2.4 2.4.2　圆的一般方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

2．4．2　圆的一般方程 学习目标　1.理解二元二次方程表示圆的条件，会根据圆的一般方程求圆的圆心坐标和半径，以培养数学运算能力．(重点)　2.会根据所给条件求圆的一般方程，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点、难点)　3.能解决简单的轨迹问题，以提高直观想象、逻辑推理能力(难点)． 在平面直角坐标系中，我们用二元一次方程的一般形式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代表直线，实现了代数与几何的相互融合，那么，我们不禁要问，对于二元二次方程的一般形式Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0(A，B，C不同时为0). 问题1　它是否也代表什么曲线类型呢？ 提示：当A＝B≠0，C＝0，D2＋E2－4AF>0时，它代表圆． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P85～86，分析思考： 如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需要满足什么条件？ 提示：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方可得，＋＝，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆． (2)请认真阅读教材P85～86，分析思考：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？ 提示：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点. 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)圆的一般方程和标准方程可以互化．(　　 ) (2)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆．(　　 ) (3)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆．(　　 ) (4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　 ) 提示：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 　圆的一般方程的辨析 已知圆心(2，3)，半径为2，其标准方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4. 问题2　上述方程能否化为二元二次方程的形式？ 提示：可以，x2＋y2－4x－6y＋9＝0. 问题3　方程 x2＋y2－4x－6y＋13＝0是否表示圆？ 提示：配方得(x－2)2＋(y－3)2＝0，方程不表示圆． 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 温馨提示 (1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项． (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0. 例1　(链接教材：人A版教材P88练习T2)判断下列方程分别表示什么图形． (1)x2＋y2－2x－2y＋3＝0； (2)x2＋y2－2x＋2y－7＝0； (3)x2＋y2＋2ax－b2＝0； (4)x2－y2＝0. 解：(1)配方得(x－1)2＋(y－1)2＝－1，方程无解，因此不表示任何图形． (2)配方得(x－1)2＋(y＋1)2＝9，表示以(1，－1)为圆心，3为半径的圆． (3)配方得(x＋a)2＋y2＝a2＋b2，当a＝b＝0时，表示原点(0，0)； 当a，b不同时为0时，表示以(－a，0)为圆心，为半径的圆． (4)x2－y2＝(x－y)(x＋y)＝0，即x－y＝0或x＋y＝0，故表示两条直线． 类题通法 判断一个二元二次方程是否表示圆的步骤 (1)看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即 ①x2与y2的系数相等；②不含xy项． (2)化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，按以下两种方法判断． ①定义法：由圆的一般方程的定义可知，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆； ②配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，可以通过配方变形为“标准”形式，然后观察是否表示圆． 提醒：求圆心和半径的方法有配方法和公式法. 【迁移运用】 1.若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆． (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径． 解：(1)由表示圆的充要条件得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 解得m<，即实数m的取值范围为(－∞，). (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝. 　求圆的一般方程 问题4　圆的方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0含有几个参数？已知三点求圆的方程，用什么方法？ 提示：圆的一般方程含有三个参数．已知三点求圆的方程，常用待定系数法． 待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. (2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组． (3)解此方程组，求出D，E，F的值． (4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程． 例2　(链接教材：人A版教材P88练习T1)求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． 解：设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.① 因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组解这个方程组得 所以所求圆的方程是x2＋y2－8x＋6y＝0. 由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是(4，－3)，半径r＝＝5. 类题通法 求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程． (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到圆的方程. 【迁移运用】 2.已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1). (1)求△ABC的外接圆的一般方程； (2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值． 解：(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 得解得 即△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. (2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，易知M的一个坐标为(2，2)，即a＝2， 又点M(a，2)在△ABC的外接圆上， ∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0，解得a＝6或a＝2，综上，a＝2或6. 　与圆有关的轨迹问题 问题5　轨迹与轨迹方程有什么区别与联系？ 提示：轨迹是指点在运动过程中形成的图形，是几何问题；轨迹方程是指点的坐标所满足的关系式，是代数问题，依赖坐标系的建立．有时候可以将二者一一对应起来，如(x－1)2＋(y－2)2＝4这个轨迹方程表示以(1，2)为圆心，以2为半径的圆． 1．求动点的轨迹方程 求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标(x，y)所满足的关系式，并把这个方程化成最简形式，如果题目中没有坐标系，那么就要先建立适当的平面直角坐标系． 2．求轨迹方程的常用方法 (1)直译法：直接根据题目提供的条件翻译为相应的代数形式，列出方程，步骤如下： (2)代入法(也称相关点法)：若动点P(x，y)跟随某条曲线(直线)C上的一个动点Q(x0，y0)的运动而运动，则找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点所在的方程，具体步骤如下： ①设所求轨迹上任意一点P(x，y)，与点P相关的动点Q(x0，y0)； ②根据条件列出x，y与x0，y0的关系式，求得x0，y0(即用x，y表示出来)； ③将x0，y0代入已知曲线的方程，从而得到点P(x，y)满足的关系式即为所求的轨迹方程． (3)定义法：动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程． 例3　(链接教材：人A版教材P89习题2.4T8)点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 解：(1)设线段AP的中点M(x，y)， 由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2，2y). ∵点P在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设线段PQ的中点N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 变式演练　1.(变结论)在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程． 解：设T(x，y)，因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT. 当斜率存在时，有kOT·kBT＝－1， 即·＝－1，整理得x2＋y2－x－y＝0. 当x＝0或1时，点(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)也都在圆上． 故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0. 2．(变结论)若本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程． 解：设点E(x，y)，P(x0，y0). ∵B(1，1)，∴ 整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1， ∵点P在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－1)2＋(2y－1)2＝4， 整理得点E的轨迹方程为x2＋y2－x－y－＝0. 类题通法 求解与圆有关的轨迹的三种方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件，把要求动点的坐标代入，整理得出方程； (2)定义法：观察要求的动点是否与某一定点的距离是一个常数，即判断要求的轨迹是否为圆，如果是则直接写出方程； (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式，得到要求点的坐标的关系式，整理得所求的轨迹方程． 提醒：检查求出的轨迹上有无不符合题意的点，有则在方程中注明. 1．若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.根据题意得(－1)2＋12－4×(－2m)>0，所以m>－. 2．已知圆的方程为x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，则通过圆心的一条直线的方程是(　　 ) A．2x－y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．2x＋y＋1＝0 D．2x＋y－1＝0 解析：选C.因为圆的方程为x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，所以圆心坐标为(1，－3)，代入选项中的方程可知仅C项符合． 3．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________. 解析：由题意知圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，化简得x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，故F＝4. 答案：4 4．已知点M到两个定点A(1，0)，B(4，0)的距离比为，则点M的轨迹方程为___________________． 解析：设M(x，y)，则|MA|＝，|MB|＝.故＝＝，两边平方并化简得x2＋y2＝4.所以点M的轨迹方程为x2＋y2＝4. 答案：x2＋y2＝4 学科网（北京）股份有限公司 $