广东省深圳市2025-2026学年高三上学期数学阶段性训练

2025—2026学年高三第一学期阶段性训练解析 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设，（），若，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】， 要想与0比较大小，则虚部为0，∴，∴，此时，满足要求； 2．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，. 3．若角的终边过点，则( ) A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】由角的终边过点，得， 所以． 4．已知是定义域为的奇函数，且当时，，若，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于是定义域为的奇函数，得，，则； ①若，得，得，矛盾，舍去； ②若，根据，知，解得，复合条件 综上可得. 5．已知向量与的夹角为，，则( ) A． B．0 C． D．2 【答案】D 【解析】，所以，则． 6．已知正四棱台上、下底面的面积分别为4和144，侧面等腰梯形的高为13，则该四棱台的体积为( ) A． B．688 C． D．888 【答案】B 【解析】如图，正四棱台，取上下底面正方形的中心，， 再取,分别为,的中点，过作， 则由题意可得，,，,则， 则在中，， 则该四棱台积为. 7．函数图象向左平移个单位得到曲线，若，则的最小值为( ) A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】，， 得①，得，，当，； ②，得，，当，； 综上上述，可得. 8．如图，在边长为2的正六边形中，点为正六边形的中心，点是正六边形内一个动点（含边界），则的最大值是( ) A． B．3 C．6 D． 【答案】C 【解析】在如图所示的正六边形中，已知四边形为平行四边形，则, 则 即当点与点重合时，的最大值是6. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点与点关于点对称， 若，,,的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则,,,这组数满足( ) A．平均数为 B．中位数为 C．方差为 D．极差为 【答案】BCD 【解析】由题意知，则，所以这组数的平均数为，中位数为， 方差为，极差为，故BCD正确，A错误． 10．已知圆:，圆:，直线:，直线与圆相交于,两点，则以下选项正确的是（ ） A．若时，圆与圆有两条公切线 B．若时，两圆公共弦长为4 C．弦长的最小值为 D．若圆上恰有两个点到直线的距离等于2，则 【答案】BD 【解析】A：若时，圆:，此时圆心,半径，圆:， 即，圆心,半径，，此时两圆相内切，公切线有1条， 选项A错误； B：若时，圆:，即，此时圆心,半径， 联立两圆的方程：，将两式相减得：：， 此时直线过圆的圆心，两圆公共弦长为4； C：直线:，，显然直线过定点，连结,,则为直径， 过点作的垂线交圆于,两点，此时， 但是由于直线的斜率存在，故,选项C错误； D：若圆上恰有两个点到直线的距离等于2，直线过定点，点在圆内部，则， 即，解得，选项D正确； 11.如图所示，在棱长为2的正方体中，,分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A.直线与平面所成角的正弦值为 B.点到平面的距离为2 C.直线与所成角的正切值是2 D.平面截正方体所得的截面面积为 【答案】ABD 【解析】如图建立空间直角坐标系：设D点为原点，为轴，为轴，为轴. ，，，，， 对于A，平面的法向量为,直线的方向向量为, 设直线与平面所成角，则,故A正确. 对于B，,设面的法向量为, ，,令得,距离，故B正确. 对于C，，，设直线与所成角为， 则 所以，，故C不正确； 对于D，因为,连,，所以平面截正方体所得的截面是等腰梯形, 上底,下底,腰，所以面积,故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知抛物线：的焦点为，点在上，且，则到轴的距离为________． 【答案】 【解析】在抛物线：中，，则，所以准线方程为． 设点的坐标为，由抛物线的定义，已知，即点到焦点的距离为，那么点到准线的距离也为，点到准线的距离为，所以，解方程，可得，点到轴的距离就是点横坐标的绝对值，因为，所以点到轴的距离为． 13．已知，，则_______． 【答案】； 【解析】由于，得，根据和差化积公式： ，得，由于，， 得，于是，得 14.已知双曲线的左､右焦点分别为，,过的直线交双曲线左支于，两点， 且，则双曲线的离心率_______． 【答案】 【解析】设，则，，， 由双曲线定义得：，解得， 所以，，，则为直角三角形，且， 中，， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知函数在处的切线垂直于轴． (1)求实数的值； (2)求函数的极小值． 【解析】（1）由,可得，则， 由于，∵，故． （2），，， 则，，随的变化如下： 故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故的极小值为． 16.(15分)设数列的前项和为，且． (1)证明：为等比数列； (2)设数列，数列的前项和，求的取值范围． 【解析】(1), ①当时，，得， ②当时，，，两式相减得：，得，， 则是以为首项，为公比的等比数列； (2)由(1)知：，，则， 则， 显然，显然数列是递增数列，于是, 综上可得 17.（15分）记的内角,,,的对边分别为，，，． (1)求； (2)若的角平分线交边于点，，，求的周长． 【解析】（1）由正弦定理，得，∵, ∴，∵,∴， ∴，∴或．∵,∴，∴，即． （2）∵，∴， ∴，在中，由余弦定理可得， ，或 ∴的周长为． 18.(17分)如图，在多面体中，平面，平面平面，四边形是正方形，是正三角形，，． （1）证明：平面； （2）若直线与底面的交点为，直线上是否存在点， 使得平面与平面的夹角为?若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 解析】(1)取中点，连接．因为是正三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面,面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面,面，所以平面． 因为四边形为正方形，所以． 又因为平面平面，所以平面． 又因为,面,面，所以平面平面． 因为平面，所以平面． (2)为且，所以四边形为梯形，延长交的延长线于． 平面，所以平面． 以为原点，,,分别为,,,立如图所示的空间直角坐标系． ,,,,,，,， 设平面的法向量为， 则，即，令，可得， 设，,则， 设平面的法向量为， 则，即 令，可得， 则， 解得，故． 19．（17分）在一个足够大的不透明袋中进行一个轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸出红球．则试验成功；若摸出白球，则试验失败；若摸出黑球，则进入判定环节：判定时，放回两个黑球取出一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功．若试验成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或轮试验进行完．已知第轮试验开始时，袋中有1个红球，个黑球，个白球． (1)求第1轮试验成功的概率； (2)某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第轮试验成功志愿者的比例，记，发现与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例； (3)记试验结束时，试验成功的概率为，证明：． 参考数据：，，，． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【解析】（1）第1轮试验中有1个红球，1个黑球，2个白球， 摸出红球，即试验成功的概率为．摸出黑球且试验成功的概率为， 所以第1轮试验成功的概率为． （2）， 所以，则所求经验回归方程为． 当试验轮数足够大，即足够大时，接近于0，则接近于0.782，故预测成功志愿者的比例为0.782． （3）依题意，轮试验失败的概率为，设第轮试验失败的概率为， 则，发生有两种可能，直接摸出白球，概率为， 或者摸出黑球后再摸出白球，概率为， 所以， 则，因此． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高三第一学期阶段性训练 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设，（），若，则( ) A. B. C. D. 2．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 3．若角的终边过点，则( ) A． B． C． D．3 4．已知是定义域为的奇函数，且当时，，若，则( ) A． B． C． D． 5．已知向量与的夹角为，，则( ) A． B．0 C． D．2 6．已知正四棱台上、下底面的面积分别为4和144，侧面等腰梯形的高为13，则该四棱台的体积为( ) A． B．688 C． D．888 7．函数图象向左平移个单位得到曲线，若，则的最小值为( ) A． B．1 C． D．2 8．如图，在边长为2的正六边形中，点为正六边形的中心，点是正六边形内一个动点（含边界），则的最大值是( ) A． B．3 C．6 D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点与点关于点对称， 若，,,的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则,,,这组数满足( ) A．平均数为 B．中位数为 C．方差为 D．极差为 10．已知圆:，圆:，直线:， 直线与圆相交于,两点，则以下选项正确的是（ ） A．若时，圆与圆有两条公切线 B．若时，两圆公共弦长为4 C．弦长的最小值为 D．若圆上恰有两个点到直线的距离等于2，则 11.如图所示，在棱长为2的正方体中，,分别为棱，的中点， 则下列结论正确的是（ ） A.直线与平面所成角的正弦值为 B.点到平面的距离为2 C.直线与所成角的正切值是2 D.平面截正方体所得的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知抛物线：的焦点为，点在上，且，则到轴的距离为________． 13．已知，，则_______． 14.已知双曲线的左､右焦点分别为，,过的直线交双曲线左支于，两点， 且，则双曲线的离心率_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知函数在处的切线垂直于轴． (1)求实数的值； (2)求函数的极小值． 16.(15分)设数列的前项和为，且． (1)证明：为等比数列； (2)设数列，数列的前项和，求的取值范围． 17.（15分）记的内角,,,的对边分别为，，，． (1)求； (2)若的角平分线交边于点，，，求的周长． 18.(17分)如图，在多面体中，平面，平面平面，四边形是正方形，是正三角形，，． （1）证明：平面； （2）若直线与底面的交点为，直线上是否存在点， 使得平面与平面的夹角为?若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 19．（17分）在一个足够大的不透明袋中进行一个轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸出红球．则试验成功；若摸出白球，则试验失败；若摸出黑球，则进入判定环节：判定时，放回两个黑球取出一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功．若试验成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或轮试验进行完．已知第轮试验开始时，袋中有1个红球，个黑球，个白球． (1)求第1轮试验成功的概率； (2)某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第轮试 验成功志愿者的比例，记，发现与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例； (3)记试验结束时，试验成功的概率为，证明：． 参考数据：，，，． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $