专题5.1 轴对称图形（高效培优讲义）数学沪科版2024八年级上册

专题5.1 轴对称图形 教学目标 1.理解轴对称图形、对称轴的定义，能识别常见轴对称图形并找出对称轴，掌握轴对称图形的性质（对称轴垂直平分对应点连线）。 2.通过观察、折叠、作图等操作，培养几何直观与动手实践能力，学会运用轴对称性质解决简单图形问题。 3.感受轴对称图形的美学价值，体会数学与生活的联系，增强对几何学习的兴趣。 教学重难点 一、教学重点 1.轴对称图形与对称轴的定义辨析及实际识别。 2.轴对称图形的核心性质（对应点、对应线段、对应角的关系）。 3.利用性质进行简单的轴对称图形作图（如作对称轴、补全图形）。 二、教学难点 1.区分 “轴对称图形” 与 “两个图形关于某直线对称” 的概念。 2.复杂图形（如多边形、组合图形）中对称轴的准确寻找。 3.运用轴对称性质解决实际应用问题（如最短路径、图形设计） 知识点01 轴对称图形 1.定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴 . 我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称 . 2. 几种常见的轴对称图形及对称轴 名称 图形 对称轴 对称轴条数 线段 线段本身所在直线和过线段中点的垂线 2 角 角平分线所在的直线 1 等腰三角形 底边上的高所在直线 1 等边三角形 各条边上的高所在直线 3 长方形 经过对边中点的直线 2 正方形 (1)经过对边中点的直线 (2)对角线所在的直线 4 圆 经过圆心的任意一条直线 无数 正n 边形 n为奇数：过顶点与对边中点的直线；n为偶数：过两条对边中点的直线或过相对顶点的直线 n 【即学即练】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 知识点02 轴对称 1.定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线( 成轴) 对称，这条直线就是对称轴. 折叠后重合的两点叫作对应点(也叫对称点). 2.轴对称与轴对称图形的区别与联系 名称 轴对称 轴对称图形 区 别 对象不同 两个图形 一个图形 意义不同 两个图形的特殊位置关系 一个具有特殊形状的图形 对称点位置不同 对称点分别在两个图形上 对称点在同一个图形上 对称轴位置不同 两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点) 轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部 对称轴数量不同 只有一条对称轴 有一条或多条 联系 (1)定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠 (2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形. 把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称 【即学即练】如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是 （填序号）． 知识点03 线段的垂直平分线 1.定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，又叫作线段的中垂线. 2.几何语言：如图，∵DC⊥AB，AC＝BC， ∴ DC是AB的垂直平分线.反过来也成立：∵DC是AB的垂直平分线，∴ DC⊥AB，AC＝BC. 知识点04 两图形成轴对称的性质 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，如图15.1-5 ；成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分 . 特别地：成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行或者重合或者相交于某一点，且该点一定在对称轴上. 【即学即练】如图，与关于直线l对称，且，． (1)若点B到直线l的距离为5，则B、E两点间的距离为______； (2)求的度数． 知识点05 运用轴对称的性质进行几何作图 1.方法：几何图形都可以看作由点组成. 对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)关于对称轴的对称点，再依次连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 2.步骤：画轴对称图形的方法可简单归纳为“一找二画 三连”. 找：在原图形上找特殊点； 画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点； 连：依次连接各对称点. 【即学即练】作出已知图形关于给定直线的对称图形．（保留作图痕迹，不写作法） 知识点06 关于坐标轴对称的点的坐标特点 1. 关于坐标轴对称的点的坐标规律 (1)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，-y)，其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数； (2)点(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(-x，y)，其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数. 2. 关于非坐标轴对称的点的坐标规律(拓展) (1)点(a，b)关于直线x＝m对称的点为(2m-a，b)； (2)点(a，b)关于直线y＝n对称的点为(a，2n-b)； (3)点(a，b)关于原点对称的点为(-a，-b)； (4)点(a，b)关于直线 y=x 对称的点为(b，a). 【即学即练】已知点，，试根据下列条件求出，的值． (1)，两点关于轴对称； (2)，两点关于轴对称； 知识点07 作已知图形关于坐标轴对称的图形 作已知图形关于坐标轴对称的图形的一般步骤: 1.找出已知图形上的关键点,如三角形的各顶点; 2.求出关键点关于x轴或y轴对称的点的坐标; 3.根据所求的对称点的坐标在平面直角坐标系内描出各点; 4.顺次连接所描出的点 【即学即练】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，， (1)在图中画出平面直角坐标系； (2)画出与关于x轴对称的； (3)画出与关于y轴对称的 题型01 在网格中构造轴对称图形 【例1-1】如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ） A．2个 B．3个 C．5个 D．7个 【例1-2】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图所示，在直角坐标系中，点，点，点． (1)作出关于轴的对称图形； (2)若内有一点，写出点在（1）变换后的对应点的坐标． 【变式1-1】如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ）个． A． B． C． D． 【变式1-2】在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个． A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1-3】如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出 个格点三角形与成轴对称． 【变式1-4】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在正方形网格的格点上． (1)把向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，请画出； (2)请画出关于轴对称的，并写出点的坐标． 题型02 利用轴对称的性质求最值 【例2-1】（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，中，，，的面积14．点、、分别是三边，，上的动点，则周长的最小值为 ． 【例2-2】（24-25八年级上·安徽六安·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点在格点上． (1)作出关于x轴对称的； (2)在y轴上求作点D，使得的值最小，点D的坐标为______． 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在的正方形网格中，的顶点都在网格线的交点上． (1)请画出关于直线对称的，点，，的对应点分别为，，． (2)请在直线上找一点，使得的值最小． 【变式2-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中的位置如图，点，点，点． (1)将向左平移4个单位得到（点A、B、C的对应点分别为、、），画出； (2)和关于x轴对称（点、、的对称点分别为、、），画出； (3)在直线上画出一点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标． 题型03 由对称轴求坐标中字母的值或取值范围 【例3-1】（24-25八年级上·安徽·期末）点与关于轴对称，则的值为（    ） A． B． C．8 D． 【例3-2】（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点关于y轴的对称点Q落在内（不包括边），则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽宿州·月考）若点关于轴的对称点为点，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）已知点与点关于轴对称，求的值． 【变式3-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且，．若点P为线段AB上的一个动点，横坐标为m，且P关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界）． （1）点C的坐标为 ． （2）点P的横坐标m的取值范围为 ． 题型04 对称轴的应用 【例4-1】（求图形面积）（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，已知， (1)画出关于轴对称的图形，并写出的坐标． (2)求的面积． 【例4-2】（折叠问题）（25-26八年级上·安徽池州·开学考试）在四边形纸片中，，， 将纸片沿折叠得到如图所示图形． （1）若， 则 °． （2）将图1中的四边形纸片沿折叠得到如图2所示图形， 若，则 °． 【例4-3】（轴对称在实际问题中的应用）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， ， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【变式4-1】从镜中看到六位数是“”，则该六位数应该是 ． 【变式4-2】太空舱是飞船进入轨道后航天员工作和生活的场所．如图是一个太空舱的简易图，它的对称轴有 条． 【变式4-3】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数为 ．    【变式4-4】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内部，则图中的度数为 ． 【变式4-5】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，将三角形的纸片沿折叠，点A落在外的点处，且 ． （1）若，，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 【变式4-6】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积． 【变式4-7】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点及的顶点都在格点上． (1)在图中作出，使得与关于x轴对称，其中点A、B、C的对应点分别为D、E、F． (2)直接写出点D、E、F的坐标：D ___________；E ___________；F ___________． (3)求的面积． 【变式4-8】【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 题型05 与对称有关的综合题 【例5】（24-25八年级上·安徽宿州·月考）如图，直线与直线交于点，与轴、轴分别交于点和点， (1)求的值； (2)直接写出二元一次方程组的解； (3)若点是轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______，点D的坐标是______． (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴．给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将关于直线对称得到点，则称点是关于轴和直线的双反射点． (1)已知点， ①若点，则关于轴和直线的双反射点的坐标是______； ②若点，其中，点关于轴和直线的双反射点，求线段的长度． (2)若点，，是否存在点，使得点A关于轴和直线的双反射点，满足，．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】【问题提出】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是．在轴上找一点，使得的值最小．补全图形，并求出点的坐标． 【问题解决】 （2）如图2，在校园规划中，校门在坐标原点位置，教学楼在位置，操场在位置，图书馆在的中点位置．为了方便师生通行，要修建一条从过的垂直道路（即），点在上，请求出点的坐标，以便确定道路的终点位置． 一、单选题 1．某正多边形有10条对称轴，则从该正多边形的某个顶点画对角线，能把该正多边形分成多少个三角形(    ) A．7 B．10 C．8 D．9 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图方格纸网格线上的八条等长线段形成一个轴对称图形（图中实线部分）．其中有四条线段标上了序号，若擦去两条线段，剩下的图形就不是轴对称图形，那么擦去的两条线段是（　　） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 3．（22-23七年级下·山西运城·期末）社区准备在红旗街道旁设立一个读书亭方便居民区A，B阅读交流，要使A，B两小区到读书亭的距离之和最小，则读书亭C的位置应该在（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·北京·期中）已知是平面内四个点，如果能用两种不同长度的线段将这四个点进行两两连接，使得任意三点所连线段都能构成等腰三角形，我们就称这四个点及它们之间的连线构成“二分对称图形”．例如：如图就是一种“二分对称图形”，其中，、、均为等腰三角形，且满足，，．则满足条件的“二分对称图形”共有（    ）．（形状相同的图形算作同一种） A．5种 B．6种 C．7种 D．7种以上 5．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，中，，，顶点为，顶点为，顶点为，将关于轴轴对称变换得到，再将关于直线（即过垂直于轴的直线）轴对称变换得到，再将关于直线轴对称变换得到，再将关于直线轴对称变换得到，……，按此规律继续变换下去，则点的坐标为（） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使黑色图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个．    8．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度后，得到的点关于轴的对称点的坐标是 ． 9．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，是高，将沿所在直线翻转，点C与点D重合，则图中有 组全等三角形． 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则的值是 ． 11．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，则点的坐标为 ． 12．矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为 ． 13．如图，直线与直线相交，，点P在内，用下面的方法作P 的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…， 如此继续，得到一系列点，，，，…，，若与P重合，则n的最小值为 _______． 三、解答题 14．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）已知直线． (1)求它关于轴对称的直线所对应的函数表达式； (2)将直线向左平移3个单位长度，求平移后所得直线所对应的函数表达式． 15．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上， (1)直接写出的面积_______； (2)作出关于直线对称的； 16．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在网格线的交点上，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)请在网格中建立平面直角坐标系，并写出点C关于x轴的对称点的坐标； (2)画出关于y轴的对称图形． 17．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在由小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于直线对称的； (2)求的面积． 18．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)在平面直角坐标系中画出与关于轴对称的； (2)在第三象限求作一点，使的面积为6，并写出点的坐标（写出一个符合条件的点即可）． 19．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的； (2)在轴上求作一点使点到两点的距离和最小，请标出点，并直接写出点的坐标：______．（保留作图痕迹，不写作法） 20．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)分别画出关于轴、轴对称的，； (2)分别在轴、轴上找一点，，使得四边形的周长最小，并求出点，的坐标． 21.如图，在平面直角坐标系中，解答下列问题： (1)若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，请你在同一平面直角坐标系中描出对应的点，并依次连接这三个点，所得的与有怎样的位置关系？ (2)求的面积； (3)已知为轴上一点，若的面积是的面积的倍，求此时点的坐标． 22．综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？ 【方法探究】 （）小明按照课堂上学习的方法在图先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标； 【类比推广】 （）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址问题”放在坐标系中，设计了如下问题：如图，在平面直角坐标系中，，，直线经过点，且与轴平行，分别在轴和直线m上找点，使得轴，且的值最小，请在图中画出点和点的位置，并求出点的坐标； 【拓展创新】 （）如图，在平面直角坐标系中，，，点线段上，且，交于点，求点的坐标． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 轴对称图形 教学目标 1.理解轴对称图形、对称轴的定义，能识别常见轴对称图形并找出对称轴，掌握轴对称图形的性质（对称轴垂直平分对应点连线）。 2.通过观察、折叠、作图等操作，培养几何直观与动手实践能力，学会运用轴对称性质解决简单图形问题。 3.感受轴对称图形的美学价值，体会数学与生活的联系，增强对几何学习的兴趣。 教学重难点 一、教学重点 1.轴对称图形与对称轴的定义辨析及实际识别。 2.轴对称图形的核心性质（对应点、对应线段、对应角的关系）。 3.利用性质进行简单的轴对称图形作图（如作对称轴、补全图形）。 二、教学难点 1.区分 “轴对称图形” 与 “两个图形关于某直线对称” 的概念。 2.复杂图形（如多边形、组合图形）中对称轴的准确寻找。 3.运用轴对称性质解决实际应用问题（如最短路径、图形设计） 知识点01 轴对称图形 1.定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴 . 我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称 . 2. 几种常见的轴对称图形及对称轴 名称 图形 对称轴 对称轴条数 线段 线段本身所在直线和过线段中点的垂线 2 角 角平分线所在的直线 1 等腰三角形 底边上的高所在直线 1 等边三角形 各条边上的高所在直线 3 长方形 经过对边中点的直线 2 正方形 (1)经过对边中点的直线 (2)对角线所在的直线 4 圆 经过圆心的任意一条直线 无数 正n 边形 n为奇数：过顶点与对边中点的直线；n为偶数：过两条对边中点的直线或过相对顶点的直线 n 【即学即练】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 知识点02 轴对称 1.定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线( 成轴) 对称，这条直线就是对称轴. 折叠后重合的两点叫作对应点(也叫对称点). 2.轴对称与轴对称图形的区别与联系 名称 轴对称 轴对称图形 区 别 对象不同 两个图形 一个图形 意义不同 两个图形的特殊位置关系 一个具有特殊形状的图形 对称点位置不同 对称点分别在两个图形上 对称点在同一个图形上 对称轴位置不同 两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点) 轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部 对称轴数量不同 只有一条对称轴 有一条或多条 联系 (1)定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠 (2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形. 把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称 【即学即练】如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是 （填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查了对轴对称概念的理解和应用，如果两个图形沿着某一条直线对折后能够重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，据此即可得出答案． 【详解】解：对折后不能重合， ③对折后能重合， 故答案为：③． 知识点03 线段的垂直平分线 1.定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，又叫作线段的中垂线. 2.几何语言：如图，∵DC⊥AB，AC＝BC， ∴ DC是AB的垂直平分线.反过来也成立：∵DC是AB的垂直平分线，∴ DC⊥AB，AC＝BC. 知识点04 两图形成轴对称的性质 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，如图15.1-5 ；成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分 . 特别地：成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行或者重合或者相交于某一点，且该点一定在对称轴上. 【即学即练】如图，与关于直线l对称，且，． (1)若点B到直线l的距离为5，则B、E两点间的距离为______； (2)求的度数． 【答案】(1)10 (2)54 【分析】本题考查轴对称图形的性质、三角形内角和定理： （1）B到直线l的距离等于E到直线l的距离； （2），再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵与关于直线l对称， ∴B到直线l的距离等于E到直线l的距离， ∴B、E两点间的距离为， 故答案为：10； （2）解：∵与关于直线l对称， ∴， ∴在中，． 知识点05 运用轴对称的性质进行几何作图 1.方法：几何图形都可以看作由点组成. 对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)关于对称轴的对称点，再依次连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 2.步骤：画轴对称图形的方法可简单归纳为“一找二画 三连”. 找：在原图形上找特殊点； 画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点； 连：依次连接各对称点. 【即学即练】作出已知图形关于给定直线的对称图形．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】首先确定A、B、C三点关于l的对称点的位置，然后再连接即可． 【详解】如图所示，就是所求的图形. 知识点06 关于坐标轴对称的点的坐标特点 1. 关于坐标轴对称的点的坐标规律 (1)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，-y)，其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数； (2)点(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(-x，y)，其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数. 2. 关于非坐标轴对称的点的坐标规律(拓展) (1)点(a，b)关于直线x＝m对称的点为(2m-a，b)； (2)点(a，b)关于直线y＝n对称的点为(a，2n-b)； (3)点(a，b)关于原点对称的点为(-a，-b)； (4)点(a，b)关于直线 y=x 对称的点为(b，a). 【即学即练】已知点，，试根据下列条件求出，的值． (1)，两点关于轴对称； (2)，两点关于轴对称； 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题主要考查了关于x，y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． （1）关于y轴对称，y不变，x变为相反数据此求解即可； （2）关于x轴对称，x不变，y变为相反数据此求解即可； 【详解】（1）解：∵，两点关于轴对称， ∴，； （2）解：∵，两点关于轴对称， ∴，； 知识点07 作已知图形关于坐标轴对称的图形 作已知图形关于坐标轴对称的图形的一般步骤: 1.找出已知图形上的关键点,如三角形的各顶点; 2.求出关键点关于x轴或y轴对称的点的坐标; 3.根据所求的对称点的坐标在平面直角坐标系内描出各点; 4.顺次连接所描出的点 【即学即练】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，， (1)在图中画出平面直角坐标系； (2)画出与关于x轴对称的； (3)画出与关于y轴对称的 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，平面直角坐标系，熟练掌握作轴对称图形的方法是解题的关键． （1）根据，，先确定原点，再画坐标轴即可． （2）根据关于轴对称的点的坐标特征写出点、、的对应点、、的坐标，然后描点即可得到． （3）根据关于轴对称的点的坐标特征写出点、、的对应点、、的坐标，然后描点即可得到． 【详解】（1）解：坐标系如图所示； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求． 题型01 在网格中构造轴对称图形 【例1-1】如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ） A．2个 B．3个 C．5个 D．7个 【答案】B 【分析】此题考查轴对称的性质，解题关键在于画出图形. 根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向和纵向两种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与成轴对称的格点三角形，从而得解． 【详解】解：如图所示，对称轴有三种位置，与成轴对称的格点三角形有3个， 故选：B． 【例1-2】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图所示，在直角坐标系中，点，点，点． (1)作出关于轴的对称图形； (2)若内有一点，写出点在（1）变换后的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接，，即可； （2）根据关于对称的两点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得结论． 【详解】（1）解：如图，分别作出，，关于轴对称的对应点，，，连接，，， 则即为所作； （2）∵和关于轴对称，且是内部一点，点是它在内部的对应点， ∴与关于轴对称， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【变式1-1】如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了在网格中画轴对称图形，根据轴对称的定义，画出所有的轴对称图形，然后得出答案即可． 【详解】解：如图所示：都是符合题意的图形． 综上可知：与成轴对称的格点三角形一共有8个． 故选：D． 【变式1-2】在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图．根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解. 【详解】解：如图，最多能画出个格点三角形与成轴对称． 故选：B． 【变式1-3】如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出 个格点三角形与成轴对称． 【答案】6 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 故答案为：6． 【变式1-4】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在正方形网格的格点上． (1)把向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，请画出； (2)请画出关于轴对称的，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】本题考查点坐标平移，画出平移后图形，画出轴对称图形，关于轴对称点坐标特点等． （1）根据题意可知，后根据平移写出，后找出点，依次连接即可画出； （2）先求出，顺次连接即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∵把向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， ∴，画图如下： （2）解：∵， ∴关于轴对称的中，顺次连接画图如下： 题型02 利用轴对称的性质求最值 【例2-1】（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，中，，，的面积14．点、、分别是三边，，上的动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短距离、等腰三角形的性质，熟练掌握利用轴对称的性质解决最短距离问题是解题的关键． 过点作于点，作点关于的对称点，关于的对称点， 连接，交于点，交于点，证得是等边三角形，则，进而证得周长的最小值为的长，根据的面积，求得，进而得到周长的最小值即可． 【详解】解：过点作于点，作点关于的对称点，关于的对称点， 连接，交于点，交于点，如图： 、， 、， ， ， ， 是等边三角形， ， 、， 周长的最小值为的长， ，即， 解得， ， 因此周长的最小值为， 故答案为：． 【例2-2】（24-25八年级上·安徽六安·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点在格点上． (1)作出关于x轴对称的； (2)在y轴上求作点D，使得的值最小，点D的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）取点B关于y轴的对称点，连接，交y轴于点D，则点D即为所求，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，取点B关于y轴的对称点，连接，交y轴于点D，连接， 此时，为最小值， 则点D即为所求． 由图可得，点D的坐标为 故答案为： 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在的正方形网格中，的顶点都在网格线的交点上． (1)请画出关于直线对称的，点，，的对应点分别为，，． (2)请在直线上找一点，使得的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题等知识点，掌握轴对称的性质解题的关键． （1）分别作出点关于直线l的对称点，，，再顺次连接即可解答； （2）如图：连接交直线l于点F即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图，点即所求． 【变式2-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中的位置如图，点，点，点． (1)将向左平移4个单位得到（点A、B、C的对应点分别为、、），画出； (2)和关于x轴对称（点、、的对称点分别为、、），画出； (3)在直线上画出一点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析， 【分析】本题考查作图平移变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会由轴对称解决最短问题． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可解决问题． （2）分别作出各点关于轴的对称点，再顺次连接； （3）作点关于直线对称点，连接交直线于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：如图所示．点坐标． 故答案为：． 题型03 由对称轴求坐标中字母的值或取值范围 【例3-1】（24-25八年级上·安徽·期末）点与关于轴对称，则的值为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，列式计算即可． 本题考查了点的对称，负整数指数幂公式，根据对称点的坐标特点，规范计算即可． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴， 解得， 故， 故选：D． 【例3-2】（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点关于y轴的对称点Q落在内（不包括边），则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数解析式，轴对称问题． 分别求出直线、直线的解析式，求出点Q的运动范围，再根据轴对称的性质即可求出a的取值范围． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得： 解得： ∴直线的解析式为， 当时，； 设直线的解析式为， 将，代入得： 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，； 即点Q在范围内运动， ∵点关于y轴的对称点Q， ∴ 故选：A． 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽宿州·月考）若点关于轴的对称点为点，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系的点关于x轴对称的点的特点，“关于x轴对称，横同纵反”，还考查了二元一次方程组的解法，灵活掌握运用这些知识点是解题的关键． 根据题意可知点P和点关于轴对称，“横同纵反”，可以得到关于a和b的方程组，解出a和b，可求得点P的坐标． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴， 解得， ∴点P的坐标为， ∴点P的坐标为， 故选：B． 【变式3-2】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）已知点与点关于轴对称，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，有理数的乘方，代数式求值，解决本题的关键是掌握关于x轴对称的点的坐标特征． 根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”，列方程组求解即可； 【详解】解：由题意可知： 解得： 则 ． 【变式3-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且，．若点P为线段AB上的一个动点，横坐标为m，且P关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界）． （1）点C的坐标为 ． （2）点P的横坐标m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形的轴对称变化，正确理解题意灵活综合运用知识是解题的关键． （1）利用一次函数解析式求出B点坐标，可知长度，结合已知条件，可求出长度，则C点坐标可求； （2）已知，且D在直线AB上，则D点坐标可求，进而可求解析式，因为点P为线段AB上的一个动点，横坐标为m，且P关于x轴的对称点Q，可用m表达出Q坐标，根据Q总在内（不包括边界），列出不等式求解即可． 【详解】 解：（1）在中， 当时，， 当时，即，， ， ∵C在y轴的正半轴上，， ， 故答案为：； （2）， ∴点D在线段的垂直平分线上，即在直线上， 在中， 当时，即，解得：， ； 设直线解析式为， ， ， ∴直线解析式为， 同理可得直线的解析式为， ∵点P为线段上的一个动点，且其横坐标为m， ， ∵P、Q关于x轴对称， ， ∵点Q总在内（不包括边界）， ， 解得：． 故答案为：． 题型04 对称轴的应用 【例4-1】（求图形面积）（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，已知， (1)画出关于轴对称的图形，并写出的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)图形见解析， (2)5 【分析】本题考查轴对称变换、割补法求面积．掌握轴对称变换的性质，将不规则图形转化成规则图形求面积是解题关键． （1）根据轴对称变换的性质找出对应点，依次连接即可． （2）根据割补法，的面积可转化成边长为4的正方形和三个三角形的面积之差． 【详解】（1）解：如图， 点坐标为． 答：点的坐标为． （2）解：， 答：面积为5． 【例4-2】（折叠问题）（25-26八年级上·安徽池州·开学考试）在四边形纸片中，，， 将纸片沿折叠得到如图所示图形． （1）若， 则 °． （2）将图1中的四边形纸片沿折叠得到如图2所示图形， 若，则 °． 【答案】 45 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． （1）根据折叠得出，，根据平行线的性质求出，再根据角度间关系求出结果即可； （2）根据折叠可知：，结合对顶角性质得出，根据，，求出结果即可． 【详解】解：（1）根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：80； （2）根据折叠可知：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：45． 【例4-3】（轴对称在实际问题中的应用）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， ， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】作图见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、两点之间线段最短以及平移的性质．作关于直线的对称点，根据轴对称的性质可知，再将转化为，根据两点之间线段最短，得出的最小值为的长度；在问题拓展中，通过平移的方法，将桥的长度固定，把问题转化为求两点之间的最短路径问题，利用了平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置的性质即可画出此时桥的位置． 【详解】根据轴对称的性质可知，， ， 根据两点之间线段最短， 故选①， 最小值为， 故答案为：， ① ，； 桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短． 【变式4-1】从镜中看到六位数是“”，则该六位数应该是 ． 【答案】367295 【分析】根据轴对称的性质，实际的数字和镜面中的数字是关于镜面对称的，对称轴是一条竖直的直线，由题中图分析可得答案． 【详解】解：∵是从镜子中看， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∴由图分析可得实际数字为367295． 故答案为：367295． 【变式4-2】太空舱是飞船进入轨道后航天员工作和生活的场所．如图是一个太空舱的简易图，它的对称轴有 条． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟知对称轴是对应点连接线段的垂直平分线是解决问题的关键．观察图形，结合格点的特征，根据轴对称的性质找出对称轴，画出即可． 【详解】解：如图，共有2条对称轴， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数为 ．    【答案】/70度 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角是解题的关键；由折叠的性质可知：，根据三角形外角的性质可知：，，然后问题可求解． 【详解】解：如图，    由折叠的性质可知：， 根据三角形外角的性质可知：，， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式4-4】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内部，则图中的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质、折叠的性质． 求出即可解决问题． 【详解】如图，连接． 在中，， ∵，， ∴； 故答案为：． 【变式4-5】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，将三角形的纸片沿折叠，点A落在外的点处，且 ． （1）若，，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 【答案】 /48度 /80度 【分析】本题考查旋转的性质、三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理，求出，根据平行线的性质证得，根据翻转的性质证得； （2）设交于F，由证得，设为，则由翻折可知，，列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：， 将三角形的纸片沿折叠，点A落在外的点处， 故答案为：； （2）解：设交于F，如图： 将三角形的纸片沿折叠，点A落在外的点处， 设为，则 由翻折可知， 解得 故答案为：． 【变式4-6】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2)6 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （2）借助网格求面积即可． 【详解】（1）解如图，即为所求，由图可知：点的坐标为 （2）的面积． 【变式4-7】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点及的顶点都在格点上． (1)在图中作出，使得与关于x轴对称，其中点A、B、C的对应点分别为D、E、F． (2)直接写出点D、E、F的坐标：D ___________；E ___________；F ___________． (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3) 【分析】本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此作出变换后的对称点． （1）根据与关于轴对称，作出点A、B、C关于x轴的对称点D、E、F，然后顺次连接即可得出； （2）根据图形直接写出点D、E、F的坐标即可； （3）依据割补法进行计算，即可得到的面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：点D、E、F的坐标分别为：、、； （3）解：的面积． 【变式4-8】【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，正确画出图形是解题关键． （1）作点关于直线的对称点连接交于点，点即为所求； （2）先由轴对称的性质得到，，则，再由两点之间线段最短即可证明结论； （3）分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线即为所求. 【详解】解：（1）如图所示，点C即为所求， ； （2）直线是点、的对称轴，点、在上， ，， ， 在中， ， ； （3）如图所示， ，， 则， 根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 题型05 与对称有关的综合题 【例5】（24-25八年级上·安徽宿州·月考）如图，直线与直线交于点，与轴、轴分别交于点和点， (1)求的值； (2)直接写出二元一次方程组的解； (3)若点是轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数综合，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识． （1）把点P的坐标代入中，求出的值，即求出点P的坐标，再把点P的坐标代入中，求出m的值即可； （2）两直线的交点的横纵坐标即为两直线的解析式组成的方程组的解，据此可得答案； （3）如图，作点A关于y轴对称点，则，由两点之间线段最短可知的最小值为的长，求出直线的表达式，则可求出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点， ∴， ∴， 把点P坐标代入中得， ∴； （2）解：由（1）可得直线与直线交于点， ∴二元一次方程组的解为； （3）解：如图，作点A关于y轴对称点，则， 由两点之间线段最短可知的最小值为的长， ， 在中，当时，， ， ， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 将，代入，得 解得 直线的表达式为， 在中，当时，， 点C的坐标为． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______，点D的坐标是______． (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5， (2) (3)为或 (4)第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【分析】（1）根据勾股定理可得，根据轴对称的性质可得，则可得，进而可得； （2）设，则，在中,根据勾股定理列方程求出x的值，即可得C点的坐标． （3）设，则，根据列方程求出m的值，即可得到点M的坐标； （4）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ，， ， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． ， ． 故答案为：5，． （2）解：，则， 在中, ， ∴， 解得， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ， ， ， ∴， 解得，． ∴M点的坐标为或． （4）解：存在，理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于G点, 则， ∵， ∴， 又∵ ， 在和中， ， ， ，， ． ∴P点的坐标为． ②当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于H点， 同理得， ，， ∴P点的坐标为． ③当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于点M，轴于点N， 则， ∴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设点P的坐标为，， 则，，， 解得：， ∴点P的坐标为． 综上可知，第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴．给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将关于直线对称得到点，则称点是关于轴和直线的双反射点． (1)已知点， ①若点，则关于轴和直线的双反射点的坐标是______； ②若点，其中，点关于轴和直线的双反射点，求线段的长度． (2)若点，，是否存在点，使得点A关于轴和直线的双反射点，满足，．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，正确理解题意是解题的关键． （1）①先求出点关于轴对称点的坐标，得出，再求出点关于直线的对称点的坐标，即可求解； ②先求出点关于轴对称点的坐标，得出，再求出点关于直线的对称点的坐标，即可求解； （2）过点作轴，过点作轴，连接、，根据直角三角形的性质和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，结合点的坐标得出，，，结合题意可得，分为点在点的上方和点在点的下方两种情况，分别求出点和点的坐标，结合，即可求解． 【详解】（1）解：①点关于轴对称点的坐标为， ∵直线与轴相交于点， ∴， ∴关于直线的对称点的横坐标为，纵坐标为， 即点关于轴和直线的双反射点的坐标是； 故答案为：； ②， 故点关于轴对称的点的坐标为； ∵直线与轴相交于点，， ∴， 故点关于直线的对称点的横坐标为，纵坐标为， ． （2）解：过点作轴，过点作轴，连接、，如图： 故，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，轴，轴， ∴，，，，， 故，，， ， 故点关于轴对称的点的坐标为； ∵点与点关于点对称， 故， 当点在点的上方时，点的纵坐标为， 即， 此时点在点的上方， 故， 即点的双反射点的坐标为， ∴点与点重合，， 即， ∴， 故当点在点的上方时，； 当点在点的下方时，点的纵坐标为， 即， 此时点在点的下方， 故，， 即点的双反射点的坐标为， ∴或， 当时，， 故不符合题意，舍去； 当时，， 故当点在点的下方时，； 综上，点的坐标为或． 【变式5-3】【问题提出】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是．在轴上找一点，使得的值最小．补全图形，并求出点的坐标． 【问题解决】 （2）如图2，在校园规划中，校门在坐标原点位置，教学楼在位置，操场在位置，图书馆在的中点位置．为了方便师生通行，要修建一条从过的垂直道路（即），点在上，请求出点的坐标，以便确定道路的终点位置． 【答案】（1）图见详解，； （2）点D的坐标为． 【分析】本题考查最短路径-将军饮马以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握“饮马问题”的对称法以及全等三角形的判定方法和利用三角形面积法求解是解题的关键． （1）利用“饮马问题”的对称法，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，之后可利用三角形面积关系来确定点的坐标； （2）过点A作交延长线于点F，过点D作轴于点E，利用全等三角形得出，进一步依据得出，以此得出，即可确定点的坐标． 【详解】解：（1）按照题意完成画图，如图所示； 设， ∵, , ， ∴,， ， ∵， ∴，解得， ∴； （2）如图，过点A作交延长线于点F，过点D作轴于点E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∵ ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴点D的坐标为． 一、单选题 1．某正多边形有10条对称轴，则从该正多边形的某个顶点画对角线，能把该正多边形分成多少个三角形(    ) A．7 B．10 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据正多边形的对称轴的条数可确定正多边形的边数，再进行解答. 【详解】解：因为正n边形有n条对称轴，正多边形有10条对称轴，所以这个多边形是正十边形，所以从该正多边形的某个顶点画对角线，能把该正多边形分成10－2=8个三角形. 故选C. 【点睛】本题考查了正多边形的对称性和有关规律，一般的，正n边形有n条对称轴，从多边形的某个顶点画对角线，能把该多边形分成(n－2)个三角形. 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图方格纸网格线上的八条等长线段形成一个轴对称图形（图中实线部分）．其中有四条线段标上了序号，若擦去两条线段，剩下的图形就不是轴对称图形，那么擦去的两条线段是（　　） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 逐项判断，擦去后，剩下的图形是否为轴对称图形即可． 【详解】解：擦去①和②，①和③，②和④，剩下的图形是轴对称图形； 擦去②和③，剩下的图形不是轴对称图形， 故选：C． 3．（22-23七年级下·山西运城·期末）社区准备在红旗街道旁设立一个读书亭方便居民区A，B阅读交流，要使A，B两小区到读书亭的距离之和最小，则读书亭C的位置应该在（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．先作点关于街道的对称点，再根据三角形的两边之和大于第三边，得出，再进行边的等量代换，即可作答． 【详解】解：如图：作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点， ， ， 在街道上任取除点以外的一点，连接，，， ， 在中，两边之和大于第三边， ， ， 点到两小区送奶站距离之和最小． 故选：C． 4．（25-26八年级上·北京·期中）已知是平面内四个点，如果能用两种不同长度的线段将这四个点进行两两连接，使得任意三点所连线段都能构成等腰三角形，我们就称这四个点及它们之间的连线构成“二分对称图形”．例如：如图就是一种“二分对称图形”，其中，、、均为等腰三角形，且满足，，．则满足条件的“二分对称图形”共有（    ）．（形状相同的图形算作同一种） A．5种 B．6种 C．7种 D．7种以上 【答案】B 【分析】本题考查对称图形，掌握相关知识是解决问题的关键．从轴对称图形等边三角形，正方形，菱形，等腰梯形分类探索解决． 【详解】解：如图，加上题干中1种，共6种 第一个图：， 第二个图：， 第三个图：， 第四个图： 第五个图：， 故选：B． 5．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，角平分线定义，将所求的角转化为已知角进行计算是解题的关键． 先推导求出，在中可求得，由翻折的性质可得，接下来根据两个平角和为及的度数即可求出． 【详解】解：平分平分， ， ， ， ， ， ， 由翻折可得，，即， ， ， ， ． 故选：B． 6．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，中，，，顶点为，顶点为，顶点为，将关于轴轴对称变换得到，再将关于直线（即过垂直于轴的直线）轴对称变换得到，再将关于直线轴对称变换得到，再将关于直线轴对称变换得到，……，按此规律继续变换下去，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形轴对称找规律．熟练掌握等腰直角三角形的性质，轴对称性质，归纳点坐标性质规律，是解题的关键． 是等腰直角三角形，顶点为，根据等腰直角三角形的性质和轴对称性质，可得点A经过n次轴对称的点横坐标规律，纵坐标为2.5． 【详解】解：∵中，，，顶点为， 将关于y轴轴对称变换得到， ∴； 将关于直线轴对称变换得到， ∴； 将关于直线轴对称变换得到， ∴； 将关于直线轴对称变换得到， ∴； …， 按此规律继续变换下去， 再将关于直线轴对称变换得到， ∴（n偶数）或（n奇数）． ∴当时，点的坐标为． 故选：B. 二、填空题 7．如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使黑色图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个．    【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念．本题根据轴对称图形的概念即可找出符合题意的小方格，注意不要遗漏． 【详解】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．      故答案为：． 8．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度后，得到的点关于轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移，坐标与轴对称，根据点的平移规则，左减右加，求出的坐标，再根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，，即， 故点关于轴的对称点的坐标是； 故答案为：． 9．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，是高，将沿所在直线翻转，点C与点D重合，则图中有 组全等三角形． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据翻转的性质判断是解题的关键． 本题可根据翻转的性质，找出图中全等的三角形，再根据全等三角形的判定方法进行验证． 【详解】由题意可知，沿所在直线翻转， ， 是高， ， 再根据， 可得， ， ， 同理：由，可得， ， ， 综上所述：全等三角形有3对． 故答案是3． 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及光的反射定律是解题的关键． 求出点关于轴的对应点的坐标，根据光的反射定律，点在所在的直线上，根据待定系数法求出所在的直线对应的函数关系式，将点的坐标代入该函数，从而求出的值即可． 【详解】解：设点关于轴的对应点为，则，根据光的反射定律，点在所在的直线上， 设所在的直线对应的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 所在的直线对应的函数关系式为， 将代入，得， 经整理，得． 故答案为：2． 11．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查轴对称图形性质，点坐标特点等．根据题意可知点关于直线对称，继而再利用的坐标，即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标分别为， ∴点关于直线对称， ∵点的坐标为， ∴设点的坐标为， ∴，即：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 12．矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为 ． 【答案】/12度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角定义，角的和差，解题关键是根据折叠梳理相等关系． 根据折叠的性质得，，结合进而得出，再求出即可求解． 【详解】解：根据折叠性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，直线与直线相交，，点P在内，用下面的方法作P 的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…， 如此继续，得到一系列点，，，，…，，若与P重合，则n的最小值为 _______． 【答案】6 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称性质是解题的关键． 利用轴对称性质得到对称点，观察发现，这些对称点都在以O为圆心，为半径的圆上，进行解题即可． 【详解】解：设直线与直线相交于点O， 根据对称性，点P关于的对称点，关于的对称点，以此类推，得到一系列点，，，，…，， 如图，点P每经过6次对称又回到点P， 若与P重合， 则n的最小值为6． 故答案为：6． 三、解答题 14．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）已知直线． (1)求它关于轴对称的直线所对应的函数表达式； (2)将直线向左平移3个单位长度，求平移后所得直线所对应的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，求一次函数解析式，一次函数图象的平移问题，熟知相关知识是解题的关键． （1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，那么点是直线关于轴对称的直线上的一点，则点是直线上的一点，据此把代入到中求出关于的函数关系式即可得到答案； （2）设平移后所得直线所对应的函数表达式为，点在原函数图象上，则点在平移后的函数图象上，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：设点是直线关于轴对称的直线上的一点，则点是直线上的一点， ∴， ∴， ∴直线关于轴对称的直线的函数表达式为； （2）解：设平移后所得直线所对应的函数表达式为， 把向左平移3个单位长度后得， 把代入，得． ∴平移后所得直线所对应的函数表达式为． 15．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上， (1)直接写出的面积_______； (2)作出关于直线对称的； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查轴对称的作图和利用网格求三角形面积． （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）分割法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：的面积 故答案为： （2）如图，即为所求， 16．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在网格线的交点上，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)请在网格中建立平面直角坐标系，并写出点C关于x轴的对称点的坐标； (2)画出关于y轴的对称图形． 【答案】(1)作图见解析，点的坐标为； (2)作图见解析． 【分析】本题主要考查了画平面直角坐标系，作轴对称图形， 对于（1），根据点B，C的坐标画出坐标系即可，再根据两个点关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答； 对于（2），先作出三个顶点关于y轴对称的点，再依次连接即可. 【详解】（1）解：如图所示，点； （2）解：如图所示. 17．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在由小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于直线对称的； (2)求的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查作图—轴对称变换，三角形的面积， （1）根据轴对称性质作出点、、对称点、、，再顺次连接即可； （2）利用所在的长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可； 掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）， ∴的面积为． 18．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)在平面直角坐标系中画出与关于轴对称的； (2)在第三象限求作一点，使的面积为6，并写出点的坐标（写出一个符合条件的点即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，正确作图是解题的关键． （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据（1）可得，那么点P到x轴的距离为3即可，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 19．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的； (2)在轴上求作一点使点到两点的距离和最小，请标出点，并直接写出点的坐标：______．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查了画轴对称图形，利用轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点、、关于轴的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）找出点关于轴的对称点，连接与轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点位置，然后写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）作点关于x轴的对应点，连接交x轴于点P，则点P为所求的点，此时点P坐标为， 故答案为：． 20．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)分别画出关于轴、轴对称的，； (2)分别在轴、轴上找一点，，使得四边形的周长最小，并求出点，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用关于x轴、y轴对称的点的坐标特征（关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数），找出各顶点的对称点，再顺次连接得到对称三角形． （2）利用轴对称的性质，将四边形周长最小问题转化为两点之间线段最短问题，通过作对称点，连接对称点得到直线，求直线与坐标轴交点来确定、坐标 ． 【详解】（1）解：如图所示的和即为所求作； （2）解：如图，连接交轴于点，交轴于点，则点，即为所求作.设直线的函数表达式为， 将点，分别代入得 ， 解得， ∴直线的函数表达式为． 当时，解得； 当时，解得． ∴点，的坐标分别为，． 21.如图，在平面直角坐标系中，解答下列问题： (1)若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，请你在同一平面直角坐标系中描出对应的点，并依次连接这三个点，所得的与有怎样的位置关系？ (2)求的面积； (3)已知为轴上一点，若的面积是的面积的倍，求此时点的坐标． 【答案】(1)关于轴对称，图见解析； (2)； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，轴对称的性质，分割法求面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （）确定点的坐标，描点后，观察即可得出关系； （）利用长方形面积减去三个三角形面积即可求解； （）设的边上的高为，点的坐标为，然后分为当点在轴负半轴上时；当点在轴正半轴上时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：由坐标系可得， ∴纵坐标都乘得， 则如图所示，即为所求， ∴与的位置关系是关于轴对称； （2）解：； （3）解：设的边上的高为，点的坐标为， ∴， 因为的面积是的面积的倍， 所以，解得， 所以当点在轴负半轴上时，； 当点在轴正半轴上时，． 综上，点的坐标为或． 22．综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？ 【方法探究】 （）小明按照课堂上学习的方法在图先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标； 【类比推广】 （）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址问题”放在坐标系中，设计了如下问题：如图，在平面直角坐标系中，，，直线经过点，且与轴平行，分别在轴和直线m上找点，使得轴，且的值最小，请在图中画出点和点的位置，并求出点的坐标； 【拓展创新】 （）如图，在平面直角坐标系中，，，点线段上，且，交于点，求点的坐标． 【答案】（）画图见解析，；（）画图见解析，，；（） 【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，平移的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （）先完成画图，再设，接着求出的坐标，求出，然后分别用表示出，，根据，列出关于的方程求解即可求得的坐标； （）在射线上取一点，使得，连接交直线于点，过点作轴于点，则点和点即为所作，先得出的坐标，设，从而可用表示出的坐标，再求得，然后用、，再得到关于的方程求解，从而可得，； （）先说明，从而可得，，进而得出，再利用证明，根据全等三角形的性质可得，然后根据，得到关于的方程求解，进而求得． 【详解】（）解：画图如下： 设， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ； （）如图，在射线上取一点，使得，连接交直线于点，过点作轴于点，则点和点即为所求． ∴由作图可知：与平行且相等， ∵直线与轴平行， ∴， ∵，即， ∴， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 解得， ，； （）如图，过点作交延长线于点，过点作轴于点， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，解得， ， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $