精品解析：广东省湛江市吴川市第四中学2025-2026学年高一上学期期中测试数学试卷

2025－2026学年度第一学期高一级期中测试数学试卷 考试时间：120分钟，满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“每个函数都有最大值”的否定是（ ） A 每个函数都有最小值 B. 每个函数都没有最大值 C 至少有一个函数没有最大值 D. 至少有一个函数没有最小值 3. 已知函数，则（　　） A. B. C. D. 4. 已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A B. C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若幂函数的图象关于轴对称，则（ ） A. 8 B. C. 4 D. 2 7. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 8. 已知函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论不正确的是（    ） A. B. C. D. 10. 实数､满足，，则下列结论正确的有（ ） A B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式解集为______． 13. 已知是奇函数，当时，，则____________． 14. 若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知：设求：； （2）已知，求取值范围. 16. (1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式． (3)已知函数是二次函数，且满足，，求的解析式． 17. 定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，. （1）求证：是奇函数； （2）判断的正负，并说明理由. 18. 为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，处理成本 (单位：万元)与处理量 (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为，，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品． （1）判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？ （2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？ 19. 已知，. （1）若关于x的不等式的解集为，求a的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数x的取值范围； （3）解关于x的不等式：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期高一级期中测试数学试卷 考试时间：120分钟，满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可解出． 【详解】因为，，所以． 故选：A. 2. 命题“每个函数都有最大值”的否定是（ ） A. 每个函数都有最小值 B. 每个函数都没有最大值 C. 至少有一个函数没有最大值 D. 至少有一个函数没有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】原命题“每个函数都有最大值”是含有全称量词的全称命题，故其否定是含有存在量词的特称命题. 【详解】命题“每个函数都有最大值”的否定是“至少有一个函数没有最大值”. 故选：C. 3. 已知函数，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合分段函数解析式运算求解. 【详解】因为函数， 所以. 故选：B 4. 已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行判断即可. 【详解】因为，且， 所以，，故CD错误； 因为，，所以即恒成立，故A正确； 取，，则，但此时，故B未必成立. 故选：A 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次方程，根据充分性、必要性的定义判断. 【详解】得或， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. 若幂函数的图象关于轴对称，则（ ） A. 8 B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查幂函数的性质，先根据幂函数的定义求出或，然后根据函数图象关于轴对称即可求解. 【详解】由题意得，得或， 又因为是偶函数，所以. 故选：C. 7. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以，故， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为7． 故选：D. 8. 已知函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数图象，数形结合即可得出结论. 【详解】由题知在同一坐标系下画出，图象如下所示： 由图可知的解集为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论不正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据，，及的范围，对各选项进行判定即可． 【详解】表示实数集，故，故A正确； 表示有理数集，，故B错误； 表示正整数集，，故C错误； 表示整数集，，故D正确． 故选：BC 10. 实数､满足，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理，即可求解. 【详解】由题意，实数､满足，， 根据不等式的性质，可得，所以A正确； 由，可得，所以，所以B不正确； 由不等式的基本性质，可得，所以C正确； 由，可得，可得，所以D不正确. 故选：AC. 11. 已知函数的定义域为，，，且，，则（ ） A B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数单调性的定义可得单调递减，然后根据函数的单调性逐项分析即得. 【详解】设，则，即， 令，则，所以上单调递减， 由，得，即，A正确； 因为，所以， 即，B正确； 因为，所以，C错误； 因为（当且仅当，即时，等号成立）， 所以，D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解. 【详解】不等式化为，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 13. 已知是奇函数，当时，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，再根据奇函数的性质即可得解. 【详解】解：因为当时，， 所以， 又是奇函数，所以，则. 故答案为： 14. 若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式求的最小值，解一元二次不等式即可求实数的取值范围. 【详解】不等式有解，满足即可， 两个正实数，满足， 则， 当且仅当，即时等号成立，得， 则有，即，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知：设求：； （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】（1）由集合的混合运算可得； （2）利用不等式的性质计算可得. 【详解】（1）由， 得，则，； （2）由于，故，则， 又，故. 16. (1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式． (3)已知函数是二次函数，且满足，，求的解析式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用换元法分析运算求解； （2）根据题意利用构建方程组法运算求解； （3）根据题意利用待定系数法运算求解. 【详解】（1）已知，令 ，则， 所以， 即. （2）因为，所以， 即 ，解得. （3）函数是二次函数，设， ∵，∴， 又∵，∴， 整理，得， 由恒等式的性质知，上式中对应项的系数相等， ∴，解得，∴. 17. 定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，. （1）求证：是奇函数； （2）判断的正负，并说明理由. 【答案】（1）证明见详解 （2），理由见详解 【解析】 【分析】（1）通过赋值，得，再通过赋值，结合奇函数的定义，即可证明； （2）根据题意结合奇函数性质运算求解即可. 【小问1详解】 因为函数的定义域为， 令，得，即， 令，可得，即， 所以在上为奇函数. 【小问2详解】 ，理由如下： 因为在上为奇函数， 则， 当时，，即， 所以. 18. 为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，处理成本 (单位：万元)与处理量 (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为，，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品． （1）判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？ （2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？ 【答案】（1）国家至少需要补贴万元，该工厂才不会亏损； （2）处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少. 【解析】 【分析】（1）求二次函数最大值即可判断； （2）根据基本不等式即可求得最小值. 【小问1详解】 当时，设该工厂获利为， 则， 所以当时，， 因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴万元，该工厂才不会亏损． 【小问2详解】 二氧化碳的平均处理成本， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 故取得最小值为， 所以当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少． 19. 已知，. （1）若关于x的不等式的解集为，求a的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数x的取值范围； （3）解关于x的不等式：. 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理即可求解； （2）由题得对任意的恒成立，利用更换主元法结合一次函数的单调性列出不等式即可求解； （3）根据解含参一元二次不等式解法求解即可. 【小问1详解】 由题可知，的两根为和， 所以，解得. 【小问2详解】 ，即，即对任意的恒成立， 所以 解得 所以的取值范围为. 【小问3详解】 不等式为，. ①若，则，解得 ②若，则，解得或. ③若，因为， 1° 若，即时，解得. 2° 若，即时，不等式无解. 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $