精品解析：江苏省南京市第一中学2024-2025学年高一下学期数学周测（6）

2024级高一第二学期数2024级高一第二学期数学周测（6） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1. 已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可知，结合倍角公式解方程即可. 【详解】由题意，可知， 所以， 解得或， 因为，所以或或. 故选：D 2. 若，则的值（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用先得到，再利用即可得到答案 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可. 【详解】解：因为向量，且，那么， 所以向量在向量上的投影向量为， 故选：C. 4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用正弦定理与和差公式可得，根据角的范围可得，再结合倍角正弦公式即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得：， ， ，即 ， 即， 又 ，所以 ， 所以或，得或（舍）， 又 ，， ， 所以 . 故选：D. 5. 如图，四边形四点共圆，其中为直径，，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用余弦定理求得，由正弦定理求，最后由共圆、三角形面积公式求面积. 【详解】由，即， 所以题图圆的直径，故，又， 所以，， 由四边形四点共圆，故， 所以. 故选：B 6. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（ ） A. 设，若，则 B. 设，则 C. 设.若，则 D. 设，若与的夹角为，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示可得A错误；由向量模长的定义可得B错误；由向量平行的坐标表示可得C正确；由向量数量积的定义可得D错误. 【详解】A：因为，所以， 又，所以， 即， 所以， 因为，所以，故A错误； B：因为，所以， 所以， 又，且， 所以，故B错误； C：因为，所以， 又，则，即， 即，所以，故C正确； D：因为，所以， 又与的夹角为， 所以， 解得， 所以，故D错误； 故选：C. 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 已知，则（ ） A. 、，使得 B. 若，则 C. 若，则 D. 若、，则的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由无解可判断A；根据题意求得，结合两角差的正弦公式，可判定B；结合两角和的正弦公式，求得，利用余弦的倍角公式，可判定C；化简，结合函数单调性，可判定D. 【详解】对于A，若，由可得， 即，解得， 又因为，所以，所以方程无解，故A错误； 对于B，因为， 所以，即， 因为，所以， 所以，故B正确； 对于C，由选项B可知，， 所以，故C正确； 对于D，因为，， 所以， 令，则在上单调递减，无最小值， 所以在上无最大值，故D错误. 故选：BC 8. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，则的面积为 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若且有两解，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断AB，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D. 【详解】选项A：中，若， 即，所以由正弦定理得， 又由余弦定理得，所以，为钝角三角形，A说法正确； 选项B：中，若，则由正弦定理得，解得， 所以或，所以或，的面积或，B说法错误； 选项C：因为是锐角三角形，所以，所以， 又，所以，则， 又因为在单调递增，所以，C说法正确； 选项D：如图所示， 若有两解，则，解得，D说法正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 已知虚数，，______（写出一个符合题意的即可）. 【答案】i 【解析】 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数实部的定义，即可求解. 【详解】由，得， 又，则且，令，， 故符合题意. 故答案为：i（答案不唯一）. 10. 在中，角的对边分别为，，则角_____________. 【答案】 【解析】 【分析】对已知等式变形后结合两角和的正弦公式和辅助角公式以及三角形内角和关系化简求出结果即可. 【详解】因为， 所以， 即， 又， 所以， 所以，又，， 所以，， 故答案为：. 11. 如图，在梯形中，且为以为圆心，为半径的圆弧上的一动点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据向量的线性关系及数量积的运算律可得，设得到关于的三角函数形式，求最小值. 【详解】如下图，连接，则，，，又， 所以， 若，故， 又，则，故， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12. 已知向量，，且. （1）若，求的值； （2）求的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，然后用内积的坐标计算公式即可； （2）求出的表达式，再用三角函数知识求范围. 【小问1详解】 首先有. 由知，结合可知. 【小问2详解】 首先有. 当时，的取值范围是，所以的取值范围是. 13. 2024年是上海浦东开发开放34周年，浦东始终坚持财力有一分增长，民生有一分改善，全力打造我国超大城市的民生样板，使寸土寸金的商业用地变身“城市绿肺”，老码头、旧仓库变身步行道、绿化带等.现有一足够大的老码头，计划对其进行改造，规划图如图中五边形所示，线段处修建步行道，为等腰三角形，且，，，. （1）求步行道的长度； （2）若沿海的区域为绿化带，，，当绿化带的面积最大时，求该绿化带的周长与面积. 【答案】（1） （2）周长为；面积为 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得长度，由正弦定理得，结合勾股定理可求解； （2）由余弦定理、基本不等式得，结合三角形面积公式以及三角恒等变换转换为求三角函数最值即可求解. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得， 即， 由正弦定理可得 ， 即或（舍去，否则，与三角形内角和为矛盾）， 所以， 即为等腰直角三角形， 所以，即步行道的长度. 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 即， 又，当且仅当时取等号， 因为 ， 由，得， ， 所以，等号成立当且仅当且， 所以面积的最大值为 此时，所以， 周长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一第二学期数2024级高一第二学期数学周测（6） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1. 已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值（　　） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形四点共圆，其中为直径，，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 6. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（ ） A. 设，若，则 B. 设，则 C. 设.若，则 D. 设，若与的夹角为，则 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 已知，则（ ） A. 、，使得 B. 若，则 C. 若，则 D. 若、，则的最大值为 8. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，则的面积为 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若且有两解，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 已知虚数，，______（写出一个符合题意的即可）. 10. 在中，角的对边分别为，，则角_____________. 11. 如图，在梯形中，且为以为圆心，为半径的圆弧上的一动点，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12. 已知向量，，且. （1）若，求的值； （2）求的取值范围； 13. 2024年是上海浦东开发开放34周年，浦东始终坚持财力有一分增长，民生有一分改善，全力打造我国超大城市的民生样板，使寸土寸金的商业用地变身“城市绿肺”，老码头、旧仓库变身步行道、绿化带等.现有一足够大的老码头，计划对其进行改造，规划图如图中五边形所示，线段处修建步行道，为等腰三角形，且，，，. （1）求步行道的长度； （2）若沿海的区域为绿化带，，，当绿化带的面积最大时，求该绿化带的周长与面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $