专题05 反比例函数全章8大常考题型汇总（期末复习专项训练）九年级数学上学期北师大版

专题05 反比例函数 题型1 反比例函数的概念（常考点） 题型5 求反比例函数解析式（重点） 题型2 反比例函数的图象（重点） 题型6 实际问题与反比例函数（重点） 题型3 反比例函数的性质（重点） 题型7 反比例函数与几何综合（难点） 题型4 反比例函数与图形的面积（难点） 题型8 一次函数与反比例函数综合（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 反比例函数的概念（共11小题） 1．（24-25九年级上·重庆江北·期末）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数． 根据反比例函数的定义逐项分析即可． 【详解】解：．，y是关于x的一次函数，故该选项不符合题意； ．，y是关于x的二次函数，故该选项不符合题意； ． ，y是关于x的反比例函数，故该选项符合题意； ．，y不是关于的反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查了求反比例函数的函数值，熟练掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标，满足函数解析式，是解题的关键．把点代入函数解析式即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴ 故选：A． 3．（24-25九年级上·山西太原·期末）平面直角坐标系中的下列各点，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式是解答此题的关键．把各选项代入反比例函数，求出k的值，再根据判断即可． 【详解】解：A.把点代入得，故A选项不符合题意； B.把点代入得，故B选项不符合题意； C.把点代入得，故C选项符合题意； D.把点代入得，故D选项不符合题意． 故选：C． 4．（24-25九年级上·全国·期末）对于反比例函数，当自变量的值从2增加到8时，函数的值（　　） A．增加了6 B．减少了6 C．增加了3 D．减少了3 【答案】C 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查计算函数值，分别计算出和时的函数值，然后比较得到函数值的变化即可解答． 【详解】解：当时，；当时，； ∵， ∴当自变量的值从2增加到8时，函数的值增加了3， 故选：C． 5．（24-25九年级上·河南新乡·期末）已知等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，面积为20，那么y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了列反比例函数解析式，根据三角形面积公式，即可得到函数解析式． 【详解】解：由三角形面积公式，得：， 所以y与x之间的函数关系式为， 故选A． 6．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）若函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把代入得到结论． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·天津和平·期末）反比例函数的图象经过点，当时，反比例函数取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数值 【分析】先根据反比例函数图象经过的点求出的值，再分析反比例函数在给定取值范围时的取值范围．本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴ ∴反比例函数的解析式为 ∵ ∴在每个象限内，随的增大而减小 当时， 当时， 又∵ ∴ 故答案为：． 8．（24-25九年级上·山东烟台·期末）从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是 ． 【答案】/ 【知识点】由反比例函数值求自变量、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查概率公式的知识，解答本题关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比，首先找出在双曲线上点的个数，然后根据概率公式求出答案． 【详解】解：∵五个点、、、、中，在双曲线上的点有，一共2个， ∴五点任取一点，在双曲线上的概率是， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义、由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查了正比例和反比例函数的定义，并且考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握正比例和反比例的定义是解题的关键． 根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出自变量和函数的对应值求出待定的系数则可． 【详解】解：设，，则 时，；时， ， 解得， ∴y关于x的函数关系式是． 10．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求自变量的值或函数值、正比例函数的性质、用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查的是正比例与反比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握待定系数法是解本题的关键； （1）由题意可设设，，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设，， 则 当时，；当时，． 解得： （2）当时，． 11．（24-25九年级上·全国·期末）已知函数 (1)若y是x的正比例函数，求m的值． (2)若y是x的反比例函数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正比例函数的定义、根据反比例函数的定义求参数 【分析】该题考查了正比例函数和反比例函数的定义，掌握基本定义是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义求解即可； （2）根据反比例函数的定义求解即可； 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，； 答：当时，是的正比例函数； （2）解：由题意得，， 解得，； 答：当时，是的反比例函数． 题型二 反比例函数的图象（共9小题） 12．（24-25九年级上·甘肃·期末）反比例函数的图像不经过（　　） A．第二、四象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第一、二象限 【答案】A 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，反比例函数(k是常数，)的图像是双曲线，当，反比例函数图像的两个分支在第一、三象限；当，反比例函数图像的两个分支在第二、四象限． 根据反比例函数的图像与性质作答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴反比例函数的图像不经过第二、四象限， 故选：A． 13．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．它的图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．它的图象不是中心对称图形 D．y随x的增大而增大 【答案】A 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当时，在每个象限内随的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，和是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的关键．通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案． 【详解】解：A、由点的坐标满足反比例函数，故A正确； B、由，反比例函数图象位于二、四象限，故B错误； C、由反比例函数的对称性，可知反比例函数关于直线和对称，是中心对称图形，故C错误； D、由反比例函数的性质，，在每个象限内，随的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D错误． 故选：A． 14．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）如图所示，该函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】本题考查了反比例函数的图象．熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键，由图象可知，反比例函数，然后对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由图象可知，反比例函数， A中不是反比例函数，故不符合要求； B中是反比例函数，但不经过第二、第四象限，故不符合要求； C中是反比例函数，经过第二、第四象限，故符合要求； D中不是反比例函数，故不符合要求； 故选：C． 15．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查反比例函数的定义及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 根据函数解析式确定该函数是反比例函数，根据反比例函数的性质即可得答案． 【详解】解：∵函数解析式为， ∴该函数为反比例函数，图像为双曲线， ∵， ∴图像在一、三象限， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 16．（24-25九年级上·河南信阳·期末）若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题的关键. 根据题意得到，求出. 【详解】解：点是反比例函数图象上一点， ， ， 故答案为：. 17．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知反比例函数的图象上两点，，当时，有则的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意判断出函数图象所在的象限是解答本题的关键． 根据反比例函数图象上点的特征得到图象位于一、三象限，所以，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵时，， ∴反比例函数图象位于一、三象限， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知点和点都在反比例函数（k为常数，）的图象上，且线段恰好过坐标原点，则的值为 ． 【答案】 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得出点和点关于原点对称，得到． 【详解】解：点和点都在反比例函数（k为常数，）的图象上，且线段恰好过坐标原点， ， 故答案为：． 19．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为．    (1)求出点B的坐标． (2)请根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【知识点】正比例函数的性质、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数与反比例函数的性质是解题关键． （1）根据正比例函数与反比例函数的性质求解即可得； （2）找出正比例函数的图象位于反比例函数的图象的上方即可得． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于两点， 点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为． （2）解：不等式表示的是正比例函数的图象位于反比例函数的图象的上方， 所以不等式的解集为或． 20．（23-24九年级上·甘肃陇南·期末）如图为反比例函数的部分图象． (1)由图可知，的取值范围是________，点________（填“在”或“不在”）该反比例函数的图象上； (2)将已知部分的函数图象绕原点顺时针旋转________即可得到未知部分的函数图象． 【答案】(1)，不在 (2) 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据所给函数图象，可得出的正负；由函数图象所位于的象限即可解决问题． （2）根据反比例函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】（1）解：由所给函数图象可知， 该反比例函数位于第一、三象限， 所以． 点在第二象限， 所以点不在该反比例函数的图象上． 故答案为：，不在； （2）解：因为反比例函数是中心对称图形，且对称中心为坐标原点， 所以将已知部分的函数图象绕原点顺时针旋转即可得到未知部分的函数图象． 故答案为：． 题型三 反比例函数的性质（共12小题） 21．（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象位于第一、三象限，则，然后解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第一、三象限， ∴， ∴， 故选：． 22．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）若反比例函数的图象在每个象限内函数值随的增大而减小，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数当时，函数图象在一、三象限，并且在每个象限内都有随增大而减小；当时，函数图象在二、四象限，并且在每个象限内都有随增大而增大．根据反比例函数的图象在每个象限内函数值随的增大而减小，可得不等式，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象在每个象限内函数值随的增大而减小， ， 解得：． 故选：C ． 23．（22-23九年级上·山东济南·期末）若点在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断反比例函数的增减性、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查比较反比例函数值的大小，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 由题意可知函数的图象在二、四象限，由三点的横坐标可知在第二象限，，在第四象限，根据反比例函数的增减性及各象限内点的坐标特点即可解答． 【详解】解：反比例函数中， 此函数的图象在二、四象限， ，， 在第二象限，，在第四象限， ，，， ，y随x的增大而增大， ， ， 故选：B． 24．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，与的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征．熟练掌握该知识点是关键． 利用待定系数法求得反比例函数的解析式，分别把A、B点坐标分别代入反比例函数解析式，求出、的值，即可得到结论． 【详解】解：在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 点，，都在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， 故选：C． 25．（24-25九年级上·广西梧州·期末）在反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）． 【答案】增大 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质，依据比例系数k的符号即可确定． 【详解】解：∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大． 故答案是：增大． 26．（24-25九年级上·吉林·期末）若反比例函数的图象分别位于第二、四象限，则k的值可能是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的性质．反比例函数的图象位于第二、四象限，比例系数，根据k的取值范围选择一个数即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 27．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查反比例函数的增减性．熟记相关结论即可． 根据反比例函数的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵在反比例函数图象的每一支曲线上，都随的增大而增大， ∴， 解得：， 故答案为：． 28．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数的增减性是解题的关键． 先判断出反比例函数图象在第一、三象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，随的增大而减小，即可解答． 【详解】， 反比例函数的图象上位于第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小， ， ， ， 综上，． 故答案为：． 29．（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）已知反比例函数的图象经过第二、四象限，求的取值范围． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当时，图象在第二，四象限；当时，图象在第一，三象限．根据反比例函数的性质：当图象经过第二，四象限时，，求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， 解得：，即的取值范围是． 30．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）已知反比例函数（为常数，且）的图象在每个象限内随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 【详解】解：∵反比例函数（为常数，且）的图象在每个象限内随的增大而增大， ∴， ∴． 31．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）已知反比例函数．点均在反比例函数的图象上，若，请写出的大小关系，简单说明理由． 【答案】，理由见解析 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴反比例函数的图象分布在一、三象限，在每一象限内，的值随的增大而减小， ∵， ∴． 32．（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求的取值范围； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值，的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键． （1）由反比例函数的性质可得，求解即可； （2）由反比例函数的图象可得当时，y随x的增大而增大，结合即可得解． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象位于第二、四象限， ∴． ∴． （2）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴当时，y随x的增大而增大． ∵， ∴． 题型四 反比例函数与图形的面积（共9小题） 33．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，这是反比例函数的图象，点是反比例函数图象上任意一点，过点A作轴于点B，连接，则的面积是（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】A 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，根据点到坐标轴的距离可得，结合反比例函数图象上的点满足表达式得到，进而利用面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点为反比例函数图象上一点， ∴， ∴． 故选：A． 34．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比函数比例系数的几何意义，根据反比函数比例系数的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积． 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点， ，， 四边形的面积， 故选：D． 35．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，作轴于点B，已知点B，C关于原点对称，的面积为6，则比例系数k为（   ） A． B． C．9 D．12 【答案】B 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数值的几何意义，根据点，关于原点对称，的面积为，则，再利用求解即可． 【详解】解：∵点B，C关于原点对称，的面积为6， ∴， ∵，且反比例函数图象在第二象限， ∴． 故选：B． 36．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知反比例函数的图像的一支如图所示，则的面积是 ． 【答案】3 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，正确表示出三角形面积是解题关键． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，依此解答即可． 【详解】解：根据题意可知：， 故答案为：3． 37．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图所示，矩形的面积为6，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象上任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．理解这个知识点后，可以构造出这个矩形，求出这个矩形的面积就可知的值，再根据图像所在象限即可求出k．过P点作轴于E，轴于F，根据矩形的性质得，然后根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解． 【详解】解：如图所示，过P点作轴于E，轴于F， ∵四边形为矩形，面积为6，P为对角线的交点， ∴， ∴， 又∵图像的一支在第一象限， ∴， ∴． 故答案为． 38．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，在反比例函数的图象上有四点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，若，则k的值为 ． 【答案】4 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，根据题意可得，再根据长方形面积公式分别表示出，根据建立方程求解即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，，当时，，当时，， ∴， ∵分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为， ∴，，，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：4． 39．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，在轴的正半轴上依次截取，过点，，，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，，，得直角三角形，，，，，并设其面积分别为，，，，，则 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、反比例函数与几何综合 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数图象上的点，三角形的面积，熟练掌握反比例函数的图象，理解反比例函数图象上的点满足函数的表达式是解决问题的关键．首先设点的坐标为，则点，，，，…，，进而得，，，，，…，，然后根据直角三角形的面积公式可求出． 【详解】解：设点的坐标为， ∵…， ∴点，，，，…，， ∴，，，，，…，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 40．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，求平行四边形的面积． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查反比例函数中系数k的几何意义以及平行四边形的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行四边形的性质得到相关线段的关系，再结合系数k的几何意义来求解平行四边形的面积．作轴于D，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 【详解】解：如图作轴于D，延长交y轴于E， ∵四边形是平行四边形， ∴，； ∴轴， ∴， ∴， 根据系数k的几何意义，，， ∴四边形的面积． 41．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，已知反比例函数的图象与直线交于点，两点分别在轴和轴的正半轴上，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出反比例函数的取值范围 ． 【答案】(1)； (2)或 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解决本题的关键是先根据和求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式． 根据和求出点的坐标为，利用待定系数法求出反比例函数的解析式为 分别求出当时的取值范围，再求出当时的取值范围，综合起来就是当时，反比例函数的取值范围． 【详解】（1）解：设点的坐标为， ， ， ， 解得：， ， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， 又， ， 解得：， 点在第二象限， ， ， 点的坐标为， 把点的坐标代入比例函数， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：当时，可得：， 若，则有， 当时，可得：， 若，则有， 综上所述，当时，直接写出反比例函数的取值范围为或． 故答案为：或． 题型五 求反比例函数解析式（共5小题） 42．（24-25九年级上·山东德州·期末）已知点在反比例函数的图象上，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 直接把点代入反比例函数，求出的值即可． 【详解】点在反比例函数的图象上， ， 解得． 故选：B． 43．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）若反比例函数（k为常数，且）的图像经过点，则k的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征：反比例函数的图像是双曲线，图像上的点的横纵坐标的积是定值，即． 把点代入即可求出k的值． 【详解】解：因为反比例函数经过点， 把代入，得， 故选：A． 44．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）已知点和点都是反比例函数的图象上的点，则 ． 【答案】0 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解反比例函数图象上点的横纵坐标与解析式里x和y的值一一对应的关系；分别把两个点代入解析式中即可得到答案； 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴， 故答案为：0． 45．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为B，直线与反比例函数的图象交于点．求一次函数和反比例函数的表达式． 【答案】一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了求一次函数解析式，求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．代入到，得到，得出一次函数的表达式，进而得到点的坐标，再代入到即可得出反比例函数的表达式． 【详解】解：代入到，得， 解得， ∴一次函数的表达式为， 代入 到，得， ∴， 代入到，得， ∴反比例函数的表达式为． 46．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，若从A市到B市汽车的行驶里程为240千米． (1)求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围； (2)若，求时间t的取值范围． 【答案】(1)（） (2) 【知识点】求不等式组的解集、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的应用、一元一次不等式组的应用． （1）根据题意，可以写出v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围； （2）根据和（1）中的结果，可以得到关于t的不等式，然后求解即可． 【详解】（1）解：由“”可得，即， 即v关于t的函数表达式为（）； （2）解：∵，， ∴， 解得， 即，时间t的取值范围是． 题型六 实际问题与反比例函数（共6小题） 47．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）为了响应新中考体育考试要求，某中学八年级（1）班用600元购买了某品牌篮球个，该品牌篮球的单价是元/个，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查列函数表达式，根据总价等于单价乘以数量，列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意，，即：； 故选B． 48．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，即（k为常数且），其图象如图所示．当时，气体的密度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的应用，通过待定系数法求解，将V=10代入函数解析式求解． 【详解】解：∵密度与体积V是反比例函数关系为， 将代入，得， 解得， ∴， 将代入，得， ∴该气体的密度为． 故选：A． 49．（24-25九年级上·河南郑州·期末）电磁波的波长（单位：）与频率（单位：）是反比例函数关系，当频率时，波长．那么当时、波长 ． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．设，根据题意得出，再将代入解析式，即可求解． 【详解】解：∵电磁波的波长（单位：）与频率（单位：）是反比例函数关系， 设， ∵当频率时，波长， ∴， ∴当时，则波长， 故答案为：． 50．（25-26九年级上·全国·期末）已知某蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，则用电器可变电阻的电阻R的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求得反比例函数关系式，求得时，，再利用反比例函数的增减性质，可求得答案． 【详解】解：设，代入， ， ， ， 随的增大而减小， 当时， 其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是 故答案为：． 51．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求对应的的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题的关键． (1)待定系数法求出函数解析式； (2)将代入，求得的值，然后根据反比例函数在第一象限内的增减性即可得出结果． 【详解】（1）由题意可设 点在函数的图象上， ，， 电流与电阻之间的函数表达式为； （2）当时，，， 由函数图象可知，该函数在第一象限内随的增大而减小， 当时，． 52．（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1)函数图像见解析， (2) (3) 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式、判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图像，正确得出反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图像．根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）当时，，求解即可； （3）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：描点并连线，函数图像如图所示． 由图像可得y与x之间是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为：． （2）解：当时，代入得，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是． （3）解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离， 由题意得：， 解得． ∴在移动前托盘B中的砝码质量为． 题型七 反比例函数与几何综合（共9小题） 53．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，网格（每个小正方形的边长为）中有，，，，，，，，九个格点，点的坐标为，反比例函数的表达式为，对于，下列判断正确的是（   ） 若反比例函数的图象过点，则它必过点； 在九个格点中，若只有个在反比例函数图象的上方，则的整数值有个． A．都对 B．都不对 C．只有对 D．只有对 【答案】A 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了反比例函数图像和性质，先求出反比例函数解析式，然后代入检验即可判断；根据题意确定出系数的取值范围即可判断，理解反比例函数的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴，，，，，，，， 把代入得， 把，，，，，，，，代入符合的为点，故判断正确； ∵只有个在反比例函数图象的上方， ∴点在上方，点和点在图象下方或在图象上， 故的取值范围为， ∴整数为，，，共个， 故判断正确， 故正确， 故选：． 54．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，M是四边形对角线的交点，轴于点C，轴于点，反比例函数：的图象经过点M，M是的中点． (1)求经过点A的反比例函数的表达式； (2)若点D恰好也在图象上，证明：四边形是菱形． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、证明四边形是菱形 【分析】本题将反比例函数与四边形的性质结合，解题关键是利用反比例函数的性质和中点坐标求出相关点的坐标关系，再结合菱形的判定定理进行证明，考查了知识的综合运用能力． 设点M的坐标为，根据点M在反比例函数上，求出，根据轴，M是的中点，求出点A的坐标，设经过点A的反比例函数的表达式为，代入点A的坐标即可解答； 根据题意证明与互相垂直平分即可得证． 【详解】（1）解：设点M的坐标为， 点M在反比例函数上， ， 轴，M是的中点， 点A的坐标为， 设经过点A的反比例函数的表达式为， 把代入可得， 即， 又， ， 则反比例函数的表达式为； （2）证明：设点M的坐标为， 轴， 点D的纵坐标与点M的纵坐标相同， 点D在图象上， 点D的坐标为， 由知，，即， 点M的坐标为， ， 是的中点， ； 轴，轴， 轴，轴， 即， 四边形是菱形． 55．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知、B是反比例函数图象上的两个点，轴于点C，若的面积为2． (1)求m的值； (2)以边作菱形，使点D在第二象限，点E在x轴负半轴上，求菱形的面积． 【答案】(1)m的值为1 (2)菱形的面积为 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、利用菱形的性质求面积 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及菱形的性质，熟知反比例函数的图象与性质、菱形的性质是解题的关键． （1）根据反比例函数系数的几何意义求出的值，据此求出m的值即可； （2）根据菱形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知点B在反比例函数图像上， 因为轴于点C，的面积为2， 所以， 又， 所以， 则反比例函数解析式为， 将点代入得， 解得， 所以m的值为1． （2）解：由（1）知，则， 因为四边形是菱形， 所以，且边上的高为点A的纵坐标值，即为4， 所以菱形的面积为． 56．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，交反比例函数于点(第一象限)．若点的纵坐标为2，且． (1)求出反比例函数的解析式； (2)过线段上一点作轴的垂线，交反比例函数于点．连接，当为等腰直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2)当时，为等腰直角三角形 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）作，垂足为，设点，则，，根据等腰三角形性质列出方程求出值即可得到点坐标． 【详解】（1）解：直线交轴于点，， 直线的解析式为， 当时，， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； （2）如图，作，垂足为， 设点，则，， ，， ， ， ，解得或舍去， 当时，为等腰直角三角形． 57．（24-25九年级上·全国·期末）如图，点A，B分别在x轴，y轴上，过A，B分别作垂线，交反比例函数 的图象于D，C，四边形为矩形，轴于F轴于E． (1)求证：． (2)请写出两个不同的关于a，b，x，y的关系式． (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用矩形和垂直条件推导角的等量关系，结合全等、相似及反比例函数性质建立线段间的关系式． （1）通过矩形性质和垂直关系推导角相等，证明，利用全等三角形对应边相等得； （2）根据点C、D在反比例函数图象上，其横纵坐标乘积等于k，结合坐标表示列出关系式，再由相似三角形对应边成比例得出另一关系式； （3）结合(2)中的关系式推导，得出是等腰直角三角形，进而证得． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，轴于轴于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴； （2）解：由(1)知，， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 即①； ∵， ∴， ∴， ∴②； （3）解：由(2)中的①②得，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 58．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，双曲线与矩形的两边，分别交于D，E两点，连接，，，将沿翻折后得到． 探究一：如图，若D为中点，且点又恰好落在线段上，求证：平分． 探究二：如图，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积． 探究三：如图，若点D在直线上，是否存在m的值使点落在x轴上？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】 探究一：证明过程见解析； 探究二：矩形的面积为； 探究三：存在的值使点落在轴上，点的坐标为． 【分析】探究一：由矩形的性质，结合已知，用，表示点的坐标，可得，根据翻折的性质即可证得结论； 探究二：证明四边形是正方形，，结合（1）所得结论，可得，设，可得点E的坐标，代入，可得，从而可得矩形的面积； 探究三：用表示点的坐标，可得，过点D作于点F，证明，对应边成比例，可得，由勾股定理可得，从而可得点的横坐标，代入反比例函数的解析式，可得点的纵坐标． 【详解】探究一：证明：∵，， ∴点B的坐标是 ∴点D的坐标是， 将代入，得， 又点E的横坐标是m， 把代入，得， ∴E是的中点，即， 由折叠的性质可知， ∴， ∵，， ∴点E在的平分线上， ∴平分． 探究二：解：设正方形的边长是a，则，， ∴点D的坐标是，点E的坐标是， ∴， ∴， ∴，四边形是正方形， ∴， 又， ∴， ∴， 又平分， ∴， ∴， 设，则， ∴点E的坐标是， 将代入，得， ∴， ∴， ∴正方形的面积是． 探究三：解：存在的值使点落在轴上， 由得或， ∵点D在第一象限内， ∴点D的坐标是， ∴点B的坐标为， ∴， 将代入，得， ∴， ∴， 如图，过点D作于点F，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 解得， 在中， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， 把代入中，得 ∴存在的值使点落在轴上，点E的坐标是. 【点睛】本题考查翻折的性质，矩形的性质，角平分线的判定，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数值，反比例函数的图象和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理． 59．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，轴上的点，作直线． (1)求反比例函数的解析式； (2)直线与轴交于点，连接，． ①在直线上找点，使得，求出所有点的坐标； ②点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)①，；②， 【分析】（1）由点和点都在反比例函数的图象上可得，求出m的值，即可得的值，进而可得反比例函数的解析式． （2）①先求出直线的解析式为，进而可得，由可知满足条件的M点有两个，如图 和．当时，可得，进而可得，则，可求得．由，可得，进而可得． ②设，，分两种情况：当四边形是平行四边形时，和当四边形是平行四边形时．根据平行四边形对边平行且相等，列方程求出m、n的值即可得解． 【详解】（1）解：∵点和点都在反比例函数的图象上， ∴， 解得，， ∴，， ∴反比例函数的解析式为． （2）①把，代入中， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． ∵， ∴满足条件的M点有两个，如图 和． ∵， ， 即， 由，，可知，A点是线段的中点， ∴， ∵， ∴当时，，此时， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 综上，点的坐标为，． ②设，． 如图，当四边形是平行四边形时， ∵，， ∴， 解得， ∴，． 当四边形是平行四边形时， ∴，， ∴， 解得， ∴，． 综上，P点的坐标为，． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的性质及数形结合思想是解题的关键． 60．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，点在反比例函数 的图象上，轴，交轴于点，与反比例函数 的图象交于点，． (1)求反比例函数 的解析式． (2)若点，是轴上的点，，，连接，，交轴于点，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，顶点 在直线上，求的长． (3)如图，在（2）的条件下，连接并延长交于点，过作轴于点，作交于点，作轴于点，作 轴，交 于点，那么四边形是正方形吗？ 若是，说明理由，并直接写出它的边长；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是正方形，边长为． 【分析】根据点在反比例函数 的图象上，求出，根据求出点的坐标是，利用待定系数法求出的值即可得到反比例函数 的解析式； 利用待定系数法求出直线的函数解析式为，利用解析式求出，设，则，则，根据，可得：，解方程求出的值即为的长度； 根据有三个角是直角的四边形是矩形可证四边形是矩形，根据相似三角形对应边成比例可得：，从而可证，可知四边形是正方形；设，根据，可得：，求出的值即为正方形的边长． 【详解】（1）解：将点代入， 解得：， 点的坐标是， ， ， ， 轴， 点的坐标是， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：设直线的函数解析式为， 将点，的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ． 设，则，则， 轴， ， ， ， 解得：， ； （3）解：四边形是正方形，边长为， 理由如下： 轴，，轴， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 四边形是正方形； 设， 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， ，， ， 四边形是正方形， ， 设正方形的边长为，则有，， ， ， 正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、待定系数法求一次函数的解析式，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出正方形的边长． 61．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点 (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，点B在反比例函数的图象上且在点A的右侧，过点B作轴于点D，连接、，交于点F，若点C是的中点，求的面积； (3)点N在反比例函数的图象上，点M坐标为，若是等边三角形，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)m的值为1或 【分析】（1）将点代入反比例函数，于是得到结论； （2）由轴，得到，根据点C是的中点，得到，得到点B和点D横坐标相等，将代入得到，求得点B坐标为，解方程得到的解析式，得到点F坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）①当M在y轴正半轴时，如图1，在延长线上取点G，使得，在延长线上取点H使得，过点N作轴于点I，得到，，在中，，得到，求得，设，则，根据勾股定理得到负值舍去，求得，，，根据全等三角形的性质得到，，求得，得到点B坐标，解方程得到；②当M在y轴负半轴时，如图2在延长线上取点P，使得，在延长线上取点Q，使得，过点N作轴于点R，根据等边三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到负值舍去，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得， 反比例函数的表达式为； （2）解：轴， ， 点C是OD的中点， ， 轴于点D， 点B和点D横坐标相等， 将代入得， 点B坐标为， 设的解析式为， 将代入得， 解得， 的解析式为， 将代入，得， 点F坐标为， ， ； （3）解：①当M在y轴正半轴时，如图1， 在延长线上取点G，使得，在延长线上取点H使得， 过点N作轴于点I， 为等边三角形， ，， 在中，， ， ， 设，则，由勾股定理得 ， 即， 解得负值舍去， ，，， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ， ，， ， 点N坐标为， 为反比例函数图象上的点， ， 即，解得或， 为整数且在y轴正半轴上， ； ②当M在y轴负半轴时，如图2 在延长线上取点P，使得，在延长线上取点Q，使得， 过点N作轴于点R， 为等边三角形， ，， 在中，， ， ， 设，则，由勾股定理得， 即， 解得负值舍去， ，，， 同理可证：， ，， 在中，， ， ， ， ， 点坐标为， 为反比例函数上的点， ， 即，解得或， 为整数且在y轴负半轴上 综上所述，m的值为1或 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型八 一次函数与反比例函数综合（共11小题） 62．