创新培优(一) 阿波罗尼斯圆-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

本讲义以阿波罗尼斯圆为核心，构建“历史背景-定义内涵-性质推导-应用拓展”学习支架，涵盖定义（平面内到两定点距离比为λ≠1的轨迹）、性质（内外分点、直径公式、点与圆位置关系）及例题（轨迹方程求解、三角形面积最值问题）。 特色在于融合数学眼光与思维，通过历史背景渗透数学文化，例题从坐标法轨迹推导到综合问题解决，培养抽象能力与推理意识，课中助力分层教学，课后迁移运用题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

1．背景 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一． 2．定义 在平面上给定两点A，B，设P点在同一平面上且满足＝λ，当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．(λ＝1时P点的轨迹是线段AB的中垂线) 3．性质 如图，A，B为两已知点，P，Q分别为线段AB的定比为λ(λ≠1)的内外分点，则以PQ为直径的圆O上任意点到A，B两点的距离之比为λ，|AB|＝a. 性质1.当λ>1时，点B在圆O内，点A在圆O外； 当0<λ<1时，点A在圆O内，点B在圆O外． 性质2.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为PQ＝，面积为π()2. 培优一　解决简单轨迹问题 已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足条件|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　 ) A．π B．4π C．8π D．9π 解析：选B.已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，设P点的坐标为(x，y)，则(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4，所以点P的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4π. 【迁移运用】 1.阿波罗尼斯(公元前262年—公元前190年)，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足＝λ(λ>0且λ≠1)的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P(2，0)，Q(－2，0)，动点M满足|MP|＝|MQ|，记M的轨迹为C，则轨迹C围成图形的面积是(　　 ) A．4π B．8π C．16π D．32π 解析：选D.设M(x，y)，则|MP|＝，|MQ|＝， 由|MP|＝|MQ|可得， ＝， 整理可得(x＋6)2＋y2＝32. 所以点M的轨迹为以(－6，0)为圆心，4为半径的圆． 所以轨迹C围成图形的面积是π×(4)2＝32π. 培优二　解决综合问题 (2025·江苏苏州调研)阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有△ABC，AC＝6，sin C＝2sin A，则当△ABC的面积最大时，|BC|等于(　　 ) A．12 B．20 C．2 D．5 解析：选C.如图所示，以AC的中点为原点，AC边所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 因为|AC|＝6，所以A(－3，0)，C(3，0)， 设B(x，y)，因为sin C＝2sin A， 由正弦定理可得|AB|＝2|BC|， 所以(x＋3)2＋y2＝4(x－3)2＋4y2， 化简得(x－5)2＋y2＝16，且x≠1，x≠9， 圆的位置如图所示，圆心为(5，0)，半径r＝4， 观察可得，在三角形底边长|AC|不变的情况下，当B点位于圆心D的正上方或正下方时，高最大， 此时△ABC的面积最大，B点坐标为(5，4)或(5，－4)， 所以|BC|＝＝2. 类题通法 对于隐圆动点的轨迹问题，一是利用曲线(圆、直线等)的定义识别动点的轨迹，二是利用直接法求出方程，通过方程识别轨迹. 【迁移运用】 2.在平面直角坐标系中，点A(－1，0)、B(1，0)，动点P到点A，B的距离之比为，当P，A， B不共线时，△PAB面积的最大值是(　　 ) A．2 B． C． D． 解析：选A.以AB所在的直线为x轴，以线段AB垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 由A(－1，0)，B(1，0)，设P(x，y)，则＝，整理得(x＋3)2＋y2＝8，即轨迹为以(－3，0)为圆心，半径为2的圆， 当点P到x轴距离最大时，△PAB的面积最大， 所以△PAB面积的最大值是×2×2＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $