青海西宁市大通县2026届高三下学期第二次模拟考试数学试卷

大通县2026届高三第二次模拟考试试卷 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 h 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 弥 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知全集U={x-1<x<5},CA={x|-1<x<2},则集合A= A.{x2<x≤5} B.{x|2x≤5} 蚁 C.{x|2<x<5} D.{x|2≤x<5} 2.复数(3+i)(1一2)的实部与虚部之和为 A.0 B.1 C.2 D.3 封 3.已知函数f(x)=2e-3a.x的极值点为0，则a= A.0 B c号 4已知F1,F:分别是双曲线C&=1(Q>0,6>0)的左右焦点，C上的-一点P满足 PFI-PF2 号PrFl,则C的离心率为 A.3 b. C.2 线 5.若tana=-7,则cos2a= A号 c酷 4 25 D.一25 郭 6.从三棱台的9条棱中选2条，则这2条棱不平行的选法种数为 A.32 B.33 C.34 D.36 7.已知等比数列{an}的前n项和为Sm,且S5=S4十a4十6，a3a6=27,则{an}的公比为 A3或号 R3成号 c月收 D政-9 【高三数学第1页（共4页）】 8.彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样.某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的 底座)如图2所示，已知该碗的底座高为1cm,曲线AC,BD均是焦点到准线的距离为5cm 的抛物线的一部分，则该碗的高度为 21 cm t9 cm C D 图1 图2 A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.11 cm 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.如图，这是全国2025年下半年商品零售额和餐饮收入同 全国2025年下半年商品零售额 B/ 和餐饮收入同比增长速度图 比增长速度图，则全国2025年下半年 10 A.商品零售额同比增长速度的极差为2.9% B.商品零售额同比增长速度逐渐降低 C.餐饮收入同比增长速度的30%分位数为1.1% 5 D.餐饮收入同比增长速度的平均数小于2% 4.0 3.6 3.8 △ 3.3 3.2 10.已知数列{am},{bn}分别是等差、等比数列，则必有 、2.2 A.a5十a7=a12 2.8 2.1 0.7 B.a6十a7十a20=3a1 1.1 0.9 1.01 △ C.6162619-6263617 7月8月9月10月11月12月 D.b1十b2,b3十b4,b5+b6成等比数列 士商品零售额·餐饮收入 1.已知函数f(x)=3sin(2x+)十cos(2x+),g(x)=ax,则下列结论正确的是 Af(-T)=-2 B.f(x)的图象关于直线x=一8对称 Cx)在[云2]上的值域为1,2 D若fc)的图象与g:的图象在[，]上有公共点，则。的取值范围为[是24] [2424W3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(一3,5)，b=(2,m),且a/仍，则m=▲ 13.已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x十1)=f(x)-3,则f(一2)= 14.已知棱长为4的正四面体PABC的各顶点均在球O的球面上，M为PA的中点，动点Q在 球O的球面上运动，且QM⊥PA,则Q的轨迹长度为▲. 【高三数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A为钝角，sinC=3sinB,△ABC的面积 为3. (1)求A; (2)若△ABC的周长为2√13+8，求b. 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2,PA⊥AB,底面ABCD是正方形，E,F分别为 AD,PC的中点.过点D的直线I与PA平行，且I⊥BE. (1)证明：PA⊥底面ABCD. (2)求平面PAB与平面BEF夹角的余弦值 17.(15分) 已知函数fr)-3-ax+1 (1)若曲线y=f(x)在点（一1，f(-1D)处的切线1与直线y=一子x垂直，求1的方程： (2)讨论f(x)的单调性. 【高三数学第3页（共4页）】 18.(17分) 已知装园E后+若-1o6>0经过点1，》.且E尚K长与框袖长之比为2： (1)求E的方程. (2)已知点P(1,1),过点P且斜率为k1的直线l1与E交于A,B两点，过点P且斜率为k2 (k2≠k1)的直线l2与E交于C,D两点，M,N分别为AB,CD的中点，且k1十k2=1. (i)若P与M重合，求k1k2 (ⅱ)判断直线MN是否过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由. 弥 19.(17分) 某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有n(n≥2，n∈N+)种不同类型的卡 片，且每件玩具内每种类型卡片出现的概率相同，甲每次从中随机购买一件玩具， (1)若n=2,求甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率. (2)在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<1),用k(k∈N+,k ≤n)表示事件A首次发生时的试验次数，且k的分布列为P(k)=(1一p)-1p,k=1, 封 2,,m,则随机变量服从几何分布，该几何分布的期望为.已知甲集齐n种不同类 力 型的卡片恰好需要购买的玩具数为Xm (1)求Xm的数学期望E(Xm); (ii)证明：nln(n+l)<E(Xn)<n十nlnn. 线 【高三数学第4页（共4页）】数学参考答案 1.DA={x2≤x<5}. 2.A因为(3+i)(1一2i)=3十i-6i-22=5-5i,所以该复数的实部与虚部之和为5十（一5）=0. 3.C了)-2e-3a,因为了0)=2-3a=0,所以a-号经检验，当a-号时，)的极值点 为0. 4D由双线的性质得PF,一PF-2a-号F,R-所以C的离心率为一 a 2 5.D cos 2a-cosa-sin'a1-tan'a 24 sin'a+cos'a tana+1 25 6.B从三棱台的9条棱中选2条的选法种数为C=36,在三棱台中，共有3对棱平行，所以所 求的选法种数为36一3=33. 7.A设由等比数列的性质得a3a6=a4a5=27.由S5一S4=a4十6，得a5=a4+6.由 a4a5=27 a4=3, ”得 a4=一9， 或 a5=a4十6，a5=9 a5=-3, 所以a,的公比为3或 8.C如图，以该抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标 系，则该抛物线的方程为x2=10y.设B(xB,yB),D(xD, A o易得=公2则yg-0×[(》产 (2)门=9，所以该碗的高度为9+1=10cm. 9.BC商品零售额同比增长速度的极差为4%一0.7%=3.3%，A错误.商品零售额同比增长 速度逐渐降低，B正确.因为6×30%=1.8，所以餐饮收入同比增长速度的30%分位数为 具，1%，C正确，因为1.1十2.1十0.9十3.8十3.2十2.213.3>2，所以餐饮收人同比增长速度 6 的平均数大于2%，D错误 10.BC对于A选项，因为等式左边是两项之和，右边只有1项，所以a;十a7=a12未必成立，A 错误.对于B选项，等式两边均为3项之和，且下标之和相等，所以a6十a7十a2o=3a11,B正 确.对于C选项，等式两边均为3项之积，且下标之和相等，所以b1b2b1g=b2b3b17,C正确. 对于D选项，当公比为-1时，b1十b2=b3十b4=b5十b6=0,所以b1十b2,b3十b4,b5十b6不 是等比数列，D错误 11.ACD f(x)=2sin(2x+),f(-)=2sin()=-2,A 正确.由x=一苓，得2x十至-0，所以f(a)的图象不关于直线x =- 8对称B错误由x∈[]，得2x十受∈[吾]得 2in≤f)≤2sm登所以fu)在[行2]上的值减为[1， 【高三数学·参考答案第1页（共5页）】 2,C正确f)在[无]上的图象如图所示A(牙3)，（货.易得如24 长。票因为fx)的图象与&)的图象在[牙，]上有公共点，所以则k<a<k0即 24 「2424V3 a的取值范围为7元，元 ,D正确。 12.9 由a仍，得-3m=2×5,得m= 10 3 13.6令x=0,得f(1)=f(0)-3=-3.令x=1,得f(2)=f(1)-3=-6.故f(-2)= -f(2)=6. 14.2√6π如图，设P在平面ABC上的射影为P',四面体PABC K2AB-43 的外接球的半径为R易得PA=号× ,p'p= Q2------ VAP-PA=4由OM=PA:+P0,得R= M 3 (g5R),得R=后，因为M为PA的中点，所以QMLPA. 又QM⊥PA,所以Q的轨迹是半径为√6的圆，所以Q的轨迹长 度为2πR=2√6π. 15.解：(1)由正弦定理得C=3b.…2分 由△ABC的面积S-csnA=3 b,得sinA=33bV3 2c 2 …4分 因为A为钝角，所以A=2x 3 6分 (2)由余弦定理a2=6+c2-2660sA=6+962+26·3动·2-136，得a=13.… 10分 又a十b十c=√/13b十4b=2√13十8，所以b=2.…13分 16.(1)证明：因为lPA,l⊥BE,所以PA⊥BE.…2分 因为PA⊥AB,AB∩BE=B,ABC底面ABCD,BEC底面ABCD,…4分 所以PA⊥底面ABCD.…6分 (2)解：以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、 之轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,0,0),E(0,1,0), F(1,1,1),得BE=(-2,1,0),EF=(1,0,1).… 8分 n·BE=-2x+y=0, 设平面BEF的法向量为n=(x,y,之)，则 n·E求-=x十x=0, E …10分 令x=1,则y=2,之=一1，得n=(1,2,一1).… 12分 易得平面PAB的一个法向量为m=(0,1,0),…13分 【高三数学·参考答案第2页（共5页）】 m·n √6 所以平面PAB与平面BEF夹角的余弦值为 …15分 m n 3 17.解：(1)f'(x)=x2-2ax, …1分 则f'(-1)=1十2a,…2分 因为f-1D(-3)=-1. …3分 所以1十2a=3,得a=1.…4分 又f(-1)=-3-1+1=- 3 …5分 所以1的方程为y=3(1+1)-专，即9x-3y+8=0. …7分 (2)f'(x)=x2-2ax=x(x-2a). 当a=0时，f(x)=x2≥0，则f(x)在R上单调递增。…9分 当a<0时，令f'(x)>0,得x<2a或x>0,令f'(x)<0,得2a<x<0,…11分 所以f(x)在（一o∞，2a),(0,十o∞）上单调递增，在(2a,0)上单调递减.…12分 当a>0时，令f'(x)>0,得x<0或x>2a,令f'(x)<0,得0<x<2a,…13分 所以f(x)在（一o∞，0），(2a,十o∞)上单调递增，在(0,2a)上单调递减.…15分 +y9 8,解：)设a=21>0).则b=3,则E的方程为71， …1分 9 因为E经过点1，》所以十=1，得=1 2分 放上的方程为行+背-。 3分 xy近=1， 43 (2)(i)设A(x1y1),B(x2y2),由 …4分 43 =1, 得i+iy_2(1-x2)2yy2) 4 3 4 3 0 …5分 得，=业=3 x1一x2 …6分 .7 则k2=1一k1=4 …7分 故长：=一器 21 …8分 (i)直线11：y=k1(x-1)+1=k1x一k1+1.由k1+k2=1,得l1:y=k1x+k2.…9分 y=kx+k2, +-1 得(3+4k)x2+8k1k2x十4k号-12=0，…10分 【高三数学·参考答案第3页（共5页）】 -8k1k2 x1十x2= 3+4k 则 …11分 4k-12 x1x2- 3+4k 6k2 因为y1十y2=k1(x1十x)+2k,3+4 ,所以M的坐标为( -4k1k23k2 …✉ 3十4k?'3+4k …12分 4k1k2 3k1 同理可得N的坐标为3十4k'3十4k 13分 3k2 3k 3+4k3+4k 9(k2-k1)+12(k2-k) 又kN=一4k1k24kk2 16k1k2(k-k) 3+4k3+4k =9(k?一k1)十+12(k2-k1)[(k1十k2)2-k1k2] 16k1k2(k1一k2)(k1十k2) 9+12(1-k1k2)12k1k2-21 16k1k2 16k1k2 …15分 12k1k2-21 4k1k2 3k2 所以直线MN的方程为y= (x+ 12k1k2-21 16k1k2 3+4k 3+4k 16k1k2 12k1k2-21+12k2 16分 4(3+4k) 因为 2k1k2-21+12k2=-3(3+4k)=- 4(3+4k) 4(3+4k) ，所以直线MN过定点(0，-是) …17分 19.(1)解：甲第一次一定会得到一张卡片，甲第二次得到的卡片和第一次得到的卡片相同，甲第 三次得到的卡片和第一次得到的卡片不同，则甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的 卡片的概率为2×号×号×号是 3分 (2)(i)解：设X)表示在甲已获得第(i一1)种类型的卡后，获得第i(i∈N+,i≤n)种类型 卡片需要购买的玩具数，则Xn=X)十X(2)十…十Xw).…4分 甲第一次购买玩具得到第1种类型的卡片的概率为1， 在甲已获得第1种类型的卡片后，每次试验中获得第2种类型卡片的概率为”一] n 在甲已获得第2种类型的卡片后，每次试验中获得第3种类型卡片的概率为”一2， 依此类推，在甲已获得第（一1）种类型的卡片后，每次试验中获得第n种类型卡片的概率 为7，则XXa…,Xm均服从儿何分布.… …6分 所以E(X)=E(X)+EX)十…+E(Xm)=1千n十2干…十n.…8分 【高三数学·参考答案第4页（共5页）】 (i)i证明：E(X.)=1+0”十n”2十十n=a(分+十2t+1）=n(1+号 ++). …9分 设f)=lnu+D-x则fx)=1=千 当x∈(-1,0)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(0，+∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递 减，所以f(x)≤f(0)=0,得ln(x十1)≤x,当且仅当x=0时，等号成立.…10分 令得h则1na+1-lh8-h++lh时1+号++0 n …12分 设g=nx+1)-1则g')-十 当x∈(-1,0)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当x∈(0，十∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递 增，所以g(x)≥g(0)=0.得千≤nx+10,当且仅当x=0时，等号成立.…14分 令=a≥2.得<产则1+号…+<1+h2+la2++lh”=1中 n.②…16分 由0@得1a+1)1+号+号+…+女<1+1n n 所以nla(n+1)n(1+2++是）<n+nlnn,即nlh(m+1D<E(,)<n十mln. …17分 【高三数学·参考答案第5页（共5页）】