创新培优(二)圆系方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

常见的圆系方程的几种类型 (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数． (2)半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中r是定值，a，b是参数． (3)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(Ax＋By＋C)＝0. (4)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，因此注意检验圆C2是否满足题意，以防丢解). 当λ＝－1时，圆系方程表示直线l：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0(当两圆是同心圆时，此直线不存在). ①若两圆相交，则直线l为两圆公共弦所在的直线； ②若两圆相切，则直线l为公切线； ③若两圆相离，则直线l为与两圆圆心连线垂直的直线． 培优一　与交点相关的圆系方程 (2025·江苏苏州调研)圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为________． 解析：方法一：由 解得 或 故圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点为A(－1，－1)，B(3，3)，线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)，由 解得 所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为 ＝4，所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 方法二：设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1).易得所求圆的圆心坐标为 ，将其代入方程x－y－4＝0，得λ＝－.故所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 答案：(x－3)2＋(y＋1)2＝16 类题通法 与交点相关的圆系方程解题策略主要包括利用交点求公共弦方程、构造新的圆系方程、求解特定条件的圆、利用圆系方程的性质进行求解以及结合其他几何知识进行综合求解等. 【迁移运用】 1.(2025·山东济宁期末模拟)与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圆心，且过点(1，－1)的圆的方程是(　　 ) A．x2＋y2－4x＋6y－8＝0 B．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0 C．x2＋y2＋4x－6y－8＝0 D．x2＋y2＋4x－6y＋8＝0 解析：选B.圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝10.因为两圆同圆心，所以可设所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2，把x＝1，y＝－1代入，得(1－2)2＋(－1＋3)2＝r2，解得r2＝5，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5，即x2＋y2－4x＋6y＋8＝0. 2．已知点P(－1，－2)在圆C上，且圆C经过直线x＋y＝0与圆C1：x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交点，求圆C的方程． 解：方法一：由 得 或 所以直线x＋y＝0与圆C1交于点A(1，－1)和点B(－4，4). 设所求圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 将点A，B，P的坐标代入， 得 解得 满足D2＋E2－4F＞0， 所以所求圆C的方程为x2＋y2＋3x－3y－8＝0. 方法二：设所求圆C的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋λ(x＋y)＝0. 因为点P(－1，－2)在圆C上， 所以(－1)2＋(－2)2＋2×(－1)－4×(－2)－8＋λ(－1－2)＝0，解得λ＝1， 所以所求圆C的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋x＋y＝0，即x2＋y2＋3x－3y－8＝0. 培优二　与切线问题相关的圆系方程 求与圆x2＋y2－4x－2y－20＝0切于点A(－1，－3)，且过点B(2，0)的圆的方程． 解：过点A(－1，－3)的已知圆的切线方程为3x＋4y＋15＝0，与已知圆构造圆系x2＋y2－4x－2y－20＋λ(3x＋4y＋15)＝0， 代入点B(2，0)，可得λ＝，∴所求的圆的方程为7x2＋7y2－4x＋18y－20＝0. 类题通法 与切线问题相关的圆系方程解题策略主要包括利用切线的性质确定圆心位置、利用切线方程和圆系方程联立求解、利用切线斜率与圆心坐标的关系、利用切线长定理、结合其他几何性质或条件进行综合求解以及注意特殊情况的处理等．在解题过程中，需要灵活运用这些策略，并结合具体问题进行思考和推理. 【迁移运用】 3.已知圆系方程(x－m)2＋(y－2m)2＝5(m∈R，m为参数)，这些圆的公切线方程为____________． 解析：由题意知圆心的轨迹方程为y＝2x，则这些圆的公切线与直线y＝2x平行，设圆的公切线方程为2x－y＋c＝0，则 ＝，所以c＝±5，所以这些圆的公切线方程为2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0. 答案：2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 4．已知点M(2，－2)，圆O：x2＋y2＝3(O为坐标原点). (1)求经过M，以及圆O与圆x2＋y2＋3x＝0交点的圆的方程； (2)过点M向圆O引两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程． 解：(1)设圆的方程为x2＋y2＋3x＋λ(x2＋y2－3)＝0， 因为点M(2，－2)在圆上，所以λ＝－， 所求圆的方程是3x2＋3y2－5x－14＝0. (2)以MO为直径的圆C的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0， 则由圆系方程可知圆C与圆O方程相减即得直线AB的方程为2x－2y＝3，或由切点弦的公式可直接得到2x－2y＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $