精品解析：四川省广安友谊实验学校2022-2023学年高二上学期期末模拟考试数学试题

友实2022-2023学年度上期高2024届期末考试 数学 班级____姓名_______ 一.单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1. 过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出直线方程，代入点求出，得到. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 将代入，得，解得：， 故直线方程为. 故选：D 2. 下列抛物线中，以点为焦点的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意设出抛物线的方程，再结合焦点坐标即可求出抛物线的方程. 【详解】∵抛物线为， ∴可设抛物线方程为， ∴即， ∴抛物线方程为， 故选：A. 3. 命题“∀x∈R，>0”的否定是(　　) A. ∃x0∈R，<0 B. ∀x0∈R，≤0 C. ∀x0∈R，<0 D. ∃x0∈R，≤0 【答案】D 【解析】 【分析】全称命题的否定是特称命题. 【详解】全称命题“∀x∈R，()x>0”的否定是把量词“∀”改为“∃”，并把结论进行否定，即把“>”改为“≤”．故选D. 【点睛】对特（全）称命题进行否定的方法是：改量词，否结论. 4. 为了解青少年视力情况，统计得到名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数，则该组数据的中位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将样本中的数据由小到大进行排列，利用中位数的定义可得结果. 【详解】将样本中的数据由小到大进行排列，依次为：、、、、、、、、、， 因此，这组数据的中位数为. 故选：B. 5. 一组“城市平安建设”的满意度测评结果，，…，的平均数为116分，则，，…，，116的（ ） A. 平均数变小 B. 平均数不变 C. 标准差不变 D. 标准差变大 【答案】B 【解析】 【分析】利用平均数、方差的定义和性质直接求出，，…，，116的平均数、方差从而可得答案. 【详解】，，…，的平均数为116分， 则，，…，，116的平均数为 设，，…，的方差为 则 所以 则，，…，，116的方差为 所以，，…，，116的平均数不变，方差变小.标准差变小. 故选：B 6. 用秦九韶算法计算多项式，时，的值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据秦九韶算法逐步计算可得. 【详解】由秦九韶算法可得：， ， . 故选：B. 7. 某地政府为落实疫情防控常态化，不定时从当地780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测.把这批公务员按001到780进行编号，若054号被抽中，则下列编号也被抽中的是（ ） A 076 B. 104 C. 390 D. 522 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得组数与抽中编号的对应关系，即可判断和选择. 【详解】从780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测， 故需要分为组，每组人，设第组抽中的编号为， 设，由题可知：，故可得， 故可得. 当时，. 故选：. 8. 有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是（ ） A. 互斥但非对立事件 B. 对立事件 C. 相互独立事件 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】 事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时不发生． 【详解】解：甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机向东、南、西、北四个方向前进， 每人一个方向， 事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时不发生， 故事件“甲向南”与事件“乙向南”是互斥但不对立事件． 故选：． 【点睛】本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，要熟练掌握基本概念． 9. 在区间上随机取一个数，则事件“曲线表示圆”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出曲线表示圆参数的范围，再由几何概率可得答案. 【详解】由可得 曲线表示圆，则解得或 又 所以曲线表示圆的概率为 故选：D 10. 已知，，，执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出、的值，执行程序框图中的程序，进而可得出输出结果. 【详解】，，则， 执行如图所示的程序，，成立，则，不成立，输出的值为. 故选：B. 11. 在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　 　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】分析：由题意将所求解的最值问题结合椭圆的定义通过焦点转化为三点共线的问题，然后数形结合求解|PA|＋|PB|的最大值即可. 详解：∵椭圆方程为，∴焦点坐标为和， 连接，根据椭圆的定义，得，可得， 因此. 当且仅当点P在延长线上时，等号成立. 综上所述，可得的最大值为5. 本题选择D选项. 点睛：椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况． 12. 双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线定义、余弦定理，结合题意，求得关系，即可求得离心率. 【详解】根据题意，作图如下： 不妨设，则，，①； 在△中，由余弦定理可得：，代值得：，②； 联立①②两式可得：； 在△和△中，由， 可得：，整理得：，③； 联立②③可得：，又， 故可得：，则， 则，故离心率为. 故选：C. 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. “ ”是“”的__________条件. 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】根据正难则反的原则，可以考虑逆否命题 “”是“”的什么条件，即可得出结论. 