（23-24九年级上·河北保定·期末）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的纵坐标是，则k的值为（　　） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】此题考查的是反比例函数和一次函数的交点问题，掌握将交点坐标代入并联立方程是解决此题的关键． 根据题意联立两个函数得出，求解即可． 【详解】解：由题意知，反比例函数与一次函数的图象的一个交点的纵坐标是， ∴， 消去x得：， 解得：． 故选：B． 63．（22-23九年级上·广西梧州·期末）已知点A在双曲线上，点B在直线上，且A、B两点关于y轴对称，设点A的坐标为，则下列成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，关于轴对称的点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据关于轴对称的点的坐标特征求出点B的坐标，然后分别代入解析式进行整理即可． 【详解】解：∵A、B两点关于y轴对称，点A的坐标为， ∴点B的坐标为， 将点A的坐标，代入，得； 将点B的坐标，代入，得， ∴； 故选：B． 64．（24-25九年级上·河北保定·期末）题目：已知正比例函数与反比例函数．对于实数m，当时，；当时，，求m的取值范围．甲答：；乙答：；丙答：，下列判断正确的是（   ） A．只有甲答得对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、正比例函数的性质、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的综合、一元一次不等式组的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．先求出两个函数的交点坐标为，，再画出大致函数图象，结合函数图象可得当或时，；当或时，；然后结合函数图象建立不等式组，解不等式组求解即可得． 【详解】解：联立，解得或， 即正比例函数与反比例函数的交点坐标为，， 画出大致图象如下： 由函数图象可知，当或时，；当或时，， ∵对于实数，当时，；当时，， ∴或， 解得或， 故选：B． 65．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在同一个平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】此题考查反比例函数及一次函数图象的判断，根据a，b的符号判断两个函数图象经过的象限，再判断即可 根据一次函数与反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：A.由一次函数的图象可知：，；由反比例函数的图象可知：，矛盾，故不正确； B. 由一次函数的图象可知：，；由反比例函数的图象可知：，故正确； C. 由一次函数的图象可知：，；由反比例函数的图象可知：，矛盾，故不正确； D. 由一次函数的图象可知：，；由反比例函数的图象可知：，矛盾，故不正确； 故选B． 66．（22-23九年级上·广东佛山·期末）一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，当 时，（写出的取值范围） 【答案】或 【知识点】不等式的解集、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，不等式的解集等知识点，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 利用数形结合思想，观察函数图象即可发现，一次函数图象在反比例函数图象上方时的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：观察函数图象即可发现，在直线左侧以及轴和直线之间时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 当或时，， 故答案为：或． 67．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，一次函数和反比例函数的图像相交于点，，若，则x的取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图像的上下位置关系结合交点的横坐标即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数和反比例函数图像相交于，， ∴根据函数图像可知：当或时，一次函数图像在反比例函数图象下方，即． 故答案为：或． 68．（24-25九年级上·广东湛江·期末）如图，的直角顶点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，延长交轴于点，连接，当且的面积为4时，点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的综合应用，设，可得点的坐标，再求出直线的解析式，再求出点的坐标，根据的面积为4，列方程，即可解答，表示出直线的解析式是解题的关键． 【详解】解：设， 为直角三角形，且，轴， ，， 设直线的解析式为， 把，代入解析式可得， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，解得， ， 的面积为4， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 故答案为：． 69．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且一次函数y1的图象交x轴于点C，交y轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点B坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点A坐标代入反比例函数解析式，求出点A坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）结合函数图象，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点代入， 可得，， 所以反比例函数的解析式为， 将点代入， 可得，解得， 所以点A的坐标为， 将点A和点B的坐标代入得， ，解得， 所以一次函数的解析式为； （2）由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方， ∴当时，x的取值范围为或． 70．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，轴于点E，已知C点的坐标是，． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求的面积． (3)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围 【答案】(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为 (2)6 (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式即可求解； （2）根据即可求得； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为， 点在反比例函数上，且， ，代入得：，解得， 点的坐标为． 、两点在直线上，则，解得， 一次函数的关系式为； （2）解：； （3）解：由图象可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． 71．（24-25九年级上·广东清远·期末）已知：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，交点A、B的横坐标分别为和2． (1)求一次函数的表达式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)如图，连接、，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用； （1）先求解，，再利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）由，，结合函数图象可得答案； （3）如图，记与轴的交点为，求解，结合，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，交点A、B的横坐标分别为和2， ∴，， ∴，； ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式是． （2）解：∵，； ∴当时，x的取值范围为或； （3）解：如图，记与轴的交点为， ∵一次函数的解析式是， 当，则， 解得：， ∴， ∴． 72．（23-24九年级上·广东江门·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，， (2)陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由见解析 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用： （1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的坐标； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ； （2）解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下： 设当时，的解析式为，将、代入得： ， 解得， 的解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， 时，注意力指标都不低于32， ∵， 陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32. $专题05 反比例函数 题型1 反比例函数的概念（常考点） 题型5 求反比例函数解析式（重点） 题型2 反比例函数的图象（重点） 题型6 实际问题与反比例函数（重点） 题型3 反比例函数的性质（重点） 题型7 反比例函数与几何综合（难点） 题型4 反比例函数与图形的面积（难点） 题型8 一次函数与反比例函数综合（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 反比例函数的概念（共11小题） 1．（24-25九年级上·重庆江北·期末）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C．4 D． 3．（24-25九年级上·山西太原·期末）平面直角坐标系中的下列各点，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·全国·期末）对于反比例函数，当自变量的值从2增加到8时，函数的值（　　） A．增加了6 B．减少了6 C．增加了3 D．减少了3 5．（24-25九年级上·河南新乡·期末）已知等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，面积为20，那么y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）若函数的图象经过点，则的值为 ． 7．（24-25九年级上·天津和平·期末）反比例函数的图象经过点，当时，反比例函数取值范围是 ． 8．（24-25九年级上·山东烟台·期末）从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是 ． 9．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 10．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 11．（24-25九年级上·全国·期末）已知函数 (1)若y是x的正比例函数，求m的值． (2)若y是x的反比例函数，求m的值． 题型二 反比例函数的图象（共9小题） 12．（24-25九年级上·甘肃·期末）反比例函数的图像不经过（　　） A．第二、四象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第一、二象限 13．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．它的图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．它的图象不是中心对称图形 D．y随x的增大而增大 14．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）如图所示，该函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·河南信阳·期末）若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为 ． 17．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知反比例函数的图象上两点，，当时，有则的取值范围是 ． 18．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知点和点都在反比例函数（k为常数，）的图象上，且线段恰好过坐标原点，则的值为 ． 19．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为．    (1)求出点B的坐标． (2)请根据图象直接写出不等式的解集． 20．（23-24九年级上·甘肃陇南·期末）如图为反比例函数的部分图象． (1)由图可知，的取值范围是________，点________（填“在”或“不在”）该反比例函数的图象上； (2)将已知部分的函数图象绕原点顺时针旋转________即可得到未知部分的函数图象． 题型三 反比例函数的性质（共12小题） 21．（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）若反比例函数的图象在每个象限内函数值随的增大而减小，则（   ） A． B． C． D． 23．（22-23九年级上·山东济南·期末）若点在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，与的大小关系是（  ） A． B． C． D． 25．（24-25九年级上·广西梧州·期末）在反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）． 26．（24-25九年级上·吉林·期末）若反比例函数的图象分别位于第二、四象限，则k的值可能是 （写出一个即可）． 27．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是 ． 28．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系为 ．（用“”连接） 29．（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）已知反比例函数的图象经过第二、四象限，求的取值范围． 30．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）已知反比例函数（为常数，且）的图象在每个象限内随的增大而增大，求的取值范围． 31．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）已知反比例函数．点均在反比例函数的图象上，若，请写出的大小关系，简单说明理由． 32．（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求的取值范围； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值，的大小． 题型四 反比例函数与图形的面积（共9小题） 33．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，这是反比例函数的图象，点是反比例函数图象上任意一点，过点A作轴于点B，连接，则的面积是（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 34．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 35．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，作轴于点B，已知点B，C关于原点对称，的面积为6，则比例系数k为（   ） A． B． C．9 D．12 36．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知反比例函数的图像的一支如图所示，则的面积是 ． 37．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图所示，矩形的面积为6，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则 ． 38．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，在反比例函数的图象上有四点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，若，则k的值为 ． 39．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，在轴的正半轴上依次截取，过点，，，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，，，得直角三角形，，，，，并设其面积分别为，，，，，则 ． 40．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，求平行四边形的面积． 41．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，已知反比例函数的图象与直线交于点，两点分别在轴和轴的正半轴上，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出反比例函数的取值范围 ． 题型五 求反比例函数解析式（共5小题） 42．（24-25九年级上·山东德州·期末）已知点在反比例函数的图象上，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 43．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）若反比例函数（k为常数，且）的图像经过点，则k的值为（   ） A． B． C．3 D． 44．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）已知点和点都是反比例函数的图象上的点，则 ． 45．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为B，直线与反比例函数的图象交于点．求一次函数和反比例函数的表达式． 46．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，若从A市到B市汽车的行驶里程为240千米． (1)求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围； (2)若，求时间t的取值范围． 题型六 实际问题与反比例函数（共6小题） 47．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）为了响应新中考体育考试要求，某中学八年级（1）班用600元购买了某品牌篮球个，该品牌篮球的单价是元/个，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 48．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，即（k为常数且），其图象如图所示．当时，气体的密度为（   ） A． B． C． D． 49．（24-25九年级上·河南郑州·期末）电磁波的波长（单位：）与频率（单位：）是反比例函数关系，当频率时，波长．那么当时、波长 ． 50．（25-26九年级上·全国·期末）已知某蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，则用电器可变电阻的电阻R的取值范围是 ． 51．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求对应的的取值范围． 52．（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 题型七 反比例函数与几何综合（共9小题） 53．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，网格（每个小正方形的边长为）中有，，，，，，，，九个格点，点的坐标为，反比例函数的表达式为，对于，下列判断正确的是（   ） 若反比例函数的图象过点，则它必过点； 在九个格点中，若只有个在反比例函数图象的上方，则的整数值有个． A．都对 B．都不对 C．只有对 D．只有对 54．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，M是四边形对角线的交点，轴于点C，轴于点，反比例函数：的图象经过点M，M是的中点． (1)求经过点A的反比例函数的表达式； (2)若点D恰好也在图象上，证明：四边形是菱形． 55．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知、B是反比例函数图象上的两个点，轴于点C，若的面积为2． (1)求m的值； (2)以边作菱形，使点D在第二象限，点E在x轴负半轴上，求菱形的面积． 56．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，交反比例函数于点(第一象限)．若点的纵坐标为2，且． (1)求出反比例函数的解析式； (2)过线段上一点作轴的垂线，交反比例函数于点．连接，当为等腰直角三角形时，求点的坐标． 57．（24-25九年级上·全国·期末）如图，点A，B分别在x轴，y轴上，过A，B分别作垂线，交反比例函数 的图象于D，C，四边形为矩形，轴于F轴于E． (1)求证：． (2)请写出两个不同的关于a，b，x，y的关系式． (3)求证：． 58．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，双曲线与矩形的两边，分别交于D，E两点，连接，，，将沿翻折后得到． 探究一：如图，若D为中点，且点又恰好落在线段上，求证：平分． 探究二：如图，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积． 探究三：如图，若点D在直线上，是否存在m的值使点落在x轴上？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 59．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，轴上的点，作直线． (1)求反比例函数的解析式； (2)直线与轴交于点，连接，． ①在直线上找点，使得，求出所有点的坐标； ②点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点坐标． 60．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，点在反比例函数 的图象上，轴，交轴于点，与反比例函数 的图象交于点，． (1)求反比例函数 的解析式． (2)若点，是轴上的点，，，连接，，交轴于点，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，顶点 在直线上，求的长． (3)如图，在（2）的条件下，连接并延长交于点，过作轴于点，作交于点，作轴于点，作 轴，交 于点，那么四边形是正方形吗？ 若是，说明理由，并直接写出它的边长；若不是，请说明理由． 61．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点 (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，点B在反比例函数的图象上且在点A的右侧，过点B作轴于点D，连接、，交于点F，若点C是的中点，求的面积； (3)点N在反比例函数的图象上，点M坐标为，若是等边三角形，求m的值． 题型八 一次函数与反比例函数综合（共11小题） 62．（23-24九年级上·河北保定·期末）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的纵坐标是，则k的值为（　　） A．8 B． C．4 D． 63．（22-23九年级上·广西梧州·期末）已知点A在双曲线上，点B在直线上，且A、B两点关于y轴对称，设点A的坐标为，则下列成立的是（   ） A． B． C． D． 64．（24-25九年级上·河北保定·期末）题目：已知正比例函数与反比例函数．对于实数m，当时，；当时，，求m的取值范围．甲答：；乙答：；丙答：，下列判断正确的是（   ） A．只有甲答得对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 65．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在同一个平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 66．（22-23九年级上·广东佛山·期末）一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，当 时，（写出的取值范围） 67．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，一次函数和反比例函数的图像相交于点，，若，则x的取值范围是 ． 68．（24-25九年级上·广东湛江·期末）如图，的直角顶点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，延长交轴于点，连接，当且的面积为4时，点的坐标为 ． 69．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且一次函数y1的图象交x轴于点C，交y轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出x的取值范围． 70．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，轴于点E，已知C点的坐标是，． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求的面积． (3)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围 71．（24-25九年级上·广东清远·期末）已知：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，交点A、B的横坐标分别为和2． (1)求一次函数的表达式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)如图，连接、，求的面积． 72．（23-24九年级上·广东江门·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由. $