专题突破(三)与圆有关的最值问-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

本讲义聚焦高中数学圆的最值问题，系统梳理与距离、面积相关的最值及数学式几何意义转化三类核心知识点。从圆外点到圆上点距离、直线与圆相离时圆上点到直线距离等基础公式，到切线长、弦长最值，再到面积最值及斜率、距离、截距的几何意义转化，构建递进式学习支架。 资料以几何直观为切入点，通过圆心距、半径关系推导最值公式，培养抽象能力与空间观念。结合例题解析逻辑推理过程，如切线长最小值转化为圆心到直线距离问题，体现数学思维。迁移运用练习强化模型意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言解决问题的能力。

考向一　与距离有关的最值问题 1．圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r. 2．直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r. 3．过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2，最大值＝2r. 4．直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝. (1)经过点(－1，2)的直线与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|的最小值是(　　 ) A． B．2 C．2 D．4 解析：选C.因为圆x2＋y2＝8的圆心为(0，0)，半径为2， 所以点(－1，2)到圆心(0，0)的距离为＝，则点(－1，2)在圆x2＋y2＝8内部， 记圆心到直线l的距离为d，则|AB|＝2＝2， 当d最大，即d＝时，弦长|AB|最小， 此时|AB|＝2＝2. (2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　 ) A．1 B．2 C． D．3 解析：选C.圆心C(3，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝2.所以切线长的最小值为l＝＝. (3)已知P为圆O：x2＋y2＝1上一动点，Q为圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝64上一动点，则|PQ|的最小值为(　　 ) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：选C.由题意得圆M的圆心为M(3，4)，得|OM|＝5，圆O与圆M的半径之差为8－1＝7>5，所以圆O与圆M的位置关系为内含，所以|PQ|的最小值为8－5－1＝2. (4)(2025·黑龙江哈尔滨高二期末)已知直线l：y＝x＋2，圆O：x2＋y2＝1，则圆O上任意一点到直线l的距离的最小值为________． 解析：由圆O：x2＋y2＝1可知圆心O(0，0)，半径r＝1； 所以圆心到直线l：y＝x＋2的距离为d＝＝， 即可得圆O上任意一点到直线l的距离的最小值为d－r＝－1. 答案：－1 【迁移运用】 1.(1)若点M在曲线x2＋y2－6x－4y＋12＝0上，O为坐标原点，则||的取值范围是________． 解析：曲线x2＋y2－6x－4y＋12＝0，即(x－3)2＋(y－2)2＝1，表示圆心C(3，2)，半径r＝1的圆，则|OC|＝＝， 因为点M在曲线x2＋y2－6x－4y＋12＝0上，所以|OC|－r≤||≤|OC|＋r， 即－1≤||≤＋1， 即||∈[－1，＋1]. 答案：[－1，＋1] (2)圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是________． 解析：圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，圆心为(2，2)，半径r＝3. 圆心(2，2)到直线x＋y－14＝0的距离为＝5>3，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2r＝6. 答案：6 考向二　与面积有关的最值问题 已知点P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，则四边形PACB面积的最小值是(　　 ) A． B．2 C． D．2 解析：选C.圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心C(1，1)，半径r＝1， 根据对称性，可知四边形PACB的面积为2S△APC＝2××|PA|×r＝|PA|＝， 要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，此时PC⊥l. 又圆心C到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝＝＝2，则|PC|的最小值为2. 所以四边形PACB面积的最小值为＝＝. 【迁移运用】 2.已知点O(0，0)，A(0，2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为________． 解析：根据题意得圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r＝2， O(0，0)，A(0，2)，OA所在的直线是y轴， 当M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小， 则M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1， 则△OAM的面积最小值S＝×|OA|×d＝1. 答案：1 考向三　利用数学式的几何意义求解最值问题 已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上． (1)求的最大值和最小值； (2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值； (3)求x＋y的最大值与最小值． 解：方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4. (1)表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图(1)所示， 显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小． 设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圆心C(3，3)到切线的距离等于半径2，可得＝2，解得k＝，所以的最大值为，最小值为. (2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到点E(－1，0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图(2)所示， 显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值|P1E|＝|CE|＋2，点P与点E距离的最小值|P2E|＝|CE|－2. 又|CE|＝＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11. (3)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图(3)所示， 显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值，此时圆心C(3，3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，则＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2. 类题通法 (1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题． (2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋的截距的最值问题． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题. 【迁移运用】 3.已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点． (1)求2m＋n的最大值； (2)求(m＋2)2＋(n－3)2的最小值； (3)求的范围． 解：由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8， 则圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2. (1)设2x＋y＝b，即2x＋y－b＝0， 作出圆(x－2)2＋(y－7)2＝8与一组平行线2x＋y－b＝0，当直线2x＋y－b＝0与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值， 此时圆心到直线的距离d＝＝2， 解得b＝11＋2或b＝11－2， 所以2m＋n的最大值为11＋2. (2)(m＋2)2＋(n－3)2表示点M(m，n)与点Q(－2，3)的距离的平方， 又|QC|＝＝4. 所以|MQ|min＝4－2＝2， 即(m＋2)2＋(n－3)2的最小值为8. (3)＝表示过点M(m，n)与点P(－1，0)的直线的斜率，令＝k， 则n＝k(m＋1)，即km－n＋k＝0.当直线MP与圆相切时，斜率取到最大值、最小值． 令＝2，解得k＝1或41， 所以的范围是[1，41]. 1．圆x2＋y2＝4上的点到直线4x－3y＋25＝0的距离的取值范围是(　　 ) A．[3，7] B．[1，9] C．[0，5] D．[0，3] 解析：选A.x2＋y2＝4，圆心(0，0)，半径r＝2， 圆心到直线4x－3y＋25＝0的距离d＝＝5， 所以圆上的点到直线的距离的最小值为5－2＝3，最大值为5＋2＝7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[3，7]. 2．已知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为(　　 ) A． B．2 C．2 D．4 解析：选B.根据题意，圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4，其圆心C(4，3)，半径r＝2，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|＝，当|PC|最小时，|PQ|最小，又由点P在单位圆上，则|PC|的最小值为|OC|－1＝－1＝4，则|PQ|的最小值为＝2. 3．点M(x，y)在圆x2＋(y－2)2＝1上运动，则的取值范围是(　　 ) A．[，＋∞) B．(－∞，－] C．(－∞，－]∪[，＋∞) D．[－，] 解析：选C.将看作圆上动点(x，y)与原点O(0，0)连线的斜率，设＝k，如图，可得k≥或k≤－. 4．过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为________． 解析：设点A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2. 当弦过点A(3，1)且与CA垂直时为最短弦，|CA|＝＝. ∴半弦长＝＝＝，∴最短弦长为2. 答案：2 5．已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为________． 解析：因为C1(－2，2)，r1＝2，C2(2，0)，r2＝4， 所以|C1C2|＝＝2， 当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大，其最大值为×2×4＝4. 答案：4 学科网（北京）股份有限公司 $