九年级数学期末综合练习题（2）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 北师大版九年级数学 期末综合试题（2） 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、 选择题（本题共计 10 小题 ，每题 4分 ，共计40分 ）   1.如图是由个大小相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（      ） A. B. C. D. 2.下列命题中，正确的是（    ） A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3.班级趣味运动会上，老师准备以抽签的方式将男生随机分为若干组进行拔河比赛．抽签方式：老师将数字，，分别写在张相同的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后每位男生从中一次抽出两张纸条，抽到两张纸条上的数字和相同的分为一组，下列描述正确的是（   ） A.抽到数字和为的概率为 B.抽到数字和为的概率为 C.抽到数字和为的概率为 D.这种方式抽到数字和为的可能性较大 4.用配方法解方程，配方后得到的方程是（   ） A. B. C. D. 5.如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，若的周长为，则的周长为（   ） A. B. C. D. 6.已知点，都在反比例函数的图像上，且，则，的关系是（    ） A. B. C. D. 7.如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是（    ） A. B. C.平分 D. 8.如图，在正方形中，为的中点，于点，连接并延长，与的延长线交于点，则的度数为（    ） A. B. C. D. 9.如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，设竖彩条的宽度为，那么满足的方程为（    ） A. B. C. D. 10.如图，一次函数的图象与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象相交于，两点，分别过，两点作轴，轴的垂线，垂足为，，连接．有下列四个结论：①与的面积相等；②；③；④．其中正确的结论是（      ） A.个 B.个 C.个 D.个 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4分 ，共计20分 ） 11.若，则________． 12.若、是一元二次方程的两个根，则的值是________． 13.某天同一时刻同一地点分别测量了两棵高度不同的树的高度和影子长度，如图比较矮的树高米，比较高的树高度是__________米． 14.如图，菱形的顶点在反比例函数图象上，点在轴上，点，在轴上，且为的中点，若，则的值为___________． 15.如图，在矩形中，，，在平面内有一点，，过点作，且，连接，点是线段的中点，连接，则线段的最小值为_______ ． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.(8分) 解方程： （1）； （2）． 17.(6分) 如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小玉的身高用线段表示，路灯灯泡在线段上． （1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小玉在灯光下形成的影子； （2）如果小华的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，则灯泡的高为________． 18.(8分) 为了解同学们对某月饼厂家生产的多种月饼的喜爱情况，某实践探究小组对九年级部分同学做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告： 小组关于学校学生月饼品种喜爱情况调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 学校九年级部分学生 数据的整理与描述 品种 ：莲蓉月饼 ：五仁月饼 ：豆沙月饼 ：水果月饼 ：冰皮月饼 数据分析及运用 （1）本次被抽样调查的学生总人数为____，扇形统计图中， ______； （2）请补全条形统计图； （3）甲、乙两位同学根据调查的数据发现，，，三种月饼最受欢迎，计划从这三个品种中挑选一种推荐给朋友，请用树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一种月饼的概率 19.（8分）如图，在中，对角线交于点，且． 求证：是矩形； 点在延长线上，且连接求证：． 20.(9分) 如图，直线 与双曲线 相交于两点，连接． （1）求 和 的值； （2）求 的面积． 21.(9分) 已知：如图，在四边形中，，对角线交于点，点在边上，联结交线段于点，． （1）求证：； （2）联结，求证：． 22.(10分) 新华商场销售某种服装，将每件进价为元的服装以元售出，平均每天能售出件．调查发现，在每件降价幅度不超过元的情况下，这种服装的售价每降价元，其销售量就将增加件．根据题意，解答下列问题： （1）若这种服装的售价每件降价元，则每件服装的利润是_________； （2）设这种服装每件降价元，则降价后平均每天可以销售这种服装_________件；（用含的代数式表示） （3）商场要想使这种服装的销售利润平均每天达到元，每件服装应降价多少元？ 23.(10分) 课本再现 （1）方程的求根公式，不仅表示可由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的联系，即方程的两个根满足：①；②．这也称作韦达定理，是由世纪法国数学家韦达发现的．请你选择其中一个结论进行证明． 知识应用 （2）已知一元二次方程的两根分别为，求的值． （3）已知实数，满足，，求的值． 24.(10分) 某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加微克，第分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量（微克）与时间（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时与成反比例函数关系． （1）______； （2）分别求出当和时，与之间的函数关系式； （3）如果每毫升血液中含药量不低于微克时是有效的，求一次服药后的有效时间是多少分钟？ 