二项式定理讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习（新高考通用）

高中数学二项式定理讲义 目 录 思维导图 2 高考分析 3 学习目标 4 知识要点 5 解题策略 8 题型归纳 9 题型01：二项式定理展开及其逆应用 9 一：二项式定理的展开式 9 二：展开式的逆用 10 题型02：二项展开式第k项 11 一：求常数项及已知常数项求参数 11 二：指定项系数 13 三：配凑后求展开式中的指定项 14 四;已知项的系数求参数 15 题型03：求有理项或其系数 16 题型04：二项式系数和 19 题型05：各项系数和 20 题型06：系数最大（小）项 22 一：二项式系数最大 22 二：项的系数最大 23 题型07： 三项展开式系数问题 25 一：三项式指定项系数 25 二：三项展开式的指定项 26 三：三项展开式中指定项求参数 27 四：三项变两项 28 题型08：两个多项式乘积的指定项 28 一：两个二项式指定项系数 28 二：两个二项式指定项 30 三：两个多项式指定系数求参数 31 题型09： 赋值法 33 一：赋值法求系数和 34 二：赋值法（含奇次、偶次项系数和） 36 三：换元型 39 题型10：整除和余数问题 40 题型11：近似计算问题 41 题型12：组合恒等式的证明 42 题型13：二项式定理与导数 43 题型14：杨辉三角 44 题型15：二项式定理与其他知识的综合 48 巩固提升 49 1. 考纲定位与考查频率 二项式定理是高考数学计数原理板块的核心内容，属于必考/高频考点（全国卷、新高考卷年均1题），题型以选择题/填空题为主（5分），难度集中在基础题~中档题，极少出现在解答题中，是高考中“性价比高”的得分点。 2. 核心考查方向 • 通项公式的直接应用：考查展开式中特定项（如常数项、有理项、某次幂项）的求解，或特定项的系数、二项式系数计算（高考占比约60%）。 • 二项式系数的性质：考查二项式系数的对称性、最大值（n为偶数时中间项最大，n为奇数时中间两项相等且最大）、所有二项式系数和（2^n）、奇/偶数项二项式系数和（高考占比约25%）。 • 赋值法的应用：通过令x=0、1、-1等特殊值，求展开式中所有项的系数和、奇/偶数项系数和、绝对值和等（高考占比约10%）。 • 交汇考查：偶尔与函数、不等式、数列等结合（如求系数的最值、证明与二项式相关的不等式），难度稍高（高考占比约5%）。 3. 命题趋势 • 新高考背景下，题目更侧重基础运算能力和公式灵活应用，减少复杂计算，增加对“概念辨析”的考查（如区分“二项式系数”与“项的系数”）。 • 结合实际情境的创新题偶现（如通过二项式定理解决概率、计数相关问题），但核心仍围绕通项公式和赋值法。 • 对“隐性条件”的挖掘要求提升（如有理项需满足指数为整数、常数项需指数为0）。 4. 易错点与失分原因 • 混淆“二项式系数”与“项的系数” • 通项公式记忆错误（如漏写符号、指数计算错误，尤其含负号或分式的二项式）。 • 赋值法应用时特殊值选取错误（如求系数和时误令x=0）。 • 忽略二项式系数性质的适用条件（如最大值的判断需先确定n的奇偶性）。 1. 基础认知目标 • 准确记忆并理解二项式定理的表达式：，明确展开式的结构特征（共n+1项、各项的指数规律、二项式系数与项的系数的区别）。 • 熟记通项公式：，能快速识别公式中各参数的含义（k+1为项数、为二项式系数、）。 • 掌握二项式系数的核心性质（对称性、最大值、和的性质），能结合具体例子解释性质的应用场景。 2. 能力应用目标 • 运算能力：能熟练运用通项公式求展开式中的特定项（常数项、有理项、指定幂次项）、特定项的系数或二项式系数，解决含分式、负号、根式的二项式展开问题。 • 方法迁移能力：掌握赋值法的核心逻辑，能通过选取合适的特殊值（x=0,1,-1等），求解展开式中所有项的系数和、奇偶项系数和、系数绝对值和等问题。 • 辨析能力：能清晰区分“二项式系数”与“项的系数”、“展开式的项”与“项的次数”等易混淆概念，避免解题中的概念性错误。 • 综合应用能力：能将二项式定理与计数原理、函数、数列、不等式等知识结合，解决简单的交汇型问题（如利用二项式系数和证明数列等式、求系数的最值）。 3. 应试提分目标 • 能快速定位高考题型（基础直接型、赋值应用型、性质辨析型），并匹配对应的解题方法，确保5分基础题/中档题不失分。 • 规避高频易错点（如通项公式符号错误、特殊值选取错误、二项式系数最大值判断失误），形成“审题→套用公式→验证结果”的解题闭环。 • 面对创新型题目（如结合实际情境的二项式应用），能剥离表面信息，回归二项式定理的核心公式和方法，实现知识的灵活迁移。 4. 思维发展目标 • 体会从特殊到一般的推理过程，培养归纳推理能力。 • 通过二项式系数的对称性、最值等性质，理解数学的对称美和规律性，提升逻辑分析能力。 知识点 1．二项式定理： ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数. ③项数：共项，是关于与的齐次多项式 ④通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有项。 ②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。 ③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于. ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。 （1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； （2）字母的次数和组合数的上标相同； 4．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，··· ②二项式系数和：令,则二项式系数的和为， 变形式。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令，则， 从而得到： ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。 如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。 ⑥系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别 为，设第项系数最大，应有，从而解出来。 5．常用的结论： 令 令 6.二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． 2、展开式中的系数求法的整数且 知识点诠释： 三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决． 7. 二项式系数表(杨辉三角) 展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. 杨辉三角的性质 (1)每一行都是对称的，且两端的数都是1. (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和.事实上，设表中任一不为1的数为，那么它上一行中与这个数相邻的两个数分别为 和由组合数的性质，有=1，=1，. (3)对于给定的n来说，其二项式系数满足中间大、两边小的特点.利用二项式系数的对称性可知，二项式系数，…，，是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大. (4)二项展开式的二项式系数的和等于2n. 在(1+x)n=xn+xn-1+xn-2+…+x0中，令x=1，则+…+=2n. 必备 1.分数指数幂 (1)（，且）. (2)（，且）. 2．有理指数幂的运算性质 (1) . (2) . (3). 一、核心题型对应解题策略 1. 特定项/系数求解（高考核心题型） • 核心工具：通项公式 • 解题步骤： ① 明确二项式中的 a、b（注意含负号、分式、根式的情况，）； ② 写出通项并化简（将根式、分式转化为幂的形式）； ③ 根据“特定项”条件列方程，解出 k； ④ 代入 k 计算二项式系数或项的系数 2. 二项式系数性质应用 3. 赋值法求系数和（高频题型） • 常用赋值： ◦ 令 x=1：得所有项的系数和 ◦ 令 x=-1：得奇偶项系数和的差 ◦ 令 x=0：得常数项 • 解题步骤： ① 设系数和表达式（如设所有项系数和为 S，奇数项系数和为 S_奇，偶数项为 S_偶）； ② 赋特殊值列方程； ③ 解方程组得目标值。 4. 交汇型问题（中档题） • 与函数/不等式结合：求系数的最值→ 转化为数列最值问题，通过比较相邻两项系数大小列不等式组； • 与计数原理结合：利用二项式定理证明组合恒等式→ 结合赋值法或组合数性质变形； • 解题关键：剥离表面背景，回归二项式定理的核心公式，结合其他模块知识（如数列、不等式）分步求解。 二、通用解题技巧 1. 审题优先：先区分“二项式系数”与“项的系数”、“项”与“项的次数”，避免概念性错误； 2. 符号处理：含负号的二项式，通项中需保留 ，再计算指数和系数； 3. 验证习惯：求出 k 后需验证是否为整数（如有理项要求指数为整数），避免无效解； 4. 模板化解题：针对每种核心题型，固化“公式→条件→计算→验证”的步骤，减少失误。 三、易错点规避策略 • 通项公式中项数易错：第 k+1 项对应 k，而非第 k 项（如求第3项，k=2）； • 赋值法混淆“二项式系数和”与“项的系数和”：二项式系数和仅与 n 有关，项的系数和需赋值计算； • 分式/根式二项式展开：先转化为幂的形式，再计算指数。 题型01：二项式定理展开及其逆应用 一：二项式定理的展开式 【典型例题1】乘积展开后的项数为（    ） A．6 B．7 C．13 D．42 【答案】D 【分析】直接利用组合数求出结果． 【详解】乘积展开后的项数为． 故选：D． 【典型例题2】 （1）求的展开式； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二项式展开公式直接展开即可得解； （2）逆用二项式定理进行合并即可得解． 【详解】（1）． （2）原式． 【变式训练1-1-1】已知等式，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1-2】计算二项式： (1)化简：； (2)写出的展开式并化简. 二;展开式的逆用 【典型例题1】化简等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项式定理写出对应的二项式，即可得答案. 【详解】由， 所以. 故选：B 【典型例题2】 解：与已知的有一些差距， 【变式训练1-2-1】的值是（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 【变式训练1-2-2】 A． B． C． D． 【变式训练1-2-3】化简多项式的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2-4】 题型02：二项展开式第k项 一：求常数项及已知常数项求参数 【典型例题1】的展开式中的常数项为（    ） A． B． C．20 D．60 【答案】D 【分析】利用二项式定理直接列式求出常数项. 【详解】的展开式中的常数项为. 故选：D 【典型例题2】若二项式展开式中存在常数项，则正整数n可以是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】二项式展开式的通项为， 令，解得：，又因为且为整数，所以为的倍数， 所以， 故选：. 【变式训练2-1-1】变式2-2．展开式中的常数项为（    ）． A．540 B．18 C．15 D．135 【变式训练2-1-2】已知，若的展开式中，常数项等于240，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 【变式训练2-1-3】展开式的常数项为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1-4】的展开式中的常数项为______. 【变式训练2-1-5】若的二项展开式中第项为常数项，则 二：指定项系数 【典型例题1】在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数？ 解：由条件知，即，，解得，由 ，由题意， 则含有的项是第项,系数为。 【典型例题2】求展开式中的系数？ 解：，令,则 故的系数为。 【变式训练2-2-1】的展开式中的系数为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-2-2】的展开式中的系数为_____． 【变式训练2-2-3】二项式的展开式的常数项为第（ ）项 A．17 B．18 C．19 D．20 【变式训练2-2-4】二项式的展开式中含的项的系数为（    ） A．-60 B．60 C．30 D．-30 【变式训练2-2-5】在的展开式中，的系数为 （    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2-6】的展开式中的系数为（    ） A． B． C．64 D．160 【变式训练2-2-7】展开式中的系数为_________（用数字作答） 【变式训练2-2-8】的展开式中,有理项是______.（用关于x的式子表示） 【变式训练2-2-9】的展开式中的系数为（　 　） A．10 B．20 C．40 D．80 【变式训练2-2-10】的展开式中，项的系数是（    ） A．30 B．30 C．60 D．60 【变式训练2-2-11】二项式展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 三：配凑后求展开式中的指定项 【典型例题1】若，则（    ） A．6 B．16 C．36 D．90 【答案】C 【分析】将变形为，然后令展开式的通项公式中即可求得结果. 【详解】因为，展开式的通项为， 令，可得， 所以， 故选：C. 【典型例题2】若，则（    ） A．40 B． C．80 D． 【答案】C 【分析】由，应用二项式定理写出展开式通项，进而求项系数. 【详解】由，故， 所以时，，即80. 故选：C 【变式训练2-3-1】对任意的实数x，，则值为（   ） A．60 B．120 C．240 D．480 【变式训练2-3-2】已知，则（    ） A． B． C．30 D．60 【变式训练2-3-3】若， ． 【变式训练2-3-4】，则等于（    ） A．180 B． C．45 D． 【变式训练2-3-5】在的展开式中，的系数为(    ) A． B． C． D． 四;已知项的系数求参数 【典型例题1】已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（    ） A．2 B．-2 C．2或-2 D．4 【答案】C 【分析】根据二项展开式的通项公式，令的指数为4可求得，再根据系数为40求解即可 【详解】由，令，解得，所以项的系数为，解得． 故选：C 【典型例题2】在的展开式中，若项的系数为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】展开式通项为， 依题意，则， 当时，，所以， 故选：C. 【变式训练2-4-1】在的展开式中，若常数项为，则实数值为（    ） A． B． C． D．2 【变式训练2-4-2】若的展开式中项的系数是，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型03：求有理项或其系数 【典型例题1】二项式展开式中，有理项项数为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：根据二项式定理展开的：，要为有理项，则为整数即可. 详解：由题可得：通项为，要为有理项，则为整数，故r可取0,2,4,6,8故有五项有理数，故选B 点睛：考查二项式定理的展开，正确写出通项，然后理解题意x的次数为整数即可为解题关键，属于基础题. 【典型例题2】二项式展开式中，有理项共有（    ）项． A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】求出展开式的通项，令的指数部分为整数即可得结果. 【详解】二项式展开式中， 通项为，其中， 的取值只需满足，则， 即有理项共有7项， 故选：D. 【典型例题3】二项式的展开式中，其中是无理项的项数共有（    ） A．项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【分析】根据题意，可考虑求有理项，根据二项展开式的通项公式，由的指数值为整数，即可解出有理项的项数，进而得到无理项的项数即可 【详解】二项式的展开式中，通项公式为， ，时为有理项共6项，故无理项的项数共有 故选：D. 【变式训练3-1】在的展开式中，系数为有理数的项共有（    ）项 A．6 B．5 C．4 D．3 【变式训练3-2】求二项式展开式中的有理项？ 【变式训练3-3】在二项式的展开式中的指数为整数的项的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练3-4】 的展开式中所有有理项系数之和为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-5】（多选）在的展开式中，有理项恰有两项，则的可能取值为（    ） A．7 B．9 C．12 D．13 【变式训练3-6】（展开式的二项式系数和64，则展开式中的有理项个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练3-7】已知的展开式中所有奇数项的二项式系数的和为，则展开式中有理项共有（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练3-8】（在的展开式中，的幂指数是整数的各项系数之和为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-9】 的展开式中有理项的个数为 . 【变式训练3-10】在的展开式中，系数是有理数的项共有 项． 题型04：二项式系数和 【典型例题1】已知关于的二项式的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据二项式系数和求得，结合展开式通项利用常数项列方程求解即可. 【详解】由条件知，即，在通项中， 令，得.所以常数项为，解得. 故选：C 【典型例题2】的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出，写出二项展开式的通项，即可求得二项式系数最大的项. 【详解】因为，所以n＝8， 二项展开式的通项为， 故二项展开式中，二项式系数最大的项为. 故选：A. 【变式训练4-1】已知二项式的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，展开式中项的系数为84，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练4-2】的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】已知展开式的奇数项的二项式系数之和为，则该展开式中的系数为 . 【变式训练4-4】若的展开式中二项式系数和为32，则展开式中最高次项的系数为 ． 题型05：各项系数和 【典型例题1】在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项系数和为（   ） A．32 B．-32 C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据二项式的所有二项式系数之和的表达式求得的值，再对赋值1即可求得. 【详解】依题，解得， 则二项式的所有项系数之和为. 故选：D. 【典型例题2】若的展开式中各项系数之和为243，则展开式中的系数为（    ） A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】C 【分析】令，得到各项系数之和为，解出，利用通项公式解出的系数. 【详解】令，得到各项系数之和为，解得，则的通项公式为， 令，解得，的系数为. 故选：C. 【变式训练5-1】已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式训练5-2】设，若，则（    ） A．80 B．40 C． D． 【变式训练5-3】若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式训练5-4】（多选）设，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-5】（多选）对任意实数x，有．则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-6】（多选）已知，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 题型06：系数最大（小）项 一：二项式系数最大 【典型例题】若二项式的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以，所以，即， 所以，所以二项式系数最大项为. 故选：B. 【变式训练6-1-1】已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练6-1-2】已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？ 【变式训练6-1-3】若的展开式有且只有第5项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A．-960 B．960 C．448 D．-448 【变式训练6-1-4】在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 二：项的系数最大 【典型例题】若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【分析】由的展开式的二项式系数和项的系数相等，因此由题意可得，求出，即可求得展开式中系数最大的项. 【详解】由的展开式中第2项与第8项的系数相等， 由的展开式的二项式系数和项的系数相等， 所以，所以， 则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项， 故选：C． 【典型例题2】的展开式中系数最大的项为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据二项式定理可得展开式通项，利用不等式法可求得结果. 【详解】的展开式通项为：， 设第项的系数最大，则，解得：， 又，或， 的展开式系数最大的项为和，即和. 故选：C. 【变式训练6-2-1】已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2-2】若，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式训练6-2-3】已知二项式，的展开式中第四项的系数最大，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练6-2-4】写出在的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？ 【变式训练6-2-5】若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？ 【变式训练6-2-6】在的展开式中系数最大的项是多少？ 【变式训练6-2-7】（多选）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．第6项的二项式系数最大 B．第6项的系数最大 C．所有项的二项式系数之和为 D．所有项的系数之和为1 【变式训练6-12】已知的展开式中只有第6项的系数最大，则正整数n的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式训练6-2-8】（多选）已知的展开式中所有项的系数之和为1，则（    ） A．展开式的常数项为 B． C．展开式中系数最大的项的系数为80 D．所有幂指数为非负数的项的系数和为 【变式训练6-2-9】（多选）在的展开式中，下列命题正确的是（    ） A．不含常数项 B．二项式系数之和为32 C．系数最大项是 D．各项系数之和为 【变式训练6-2-9】在的二项展开式中，系数最大的项为和，则展开式中含项的系数为 ． 题型07： 三项展开式系数问题 一：三项式指定项系数 【典型例题1】的展开式中所有项的系数之和为（    ） A．243 B．240 C．237 D．234 【答案】A 【分析】根据题意，令，即可求得所有项的系数之和，得到答案． 【详解】由多项式，令，可得所有项的系数之和为． 故选：A. 【典型例题2】的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．20 D． 【答案】D 【分析】根据展开式的每一项的生成过程，结合组合数公式，即可求解. 【详解】从5个含有的括号中，其中1个括号中取，一个括号中取，3个括号中取，乘在一起构成这一项， 这一项为，所以的系数为. 故选：D 【变式训练7-1-1】展开式中，的系数为（   ） A．320 B．320 C．240 D．240 【变式训练7-1-2】的展开式中含的项的系数为（    ） A． B．60 C． D．30 【变式训练7-1-3】已知的展开式中的所有项的系数和为512，则展开式中含项的系数为（    ） A．－36 B．－18 C．18 D．36 【变式训练7-1-4】的展开式中的系数为（    ） A．-60 B．240 C．-360 D．720 【变式训练7-1-5】展开式中含项的系数为（    ） A．30 B． C．10 D． 【变式训练7-1-6】在的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．15 C．120 D．30 【变式训练7-1-7】已知的展开式中的常数项为，则 . 【变式训练7-1-8】若，则 【变式训练7-1-9】的展开式中，的系数为（    ） A．60 B． C．120 D． 【变式训练7-1-10】展开式中的系数是___________. 二：三项展开式的指定项 【典型例题】展开式的常数项为（    ） A．1 B．15 C．60 D．76 【答案】D 【解析】由 ， 其中含有常数项的有，，， 所以常数项为，故选：. 【变式训练7-2-1】下列各式中，不是的展开式中的项是（    ） A． B． C． D． 三：三项展开式中指定项求参数 【典型例题】已知的展开式中的系数为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】展开式的通项为：，且； 展开式的通项为：，且； 令，则或， 的系数为，解得：.故选：A. 【变式训练7-3-1】的展开式中的系数为12，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练7-3-2】若的展开式中的系数为，则实数 ． 【变式训练7-3-4】（多选）设，则下列关于的计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3-5】设，则 ，的最小值是 ． 四：三项变两项 【典型例题】求当的展开式中的一次项的系数？ 解法①：，，当且仅当时，的展开式中才有x的一次项，此时，所以得一次项为 它的系数为。 解法②： 故展开式中含的项为，故展开式中的系数为240. 【变式训练7-4-1】求式子的常数项？ 题型08：两个多项式乘积的指定项 一：两个二项式指定项系数 【典型例题1】的展开式中的系数为（    ） A．30 B．25 C．45 D．15 【答案】D 【分析】写出的展开式通项，然后求出展开式中含的项即可. 【详解】因为的展开式通项为， 所以的展开式中含的项为． 即展开式中的系数为. 故选：D. 【典型例题2】展开式中的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原式化为，根据二项式定理，分别求出展开式中，，的系数，即可得出结果. 【详解】的展开式中通项是，， 则， 要求展开式中的系数，只需， 故展开式中的系数是. 故选：A. 【变式训练8-1-1】的展开式中的系数为（    ） A． B． C．28 D．56 【变式训练8-1-2】的展开式中的系数为（    ） A．9 B．10 C．24 D．25 【变式训练8-1-3】的展开式中的系数为（    ） A．85 B．5 C．-5 D．-85 【变式训练8-1-4】展开式中的常数项为（    ） A．13 B．17 C．18 D．22 【变式训练8-1-5】在展开式中，系数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【变式训练8-1-6】已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 【变式训练8-1-7】二项式展开式中的系数为（    ） A．120 B．135 C．140 D．100 【变式训练8-1-8】的展开式中的系数为（    ） A．30 B．40 C．70 D．80 【变式训练8-1-9】在的展开式中，含的项的系数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-1-10】 【变式训练8-1-11】若，则 . 【变式训练8-1-12】已知，则的值为（    ） A． B． C．9 D．7 二：两个二项式指定项 【典型例题】的展开式中的常数项为（    ） A． B．240 C． D．180 【答案】C 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 又展开式的通项为，， 所以的展开式中的常数项为. 故选：C 【变式训练8-2-1】的展开式中的常数项为（    ） A．－20 B．30 C．－10 D．10 【变式训练8-2-3】 【变式训练8-2-4】 三：两个多项式指定系数求参数 【典型例题1】已知，，且，则（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】利用二项式的通项公式求出的表达式，根据题意列方程，即可求得n的值. 【详解】的通项公式为， 二项式的展开式中项的系数为， 项的系数为， ，， 即，即 ，（负值舍）， 故选：A. 【典型例题2】若二项式的展开式中项的系数是,则实数的值为（　　） A．-2 B．2 C．-4 D．4 【答案】C 【分析】分别求出和展开式中项的系数，即可求出的值. 【详解】， 的展开式的通项公式为，， 所以展开式中项的系数是， 展开式中项的系数是， 所以，解得， 故选：C. 【变式训练8-3-1】已知的展开式中的系数为12，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式训练8-3-2】若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式训练8-3-3】的展开式中，含项的系数为，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式训练8-3-4】若的展开式中的系数为75，则（    ） A．-3 B．-2 C．2 D．3 【变式训练8-3-5】关于二项式，若展开式中含的项的系数为，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 【变式训练8-3-6】已知的展开式中的系数为40，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【变式训练8-3-7】已知的展开式中含有常数项，则的值及展开式中的常数项分别为（    ） A．3， B．4， C．3， D．4， 【变式训练8-3-8】的展开式中，含项的系数为，则（    ） A．1 B． C． D． 题型09： 赋值法 【典型例题1】若，则的值是（ 　 ） A． B．127 C．128 D．129 【答案】D 【分析】利用赋值法计算可得. 【详解】解：因为， 令，可得， 令，可得，所以；故选：D 【典型例题2】若，则的值为 . 【答案】-1 【分析】对二项展开式用 “赋值法”： 可得 令可得：， 即可求出的值 【详解】因为， 令可得；令可得：； 故． 故答案为：-1 【点睛】方法点睛：求展开式系数和或有关展开式系数和一个非常有效的方法是赋值法.在用“赋值法”求值时，要找准代数式与已知条件的联系如何赋值，要是具体情况而定，没有一成不变的规律，灵活性较强一般的.一般地：多项式f（x）的各项系数和为f（1），奇次项系数和为f（1）-f（-1），偶次项系数和为f（1）+f（-1）；对于有些展开式要对关于x的因式赋值，要注意观察：另外在赋值法中正确使用构造法，结合函数相关性质，可以在求解二项式问题时能收到事半功倍的效果。 【变式训练9-1】，则（    ） A．1 B．3 C．0 D． 【变式训练9-2】若，则的值为（    ） A．0 B．32 C．64 D．128 【变式训练9-3】已知的展开式的二项式系数和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中各项系数的和为 C．展开式中第项的系数为 D．展开式中含项的系数为 一：赋值法求系数和 【典型例题1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】赋值求；利用二项式定理的通项公式法，求；赋值和，判断CD. 【详解】A.令，得，故A正确； B.中，含有项的系数为，故B正确； C.当时，，① 所以，故C正确； D.当时，，② ①+②，得， 所以，故D正确. 故选：ABCD 【典型例题2】，则（    ） A．31 B．1023 C．1024 D．32 【答案】B 【分析】根据二项展开式的通项，可得的，结合赋值法，即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 所以，当时，可得为正数，当时，可得为负数， 令，可得， 令，可得， 所以 . 故选：B. 【变式训练9-1-1】（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-1-2】已知，则 . 二：赋值法（含奇次、偶次项系数和） 【典型例题1】已知，则的值为（    ） A．255 B．256 C．511 D．512 【答案】A 【分析】利用二项式定理写出展开式的通项，令求出，分别令、，再两式相加可得，再减去即可. 【详解】令，得， 令，得， 令，得， 两式相加得， 得， 则. 故选：A. 【典型例题2】已知，则（    ） A． B．28 C．14 D． 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】令，整理得： 与分别是展开式中与的系数，展开式的通项公式为， ， 故选:B. 【变式训练9-2-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2-2】若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2-3】已知，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2-4】已知，则（    ） A．9 B．10 C．19 D．29 【变式训练9-2-5】若，则（    ） A． B．1 C．15 D．16 【变式训练9-2-6】设，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练9-2-7】已知，则的值为（    ） A．10 B． C．30 D． 【变式训练9-2-8】.若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a1＋a3＋a5＝(　　)． A．1 B．－1 C．121 D．106 【变式训练9-2-9】若，则（    ） A． B．1 C．15 D．16 【变式训练9-2-10】设，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练9-2-11】已知，则的值为（    ） A．10 B． C．30 D． 【变式训练9-2-12】若展开式中偶数项系数和为，求. 【变式训练9-2-13】若的展开式中，所有的奇数项的系数和为，求它的中间项。 【变式训练9-2-14】设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若 ,则等于多少？ 【变式训练9-2-15】若的展开式中，奇数项的系数之和为-121，则n=___________。 【变式训练9-2-16】设，若，则实数________. 【变式训练9-2-17】若的展开式中，奇数项的系数之和为-121，则n=___________。 【变式训练9-2-18】设，若，则实数________. 三：换元型 【典型例题1】.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 又展开式通项为：，. 故选：C. 【典型例题2】对任意实数x，有则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由， 当时，，，A选项错误； 当时，，即，C选项正确； 当时，，即，D选项正确； ，由二项式定理，，B选项正确. 故选：BCD 【变式训练9-3-1】若多项式，则（ ） A．9 B．10 C．-9 D．-10 【变式训练9-3-2】二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理： 对于任意实数， 当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作： . 用这样的方法，估计的近似值约为（    ） A．2.922 B．2.926 C．2.928 D．2.930 【变式训练9-3-3】若是9的倍数，则自然数n为（    ） A．4的倍数 B．3的倍数 C．奇数 D．偶数 【变式训练9-3-4】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3-5】若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？ 【变式训练9-3-6】 题型10：整除和余数问题 【典型例题】被6除的余数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用二项展开式可得正确. 【详解】因为， 且984可以被6整除，所以余数为1. 故选：A. 【变式训练10-1】中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m均为整数，若a和b被m除得的余数相间，则称a和b对模m同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记.若，且，则b的值可以是（    ） A．2022 B．2024 C．2024 D．2025 【变式训练10-2】将个不同的小球全部放入个不同的盒子中，共有种不同的方法，若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练10-3】证明：能被64整除 题型11： 近似计算问题 【典型例题】最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【答案】C 【分析】利用二项式定理进行估值即可. 【详解】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确. 故选：C 【变式训练11-1】二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（    ） A．2.015 B．2.023 C．2.031 D．2.083 【变式训练11-2】某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（    ）（单位：万元，结果保留一位小数） A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9 题型12：组合恒等式的证明 【典型例题】求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由得是的展开式中的系数，是的展开式中的系数，由组合数的性质可得证. 【详解】证明:因为， 所以， 而是的展开式中的系数，是的展开式中的系数， 所以． 因为，所以． 【变式训练12-1】求证： 【变式训练12-2】已知． (1)求的值 (2) ①证明：，其中，，，，； ②利用的结论求的值． 题型13：二项式定理与导数 【典型例题】已知，则（    ） A．2024 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据题意，等式的两边同时求导数，再令，即可求解. 【详解】由， 等式的两边同时求导数，可得， 令，可得. 故选：B. 【变式训练13-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-2】（多选）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-3】（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-4】已知，则 .（用数字作答） 题型14：杨辉三角 【典型例题1】杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】利用二项式定理求解即可. 【详解】由杨辉三角知： 第1行：，， 第2行：，，， 第3行：，，，， 第4行：，，，，， 由此可得第行，第个数为， 所以第15行第15个数是． 故选：B 【典型例题2】将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（n为正整数），则下列结论中正确的是（    ） 第0行                  第1行                   第2行                      第3行                       ……             …… A．当时，中间的两项相等，且同时取得最大值 B．当时，中间一项为 C．第6行第5个数是 D． 【答案】C 【分析】根据莱布尼茨三角形的数的排列规律，明确每行的数的个数，以及数的分布规律，即可判断A，B，C；结合从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，即可判断D. 【详解】对于A，由莱布尼茨三角形知，当n为奇数时，中间两项相等，且同时取到最小值， 为奇数，故A错误； 对于B，当时，这一行有2025个数，最中间为第1013个数， 即，B错误； 对于C，第6行有7个数，第5个数是，C正确； 对于D，由于从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和， 故，D错误， 故选：C 【变式训练14-1】杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-2】杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．如图所示的杨辉三角中，第8行，第3个数是（    ） 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 A．21 B．28 C．36 D．56 【变式训练14-3】（多选）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第12个数与第13个数之比为 【变式训练14-4】（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得自豪的，以下关于杨辉三角的叙述正确的是（    ） 第1行       1  1 第2行      1  2  1 第3行     1  3  3   1 第4行    1  4  6   4   1 第5行   1  5  10  10  5  1 第6行  1  6  15  20  15  6  1 ……             …… A．第9行中从左到右第6个数是126 B． C． D． 【变式训练14-5】如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，观察图中数字的排列规律，可知下列结论正确的是（   ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第12行从左到右第4个数与第5个数之比为4：9 D．第2025行从左到右第1013个数比该行其他数都大 【变式训练14-6】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（    ） A． B．第2024行的第1012个和第1013个数最大 C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 题型15：二项式定理与其他知识的综合 【典型例题】若的展开式中的系数为60，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．5 【答案】C 【解析】，令，， 所以，∴， ，当且仅当 ，即时等号成立， 故选：C． 【变式训练15-1】设为实数，甲：；乙：二项展开式常数项为1．则甲是乙成立的（    ）条件 A．充分但不必要 B．充要 C．必要但不充分 D．既不充分也不必要 【变式训练15-2】已知函数在处的切线与直线平行，则二项式展开式中的系数为（    ） A．70 B．－70 C．56 D．－56 【变式训练15-3】定义函数，已知为虚数单位，则的展开式中常数项是（    ） A．180 B．120 C．90 D．45 【变式训练15-4】数列中，，，的值为（    ） A．761 B．697 C．518 D．454 一、单选题 1．的展开式中，不含的项是（    ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项或第项 2．二项式（x2－）11的展开式中，二项式系数最大的项为（　　） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第6项和第7项 3．二项式的展开式的常数项是（    ） A． B． C． D． 4．二项式的展开式中无理项的项数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．的展开式中的系数是（    ） A．48 B．-48 C．72 D．-72 6．的二项展开式中系数最大的项为第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．2或3 7．设，则（   ） A．120 B．84 C．56 D．36 8．若，，则（    ） A． B．31 C． D．32 9．若的展开式中第5项的二项式系数最大，则不可能取值（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．已知对任意实数x，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 11．某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ） A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 二、多选题 1·。已知（，则（   ） A． B． C． D． 2.已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（   ） A． B． C．除以8所得的余数为1 D． 3.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（    ） A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84 B．由“第行所有数之和为”猜想： C．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为284 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 4.已知在，的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 19．（24-25高二下·广西柳州·阶段练习）展开式中的项的系数为 ．（用数字作答） 5.若的展开式中的常数项为0，则 . 4.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左至右第11与第12个数的比为1∶2． 6.已知的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则 ． 四、解答题 1.已知二项式． (1)写出当时的展开式； (2)写出当时所有的有理项． 2.（1）求的展开式； （2）化简：. 3.（1）用二项式定理证明能被100整除； （2）求被100除所得的余数． 4.莱布尼茨（德国数学家）三角（如图1所示）是与杨辉（南宋数学家）三角数阵（如图2所示）相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 现记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为. (1)求的值； (2)将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角.我们知道杨辉三角的最基本的性质，也是二项式系数和组合数性质，请你类比这个性质写出莱布尼茨三角的性质，并证明你的结论. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学二项式定理讲义 目 录 思维导图 2 高考分析 3 学习目标 4 知识要点 5 解题策略 8 题型归纳 9 题型01：二项式定理展开及其逆应用 9 一：二项式定理的展开式 9 二：展开式的逆用 11 题型02：二项展开式第k项 13 一：求常数项及已知常数项求参数 13 二：指定项系数 16 三：配凑后求展开式中的指定项 20 四;已知项的系数求参数 22 题型03：求有理项或其系数 24 题型04：二项式系数和 30 题型05：各项系数和 32 题型06：系数最大（小）项 36 一：二项式系数最大 36 二：项的系数最大 38 题型07： 三项展开式系数问题 43 一：三项式指定项系数 43 二：三项展开式的指定项 47 三：三项展开式中指定项求参数 48 四：三项变两项 51 题型08：两个多项式乘积的指定项 52 一：两个二项式指定项系数 52 二：两个二项式指定项 57 三：两个多项式指定系数求参数 59 题型09： 赋值法 63 一：赋值法求系数和 65 二：赋值法（含奇次、偶次项系数和） 68 三：换元型 77 题型10：整除和余数问题 80 题型11：近似计算问题 81 题型12：组合恒等式的证明 82 题型13：二项式定理与导数 85 题型14：杨辉三角 87 题型15：二项式定理与其他知识的综合 95 巩固提升 97 1. 考纲定位与考查频率 二项式定理是高考数学计数原理板块的核心内容，属于必考/高频考点（全国卷、新高考卷年均1题），题型以选择题/填空题为主（5分），难度集中在基础题~中档题，极少出现在解答题中，是高考中“性价比高”的得分点。 2. 核心考查方向 • 通项公式的直接应用：考查展开式中特定项（如常数项、有理项、某次幂项）的求解，或特定项的系数、二项式系数计算（高考占比约60%）。 • 二项式系数的性质：考查二项式系数的对称性、最大值（n为偶数时中间项最大，n为奇数时中间两项相等且最大）、所有二项式系数和（2^n）、奇/偶数项二项式系数和（高考占比约25%）。 • 赋值法的应用：通过令x=0、1、-1等特殊值，求展开式中所有项的系数和、奇/偶数项系数和、绝对值和等（高考占比约10%）。 • 交汇考查：偶尔与函数、不等式、数列等结合（如求系数的最值、证明与二项式相关的不等式），难度稍高（高考占比约5%）。 3. 命题趋势 • 新高考背景下，题目更侧重基础运算能力和公式灵活应用，减少复杂计算，增加对“概念辨析”的考查（如区分“二项式系数”与“项的系数”）。 • 结合实际情境的创新题偶现（如通过二项式定理解决概率、计数相关问题），但核心仍围绕通项公式和赋值法。 • 对“隐性条件”的挖掘要求提升（如有理项需满足指数为整数、常数项需指数为0）。 4. 易错点与失分原因 • 混淆“二项式系数”与“项的系数” • 通项公式记忆错误（如漏写符号、指数计算错误，尤其含负号或分式的二项式）。 • 赋值法应用时特殊值选取错误（如求系数和时误令x=0）。 • 忽略二项式系数性质的适用条件（如最大值的判断需先确定n的奇偶性）。 1. 基础认知目标 • 准确记忆并理解二项式定理的表达式：，明确展开式的结构特征（共n+1项、各项的指数规律、二项式系数与项的系数的区别）。 • 熟记通项公式：，能快速识别公式中各参数的含义（k+1为项数、为二项式系数、）。 • 掌握二项式系数的核心性质（对称性、最大值、和的性质），能结合具体例子解释性质的应用场景。 2. 能力应用目标 • 运算能力：能熟练运用通项公式求展开式中的特定项（常数项、有理项、指定幂次项）、特定项的系数或二项式系数，解决含分式、负号、根式的二项式展开问题。 • 方法迁移能力：掌握赋值法的核心逻辑，能通过选取合适的特殊值（x=0,1,-1等），求解展开式中所有项的系数和、奇偶项系数和、系数绝对值和等问题。 • 辨析能力：能清晰区分“二项式系数”与“项的系数”、“展开式的项”与“项的次数”等易混淆概念，避免解题中的概念性错误。 • 综合应用能力：能将二项式定理与计数原理、函数、数列、不等式等知识结合，解决简单的交汇型问题（如利用二项式系数和证明数列等式、求系数的最值）。 3. 应试提分目标 • 能快速定位高考题型（基础直接型、赋值应用型、性质辨析型），并匹配对应的解题方法，确保5分基础题/中档题不失分。 • 规避高频易错点（如通项公式符号错误、特殊值选取错误、二项式系数最大值判断失误），形成“审题→套用公式→验证结果”的解题闭环。 • 面对创新型题目（如结合实际情境的二项式应用），能剥离表面信息，回归二项式定理的核心公式和方法，实现知识的灵活迁移。 4. 思维发展目标 • 体会从特殊到一般的推理过程，培养归纳推理能力。 • 通过二项式系数的对称性、最值等性质，理解数学的对称美和规律性，提升逻辑分析能力。 知识点 1．二项式定理： ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数. ③项数：共项，是关于与的齐次多项式 ④通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有项。 ②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。 ③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于. ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。 （1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； （2）字母的次数和组合数的上标相同； 4．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，··· ②二项式系数和：令,则二项式系数的和为， 变形式。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令，则， 从而得到： ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。 如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。 ⑥系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别 为，设第项系数最大，应有，从而解出来。 5．常用的结论： 令 令 6.二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． 2、展开式中的系数求法的整数且 知识点诠释： 三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决． 7. 二项式系数表(杨辉三角) 展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. 杨辉三角的性质 (1)每一行都是对称的，且两端的数都是1. (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和.事实上，设表中任一不为1的数为，那么它上一行中与这个数相邻的两个数分别为 和由组合数的性质，有=1，=1，. (3)对于给定的n来说，其二项式系数满足中间大、两边小的特点.利用二项式系数的对称性可知，二项式系数，…，，是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大. (4)二项展开式的二项式系数的和等于2n. 在(1+x)n=xn+xn-1+xn-2+…+x0中，令x=1，则+…+=2n. 必备 1.分数指数幂 (1)（，且）. (2)（，且）. 2．有理指数幂的运算性质 (1) . (2) . (3). 一、核心题型对应解题策略 1. 特定项/系数求解（高考核心题型） • 核心工具：通项公式 • 解题步骤： ① 明确二项式中的 a、b（注意含负号、分式、根式的情况，）； ② 写出通项并化简（将根式、分式转化为幂的形式）； ③ 根据“特定项”条件列方程，解出 k； ④ 代入 k 计算二项式系数或项的系数 2. 二项式系数性质应用 3. 赋值法求系数和（高频题型） • 常用赋值： ◦ 令 x=1：得所有项的系数和 ◦ 令 x=-1：得奇偶项系数和的差 ◦ 令 x=0：得常数项 • 解题步骤： ① 设系数和表达式（如设所有项系数和为 S，奇数项系数和为 S_奇，偶数项为 S_偶）； ② 赋特殊值列方程； ③ 解方程组得目标值。 4. 交汇型问题（中档题） • 与函数/不等式结合：求系数的最值→ 转化为数列最值问题，通过比较相邻两项系数大小列不等式组； • 与计数原理结合：利用二项式定理证明组合恒等式→ 结合赋值法或组合数性质变形； • 解题关键：剥离表面背景，回归二项式定理的核心公式，结合其他模块知识（如数列、不等式）分步求解。 二、通用解题技巧 1. 审题优先：先区分“二项式系数”与“项的系数”、“项”与“项的次数”，避免概念性错误； 2. 符号处理：含负号的二项式，通项中需保留 ，再计算指数和系数； 3. 验证习惯：求出 k 后需验证是否为整数（如有理项要求指数为整数），避免无效解； 4. 模板化解题：针对每种核心题型，固化“公式→条件→计算→验证”的步骤，减少失误。 三、易错点规避策略 • 通项公式中项数易错：第 k+1 项对应 k，而非第 k 项（如求第3项，k=2）； • 赋值法混淆“二项式系数和”与“项的系数和”：二项式系数和仅与 n 有关，项的系数和需赋值计算； • 分式/根式二项式展开：先转化为幂的形式，再计算指数。 题型01：二项式定理展开及其逆应用 一：二项式定理的展开式 【典型例题1】乘积展开后的项数为（    ） A．6 B．7 C．13 D．42 【答案】D 【分析】直接利用组合数求出结果． 【详解】乘积展开后的项数为． 故选：D． 【典型例题2】 （1）求的展开式； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二项式展开公式直接展开即可得解； （2）逆用二项式定理进行合并即可得解． 【详解】（1）． （2）原式． 【变式训练1-1-1】已知等式，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用二项式定理即可求解. 【详解】依题意，, 而且还有， 所以. 故选：D. 【变式训练1-1-2】计算二项式： (1)化简：； (2)写出的展开式并化简. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二项式定理逆运算即可得结果； （2）根据二项展开式的通项公式分析求解. 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）因为的展开式的通项为， 所以. 二;展开式的逆用 【典型例题1】化简等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项式定理写出对应的二项式，即可得答案. 【详解】由， 所以. 故选：B 【典型例题2】 解：与已知的有一些差距， 【变式训练1-2-1】的值是（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 【答案】B 【分析】根据二项展开式的运算公式，分析出展开前的式子即可. 【详解】. 故选：B. 【变式训练1-2-2】 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 选B. 【变式训练1-2-3】化简多项式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，将多项式的每一项都变成二项式展开式的结构，观察结构变化，即可进行合并，完成求解. 【详解】依题意可知，多项式的每一项都可看作， 故该多项式为的展开式， 化简． 故选：D. 【变式训练1-2-4】 解：设，则 题型02：二项展开式第k项 一：求常数项及已知常数项求参数 【典型例题1】的展开式中的常数项为（    ） A． B． C．20 D．60 【答案】D 【分析】利用二项式定理直接列式求出常数项. 【详解】的展开式中的常数项为. 故选：D 【典型例题2】若二项式展开式中存在常数项，则正整数n可以是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】二项式展开式的通项为， 令，解得：，又因为且为整数，所以为的倍数， 所以， 故选：. 【变式训练2-1-1】变式2-2．展开式中的常数项为（    ）． A．540 B．18 C．15 D．135 【答案】A 【分析】利用二项展开式的通项公式去求展开式中的常数项. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 由，解得， 则展开式中的常数项为． 故选：A 【变式训练2-1-2】已知，若的展开式中，常数项等于240，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 【答案】B 【分析】根据二项展开式的通项公式求出常数项，建立方程得解. 【详解】由二项展开式的通项公式可得， 令，解得， 即常数项为，解得. 故选：B 【变式训练2-1-3】展开式的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出二项展开式的通项公式，令的指数为0，得出常数项的项数，即可得常数项． 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为. 故选：A. 【变式训练2-1-4】的展开式中的常数项为______. 【答案】 【解析】由题意的展开式的通项为， 令即，则，所以的展开式中的常数项为.故答案为：. 例：求二项式的展开式中的常数项？ 解：，令，得，所以 7练：求二项式的展开式中的常数项？ 解：，令，得，所以 【变式训练2-1-5】若的二项展开式中第项为常数项，则 解：，令，得. 二：指定项系数 【典型例题1】在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数？ 解：由条件知，即，，解得，由 ，由题意， 则含有的项是第项,系数为。 【典型例题2】求展开式中的系数？ 解：，令,则 故的系数为。 【变式训练2-2-1】的展开式中的系数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的展开式中,通项公式：， 令10−r=7，解得r=3. ∴x7的系数为, 故选：C. 【变式训练2-2-2】的展开式中的系数为_____． 【答案】-20 详解：由二项式定理可知，展开式的通项为 ， 要求解的展开式中含的项，则， 所求系数为． 【变式训练2-2-3】二项式的展开式的常数项为第（ ）项 A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 试题分析：由二项式定理可知,展开式的常数项是使的项,解得为第19项,答案选C. 【变式训练2-2-4】二项式的展开式中含的项的系数为（    ） A．-60 B．60 C．30 D．-30 【答案】B 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得，故所求系数为. 故选：B. 【变式训练2-2-5】在的展开式中，的系数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的通项，则，化简得， 令，则的系数为，即A正确. 故选：A 【变式训练2-2-6】的展开式中的系数为（    ） A． B． C．64 D．160 【答案】C 【解析】的展开式的通项公式为， 令，则，故展开式中的系数为.故选：C. 【变式训练2-2-7】展开式中的系数为_________（用数字作答） 【答案】 【解析】的展开式的通项为， 取得到.故答案为： 【变式训练2-2-8】的展开式中,有理项是______.（用关于x的式子表示） 【答案】和 【解析】由题知,记展开式的通项为,则, 由,得或8,所以,故有理项是和.故答案为:和 【变式训练2-2-9】的展开式中的系数为（　 　） A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】解：由题可得， 令,则， 所以， 故选：C. 【变式训练2-2-10】的展开式中，项的系数是（    ） A．30 B．30 C．60 D．60 【答案】C 【分析】由二项式定理求解 【详解】由题意，当时，项的系数是 故选：C 【变式训练2-2-11】二项式展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出二项式的展开式的通项公式，求出指定项的系数. 【详解】展开式通项为， 令，解得：k＝4， 展开式的的系数为． 故选：A． 三：配凑后求展开式中的指定项 【典型例题1】若，则（    ） A．6 B．16 C．36 D．90 【答案】C 【分析】将变形为，然后令展开式的通项公式中即可求得结果. 【详解】因为，展开式的通项为， 令，可得， 所以， 故选：C. 【典型例题2】若，则（    ） A．40 B． C．80 D． 【答案】C 【分析】由，应用二项式定理写出展开式通项，进而求项系数. 【详解】由，故， 所以时，，即80. 故选：C 【变式训练2-3-1】对任意的实数x，，则值为（   ） A．60 B．120 C．240 D．480 【答案】C 【分析】首先分析题意，利用二项式定理和结合赋值法进行计算. 【详解】 . 故选：C. 【变式训练2-3-2】已知，则（    ） A． B． C．30 D．60 【答案】D 【分析】设，则，变换，利用二项式定理计算得到答案. 【详解】设，则，所以． 的展开式的通项， 取得． 故选：D． 【变式训练2-3-3】若， ． 【答案】 【分析】把写成，再用二项式定理展开，求的系数即可. 【详解】因为 所以：. 故答案为： 【变式训练2-3-4】，则等于（    ） A．180 B． C．45 D． 【答案】C 【分析】求出二项式通项公式，赋值后代入求解即可. 【详解】，展开式的通项为， 令，解得，故. 故选：C. 【变式训练2-3-5】在的展开式中，的系数为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先找出每项中含有的项，利用组合数的性质即可得出结果. 【详解】在的展开式中，的系数为 . 四;已知项的系数求参数 【典型例题1】已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（    ） A．2 B．-2 C．2或-2 D．4 【答案】C 【分析】根据二项展开式的通项公式，令的指数为4可求得，再根据系数为40求解即可 【详解】由，令，解得，所以项的系数为，解得． 故选：C 【典型例题2】在的展开式中，若项的系数为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】展开式通项为， 依题意，则， 当时，，所以， 故选：C. 【变式训练2-4-1】在的展开式中，若常数项为，则实数值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据二项式展开式的通项，列出关于m的方程，解方程即得. 【详解】由已知，展开式的通项为， 令，得， 所以常数项为，解得. 故选：A. 【变式训练2-4-2】若的展开式中项的系数是，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式的通项及特定项系数求参数值. 【详解】二项展开式的通项为， 令，解得， 则，， 解得， 故选：A. 题型03：求有理项或其系数 【典型例题1】二项式展开式中，有理项项数为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：根据二项式定理展开的：，要为有理项，则为整数即可. 详解：由题可得：通项为，要为有理项，则为整数，故r可取0,2,4,6,8故有五项有理数，故选B 点睛：考查二项式定理的展开，正确写出通项，然后理解题意x的次数为整数即可为解题关键，属于基础题. 【典型例题2】二项式展开式中，有理项共有（    ）项． A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】求出展开式的通项，令的指数部分为整数即可得结果. 【详解】二项式展开式中， 通项为，其中， 的取值只需满足，则， 即有理项共有7项， 故选：D. 【典型例题3】二项式的展开式中，其中是无理项的项数共有（    ） A．项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【分析】根据题意，可考虑求有理项，根据二项展开式的通项公式，由的指数值为整数，即可解出有理项的项数，进而得到无理项的项数即可 【详解】二项式的展开式中，通项公式为， ，时为有理项共6项，故无理项的项数共有 故选：D. 【变式训练3-1】在的展开式中，系数为有理数的项共有（    ）项 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后由为整数，且，可求出，从而可得答案 【详解】解：的展开式的通项公式为， 所以当为整数时，展开式的系数为有理数， 因为，且， 所以， 所以系数为有理数的项共有6项， 故选：A 【变式训练3-2】求二项式展开式中的有理项？ 解：，令,()得， 所以当时，，， 当时，，。 【变式训练3-3】在二项式的展开式中的指数为整数的项的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意将二项展开式的通项写出来，然后结合已知即可求解. 【详解】二项式展开为，. 当时，的指数为整数，共有四项. 故选：D. 【变式训练3-4】 的展开式中所有有理项系数之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的展开式的通项，要使为有理项，需，又因为的展开式的通项为，则两个二项式的展开式的系数相等， 所以问题可以转化为求的展开式的所有偶数项的系数之和，然后利用赋值法求解. 【详解】的展开式的通项为， 要使为有理项，需， 又因为的展开式的通项为， 则两个二项式的展开式的系数相等， 所以问题可以转化为求的展开式的所有偶数项的系数之和， 令， 令，则①， 令，则②， 则①+②可得：， 则的展开式中所有有理项系数之和为. 故选：C． 【变式训练3-5】（多选）在的展开式中，有理项恰有两项，则的可能取值为（    ） A．7 B．9 C．12 D．13 【答案】BD 【分析】利用二项式定理的通项公式得到满足题意的项 【详解】展开式各项表达式为 当时，， 所以为6的倍数，所以，6，即可取6，8，10； 当时， 所以为3的奇数倍，所以，9，即可取9，11，13. 即取值集合为. 故选：BD. 【变式训练3-6】（展开式的二项式系数和64，则展开式中的有理项个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用二项式定理的性质与通项求解即可. 【详解】二项系数和为，则，所以的通项为：，其中， 则展开式中的有理项满足，故，共3项. 故选：C. 【变式训练3-7】已知的展开式中所有奇数项的二项式系数的和为，则展开式中有理项共有（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由奇数项二项式系数和得，由展开通项是有理项得能被整除，由此即可得解. 【详解】由题意得，所以，解得， 所以的展开通项为， 若为有理项，则能被整除，即满足题意的可以是：共四个. 故选：C. 故选：D. 【变式训练3-8】（在的展开式中，的幂指数是整数的各项系数之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由二项式定理知与中的的整数次幂项之和相同，再利用赋值法求解. 【详解】设， 由二项式定理知与中的的整数次幂项之和相同，记作， 非整数次幂项之和互为相反数，相加后相互抵消. 故有. 令，则所求的系数之和为. 故选：D. 【变式训练3-9】 的展开式中有理项的个数为 . 【答案】3 【分析】先化简二项式展开式的通项公式，由此求得正确答案. 【详解】展开式的通项为， 要为有理项，则为整数，故可取，共有3项有理项. 故答案为： 【变式训练3-10】在的展开式中，系数是有理数的项共有 项． 【答案】4 【分析】利用二项展开式通项得，再研究为整数的情况即可得到答案. 【详解】， 令 ，∵系数为有理数， ∴2，8，14，20． ∴共有4项系数为有理数． 故答案为：4. 题型04：二项式系数和 【典型例题1】已知关于的二项式的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据二项式系数和求得，结合展开式通项利用常数项列方程求解即可. 【详解】由条件知，即，在通项中， 令，得.所以常数项为，解得. 故选：C 【典型例题2】的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出，写出二项展开式的通项，即可求得二项式系数最大的项. 【详解】因为，所以n＝8， 二项展开式的通项为， 故二项展开式中，二项式系数最大的项为. 故选：A. 【变式训练4-1】已知二项式的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，展开式中项的系数为84，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先根据展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，求出的值，再利用展开式的通项求出的值即可. 【详解】由展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大可知， 则展开式的通项为， 令，则，，解得， ，. 故选：A. 【变式训练4-2】的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出展开式前三项的系数，根据题意可得出关于的方程，解出的值，然后利用二项式系数的基本性质可求得结果. 【详解】展开式的通项公式为， 所以，前三项的系数分别为、、且成等差数列， 所以，，即，整理可得， 由题意可知，且，解得， 故解得，二项式系数的最大值为． 故选：. 【变式训练4-3】已知展开式的奇数项的二项式系数之和为，则该展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】由奇数项的二项式系数和为求出，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】依题意可得奇数项的二项式系数和，所以， 则展开式的通项为，且， 令，解得， 所以展开式中的系数为， 故答案为：. 【变式训练4-4】若的展开式中二项式系数和为32，则展开式中最高次项的系数为 ． 【答案】 【分析】首先根据二项式系数和的性质求出的值，然后写出二项式展开式的通项公式，再根据通项公式求出最高次项的系数. 【详解】已知的展开式中二项式系数和为32，则，即. 对于，则其展开式的通项公式为. 化简得. 当时，最高次项的系数为. 所以最高次项的系数为. 故答案为：. 题型05：各项系数和 【典型例题1】在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项系数和为（   ） A．32 B．-32 C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据二项式的所有二项式系数之和的表达式求得的值，再对赋值1即可求得. 【详解】依题，解得， 则二项式的所有项系数之和为. 故选：D. 【典型例题2】若的展开式中各项系数之和为243，则展开式中的系数为（    ） A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】C 【分析】令，得到各项系数之和为，解出，利用通项公式解出的系数. 【详解】令，得到各项系数之和为，解得，则的通项公式为， 令，解得，的系数为. 故选：C. 【变式训练5-1】已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用赋值法即可求解. 【详解】解：令，得； 令，得， 则， 故选：B 【变式训练5-2】设，若，则（    ） A．80 B．40 C． D． 【答案】C 【分析】令,求出，结合为的系数，求出这一项即可求出. 【详解】令，则可得， 又，则， 又为的系数，且， 因此. 故选：C. 【变式训练5-3】若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】赋值令，得，再由为展开式中的系数，算出，即可得到答案. 【详解】令，得， 又， 所以. 故选：A. 【变式训练5-4】（多选）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于选项A，令得，所以选项A错误； 分别令和得和，所以选项B和选项C正确； 对于选项 D，，选项D正确；故：BCD． 【变式训练5-5】（多选）对任意实数x，有．则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对任意实数x有 ， 所以，故A不正确； 令，可得，故B不正确； 令，可得，故C正确； 令，可得，故D正确． 故选：CD． 【变式训练5-6】（多选）已知，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，取得，所以，故A正确； 对于B，的展开式中第7项为，所以，故B正确； 对于C，取得，故C错误； 对于D，由， 取得， 取得， 所以，故D正确.故选：ABD. 题型06：系数最大（小）项 一：二项式系数最大 【典型例题】若二项式的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以，所以，即， 所以，所以二项式系数最大项为. 故选：B. 【变式训练6-1-1】已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据第4项的二项式系数最大求出，再通过通项公式得出展开式中项的系数为，接着由即可求解. 【详解】由题意二项式系数仅最大，故， 所以二项式为，其通项公式为， 设二项式展开式中第项的系数最大，则有， ，即，故，经经验符合题意， 所以展开式中系数最大的项是第3项. 故选：B. 【变式训练6-1-2】已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？ 解：解出，当时，展开式中二项式系数最大的项是，当时，展开式中二项式系数最大的项是，。 【变式训练6-1-3】若的展开式有且只有第5项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A．-960 B．960 C．448 D．-448 【答案】D 【解析】依题意只有时第5项的二项式系数最大，项的系数为.故选：D 【变式训练6-1-4】在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 解：只有第项的二项式最大，则，即,所以展开式中常数项为第七项等于 二：项的系数最大 【典型例题】若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【分析】由的展开式的二项式系数和项的系数相等，因此由题意可得，求出，即可求得展开式中系数最大的项. 【详解】由的展开式中第2项与第8项的系数相等， 由的展开式的二项式系数和项的系数相等， 所以，所以， 则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项， 故选：C． 【典型例题2】的展开式中系数最大的项为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据二项式定理可得展开式通项，利用不等式法可求得结果. 【详解】的展开式通项为：， 设第项的系数最大，则，解得：， 又，或， 的展开式系数最大的项为和，即和. 故选：C. 【变式训练6-2-1】已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式定理展开公式，结合系数最大列出不等式即可求解. 【详解】的展开式的通项为， 由题可知，解得． 故选：A 【变式训练6-2-2】若，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】令，，且，结合组合数公式求出的值即可． 【详解】令，，且， 解得，，且， 所以时，， 而，， 所以，且， 故取最大值时的值为9． 故选：B． 【变式训练6-2-3】已知二项式，的展开式中第四项的系数最大，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】二项式展开式的通项公式为，其中， 由（其中），即， ，， 依题意可知使上式成立，即，所以.故选：A 【变式训练6-2-4】写出在的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？ 解：因为二项式的幂指数是奇数，所以中间两项()的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有的系数最小，系数最大。 【变式训练6-2-5】若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？ 解：由解出,假设项最大， ，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为,有 【变式训练6-2-6】在的展开式中系数最大的项是多少？ 解：假设项最大， ，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为 【变式训练6-2-7】（多选）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．第6项的二项式系数最大 B．第6项的系数最大 C．所有项的二项式系数之和为 D．所有项的系数之和为1 【答案】ACD 【分析】由系数和二项式的系数的性质可判断A，B，C；由赋值可判断D. 【详解】通项公式为，， 其二项式系数为，二项式的展开式共项，中间项的二项式系数最大， 故第6项的二项式系数是最大的，故A正确； 二项式系数和为，所以C正确； 令得所有项的系数和为1，故D正确； 因为展开式中第六项的系数为负数，所以第六项的系数不可能为最大，故B选项错误， 故选：ACD. 【变式训练6-12】已知的展开式中只有第6项的系数最大，则正整数n的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】利用二项式系数的性质，直接计算结果. 【详解】由二项展开式的形式可知，每一项的系数和二项式系数相等， 所以第6项的二项式系数是，所以，得. 故选：B. 【变式训练6-2-8】（多选）已知的展开式中所有项的系数之和为1，则（    ） A．展开式的常数项为 B． C．展开式中系数最大的项的系数为80 D．所有幂指数为非负数的项的系数和为 【答案】ACD 【分析】令，根据系数可得，根据二项式定理展开，进而逐项分析判断. 【详解】令，得，解得，B错误； 因为的展开式的通项公式为， 可得， 则，则有： 展开式的常数项为，A正确； 展开式中系数最大的项的系数为80，C正确； 所有幂指数为非负数的项的系数和为，D正确． 故选：ACD. 【变式训练6-2-9】（多选）在的展开式中，下列命题正确的是（    ） A．不含常数项 B．二项式系数之和为32 C．系数最大项是 D．各项系数之和为 【答案】ABC 【分析】对于A：写出展开式的通项公式，然后令的次数为即可求解；对于B：直接根据二项式定理求解；对于C：求出系数为正的正数，即可求最大值；对于D：令计算可得答案. 【详解】对于A：的展开式的通项为 . 令，得（不符题意），A正确； 对于B：二项式系数之和，B正确； 对于C：系数为正依次是，故系数最大项是，C正确； 对于D：令，得各项系数之和为，D错误. 故选：ABC. 【变式训练6-2-9】在的二项展开式中，系数最大的项为和，则展开式中含项的系数为 ． 【答案】7 【分析】首先由系数最大的项为和，得，再结合二项展开式的通项公式求含x项的系数即可. 【详解】，因为系数最大的项为和，所以为奇数， ，且，解得． 所以含项的系数为． 故答案为：7 题型07： 三项展开式系数问题 一：三项式指定项系数 【典型例题1】的展开式中所有项的系数之和为（    ） A．243 B．240 C．237 D．234 【答案】A 【分析】根据题意，令，即可求得所有项的系数之和，得到答案． 【详解】由多项式，令，可得所有项的系数之和为． 故选：A. 【典型例题2】的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．20 D． 【答案】D 【分析】根据展开式的每一项的生成过程，结合组合数公式，即可求解. 【详解】从5个含有的括号中，其中1个括号中取，一个括号中取，3个括号中取，乘在一起构成这一项， 这一项为，所以的系数为. 故选：D 【变式训练7-1-1】展开式中，的系数为（   ） A．320 B．320 C．240 D．240 【答案】D 【分析】根据已知二项式写出含的项，即可得答案. 【详解】由题设，含的项为. 所以的系数为. 故选：D 【变式训练7-1-2】的展开式中含的项的系数为（    ） A． B．60 C． D．30 【答案】A 【解析】的展开式中含的项为， 的展开式中含的项为， 的展开式中含的项的系数为. 故选：A. 【变式训练7-1-3】已知的展开式中的所有项的系数和为512，则展开式中含项的系数为（    ） A．－36 B．－18 C．18 D．36 【答案】B 【详解】令，则，解得， 的展开式中含项为 ， 所以展开式中含项的系数为. 故选：B 【变式训练7-1-4】的展开式中的系数为（    ） A．-60 B．240 C．-360 D．720 【答案】D 【详解】展开式中的项可以看成6个因式中， 其中3个取，剩下的3个因式中2个取，最后一个取， 即得到. 所以展开式中项的系数为. 故选：D. 【变式训练7-1-5】展开式中含项的系数为（    ） A．30 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】根据排列组合与二项式定理知识直接计算即可. 【详解】由题意得，展开式中含的项为， 所以展开式中含项的系数为. 故选：B 【变式训练7-1-6】在的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．15 C．120 D．30 【答案】A 【详解】方法1：可以看作6个相乘，从中选2个y，有种选法；再从剩余的4个括号中选出3个x，最后一个括号选出，有种选法；所以的系数为． 方法2：因为，所以其展开式的通项公式为， 令，得展开式的通项公式为，再令，得， 所以的系数为． 故选：A. 【变式训练7-1-7】已知的展开式中的常数项为，则 . 【答案】 【分析】写出展开式的常数项，即可得到方程，解得即可. 【详解】二项式的展开式中的常数项为， 则，解得或（舍去）， 所以. 故答案为： 【变式训练7-1-8】若，则 【答案】392 【分析】利用赋值法求出，再利用组合计数问题，结合两个原理求出即可. 【详解】依题意，令，得， 展开式的项是5个多项式中，取1个用，再从余下4个中取1个用，另3个都用2， 或者是5个多项式中，取3个用，另2个都用2， 因此， 所以. 故答案为：392 【变式训练7-1-9】的展开式中，的系数为（    ） A．60 B． C．120 D． 【答案】A 【详解】解：设的通项为， 设的通项为， 令 所以的系数为. 故选：A 【变式训练7-1-10】展开式中的系数是___________. 【答案】 【详解】的展开式中，含有的项为： ， 所以展开式中的系数是. 故答案为： 二：三项展开式的指定项 【典型例题】展开式的常数项为（    ） A．1 B．15 C．60 D．76 【答案】D 【解析】由 ， 其中含有常数项的有，，， 所以常数项为，故选：. 【变式训练7-2-1】下列各式中，不是的展开式中的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】表示4个因式的乘积，在这4个因式中，有一个因式选，其余的3个因式选，所得的项为，所以是的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式选，其余的2个因式选，所得的项为，所以是的展开式中的项，在这4个因式中，有1个因式选，剩下的3个因式选，所得的项为，所以是的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式选，其余的2个因式中有一个选，剩下的一个因式选，所得的项为，所以不是的展开式中的项. 故选:D. 三：三项展开式中指定项求参数 【典型例题】已知的展开式中的系数为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】展开式的通项为：，且； 展开式的通项为：，且； 令，则或， 的系数为，解得：.故选：A. 【变式训练7-3-1】的展开式中的系数为12，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据乘法的运算法则，结合组合数的性质、二倍角的余弦公式进行求解即可. 【详解】的展开式中的系数可以看成：6个因式中选取5个因式提供， 余下一个因式中提供或者6个因式中选取4个因式提供，余下两个因式中均提供， 故的系数为， ∴， ∴， 故选：C 【变式训练7-3-2】若的展开式中的系数为，则实数 ． 【答案】2 【分析】将三项的多项式的幂的形式组合成两项的幂的形式，运用两次二项式展开式的通项公式得出的通项公式，令，解此不定方程得出，的值，得到关于的方程，即可得解. 【详解】,所以的展开式的通项为: ， 其中， 令，所以或， 当时，的系数为， 当时，的系数为， 因为的系数为，所以， 即，即，所以. 故答案为：2. 【变式训练7-3-4】（多选）设，则下列关于的计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据所给式子的结构特点，利用二项式定理将表达式按不同的方式展开，即可求解. 【详解】考虑， 则，故A正确． 考虑， 则，故B正确． 考虑， 其中含有的项为， 所以，故C错误． 考虑， 其中含有的项为， 所以，故D正确． 故选:ABD． 【变式训练7-3-5】设，则 ，的最小值是 ． 【答案】 2 8 【分析】先将等式左边的式子展开，然后和右边的式子对应后列出方程，再根据代换及基本不等式即可解答． 【详解】， ∴有，解得，可知，即， ∴， ，（当时等号成立），故最小值为8． 故答案为：2；8 四：三项变两项 【典型例题】求当的展开式中的一次项的系数？ 解法①：，，当且仅当时，的展开式中才有x的一次项，此时，所以得一次项为 它的系数为。 解法②： 故展开式中含的项为，故展开式中的系数为240. 【变式训练7-4-1】求式子的常数项？ 解：，设第项为常数项，则，得,, . 题型08：两个多项式乘积的指定项 一：两个二项式指定项系数 【典型例题1】的展开式中的系数为（    ） A．30 B．25 C．45 D．15 【答案】D 【分析】写出的展开式通项，然后求出展开式中含的项即可. 【详解】因为的展开式通项为， 所以的展开式中含的项为． 即展开式中的系数为. 故选：D. 【典型例题2】展开式中的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原式化为，根据二项式定理，分别求出展开式中，，的系数，即可得出结果. 【详解】的展开式中通项是，， 则， 要求展开式中的系数，只需， 故展开式中的系数是. 故选：A. 【变式训练8-1-1】的展开式中的系数为（    ） A． B． C．28 D．56 【答案】B 【详解】由题知, 展开式的通项公式为， 将含项记为,则, 故含项的系数为， 故选：B 【变式训练8-1-2】的展开式中的系数为（    ） A．9 B．10 C．24 D．25 【答案】B 【详解】的通项， 令，，令，，令，， 展开式中的系数为. 所以的展开式中的系数为10. 故选：B 【变式训练8-1-3】的展开式中的系数为（    ） A．85 B．5 C．-5 D．-85 【答案】A 【详解】的展开式的通项为， 则，， 从而的展开式中的系数为． 故选：A． 【变式训练8-1-4】展开式中的常数项为（    ） A．13 B．17 C．18 D．22 【答案】B 【详解】的展开式中的常数项为. 故选：B. 【变式训练8-1-5】在展开式中，系数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【分析】利用二项式定理求出的展开式，再求出指定项的系数. 【详解】依题意，， 因此展开式中，含的项为， 所以系数为15. 【变式训练8-1-6】已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 【答案】C 【分析】赋值法得到方程，求出，求出展开式通项公式，得到，，从而得到展开式中的系数. 【详解】中令得，解得， 展开式通项公式为，， 当时，，当时，， 故展开式中的系数为. 故选：C 【变式训练8-1-7】二项式展开式中的系数为（    ） A．120 B．135 C．140 D．100 【答案】B 【解析】的展开式通项公式为， 其中，，， 故二项式中的四次方项为， 即展开式中的系数为.故选：B 【变式训练8-1-8】的展开式中的系数为（    ） A．30 B．40 C．70 D．80 【答案】A 【解析】因为的展开式中含的项为， 所以的系数为.故选：A. 【变式训练8-1-9】在的展开式中，含的项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由二项式定理可知：展开式各项的表达式为：， 其中，，； 令得：，或， 含的项的系数为. 故选：D. 【变式训练8-1-10】 解： . 【变式训练8-1-11】若，则 . 【答案】196 【分析】以为整体，将原式变形为，再考虑的展开式中含的项和含的项的系数，由此求解出结果. 【详解】由， 以为整体，展开式的通项为， 所以. 故答案为：. 【变式训练8-1-12】已知，则的值为（    ） A． B． C．9 D．7 【答案】B 【分析】根据题意分别将化简为，然后对每项进行二项式展开求出项的系数，从而可求解. 【详解】由题意可得，然后分别求出和中项的系数， 对于，其展开式通项为，当时，项的系数为， 对于，其展开式通项为，当时，项的系数为， 所以项的系数，故B正确. 故选：B. 二：两个二项式指定项 【典型例题】的展开式中的常数项为（    ） A． B．240 C． D．180 【答案】C 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 又展开式的通项为，， 所以的展开式中的常数项为. 故选：C 【变式训练8-2-1】的展开式中的常数项为（    ） A．－20 B．30 C．－10 D．10 【答案】D 【解析】因为 的展开式的通项公式为, 令,得;令,得,所以的展开式中的常数项为: .故选:D 【变式训练8-2-3】 解： . 【变式训练8-2-4】 解： 三：两个多项式指定系数求参数 【典型例题1】已知，，且，则（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】利用二项式的通项公式求出的表达式，根据题意列方程，即可求得n的值. 【详解】的通项公式为， 二项式的展开式中项的系数为， 项的系数为， ，， 即，即 ，（负值舍）， 故选：A. 【典型例题2】若二项式的展开式中项的系数是,则实数的值为（　　） A．-2 B．2 C．-4 D．4 【答案】C 【分析】分别求出和展开式中项的系数，即可求出的值. 【详解】， 的展开式的通项公式为，， 所以展开式中项的系数是， 展开式中项的系数是， 所以，解得， 故选：C. 【变式训练8-3-1】已知的展开式中的系数为12，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用二项展开通项公式，结合题意得到含的项为，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为， 由的展开式通项为，含的项包含了和两项， 所以含的项为， 所以，可得. 故选：D. 【变式训练8-3-2】若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据二项式展开式的通项公式列方程来求得的值. 【详解】的展开式的通项， 所以的展开式中含的系数为， 令，即，解得． 故选：D 【变式训练8-3-3】的展开式中，含项的系数为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】的展开式的通项公式为，令，可得； 所以含项的系数为，即，解得.故选：C. 【变式训练8-3-4】若的展开式中的系数为75，则（    ） A．-3 B．-2 C．2 D．3 【答案】A 【详解】的展开式的通项公式为，所以的展开式中的系数为，由题知，，解得． 故选：A. 【变式训练8-3-5】关于二项式，若展开式中含的项的系数为，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 【答案】C 【详解】由题意得的系数为，解得， 故选：C. 【变式训练8-3-6】已知的展开式中的系数为40，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题意可得， 在的展开式中，由， 令无解，即的展开式没有项； 在的展开式中，由， 令解得，即的展开式中的项的系数为，又的系数为40，所以，解得. 故选：B 【变式训练8-3-7】已知的展开式中含有常数项，则的值及展开式中的常数项分别为（    ） A．3， B．4， C．3， D．4， 【答案】A 【详解】的展开式的通项为， 因为． 令，得，与矛盾，舍去． 因为．令，得， 此时， 所以，常数项为． 故选：A． 【变式训练8-3-8】的展开式中，含项的系数为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】的展开式的通项公式为，令，可得； 所以含项的系数为，即，解得. 故选：C. 题型09： 赋值法 【典型例题1】若，则的值是（ 　 ） A． B．127 C．128 D．129 【答案】D 【分析】利用赋值法计算可得. 【详解】解：因为， 令，可得， 令，可得，所以；故选：D 【典型例题2】若，则的值为 . 【答案】-1 【分析】对二项展开式用 “赋值法”： 可得 令可得：， 即可求出的值 【详解】因为， 令可得；令可得：； 故． 故答案为：-1 【点睛】方法点睛：求展开式系数和或有关展开式系数和一个非常有效的方法是赋值法.在用“赋值法”求值时，要找准代数式与已知条件的联系如何赋值，要是具体情况而定，没有一成不变的规律，灵活性较强一般的.一般地：多项式f（x）的各项系数和为f（1），奇次项系数和为f（1）-f（-1），偶次项系数和为f（1）+f（-1）；对于有些展开式要对关于x的因式赋值，要注意观察：另外在赋值法中正确使用构造法，结合函数相关性质，可以在求解二项式问题时能收到事半功倍的效果。 【变式训练9-1】，则（    ） A．1 B．3 C．0 D． 【答案】C 【分析】根据展开式，利用赋值法取即得. 【详解】因为， 令，可得.故选：C. 【变式训练9-2】若，则的值为（    ） A．0 B．32 C．64 D．128 【答案】A 【分析】先利用赋值法求得和的值，进而求得的值. 【详解】，时， ，时， ，故选：A. 【变式训练9-3】已知的展开式的二项式系数和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中各项系数的和为 C．展开式中第项的系数为 D．展开式中含项的系数为 【答案】ABD 【分析】由展开式的二项式系数和为求出，即可判断A，令即可得到展开式各项系数和，从而判断B，利用展开式的通项判断C、D. 【详解】对于A，因为的展开式的二项式系数和为，所以，则，故A正确； 对于B，令，则，所以展开式中各项系数的和为1，故B正确； 对于C，因为的展开式通项为， 令可得第4项的系数为，故C不正确； 对于D，在选项C中的通项公式中， 令，得，则，所以含项的系数为，故D正确.故选：ABD. 一：赋值法求系数和 【典型例题1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】赋值求；利用二项式定理的通项公式法，求；赋值和，判断CD. 【详解】A.令，得，故A正确； B.中，含有项的系数为，故B正确； C.当时，，① 所以，故C正确； D.当时，，② ①+②，得， 所以，故D正确. 故选：ABCD 【典型例题2】，则（    ） A．31 B．1023 C．1024 D．32 【答案】B 【分析】根据二项展开式的通项，可得的，结合赋值法，即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 所以，当时，可得为正数，当时，可得为负数， 令，可得， 令，可得， 所以 . 故选：B. 【变式训练9-1-1】（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用赋值法逐项分析判断. 【详解】因为， 对于选项A：令，可得，故A正确； 对于选项BC：令，可得， 所以，，故B正确，C错误； 对于选项D：令，可得， 所以，故D正确； 故选：ABD. 【变式训练9-1-2】已知，则 . 【答案】 【分析】赋值法求系数和即可. 【详解】令得，所以. 故答案为： 【变式4-3】若，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据，分别令，，得到，求解. 【详解】解：因为， 令，得， 令，得， 所以， ， 则， 所以，解得， 故答案为： 二：赋值法（含奇次、偶次项系数和） 【典型例题1】已知，则的值为（    ） A．255 B．256 C．511 D．512 【答案】A 【分析】利用二项式定理写出展开式的通项，令求出，分别令、，再两式相加可得，再减去即可. 【详解】令，得， 令，得， 令，得， 两式相加得， 得， 则. 故选：A. 【典型例题2】已知，则（    ） A． B．28 C．14 D． 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】令，整理得： 与分别是展开式中与的系数，展开式的通项公式为， ， 故选:B. 【变式训练9-2-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合二项式定理，利用赋值法逐项求解各个选项即可. 【详解】令，得，故A不正确； 令，得，所以，故B不正确； 令，得， 所以，故C正确； 令，得，所以D不正确. 故选：C 【变式训练9-2-2】若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用赋值法逐项计算判断. 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，展开式中项的系数为，B错误； 对于C，二项式展开式中各项系数均为正，取， 得，C正确； 对于D，取，得，取，得， 联立解得，因此，D错误. 故选：C 【变式训练9-2-3】已知，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令可得，令可得，即可求出，，再利用展开式的通项求出，即可求出，从而得解. 【详解】因为， 令可得， 令可得， 所以，， 又， 其中展开式的通项为（且）， 所以， 所以， 所以. 故选：B 【变式训练9-2-4】已知，则（    ） A．9 B．10 C．19 D．29 【答案】C 【分析】先将等式两边同时乘以，再将两边同时求导后，令可得. 【详解】因为， 所以 分别对两边进行求导得 ， 令，得， 所以， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键将原式两边同时乘以，再将两边对求导. 【变式训练9-2-5】若，则（    ） A． B．1 C．15 D．16 【答案】C 【详解】因为， 令得，， 令得，， 所以，． 故选：C. 【变式训练9-2-6】设，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】展开式第项， ∵，∴， ∴. 故选：A. 【变式训练9-2-7】已知，则的值为（    ） A．10 B． C．30 D． 【答案】B 【详解】因为， 展开式第项， 当时，， 当时，， 故， 即. 故选：B 【变式训练9-2-8】.若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a1＋a3＋a5＝(　　)． A．1 B．－1 C．121 D．106 【答案】C 【详解】 解： 令得① 令得② ①减②得 故选： 【变式训练9-2-9】若，则（    ） A． B．1 C．15 D．16 【答案】C 【详解】因为， 令得，， 令得，， 所以，． 故选：C. 【变式训练9-2-10】设，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】展开式第项， ∵，∴， ∴. 故选：A. 【变式训练9-2-11】已知，则的值为（    ） A．10 B． C．30 D． 【答案】B 【详解】因为， 展开式第项， 当时，， 当时，， 故， 即. 故选：B 【变式训练9-2-12】若展开式中偶数项系数和为，求. 解：设展开式中各项系数依次设为 ,则有①，,则有② 将①-②得： 有题意得，，。 【变式训练9-2-13】若的展开式中，所有的奇数项的系数和为，求它的中间项。 解：，，解得 所以中间两个项分别为，， 【变式训练9-2-14】设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若 ,则等于多少？ 解：若，有，， 令得，又,即解得，. 常见的通法是通过赋值使得多项式中的变为和，在本题中要使即给等式中的赋值，求出展开式的常数项； 【变式训练9-2-15】若的展开式中，奇数项的系数之和为-121，则n=___________。 【答案】5 【详解】 令得： 令得： 奇数项的系数和为：，解得： 本题正确结果： 【变式训练9-2-16】设，若，则实数________. 【答案】 【详解】 两边分别求导： 取 故答案为 【变式训练9-2-17】若的展开式中，奇数项的系数之和为-121，则n=___________。 【答案】5 【详解】 令得： 令得： 奇数项的系数和为：，解得： 本题正确结果： 【变式训练9-2-18】设，若，则实数________. 【答案】 【详解】 两边分别求导： 取 故答案为 三：换元型 【典型例题1】.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 又展开式通项为：，. 故选：C. 【典型例题2】对任意实数x，有则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由， 当时，，，A选项错误； 当时，，即，C选项正确； 当时，，即，D选项正确； ，由二项式定理，，B选项正确. 故选：BCD 【变式训练9-3-1】若多项式，则（ ） A．9 B．10 C．-9 D．-10 【答案】D ， ，根据已知条件得 的系数为0， 的系数为1 故选D. 【变式训练9-3-2】二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理： 对于任意实数， 当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作： . 用这样的方法，估计的近似值约为（    ） A．2.922 B．2.926 C．2.928 D．2.930 【答案】B 【详解】. 故选：B. 【变式训练9-3-3】若是9的倍数，则自然数n为（    ） A．4的倍数 B．3的倍数 C．奇数 D．偶数 【答案】C 【详解】因为 ， 又是9的倍数， ∴为偶数，即为奇数． 故选：C. 【变式训练9-3-4】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， 所以， 所以. 故选：D. 【变式训练9-3-5】若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？ 解：令，则的展开式中各项系数之和为，所以，则展开式的常数项为. 【变式训练9-3-6】 解： 【变式训练9-3-7】 解： 题型10：整除和余数问题 【典型例题】被6除的余数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用二项展开式可得正确. 【详解】因为， 且984可以被6整除，所以余数为1. 故选：A. 【变式训练10-1】中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m均为整数，若a和b被m除得的余数相间，则称a和b对模m同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记.若，且，则b的值可以是（    ） A．2022 B．2024 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】利用二项式定理求出被8除得的余数，再逐项分析判断即可. 【详解】依题意， ，展开式共11项，其中前10均有因数8，最末一项为1， 则被8除得的余数是1，2022，2024，2024，2025被8除得的余数分别为6，7，0，1， 因此b的值可以是2025. 故选：D 【变式训练10-2】将个不同的小球全部放入个不同的盒子中，共有种不同的方法，若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分步乘法计数原理可得，利用二项式定理求出除的余数，即为的值. 【详解】将个不同的小球全部放入个不同的盒子中，共有种不同的方法， 则 且能被整除， 所以，除的余数为，即. 故选：D. 【变式训练10-3】证明：能被64整除 证： 由于各项均能被64整除 题型11： 近似计算问题 【典型例题】最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【答案】C 【分析】利用二项式定理进行估值即可. 【详解】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确. 故选：C 【变式训练11-1】二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（    ） A．2.015 B．2.023 C．2.031 D．2.083 【答案】C 【分析】变形，然后根据题意，计算即可得解． 【详解】． 故选：C． 【变式训练11-2】某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（    ）（单位：万元，结果保留一位小数） A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9 【答案】B 【分析】根据复利可知每年末本息和构成等比数列，利用等比数列通项公式及二项式定理求解即可. 【详解】存入大额存款10万元，按照复利计算， 每年末本利和是以10为首项，为公比的等比数列， 所以本利和． 故选：B． 题型12：组合恒等式的证明 【典型例题】求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由得是的展开式中的系数，是的展开式中的系数，由组合数的性质可得证. 【详解】证明:因为， 所以， 而是的展开式中的系数，是的展开式中的系数， 所以． 因为，所以． 【变式训练12-1】求证： 【答案】证明见解析 【分析】根据二项式系数性质利用倒序相加求和即可得出结论. 【详解】证明： 令，则； 两式相加可得, 所以； 可得. 【变式训练12-2】已知． (1)求的值 (2) ①证明：，其中，，，，； ②利用的结论求的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）赋值和，即可求解系数的和； （2）①利用组合数的阶乘公式，即可证明；②首先由①可得，再根据，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）令，得， 令，得， （2）① 证明：， ， ②解：由①得：， ， ， ， ， ， ． 题型13：二项式定理与导数 【典型例题】已知，则（    ） A．2024 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据题意，等式的两边同时求导数，再令，即可求解. 【详解】由， 等式的两边同时求导数，可得， 令，可得. 故选：B. 【变式训练13-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意观察式子特征可知对二项式两边同时求导，并由赋值法即可求得结果. 【详解】根据题意，对原式两边求导可得： ， 令，可得. 故选：C． 【变式训练13-2】（多选）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】通过赋值法即可对A、B、C逐项求解判断，通过对两边同时求导后再利用赋值法从而可对D求解判断. 【详解】对于A：令，则，故A正确； 对于B：令，则，故B正确； 对于C：令，则，故C正确； 对于D，由， 两边同时求导得， 令，则，故D错误. 故选：ABC. 【变式训练13-3】（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用赋值法，结合导数的求导法则逐一判断即可. 【详解】A：在已知等式中，令，则有，所以本选项正确； B：在已知等式中，令，则有，所以本选项正确； C：因为， 所以项的系数， D：对已知等式，两边同时求导，得，在该式中，令，则有，所以本选项正确， 故选：ABD 【变式训练13-4】已知，则 .（用数字作答） 【答案】405 【分析】两边求导，令即可得结果. 【详解】对两边求导得： ， 令，可得. 故答案为：. 题型14：杨辉三角 【典型例题1】杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】利用二项式定理求解即可. 【详解】由杨辉三角知： 第1行：，， 第2行：，，， 第3行：，，，， 第4行：，，，，， 由此可得第行，第个数为， 所以第15行第15个数是． 故选：B 【典型例题2】将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（n为正整数），则下列结论中正确的是（    ） 第0行                  第1行                   第2行                      第3行                       ……             …… A．当时，中间的两项相等，且同时取得最大值 B．当时，中间一项为 C．第6行第5个数是 D． 【答案】C 【分析】根据莱布尼茨三角形的数的排列规律，明确每行的数的个数，以及数的分布规律，即可判断A，B，C；结合从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，即可判断D. 【详解】对于A，由莱布尼茨三角形知，当n为奇数时，中间两项相等，且同时取到最小值， 为奇数，故A错误； 对于B，当时，这一行有2025个数，最中间为第1013个数， 即，B错误； 对于C，第6行有7个数，第5个数是，C正确； 对于D，由于从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和， 故，D错误， 故选：C 【变式训练14-1】杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由组合性质进行计算. 【详解】 , 由题意可得，第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为 , 故选：B． 【变式训练14-2】杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．如图所示的杨辉三角中，第8行，第3个数是（    ） 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 A．21 B．28 C．36 D．56 【答案】B 【分析】根据杨辉三角的规律可知第行的第个数为，代入具体值根据组合数的计算公式求解即可. 【详解】根据杨辉三角的规律可知第行的第个数为， 则第8行，第3个数是， 故选：B. 【变式训练14-3】（多选）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第12个数与第13个数之比为 【答案】AB 【分析】对于A：利用性质计算即可；对于B：利用的展开式的二项式系数计算；对于C：代入，利用二项式定理计算即可；对于D：利用的展开式的二项式系数计算 【详解】对于A： ，A错误； 对于B：第2023行中的数为的展开式的二项式系数， 则从左往右第1011个数为，第1012个数为，，B错误； 对于C：第行的第个数为， 则，C正确； 对于D：第20行中的数为的展开式的二项式系数， 则从左往右第12个数为，第13个数为， 则，D正确. 故选：AB. 【变式训练14-4】（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得自豪的，以下关于杨辉三角的叙述正确的是（    ） 第1行       1  1 第2行      1  2  1 第3行     1  3  3   1 第4行    1  4  6   4   1 第5行   1  5  10  10  5  1 第6行  1  6  15  20  15  6  1 ……             …… A．第9行中从左到右第6个数是126 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据杨辉三角，利用组合数的计算判断ABD，利用二项式系数的性质判断C. 【详解】对于A，第9行中从左到右第6个数是，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由二项式系数的性质，得，C错误； 对于D， ，D正确. 故选：ABD 【变式训练14-5】如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，观察图中数字的排列规律，可知下列结论正确的是（   ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第12行从左到右第4个数与第5个数之比为4：9 D．第2025行从左到右第1013个数比该行其他数都大 【答案】ABC 【分析】对于A，根据组合数公式：，可得答案； 对于B，根据二项式系数的求和公式，可得答案； 对于C，根据组合数公式：，以及组合数计算方法，可得答案； 遂于D，根据二项式系数的单调性，可得答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由题可知，第10行所有数字之和为，故B正确； 对于C，由题可知，第12行从左到右第4个数为，第5个数为， 则第12行从左到右第4个数与第5个数之比为，故C正确； 对于D，由题图可知，第2025行共有2026个数，从左到右第1013个数和第1014个数相等，且都是该行最大的，故D错误. 故选：ABC. 【变式训练14-6】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（    ） A． B．第2024行的第1012个和第1013个数最大 C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 【答案】BD 【分析】选项A，利用组合数的公式计算即可；选项B，利用组合数的性质判断即可；选项C，根据二项式定理得展开式判断即可；选项D，先明确第行所有数字的平方和与第行的中间一项的数字，然后构造等式，计算等式两边的系数即可，利用系数相等，得到答案. 【详解】选项A，因为， 易知 ，故A错误； 选项B，易知第2024行的第1012个和第1013个数分别是，， 由排列数的性质可知，两个同为最大，故B正确； 选项C，由题易知，， 易知，故C错误； 选项D，由题易知，第行所有数字的平方和为， 第行的中间一项的数字为， 构造等式， 在等式左边的系数为， 等式右边的系数为， 故，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：选项A，利用递推计算即可；选项D，需要根据题意得到二项式相关的式子，然后观察式子构造等式，利用相对应的系数相等得到答案. 题型15：二项式定理与其他知识的综合 【典型例题】若的展开式中的系数为60，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．5 【答案】C 【解析】，令，， 所以，∴， ，当且仅当 ，即时等号成立， 故选：C． 【变式训练15-1】设为实数，甲：；乙：二项展开式常数项为1．则甲是乙成立的（    ）条件 A．充分但不必要 B．充要 C．必要但不充分 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】展开式中的第项为，. 当时，该项为常数项，常数项为. 显然，当时，；当时，. 所以，甲是乙成立的充分但不必要条件. 故选：A. 【变式训练15-2】已知函数在处的切线与直线平行，则二项式展开式中的系数为（    ） A．70 B．－70 C．56 D．－56 【答案】A 【解析】，由已知可得，， 即，所以. 设展开式中的第k+1项含有，， 则可知，，所以二项式展开式中的系数为. 故选：A. 【变式训练15-3】定义函数，已知为虚数单位，则的展开式中常数项是（    ） A．180 B．120 C．90 D．45 【答案】A 【解析】，由题可知，所以. 所以的展开式的通项为. 令，解得.所以展开式中的常数项是.故选：A 【变式训练15-4】数列中，，，的值为（    ） A．761 B．697 C．518 D．454 【答案】D 【解析】因为，又， 所以以为首项，为公比的等比数列，所以，所以， 则 又 ， ，所以，故选：D 一、单选题 1．的展开式中，不含的项是（    ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项或第项 【答案】C 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再由的幂指数为0求得答案. 【详解】二项式的展开式通项， 由，得，所以展开式中不含项是第13项. 故选：C 2．二项式（x2－）11的展开式中，二项式系数最大的项为（　　） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第6项和第7项 【答案】D 【详解】解析：依题意，二项式系数最大的项为第6和第7项． 3．二项式的展开式的常数项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得展开式中的常数项. 【详解】二项式展开式的通项公式为 . 令， 所以展开式的常数项为 故选：B. 4．二项式的展开式中无理项的项数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】写出展开式的通项，再计算出有理项的项数，即可判断. 【详解】二项式展开式的通项为（其中且）， 所以展开式中一共有项，令，则或或或， 所以展开式中有理项共有项，则无理项有项. 故选：B 5．的展开式中的系数是（    ） A．48 B．-48 C．72 D．-72 【答案】A 【分析】根据题意，利用二项式定理得展开式，结合多项式展开式的形式，即可求解. 【详解】由题意，多项式的展开式中，的系数等于. 故选：A. 6．的二项展开式中系数最大的项为第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．2或3 【答案】B 【分析】由通项公式列出不等式组可求答案. 【详解】的展开式通项公式为， 设第项为系数最大的项，则有，解得，即. 故选：B 7．设，则（   ） A．120 B．84 C．56 D．36 【答案】A 【分析】根据给定的展开式特征，列出的表达式，再利用组合数性质计算作答. 【详解】由题意可知：， 故选：A 8．若，，则（    ） A． B．31 C． D．32 【答案】B 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】解：令，得 ，即 ， 令，得 ， 即 ， 所以 . 故选：B. 9．若的展开式中第5项的二项式系数最大，则不可能取值（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据条件，利用二项式系数的性质，直接求出的取值，即可求出结果. 【详解】当为偶数时，二项式系数最大项为第项， 又由题知展开式中第5项的二项式系数最大，所以，解得， 当为奇数时，二项式系数最大项为第项和第项， 由题有或，得到或， 故选：D. 10．已知对任意实数x，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 对于题中的二项展开式，只需分别取，，和代入化简计算即可判断ABC，将二项式展开式两边求导，然后取代入化简计算即可判断D. 【详解】因（*） 对于A项，当时，代入（*）可得，当时，代入（*）可得，所以，故A项错误； 对于B项，当时，代入（*）可得， 又，所以，故B项错误； 对于C项，当时，代入（*）可得，故C项正确； 对于D项，对（*）两边求导可得， ，当时，，故D项错误. 故选：C. 11．某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ） A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 【答案】D 【分析】利用等比数列的通项公式、二项展开式计算可得答案. 【详解】存入大额存款元，按照复利计算， 可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 可得， 故选：D. 二、多选题 1·。已知（，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式可求判断A；令，又，求解可判断B；令，计算可判断C；对原式求导，结合赋值法可求得的值判断D. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，得，令，得， 则含有的项为，所以，故A正确； 令，碍①， 而，所以，故B错误； 令，得②， （①-②）÷2得，故C正确； ， 令，得， 所以，故D正确， 故选：ACD． 2.已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（   ） A． B． C．除以8所得的余数为1 D． 【答案】BCD 【分析】根据二项式系数公式可得，利用赋值法即可求解求解AB,根据即可求解C，求导，即可求解D. 【详解】根据题意可知，故， 故， 对于A，令，则，令，则，故，故A错误， 对于B，， 故为负值，为正，且令时，， 因此，B正确， 对于C, ,故除以8所得的余数为1，C正确， 对于D，对求导可得 ，令可得，故D正确， 故选：BCD 3.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（    ） A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84 B．由“第行所有数之和为”猜想： C．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为284 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 【答案】ABD 【分析】根据“杨辉三角”,结合组合数公式，二项式定理，组合数的性质，判断选项. 【详解】A. 在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，故A正确； B.因为,令得，故B正确； C. 在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为 ，故C错误； D. 在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字， 即， 因为 对应相乘可得的系数为 4，已知在，的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 【答案】 【分析】根据二项式系数的性质求出的值，写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】依题意可知， 的展开式通项为， 令，则，故的系数为. 故答案为：. 5.展开式中的项的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】根据给定条件，利用组合应用问题列式计算得解. 【详解】展开式中的项是4个多项式中取3个用，余下一个用， 该项为，所以展开式中的项的系数为. 故答案为： 6.若的展开式中的常数项为0，则 . 【答案】 【分析】根据二项展开式的通项公式，得到展开式的常数项,由常数项为0,求得. 【详解】的展开式的通项为, 当时,，的展开式有常数项, 当时,，的展开式有常数项， 所以，所以. 故答案为： 7.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左至右第11与第12个数的比为1∶2． 【答案】32 【分析】根据“第 行中从左至右第 11 个数与第 12个数的比为 ”可以列出关于 的等式, 进而可解得正整数 的值. 【详解】第 行从左到右第 11个数为 , 第 12个数为 , 依题意得 , 即 , 解得 . 故答案为： 32 8.已知的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则 ． 【答案】/ 【分析】由二项式系数最大和系数最大的定义求解. 【详解】由题意得，通项， 当满足时，系数最大， ，即，解得 又 解得， 所以， 故． 故答案为： 四、解答题 1.已知二项式． (1)写出当时的展开式； (2)写出当时所有的有理项． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）根据二项式定理展开即可； （2）写出通项，依次列出有理项即可. 【详解】（1） （2）因为当时，二项式的通项为， 所以当时，；当时，；当时，． 所以当时，所有的有理项为，， 2.（1）求的展开式； （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由直接应用或化简后应用二项式定理展开可得； （2）逆用二项式定理化简即可. 【详解】方法一  ： . 方法二：   . （2）原式 . 3.（1）用二项式定理证明能被100整除； （2）求被100除所得的余数． 【答案】（1）证明见解析； （2）81． 【分析】（1）由于，利用二项式公式展开可证得结论， （2），所以只需求最后一项除以100的余数，而，再通过分析后三项从而可求得结果 【详解】（1）因为 ． 故能被100整除． （2）， 因为展开式中前92项均能被100整除，所以只需求最后一项除以100的余数． 又． 前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正， 可从前面的数中分离出1000， 结果为， 故被100除所得的余数为81． 4.莱布尼茨（德国数学家）三角（如图1所示）是与杨辉（南宋数学家）三角数阵（如图2所示）相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 现记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为. (1)求的值； (2)将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角.我们知道杨辉三角的最基本的性质，也是二项式系数和组合数性质，请你类比这个性质写出莱布尼茨三角的性质，并证明你的结论. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和求出，再由裂项相消法求和可得； （2）结合题意代换写出和式，再利用组合公式运算证明可得. 【详解】（1）由图1可知： 由每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和，可得 ， 故，同理， 故 ； （2）莱布尼茨三角的性质： 证明： . . 故结论正确. 2 学科网（北京）股份有限公司 $