广东省河源市龙川县第一中学2025-2026学年高二上学期12月期中数学试题

龙川一中2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试数学答案 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. C​ 解析：由斜率k=-√3，得倾斜角α=120°=2π/3。 2. C​ 解析：与y=2x-1垂直的直线斜率为-1/2，过点(2,1)：y-1=-1/2(x-2)，即x+2y-4=0。 3. A​ 解析：联立5x-3y-17=0与x-y-5=0，解得交点(4,-1)，代入x+ay+15=0得4-a+15=0，a=2。 4. A​ 解析：C₁(-2,0),r₁=2；C₂(2,1),r₂=3。圆心距d=√[(2+2)²+1²]=√17∈(|r₁-r₂|,r₁+r₂)=(1,5)，故相交。 5. B​ 解析：焦点在y轴上，c=1，椭圆过点(√3/2,√3)，代入得b²=3，a²=4，方程为y²/4+x²/3=1。 6. B​ 解析：建立空间直角坐标系，利用向量运算可得。 7. B​ 解析：由双曲线定义和余弦定理，解得面积为√3。 8. B​ 解析：利用椭圆定义和余弦定理，求得离心率为√6/3。 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 1. AB​ 解析：A选项代入验证；B选项l₁过(3,0)，l₂也过(3,0)；C垂直时a=1/3错误；D不存在平行情况。 2. BD​ 解析：计算向量夹角、投影向量可得。 3. ABC​ 解析：几何法证明垂直关系，计算角度和表面积。 三、填空题（每小题5分，共15分） 1. √2​ 解析：由平行得m=2，距离d=|-1-(-5)|/√(1²+1²)=4/√8=√2。 2. √6​ 解析：AB=(1,1,0)，AC=(-1,0,2)，夹角余弦值计算得cosθ=√6/4。 3. √10​ 解析：A关于直线x+y=2的对称点A'(2,1)，最短距离为A'B=√[(2+2)²+1²]=√17。 四、解答题（共77分） 15.（13分） 解： (1) 圆C:(x-4)²+y²=25，圆心O(4,0)，半径r=5 设切线：y-4=k(x-1)，即kx-y+(4-k)=0 由距离公式：|4k+4-k|/√(k²+1)=5 解得k=3/4，切线方程：3x-4y+13=0 (2) k=1，直线：y=x+3 圆心到直线距离d=|4-0+3|/√2=7/√2 弦长=2√(25-49/2)=√2 16.（15分） 解： (1) 在正方体中，AD₁∥BC₁，PQ为△BCC₁中位线 ∴ PQ∥BC₁，故AD₁∥PQ (2) V{A-B₁QP}=V{B₁-APQ}=1/3×S_{△APQ}×h S_{△APQ}=1/2×3×3/2=9/4，h=3 ∴ V=1/3×9/4×3=9/4 17.（15分） 解： (1) 2a=2⇒a=1，e=√3⇒c=√3 b²=c²-a²=2 ∴ 双曲线方程：x²-y²/2=1 (2) 设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，则： x₁²-y₁²/2=1，x₂²-y₂²/2=1 两式相减：(x₁-x₂)(x₁+x₂)=1/2(y₁-y₂)(y₁+y₂) 由中点M(2,1)：x₁+x₂=4，y₁+y₂=2 代入得：4(x₁-x₂)=(y₁-y₂)⇒k=4 直线方程：y-1=4(x-2)，即y=4x-7 18.（17分） 解： (1) ∵ AB⊥平面BCC₁B₁，∴ AB⊥B₁D 又B₁D⊥BD，∴ B₁D⊥平面ABD (2) ∵ EF∥BC，EG∥AC，且BC,AC⊂平面ABD ∴ 平面EGF∥平面ABD (3) 距离d=V{A-EGF}/S{△EGF} V{A-EGF}=V{E-AGF}=1/3×1/2×4×2×2=8/3 S_{△EGF}=1/2×2×2=2 ∴ d=8/3÷2=4/3 19.（17分） 解： (1) 2a+2c=6⇒a+c=3 |PF₁|/|PF₂|最大值=(a+c)/(a-c)=3 解得：a=2，c=1，b²=3 椭圆方程：x²/4+y²/3=1 (2) 设l:x=my+1，代入椭圆： (3m²+4)y²+6my-9=0 y₁+y₂=-6m/(3m²+4)，y₁y₂=-9/(3m²+4) k₁k₂=y₁y₂/[(my₁-3)(my₂-3)] =y₁y₂/[m²y₁y₂-3m(y₁+y₂)+9] =-1/[4(m²+1)] ∴ k₁k₂∈(-1/4,0) 学科网（北京）股份有限公司 $龙川一中2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分· 1.若直线1的斜率为-一√3，则1的倾斜角为( A.π/3 B.T/6 C.2元3 D.5π/6 2.经过点(2,1)且与直线y=2x-1垂直的直线方程为() A,2x-y-3=0 B.2x+y-4=0 C.x+2y-4=0 D.x-2y=0 3.若直线x+ay+15=0经过两直线5x-3y-17=0和x-y-5=0的交点，则a A.2 B.4 C.6 D.8 4.已知圆(C1:(x+2)2+y2=4与圆C2:(x-2)2+6y-1)2=9,则圆C1与圆C2的位置关系 是( A.相交 B.外离 C.外切 D.内含 5.若椭圆的两个焦点分别为(0，-1)和(0,1)，且椭圆过点( (停V3),则椭圆的方程是 ( A,苦+苦=1 B.苦+号=1 c.若+=1 D.益+y=1 6.如图，在三棱柱ABC-DEF中，G,H分别是棱BE,AC的中点，则G丽=() A.A丽+AC-AD B.-A店-AC+AD C.-A丽+C-A而 D.A丽-C+而 7.已知，F2分别是双曲线G兰-苦=1的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足 ∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积是( A.1 B.V3 C.3 D.3V3 8.已知椭圆S号+若=1(a>b>0)的左、右焦点为F,F,过点：的直线与交于M,N两 点.若cos∠F,MF2=了MN=MF,则椭圆E的离心率为( A.9 B.9 c子 D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知直线11：ax+y-3a=0,直线2：2x+(a-1)y-6=0,则( A.当a=3时，11与12的交点是(3,0) B.直线11与12都恒过(3,0) C.若1⊥12， 则a=月 D.彐a∈R,使得l/12 10.已知向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),飞=(1,2,1)，则下列结论正确的是( A.向量或与向量b的夹角为π/6 B.(a-b)L C.(+b// D.向量a在向量b上的投影向量为（作0， 11.如图，在底面为平行四边形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，D1A1B1=60°，AA1= A1B1=A1D1=2,M,N分别为棱BB1,B1C1的中点， 则( D A.D1N⊥BC B.A1C与平面AA1B1B所成角的余弦值为 4 C.三棱柱ABD-A1B1D1的外接球的表面积为2m D.点A:到平面3N的距离为号 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.平行直线l1:x+y-1=0与直线2：2x+my-5=0的距离是 13.已知空间中三点A(-1,1,1),B(0,2,1),C(-2,1,3),求向量AB AC a= 13.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗 中隐含着一个有趣的数学问题一一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某 处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中， 设军营所在的位置为B(-2,0).若将军从山脚下的点A(1,0)处出发，河岸线所在直线的方程 为x+y=2,则“将军饮马”的最短总路程为： 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步 骤)。 15(13分)已知圆C:(x-4)2+y2▣25，点P(1,4),且直线/经过点P. (1)若1与C相切，求1的方程： (2)若1的倾斜角为π/4，求1被圆C截得的弦长 16.(15分)如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P,Q分别为棱BC,CC1的中点， ·D (1)证明：AD1/PQ: (2)求三棱锥A-B1QP的体积. 17.(15分)已知双曲线c号-兰=1(a>0,b>0)的实轴长为2，离心率为V3.直线1：y kx+m与双曲线C相交于A、B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若AB的中点为M(2,1),求直线1的方程. 18,(17分)如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2,CC1=4,点E 在线段BB1上，且EB1=1,D、F、G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点. B B (1)求证：B1D⊥平面ABD; (2)求证：平面EGF/平面ABD; (3)求平面EGF与平面ABD的距离. 19(17分)已知椭圆诗+兰=1(a>b>0),R,P2分别是椭圆c的左，右熊点，P是椭 圆C上任意一点.若△PF1F2的周长为6，且 的最大值为3. IPF2l (1)求C的方程： (2)设点M(4,0),过F2的直线1与椭圆C交于A,B两点，记直线MA,MB的斜率分别为k1,k2, 求k1·k2的取值范围. 4