25.(12分) 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边中，点是边上一点，连接，以为边作等边，连接．请直接写出和的数量关系是______； 【类比探究】 （2）如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为底边作，使，且，连接．求证：； 【拓展运用】 （3）如图③，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若，，求正方形的边长． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 北师大版九年级数学 期末综合试题（2） 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、 选择题（本题共计 10 小题 ，每题 4分 ，共计40分 ）   1.如图是由个大小相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【解答】解：从上面看易得第一层有个正方形，第二层左边有一个正方形． 故选：． 2.下列命题中，正确的是（    ） A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 根据判定方法逐一判断即可． 【解答】：一组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误； ：对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误； ：等腰梯形一组对边平行，另一组对边相等，不为平行四边形，故错误； ：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，说法正确，故正确； 故选：． 3.班级趣味运动会上，老师准备以抽签的方式将男生随机分为若干组进行拔河比赛．抽签方式：老师将数字，，分别写在张相同的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后每位男生从中一次抽出两张纸条，抽到两张纸条上的数字和相同的分为一组，下列描述正确的是（   ） A.抽到数字和为的概率为 B.抽到数字和为的概率为 C.抽到数字和为的概率为 D.这种方式抽到数字和为的可能性较大 【答案】B 【解析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数，再依次求出各选项中的事件的概率，进行对比则可获解． 【解答】解：根据题意，可画树状图如下： 抽到数字和为的概率为，故选项错误； 抽到数字和为的概率为，故选项正确； 抽到数字和为的概率为，故选项错误； 抽到数字和为的概率为，与抽到和为、的概率相同，故选项错误； 故选：． 4.用配方法解方程，配方后得到的方程是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式． 【解答】解：， 移项得，， 等式两边同时加上得，， ． 故选：． 5.如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，若的周长为，则的周长为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查的知识点是位似图形的性质，解题关键是熟练掌握位似图形的性质． 根据题意得出，进而利用两个相似三角形的周长比等于相似比，求解即可得出答案． 【解答】解：与是以点为位似中心的位似图形， ， 位似比为， ， 又的周长为， ． 故选：． 6.已知点，都在反比例函数的图像上，且，则，的关系是（    ） A. B. C. D.  【答案】A 【解析】根据反比例函数的图象在第二、四象限，利用，即可求得，的关系． 【解答】解：反比例函数中，， 反比例函数图象在第二、四象限． ， 在第二象限，在第四象限． ，． ． 故选：． 7.如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是（    ） A. B. C.平分 D. 【答案】A 【解析】本题考查了相似三角形的判定定理．相似三角形的判定定理有：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．根据已知条件，运用相似三角形的判定定理逐一分析每个选项是否能判定和相似． 【解答】、满足两边成比例，但比例边的夹角不确定是否相等，故不能判定和相似，符合题意； 、满足两边成比例且夹角相等，故能判定和相似，不符合题意； 、满足两角分别相等，故能判定和相似，不符合题意； 、满足两角分别相等，故能判定和相似，不符合题意； 故选：． 8.如图，在正方形中，为的中点，于点，连接并延长，与的延长线交于点，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质； 连接，证明、、、四点共圆，可得，证明，可得，推出，然后根据三角形内角和定理可得答案． 【解答】解：连接， ，四边形是正方形， ， 、、、四点共圆， ， ，，， ， ， ， ， ， 故选：． 9.如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，设竖彩条的宽度为，那么满足的方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查一元二次方程的实际应用，结合已知条件列出正确的方程是解题的关键． 根据横、竖彩条的宽度比为，设竖彩条的宽度为，那么横彩条的宽度为，进而可得出除彩条部分外的九块区域可合成长为、宽为的长方形，再根据彩条所占面积是图案面积的四分之一，即可得出关于的一元二次方程，据此求解即可． 【解答】解：已知横、竖彩条的宽度比为，设竖彩条的宽度为， 那么横彩条的宽度为， 则除彩条部分外的九块区域可合成长方形，其中长为、宽为， 由于要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，可列方程为： 整理得：． 故选：． 10.如图，一次函数的图象与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象相交于，两点，分别过，两点作轴，轴的垂线，垂足为，，连接．有下列四个结论：①与的面积相等；②；③；④．其中正确的结论是（      ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】D 【解析】先求出、、、四点坐标，再由轴，轴即可得出及的长，故可得出③正确；利用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式的系数可判断出{{\,//\,}}，再由相似三角形的判定定理可得出②正确；根据同底等高的三角形面积相等可知①正确；根据两点间的距离公式求出及的长可知④正确． 【解答】解：一次函数的图象与轴，轴交于，两点，，． 与反比例函数的图象相交于，两点， ， 解得：或， 经检验：或都是原分式方程的解， ，， 轴，轴， ，， ，． 在与中， ， ，故③正确； 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为． 直线的解析式为：， {{\,//\,}}， ，， ，故②正确； {{\,//\,}}， 与同底等高， 与的面积相等，故①正确； ，，，， ， ，即④正确． 综上，①②③④均正确． 故选：． 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4分 ，共计20分 ） 11.若，则__________． 【答案】 【解析】本题主要考查了比例的性质．根据比例的性质可设其比例值为，用表示出未知字母的值，代入所求代数式化简即可． 【解答】解：设， 则， ， 故答案为：． 12.若、是一元二次方程的两个根，则的值是____6_______． 【答案】 【解析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根时，，． 【解答】解：，是一元二次方程的实根， ，， ， ， 故答案为： 13.某天同一时刻同一地点分别测量了两棵高度不同的树的高度和影子长度，如图比较矮的树高米，比较高的树高度是____5.6________米． 【答案】 【解析】本题考查了平行投影，根据同一时刻互相平行的物体物长和影长成正比，列出比例式解答即可求解，掌握平行投影的性质是解题的关键． 【解答】解：设比较高的树高度是米， 由题意得，， 解得， 比较高的树高度是米， 故答案为：． 14.如图，菱形的顶点在反比例函数图象上，点在轴上，点，在轴上，且为的中点，若，则的值为______________． 【答案】 【解析】连接，过作轴于点，则，由四边形是菱形，可得，，，从而证明四边形是矩形，又为的中点，则垂直平分，所以可证得，故有是等边三角形，所以，从而有，然后通过直角三角形的性质和勾股定理可得，从而求出的值． 【解答】解：如图，连接，过作轴于点，则， 四边形是菱形， ，，， ， ， 四边形是矩形， 为的中点， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15.如图，在矩形中，，，在平面内有一点，，过点作，且，连接，点是线段的中点，连接，则线段的最小值为____2_______ ． 【答案】 【解析】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，利用三角形的中位线定理构造辅助线是解题关键．取的中点，连接，先根据矩形的性质和勾股定理求出，再根据勾股定理可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的三边关系即可得． 【解答】解：如图，取的中点，连接， 四边形是矩形， ， ，， ， ，，， ， ，点为的中点， ， 又点是线段的中点，点为的中点， ， 由三角形的三边关系得：（当且仅当点共线时，等号成立）， ，即， 线段的最小值为2. 故答案为：2 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.(8分) 解方程： （1）； （2）． 【答案】 【解析】（1）利用公式法求解可得； （2）移项后，利用因式分解法求解可得． 【解答】（1）解： ， ， ； ； （2）解：， 或， ． 17.(6分) 如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小玉的身高用线段表示，路灯灯泡在线段上． （1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小玉在灯光下形成的影子； （2）如果小华的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，则灯泡的高为___ _____． 【答案】见解答 【解析】（1）本题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，掌握中心投影的性质是解题的关键． 连接并延长交于点，点即为所求，连接并延长交于，线段即为所求； 由中心投影的性质可得，从而，再将数据代入即可求解； 【解答】（1）解：如图所示，点为灯泡位置，线段为小玉在灯下的影长． （2）解：由题意，得，， ， ， 即， 解得， 故答案为：． 18.(8分) 为了解同学们对某月饼厂家生产的多种月饼的喜爱情况，某实践探究小组对九年级部分同学做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告： 小组关于学校学生月饼品种喜爱情况调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 学校九年级部分学生 数据的整理与描述 品种 ：莲蓉月饼 ：五仁月饼 ：豆沙月饼 ：水果月饼 ：冰皮月饼 数据分析及运用 （1）本次被抽样调查的学生总人数为___120_____，扇形统计图中， ____30____； （2）请补全条形统计图； （3）甲、乙两位同学根据调查的数据发现，，，三种月饼最受欢迎，计划从这三个品种中挑选一种推荐给朋友，请用树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一种月饼的概率 【答案】， 见解答 【解析】（1）本题考查了样本容量，圆心角的计算，画条形统计图，频数的计算，利用画树状图或列表的方法求解随机事件的概率，样本估计总体， 掌握以上基础的统计知识是解题的关键． 根据频数除以所占百分比等于样本容量，再计算的占比即可; 根据频数之和等于样本容量，确定组的人数，完善统计图即可; 画树状图，求解即可. 【解答】（1）解：根据题意，得（人）， ， 故． 故答案为：， （2）喜欢豆沙月饼的人数为：（人）， 补图如下： （3）根据题意，画树状图如下： 一共有种等可能结果，其中两位同学选择同一种月饼有种可能结果， ． 19.（8分）如图，在中，对角线交于点，且． 求证：是矩形； 点在延长线上，且连接求证：． 【答案】见解答；见解答． 【解析】根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明； 证明四边形是平行四边形即可证明． 【解答】四边形是平行四边形 是矩形． 四边形是平行四边形， 即，， ， ， 四边形是平行四边形， ． 20.(9分) 如图，直线 与双曲线 相交于两点，连接． （1）求 和 的值； （2）求 的面积． 【答案】 【解析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）分割法求出三角形的面积即可． 【解答】（1）解：， 当时，，当时，， ， ，， ； （2）设直线与轴的交点为， 当时，； ， ． 21.(9分) 已知：如图，在四边形中，，对角线交于点，点在边上，联结交线段于点，． （1）求证：； （2）联结，求证：． 【答案】见解答 见解答 【解析】（1）先根据得出，再由可知，．根据得出，故可得出结论； （2）先根据，得出，故．再由得出，进而可得出结论． 【解答】（1）解：证明：， ． 又， ． ． ， ． ． （2）证明：，， ． ． 又， ． ． ． 22.(10分) 新华商场销售某种服装，将每件进价为元的服装以元售出，平均每天能售出件．调查发现，在每件降价幅度不超过元的情况下，这种服装的售价每降价元，其销售量就将增加件．根据题意，解答下列问题： （1）若这种服装的售价每件降价元，则每件服装的利润是_元_________； （2）设这种服装每件降价元，则降价后平均每天可以销售这种服装__________件；（用含的代数式表示） （3）商场要想使这种服装的销售利润平均每天达到元，每件服装应降价多少元？ 【答案】元 【解析】（1）通过计算降价后的售价与进价的差得到利润； （2）根据降价与销售量增加的关系列出代数式； （3）通过建立一元二次方程求解，并结合降价幅度限制确定解． 【解答】（1）解：原售价元， 降价元后，售价为元， 利润为元． 故答案为：元； （2）原销售量件，每降价元销售量增加件，故降价元后销售量为件． 故答案为：； （3）设每件降价元，则每件利润为元，销售量为件， 由题意得，， 整理得， 解得， 降价幅度不超过元， ． 答：每件服装应降价元． 23.(10分) 课本再现 （1）方程的求根公式，不仅表示可由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的联系，即方程的两个根满足：①；②．这也称作韦达定理，是由世纪法国数学家韦达发现的．请你选择其中一个结论进行证明． 知识应用 （2）已知一元二次方程的两根分别为，求的值． （3）已知实数，满足，，求的值． 【答案】见解答 【解析】（1）本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系， 对于根据方程的两个根是，再分别求出结论即可； 对于，先根据一元二次根与系数的关系求出，再整体代入求值； 对于，先设，可知，是一元二次方程的两个根，再求出方程的根，然后完全平方公式的变形可得答案. 【解答】（1）解：方程的两个根是， ； ； （2）一元二次方程的两个根是，， ， 原式； （3）， 设，则， ，是一元二次方程的两个根， 解得，或， ， 平方，得，即； 当， ， 平方，得，即（不符合题意，舍去）， 24.(10分) 某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加微克，第分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量（微克）与时间（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时与成反比例函数关系． （1）______； （2）分别求出当和时，与之间的函数关系式； （3）如果每毫升血液中含药量不低于微克时是有效的，求一次服药后的有效时间是多少分钟？ 【答案】当时，解析式为；当时，函数的解析式为 分钟 【解析】（1）根据“从第分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加微克”即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）分别令，即可求解． 【解答】（1）解：从第分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加微克 （2）解：当时，设与之间的函数关系式为 经过点 解得：， 解析式为； 当时，与之间的函数关系式为 经过点 解得：， 函数的解析式为； （3）解：令解得：， 令，解得： 分钟， 服药后能持续分钟. 25.(12分) 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边中，点是边上一点，连接，以为边作等边，连接．请直接写出和的数量关系是______； 【类比探究】 （2）如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为底边作，使，且，连接．求证：； 【拓展运用】 （3）如图③，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若，，求正方形的边长． 【答案】 详见解答 正方形的边长为 【解析】（1）根据手拉手模型证明，即可得到； （2）根据等边对等角得到，，进而证明，则可证明，得到，再证明，即可证明； （3）连接，由正方形的性质得到，，证明，得到，再由正方形的性质得到，则，可得，设，则，由勾股定理得，，解得或（舍去），则正方形的边长为． 【解答】（1）解：，是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ， ； （2），， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图所示，连接， ，分别是正方形、的对角线， ，， ， ， ， 点是正方形的对称中心， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得或（舍去）， 正方形的边长为． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $