河北省沧州市多校联考2025-2026学年高二上学期12月期中数学试题

2025~2026学年度第一学期高二年级第三次月考 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答策标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章第1节~第 2节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 删 合题目要求的。 长 1.已知数列1W3,5,W7,3,…,√2n-I,…,则9是该数列的 A.第42项 B.第41项 C.第9项 D.第8项 2.抛物线C:x=一8y2的准线方程为 A.y=-2 B.y=2 Cx=- 32 Dx=克 3.双曲线（√5x+y)(√5x一y)=5的渐近线方程为 南到 A.y=±5x B.y=士x C.y=/5x D.y=士5x 4.若抛物线x2=4y上的点P(m,n)(m>0)到其焦点F的距离为3，则实数m的值为 A.2 B.3 C.2√2 D.3√2 5.一动圆与圆x2十y2=1外切，同时与圆x2十y2一6x一7=0内切，则该动圆圆心的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线的一支 C.抛物线 D.圆 6.如图，在棱长为6的正四面体ABCD中，E,F分别为棱AD,AB 的中点，则异面直线BE,CF所成角的余弦值为 A.吉 B.1 c D. 【高二年级第三次月考·数学第1页（共4页）】 MF-CL-24A3 ,已知双曲线C:品片-1的右焦点为F(2,0),点P(0,22),点Q为双曲线C左支上的动 点，则△PQF的周长的最小值为 A.9 B.43 C.63 D.83 &已知等差数列{a,6,)的前n项和分别为A,和8，若会：-十得，则满足会∈乙的正整 数n有 A.1个 B.2个 C.5个 D.6个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.直线√3x一y十m=0与圆x2十y2一2x一2=0相切，则实数m的值为 A.√3 B.-√3 C.-3√3 D.3√3 10.已知数列{an}满足an+2a+1an=一64(n∈N*),a1十a2=a2十a3=0,记数列{an}的前n项和 为S,则下列结论正确的是 A.a3=-4 B.an+3=an C.Sg99=4 D.S题=4 11.已知点F是抛物线C:y=8x的焦点，点A是抛物线C的准线与x轴的交点，过点A且斜 率为k的直线1与C交于M,N两点，则下列说法正确的是 A.k的取值范围为（一1,0）U(0,1) B0=别 C若NF列=2引MF1,则=号或k=-号 D.点M关于x轴的对称点在直线NF上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.数列{an}满足aam+1=2m十1，若a3=1,则a1= 18.已知直线1：x-y十2=0与双曲线C答-苦=1(a>0,6>0)交于A,B两点，点P(1,3)是 弦AB的中点，则双曲线C的离心率为 14已知椭圆C着+学=1(0<<后)的两个焦点分别为R,F,短轴的两个端点分别为B, B2,O为坐标原点，点P在椭圆G上，且满足|PB+|PB2=|PF|+PF2.当b变化 时，OP的最小值为 【高二年级第三次月考·数学第2页（共4页）】 MF-CL-24A3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知三点O(0,0),A(2,0),B(一1，一1)，记△AOB的外接圆为⊙C (1)求⊙C的标准方程； (2)若直线l:x一y一1=0与⊙C交于M,N两点，求△CMN的面积. 16.(本小题满分15分) 已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,点A(4,t)(其中t>0)在抛物线C上，|AF|=5. (1)求p和t的值； (2)O为坐标原点，过点A的直线l与抛物线C交于另一点B,OA⊥OB,求直线l的方程， 17.(本小题满分15分) 已知等差数列(a,}的前n项和为S,b,=a,-s (1)求证：数列{b}是等差数列； （2若a.}是道塔数到，a>0,仙6)=专-，求证十d:十…十a, 'ada+1 a an+] 【高二年级第三次月考·数学第3页（共4页）】 MF-CI-24A3 18.(本小题满分17分) 如图，直四棱柱ABCD-A,B,CD1的底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC,AB=AD =1,AA1=CD=2,P为DD1的中点，点Q为棱BB,上一动点. (1)证明：AP∥平面BCD; D (2)当点Q为棱BB1的中点时，证明：平面CDQ⊥平面BCD: (3)若二面角B-CD,-Q的余弦值为5，求品的值 19.(本小题满分17分) 已知双曲线E后一茶-1(。>0,6>0)的一条渐近线方程为y-号x,左，右顶点分别为A, B,且|AB=4. (1)求E的方程； (2)若点P为直线x=一1上的一点，直线PA交E于另外一点M(不同于点B) ①记△PAB,△MAB的面积分别为S,S,且S,=号S,求点P的坐标， ②若直线PB交E于另外一点N,点G是直线MN上的一点，且OG⊥MN,其中O为坐 标原点，试判断|AG引是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由、 【高二年级第三次月考·数学第4页（共4页）】 MF-CL-24A32025~2026学年度第一学期高二年级第三次月考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.B由已知数列1,5,5,7,3，…，2-，…，即√2X1-,√2X2-互，2X3-1,√2X4-1, √2X5一1，…，√21一1，…，则数列的第n项为√21一1，令√21-1=9，解得n=41,所以9是该数列的第 41项.故选B. 2.D由题意，抛物线x=一8y的标准方程为)y=一名x,C的焦点在x轴的负半轴上且p=6放其准线的 方程为=2·放选D 3D将题干所给曲线方程化为标准方程为2一兰-1，易得该双曲线的新近线方程为y一士后x故透D 4.C由抛物线x2=4y,则焦点F(0,1),准线方程为y=一1，因为点P(m,n)到其焦点F的距离为3，根据抛物 线的定义，可得点P到准线的距离为3，即1一（一1）=3，解得n=2,所以m=8,因为m>0,所以m=2√2. 故选C. 5.A如图，设动圆的圆心为P,半径为r,由题意得圆O:x2+y2=1,圆O2:(x一3)2+y2=16,则|OP|=7 +1,|O2P|=4一r,OO2|=3,又|OP|+|O2P|=5>|OO2|,所以点P在以O1,O为焦点的椭圆上. 故选A. D B (第5题图) (第6题图) 6.A作AO⊥平面BCD,垂足为O,连接OC,则O为△BCD的中心，以O为坐标原点，直线OC,OA分别为y 轴，之轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,26),B(3,一√5,0)，C(0,2√5,0)，D(-3,一√5,0)， 所以(-，号6)F(号，6)，庞=(-号6).市=（是856）设E,cF所成 9 的角为0，所以cos0=1s(成，d市1=.C= 1BE1C前33X35。·故选A 7.C由双曲线C的右焦点为F(2,0),得m>0且3十m=4,解得m=1,所以双曲线C的方程为写-y=1. 记双曲线C的左焦点为F',则有|PF|+|PQ+|QF|=|PF|+|PQ|+(2/5+|QFI)≥2PF|+25= 6√3（当且仅当Q位于线段PF'上时取等号），故△PQF的周长的最小值为6√3.故选C. 8B因为等差数列1a,的前和项和分别为A.和B骨-密物需所以可设A=知(3十5学0。 B.=kn(2+5),所以1≥2时，an=An一Ag-1=kn(3+75)一k(n-1)(3+72)=6k(n+12),又a1=78k 满足上式，所以am=6k(n+12)(n∈N),n≥2时，ba=Bn-Bn-1=kn(2+5)-k(n-1)(2+3)= (n十3)，又6=7张满是上式.所以么=(r十3eN尝-编器-1物智=3十因为 会∈乙，所以4n+3是63的正因数，即4n十3=137,921,63，又nEN~,所以1=1,15，即满足器∈Z的正 b 整数n有2个.故选B. 9.AC由x2+y一2x-2=0,可得(x一1)2十y2=3,知其圆心为C(1,0),半径为3，依题意，圆心C(1,0)到直 线，/5x一y十m=0的距离为mB-5,解得m=或m=-3/5.放选AC 2 10.BD因为a1十a2=a2十ag=0,所以a1=a=一a2,因为aa2a3=-64,即（一a2)a2(一a2)=-64,所以a2 =一4，a=a3=4,故A错误；因为a+2ag+1an=一64(n∈N),所以au+3a+2at1=一64，所以t3a2am型 an+2An+1an 【高二年级第三次月考·数学参考答案第1页（共4页）】 MF-CL-24A3 =1,即a+3=an,故B正确；由a+3=an可知，数列{an}的周期为3，又a1十a2十a3=4,所以Sgg=333X (a1十a十a)=132,放C借误：S=n(a十a十a)=4m,所以=4，枚D正确放选BD 11.ABD由题知抛物线C的焦点F的坐标为(2,0)，准线与x轴的交点A的坐标为（一2,0），直线l:y=k(x十 2》,设点M.N的坐标分别为1.6)，联立方程2》，得P+(46-8x十秋=0，则 西十2=8-4 G西=4且0一8)-16k>0解得-1之1且≠0，A正确：因为0 2孔=什及，斜=中到=，所以=斜B正确：由 x1+2 x2+2 1NF到=2MF,得2+2=2(a+2),即x2=2x十2.又m2=4,所以m=1,2=4,则m+x2= 8一4k2 k 5,解得=士22，C错误；设点M关于x轴的对称点为M(,一1)，则” k(x2+2) 3 x2一2 (x+2)_k[(x1-2)(+2)+(0+2)(2-2)]=2k(x1x2-4) x1-2 (x1-2)(x2-2) 號-0，即之2当气=所 以M,F,N三点共线，即点M关于x轴的对称点在直线NF上，D正确.故选ABD. 12.号由a01=2m十1，得aea=5,a1ae=3,所以a=5=5,a1=3=是 a25 12设Am),B()可得等-一芳=1，等-兽=1，两式相减可得》十2 y二)y土业2，点P(1,3)是弦AB的中点，且直线：x一y+2=0,可得x1十x=2,M十为=6，y一 子 2=0一x2,即有b=3a2,即c2=a2十b=4a2,∴.e2=4,e=2,故双曲线C的离心率为e=2. 14.2由题可知PB+|PB2|=|PF1|+|PF2|=2√6，所以点P同时也在以B1,B2为焦点，长轴长为 25的椭圆上，其椭圆方程为C苦+产=1(0<6<后).联立 2+=1 即 66-8=1, bx2+6y2=6, 即g+ 6y2三6定、6，两式相加可 6.x2+(6-b2)y2=6(6-b), 6.x2+(6-b)y2=6(6-b), 得-6+36C2+y)。60+6(6-),则十2%-725十216 6-62 b-6+36 2,十2正=12-器+6当公=3时.+的最小值为，即 216 b-6b2+36 IOP|的最小值为2. 15.解：(1)设⊙C的一般方程为x2+y+Dx+Ey+F=0, F=0, 由题意可知，34十2D十F=0, ………2分 1+1一D-E+F=0, 解得D=2,E=4,F=0,…4分 所以x2+y2-2.x+4y=0, 枚⊙C的标准方程为(x一1)2十(y十2)2=5.…6分 (2)由(1)可知，C(1,一2)，半径r=/5.…7分 则圆心C到直线的距离为=1十2一1=2，…9分 √2 所以|MN|=2√P-C=2√(W5)-(W2)2=2/3,… 11分 故△CMN的面积为Saaw=2|MN·d=6. 13分 16.解：(1)由抛物线的定义及AF=5,知4十=5，解得p=2 4分 将点A(4,t)的坐标代入抛物线C的方程y2=4x,得2=16， 又t>0,所以t=4, 故p的值为2，t的值为4.…… …………7 【高二年级第三次月考·数学参考答案第2页（共4页）】 MF-CL-24A3 (2)法一：设B点的坐标为（速%） 因为0ALOB,A点的坐标为(4,4)，所以4X步十4yB=0,11分 解得B=一4或yB=0(舍去).…12分 所以B点的坐标为(4，一4)，所以直线l的方程为x=4.…15分 法二：由题知l的斜率不为零，设直线l的方程为m(y一4)=x一4，整理得x=y一4m十4.…8分 设点A,B的坐标分别为(y),(x2y), 联立方程n士4得116-0 所以hy=16m-16,0G=2=16m16》-16(m-1). 16 16 10分 因为0A⊥OB,所以OA·O元=02十12=16(m-1)2+16m-16=0,解得m=1或m=0.… 12分 当m=1时，直线l的方程为y=x,经过原点O不合题意；… 13分 当m=0时，直线l的方程为x=4,满足题意， 故直线l的方程为x=4.… 15分 17.证明：(1)设等差数列{an}的公差为d, 则6=4-S=a.-Ca+am_,4=",d, 2n 2 3分 2 所以a1-6=之d-”2=2d 6分 所以数列{b,}是公差为了d的等差数列. 8分 (2)由(1)知数列{6}是公差为2d的等差数列， 因为(b-b)2=7(b5-b), …9分 即d=2×2d 10分 因为d≠0，所以d=1,… 11分 所以am=a1+-1>0, 12分 所以1十1十…十 1 d 上d d anan+1 ala2 a2a3 anan+l =2-a+a购一2+十amt1一a aaz aza3 anan十1 =1-1+1-1++1-1 al a2 a2 a3 an an+1 =1-1 15分 al an+1 18.(1)证明：取CD1的中点M,连接PM,BM… 1分 在△CDD,中，PM为中位线，所以PM/CD,且PM=合CD, 因为四边形ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC,所以AB∥CD, 2分 又AB=1,CD=2,所以AB=2CD, 所以AB∥PM,且AB=PM,所以四边形ABMP为平行四边形， 3分 所以AP∥BM,....... …4分 又AP中平面BCD1,BMC平面BCD1, 所以AP∥平面BCD1.…5分 D (2)证明：易知DA,DC,DD1两两垂直，以D为坐标原点，以直线DA,DC, DD1分别为x轴，y轴，之轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxy之，则 A D(0,0,0),D(0,0,2),B(1,1,0),C(0,2,0),Q(1,1,1),所以D0=(1,1,1), D1B=(1,1,-2),D1C=(0,2,-2).…6分 因为DQ·D1B=(1,1,1)·(1,1,-2)=1+1-2=0, D0.DC=(1,1,1)·(0,2,-2)=0十2-2=0，…7分 所以D0LDB,D0⊥DC,即DQ⊥D1B,DQLDC,…8分 B 因为DB∩DC=D1,D1B,DCC平面BCD1,所以DQ⊥平面BCD1,…9分 【高二年级第三次月考·数学参考答案第3页（共4页）】 MF-CL-24A3 又DQC平面CDQ,故平面CDQ⊥平面BCD1. 10分 (3)解：设BQ=t(0≤1≤2)，则由(2)知Q(1,1,t),所以CQ=(1,一1，t). 11分 设平面CD.Q的二个法向量m=(x,则：m一0，即20g x-y+Iz=0 取y=1,解得x=1-t,2=1,所以m=(1-t,1,1),… 13分 由(2)可知，向量n=(1,1,1)是平面BCD1的一个法向量，… 14分 因为二面角B-(D,-Q的余弦值为。 m·n 3-t 所以|cosm,n1=1m·Tm=/-D2+2X3 557 57 15分 整理，得3+321-48=0，解得1=专，或1=-12（舍去）， 所0-专则BQ=2青号放经品子 2· 17分 r2a=4, 19.解：(1)由题意知 2分 a 2 解得a=2,b=√5， 3分 所以E的方程为片一 -1. 4分 (2)由题意可知，A(-2,0),B(2,0),设P(-1,m),因为直线PA交E于另外一点M(不同于点B), 所以m0.又双由线的南近线为y=士停，放2≠土号，解得m≠土号， 所以直线PA:号-是，即一mx十2》. m-0 由 专亨-l:得(3-4r)2-16mx-16m2-12=0,所以-2·w=-62,解得w-8 y=m(x+2) 3-4m 3-4m2 6分 所以r= 8m2+6 +2 12m 3-4m2 3-4m21 7分 ①因为S=合×4xml=|2ml,s= 12m 24m 2 3-4 -4m2 13× 所以|2ml= 24m 3-4nm2 9分 解得m=2或m=-2,即点P的坐标为(-1,2)或(-1，-2). 10分 z y 4-3 =1, ②直线PB8=是2即y=一受(x一2)，由 3 得(27-4m2)x2+16m2x-16m2 y=-受(x-2) 3 108=0,27-4m㎡≠0，即m≠±3 -8m2-54 2 ,所以2xN= -16md=108,解得xN= 27-4m 27-4m2 所以yw=一 m -8m54-2）=274m' 36m 27-4n2 12分 36m 12m 所以直线MN的斜率k= 27-4m2 3-4m 6m -8m2-54 80m2694m2,… 13分 27-4m 3-4nm 所以直线MN的方程为y一 12m 6m 8m2+6 3-4m 9-4m 3-4m2/ 14分 12m 令y=0,得一3-4m=g-4m（工 67m 82+6 82+62(9-42)_162-12 一4， 3-4m ,解得x 3-4nm 3-4m2 3-4mr 所以直线MN恒过定点H(一4,0)，… 16分 又OG⊥MN,即GLGH,点A是H0的中点，所以AG=2|HOl=2 17分 【高二年级第三次月考·数学参考答案第4页（共4页）】 MF-CL-24A3