【详解】由于“”是“”的充分不必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件．故填充分不必要. 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的概念，属于中档题. 14. 已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为_____________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据给定条件可得点P是动圆与圆C的公共点，再借助两圆的位置关系列式求解即得. 【详解】因点P满足，则点P在以线段AB为直径的圆上(除点A，B外)，即点P在以原点O为圆心，m为半径的圆上， 于是得点P的轨迹方程为：，又圆的圆心，半径为3， 而点P在圆C上，即圆O与圆C有公共点，因此有，而， 即，解得，当且仅当圆O与圆C内切时，m=8，圆O与圆C外切时，m=2， 所以m的最大值为8. 故答案为：8 15. 椭圆：的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得：，再结合，整理可得离心率． 【详解】已知，设，则， ，， 故①， ∵，即②， ②代入①整理得：， ． 故答案为：． 16. 已知直线与轴交于点，为直线上异于的动点，记点的横坐标为．若椭圆：上存在点，使得，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由过点倾斜角为或的直线与椭圆有公共点即可得． 【详解】设，若的倾斜角为，则直线方程为，即， 由，消去得，， 所以，解得， 若的倾斜角为，则直线方程为，即， 由，消去得，， 所以，解得， 当时，与重合，不合题意， 综上，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查椭圆中的存在性问题，解题关键是把问题转化为直线与椭圆有公共点问题，设出直线方程与椭圆方程联立方程组，方程组有解即可得，注意特殊点要去除． 三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 命题关于的不等式命题函数 求实数的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】容易求出命题p为真时，﹣2＜a＜2，而q为真时，a＜1．由p∨q为真，p∧q为假便可得到p真q假，或p假q真两种情况，求出每种情况的a的范围，再求并集即可得出实数a的取值范围． 【详解】①若命题p真，则：△=4a2﹣16＜0，∴﹣2＜a＜2； ②若命题q为真，则：3﹣2a＞1，∴a＜1； ∴p∨q为真，p∧q为假，则p真q假，或p假q真； ∴，或； ∴1≤a＜2，或a≤﹣2； ∴实数a的取值范围为． 【点睛】“”，“”“”等形式命题真假的判断步骤：（1）确定命题的构成形式；（2）判断其中命题的真假；（3）确定“”，“”“”等形式命题的真假. 18. 某班名学生期中考试数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是、、、. （1）估计该班本次测试的平均分； （2）在、中按分层抽样的方法抽取个数据，再从这个数据中任抽取个，求抽出个中至少有个成绩在中的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得的值； （2）分析可知，所抽取的个数据中，成绩在内的有个，分别记为、、、，成绩在内的有个，分别记为、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图可得. 【小问2详解】 解：因为数学成绩在、内的频率分别为、， 所以，所抽取的个数据中，成绩在内的有个，分别记为、、、， 成绩在内的有个，分别记为、， 从这个数据中，任取抽取个，所有的基本事件有：、、、、 、、、、、、、、、、，共个， 其中，事件“抽出个中至少有个成绩在中”所包含的基本事件有：、 、、、、、、、，共个， 故所求概率为. 19. 已知圆C过点且与直线相切于点． （1）求圆C的方程； （2）若直线过点A且与直线平行，求直线被圆C截得的线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)设出圆C的方程，再根据给定条件列出方程组求解即得. (2)求出直线的方程，再求出圆C的圆心到直线的距离即可计算得解. 【小问1详解】 设圆的方程为，依题意，直线，而直线的斜率为-2， 于是得：，解得：， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由直线过点且与直线平行，则直线的方程为：，即：， 由(1)知，圆的圆心，半径，则点到直线的距离为， 直线被圆截得弦长为，则， 所以直线被圆C截得的线段的长． 20. 为弘扬劳动精神，树立学生“劳动最美，劳动最光荣”的观念，某校持续开展“家庭劳动大比拼”活动某班统计了本班同学月份的人均月劳动时间单位：小时，并建立了人均月劳动时间关于月份的线性回归方程，与的原始数据如表所示： 月份 人均月劳动时间 由于某些原因导致部分数据丢失，但已知． （1）求，的值； （2）求该班月份人均月劳动时间数据的残差值残差即样本数据与预测值之差． 参考公式：在线性回归方程中，． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由表知，，，由，可得，由回归直线方程恒过样本中心点，可得，再由，得，然后解方程组，即可； （2）把代入（1）中得到的回归方程，求得预测值后，即可得解． 【小问1详解】 由表知，，， 所以， 所以，即， 因为回归直线方程恒过样本中心点， 所以，即，由，得，， 因为，所以， 由，得，． 【小问2详解】 由（1）知，线性回归方程为， 所以当时，预测值， 此时残差为． 21. 已知椭圆：经过点，且离心率. （1）求椭圆的方程； （2）若，是椭圆上异于的两点，直线，的斜率分别为，且，，为垂足.是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出点坐标及定值.若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，，. 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆离心率公式，结合代入法，椭圆中的关系进行求解即可； （2）设出直线的方程与椭圆方程联立，根据，结合直线斜率公式、一元二次方程根与系数关系、根的判别式可以判断出直线所过的定点，最后根据直角三角形的性质进行求解即可. 【详解】解：（1）由，得，，. 因为， 所以， 解得：，，. 所以椭圆的方程为. （2）设，，由题意得直线的斜率一定存在，直线的方程为，则 联立，消得：， ，得：， ，， . 由得：， 即， 当，直线过定点，舍去. 当，直线过定点. 此时，，得，存在直线过定点. 当为，的中点，即，此时. 【点睛】关键点睛：本题的关键有二： 一是根据一元二次方程根与系数关系，结合已知，得到直线过定点； 二是应用直角三角形斜边中线等于斜边一半这个性质进行求解. （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22. 在直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为. （1）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程； （2）若点在圆C上，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）通过消参数可得直线l的普通方程，利用两角和差的余弦公式和化简可得圆C的直角坐标方程； （2）根据圆的参数方程化简，利用辅助角公式结合三角函数求取值范围. 【小问1详解】 由得，，即； ， 则，即， 则直线l的普通方程为， 圆C的直角坐标方程为； 【小问2详解】 因点在圆C上，则设， 则 ， 故的取值范围为. 23. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）分类讨论，得出使得绝对值不等式成立的不等式组，然后求解x的范围即可； （2）可化为，然后根据绝对值三角不等式可出，进而可得，最后求出a的取值范围即可. 【详解】（1）， 或或 或或 ， 即不等式的解集为； （2），即， 可化简为：， ， ，. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 友实2022-2023学年度上期高2024届期末考试 数学 班级____姓名_______ 一.单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1. 过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 下列抛物线中，以点为焦点的是（ ） A. B. C. D. 3. 命题“∀x∈R，>0”否定是(　　) A. ∃x0∈R，<0 B. ∀x0∈R，≤0 C. ∀x0∈R，<0 D. ∃x0∈R，≤0 4. 为了解青少年视力情况，统计得到名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数，则该组数据的中位数是（ ） A. B. C. D. 5. 一组“城市平安建设”的满意度测评结果，，…，的平均数为116分，则，，…，，116的（ ） A. 平均数变小 B. 平均数不变 C. 标准差不变 D. 标准差变大 6. 用秦九韶算法计算多项式，时，的值为 A. B. C. D. 7. 某地政府为落实疫情防控常态化，不定时从当地780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测.把这批公务员按001到780进行编号，若054号被抽中，则下列编号也被抽中的是（ ） A. 076 B. 104 C. 390 D. 522 8. 有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是（ ） A. 互斥但非对立事件 B. 对立事件 C. 相互独立事件 D. 以上都不对 9. 在区间上随机取一个数，则事件“曲线表示圆”的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　 　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12. 双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C D. 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. “ ”是“”的__________条件. 14. 已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为_____________． 15. 椭圆：的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为___________. 16. 已知直线与轴交于点，为直线上异于的动点，记点的横坐标为．若椭圆：上存在点，使得，则的取值范围是________． 三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 命题关于的不等式命题函数 求实数的取值范围. 18. 某班名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是、、、. （1）估计该班本次测试的平均分； （2）在、中按分层抽样的方法抽取个数据，再从这个数据中任抽取个，求抽出个中至少有个成绩在中的概率. 19. 已知圆C过点且与直线相切于点． （1）求圆C的方程； （2）若直线过点A且与直线平行，求直线被圆C截得的线段的长． 20. 为弘扬劳动精神，树立学生“劳动最美，劳动最光荣”的观念，某校持续开展“家庭劳动大比拼”活动某班统计了本班同学月份的人均月劳动时间单位：小时，并建立了人均月劳动时间关于月份的线性回归方程，与的原始数据如表所示： 月份 人均月劳动时间 由于某些原因导致部分数据丢失，但已知． （1）求，的值； （2）求该班月份人均月劳动时间数据残差值残差即样本数据与预测值之差． 参考公式：线性回归方程中，． 21 已知椭圆：经过点，且离心率. （1）求椭圆的方程； （2）若，是椭圆上异于的两点，直线，的斜率分别为，且，，为垂足.是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出点坐标及定值.若不存在，请说明理由. （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22. 在直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为. （1）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程； （2）若点在圆C上，求的取值范围． 23. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $