圆心的坐标为 ，半径， 因为直线与圆相切， 圆心到直线的距离， 所以，解得， 【小问2详解】 由（1）圆的圆心的坐标为 半径， 若，则直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以， 所以的面积， 【小问3详解】 设，， 因为， 所以，故， 由，消得， 方程的判别式， 由已知是方程的根， 所以，， 因为，由可得，结合， 可得，故，， 所以， 所以. 19. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）． （1）已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围． 【答案】（1）① ； ②证明：记事件为“第三次收到的信号为1”，则． 记事件为“三次收到的数字之和为2”， 则． 因为， 所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2） 【解析】 【分析】（1）①记事件为“至少收到一次0”，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得；②记事件为“第三次收到的信号为1”，事件为“三次收到的数字之和为2”，证明即可； （2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，事件为“采用单次传输方案时译码为0”，根据题意可得，解不等式可解. 【小问1详解】 ①记事件为“至少收到一次0”，则． ②略 【小问2详解】 记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，则． 记事件为“采用单次传输方案时译码为0”，则． 根据题意可得，即， 因为，所以， 解得，故的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算各事件的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新会华侨中学25—26学年第一学期高二级期中数学科试题 命题人：赖萍仙 审题人：彭燕梅 时间: 2025.11.24 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知直线过点且与直线垂直，则该直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线：：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图，已知四面体的棱长都是4，点M为棱的中点，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知点，，若直线与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设数据1，2，3，4，m的下四分位数为m，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在长方体中，，，E为中点，则D到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 已知点在圆上，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 0 8. 如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（  ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的的部分分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组数据的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记，的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行六面体中，，则（ ） A. 不能构成空间的一个基底 B. C. 平面 D. 直线与直线所成的角为 11. 已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则（ ） A. 直线过定点 B. 的最小值为2 C. 的取值范围为 D. 当圆上恰有三个点到直线的距离等于时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为________． 13. 已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 14. 正方体中，棱长为，则直线与的距离为__________． 四、解答题：本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知三棱柱，平面平面，，，，分别是的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的众数，中位数和平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面ABCD是直角梯形，，，且，E为CD的中点，F为线段PD上的点，. （1）证明：平面； （2）若，点M是AB的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 在平面直角坐标系中，已知直线：，圆： （1）若直线与圆相切，求实数的值； （2）若，直线与圆相交于两点，求的面积； （3）若直线：与圆交于两点，且（为坐标原点），求实数的值. 19. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）． （1）已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $