专题2.3 一次函数与二元一次方程（高效培优讲义）数学沪科版2024八年级上册

专题2.3 一次函数与二元一次方程 教学目标 1.理解一次函数表达式可以看成一个二元一次方程，从而建立一次函数与二元一次方程的对应关系。 2.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会根据一次函数求解二元一次方程组。 教学重难点 教学重点： 探索两者关系：明确二元一次方程的解与相应一次函数图象上点的坐标的对应关系，即二元一次方程的每一组解都对应着一次函数图象上的一个点，反之，一次函数图象上点的坐标都满足相应的二元一次方程。 掌握方程组与直线交点关系：理解二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标，学会通过解二元一次方程组来确定两条直线的交点坐标，或者根据两条直线的交点坐标得出对应的二元一次方程组的解。 教学难点： 渗透数学思想：让学生体会数形结合的数学思想，学会从 “数” 与 “形” 两个角度去分析问题，理解 “数” 的问题可以通过 “形” 来直观呈现，“形” 的问题可以借助 “数” 来精确求解。 解决实际问题：能够综合运用一次函数、二元一次方程（组）以及不等式等知识解决实际问题。能够从实际情境中抽象出数学关系，并选择合适的方法求解。 知识点01 一次函数与二元一次方程（组）的关系 以二元一次方程ax＋by＝c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y＝的图象相同． 二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y＝和y＝的图象的交点坐标． 一次函数的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图像上. 在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法. 【即学即练】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：∵一次函数和的图象的交点坐标为， ∴关于x，y的方程组的解是． 故选：B． 知识点02 二元一次方程组的解的情况 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 【即学即练】若一次函数y1=k1x+b1与一次函数y2=k2x+b2的图象没有交点，则方程组的解的情况是(　) A．有无数组解 B．有两组解 C．只有一组解 D．没有解 【答案】D 【分析】根据二元一次方程组与一次函数的关系进行分析判断即可. 【详解】∵一次函数y1=k1x+b1与一次函数y2=k2x+b2的图象没有交点， ∴关于x、y的二元一次方程组 无解，即方程组无解. 故选D. 题型01 一次函数与二元一次方程的关系 【例1】（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，直线与直线交于点，则方程组的解是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查一次函数函数与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 根据一次函数与二元一次方程组的关系可得方程组的解是，对比方程组，可得第二方程组中与第一个方程组中对应，第二方程组中与第一个方程组中对应，故，由此解答即可． 【详解】∵直线与直线交于点， ∴方程组的解是． ∴在方程组中，， 解得 故选D． 【变式1-1】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别与轴交于点，，则关于，的二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数图象平移问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查了一次函数图象平移问题，坐标与图形变化——平移，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，利用一次函数图象的平移规律及坐标平移的变化规律推出“一次函数的图象与轴交于点”是解题的关键． 由一次函数图象的平移规律及坐标平移的变化规律可得，一次函数的图象与轴交于点，而一次函数的图象与轴也交于点，于是可得一次函数与一次函数图象的交点为，进而可得关于，的二元一次方程组的解． 【详解】解：一次函数的图象与轴交于点， 将一次函数的图象向下平移个单位得到一次函数的图象， 一次函数的图象与轴交于点， 而一次函数的图象与轴也交于点， 一次函数与一次函数图象的交点为， 关于，的二元一次方程组的解为， 故选：． 【变式1-2】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）若直线与的交点在第四象限，求k的取值范围． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了已知点所在的象限求参数，求不等式组的解集，两直线的交点与二元一次方程组的解，先列出，得出交点坐标为，结合交点在第四象限，故，再解出不等式组的解集，即可作答． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， 交点坐标为 交点在第四象限， ， ． 【变式1-3】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）一次函数（k为常数，）的图象过点． （1） ； （2）若无解，结合函数的图象，则k的取值范围是 ． 【答案】 且/且 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数增减性求参数、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，求代数式的值，不等式的应用等知识，（1）问中将点代入一次函数解析式是解题的关键；（2）问中理解直线无交点的条件是解题的关键． （1）将点代入到一次函数中，得到的值，再将其代入到中即可求解； （2）由（1）知，则，直线恒过点，结合图象，根据方程组无解，可通过斜率和截距离的关系确定的取值范围． 【详解】解：（1）将点代入到一次函数中 ，得 ， ， ， 故答案为：； （2）无解， 直线与直线无交点， 由（1）知， ， 将其代入到得，， 当时， 直线恒过点， 如图， 的取值范围为，且， 故答案为：且． 题型02 利用一次函数的图象确定二元一次方程组或解 【例2-1】如图，，分别表示两个一次函数的图像，它们相交于点P． (1)求出两条直线的函数关系式 (2)点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解． 【答案】(1)：，： (2) 【分析】（1）由图可得两函数与坐标轴的交点坐标，用待定系数法可求出它们的函数解析式； （2）联立两个一次函数的解析式，所得方程组的解即为P点坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式是，已知经过点， 可得： 解得 则函数的解析式是， 设直线的解析式是，已知经过点 可得 解得 可得 的解析式是： ． （2）点P的坐标可看作是二元一次方程组 的解． 【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的确定、一次函数与二元一次方程组的关系、函数图象交点，综合性较强，难度适中 【例2-2】（22-23八年级上·安徽蚌埠·期中）用图象法解二元一次方程组： 【答案】 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】根据题意，可得方程组的解为直线与直线的交点，在同一坐标系画出两个一次函数的图象，交点坐标即为方程组的解． 【详解】解：，即 依题意，方程组的解为直线与直线的交点， 如图所示， ∴的解为． 【点睛】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键． 【变式2-1】在直角坐标系内，已知直线，请画出直线，并由图象解答： 写出方程组的解； 【答案】 【分析】求出两组的解，转化为直线上的点，根据两点确定一条直线，作图即可． 【详解】解：， 当时，；当时，； 故直线过点， 作图如下： 由图可知：与交于点， ∴方程组的解为：； 【变式2-2】在平面直角坐标系中，直线的图象，如图所示． (1)在同一坐标系中，作出一次函数的图象； (2)用作图象的方法解方程组：． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】画一次函数图象、图象法解二元一次方程组 【分析】本题考查了画一次函数图象，用图像法求解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握画一次函数的图象的方法，以及用图象法求解二元一次方程组的方法和步骤． （1）按照列表、描点、连点的步骤即可画出该一次函数图象； （2）根据图象，找出两个一次函数图象的交点坐标，即可解答． 【详解】（1）解：列出表格如下： x …… 0 1 2 3 …… y …… 1 …… 画出函数图形如下： （2）解：∵可整理为，可整理为， ∴由图可知，的解为． 【变式2-3】）已知一次函数与． (1)在同一平面直角坐标系中，画出它们的图象； (2)直线，与轴分别交于点，，请写出，两点的坐标； (3)根据图象，写出方程组的解． 【答案】(1)画图见解析； (2)，； (3)． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、图象法解二元一次方程组 【分析】（）根据画函数图象的步骤即可求解； （）当时，，，即可求出，两点的坐标； （）根据图象即可求出方程组的解； 本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，画函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：列表： 如图， （2）解：当时，，， ∴，； （3）解：根据图象可知：方程组的解为． 题型03 确定三角形的面积 【例3-1】（24-25八年级上·安徽滁州·期末）已知一次函数的图象与直线平行，且与轴交于点． (1)求该一次函数的函数表达式； (2)点为一次函数图象上的动点，求使时点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】一次函数图象平移问题、求直线围成的图形面积 【分析】此题考查两直线平行问题，待定系数法求函数解析式，三角形面积公式． （1）先由平行得，再将代入函数解析式即可得b的值； （2）根据题意得，，即可得，再代入函数解析式即可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴， 又∵图象经过点， ∴， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 当时，，； 当时，，； ∴或． 【例3-2】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，直线与直线相交于点，直线与与轴分别交于、两点． (1)求的值，并结合图象写出关于、的方程组的解； (2)求的面积； (3)垂直于轴的直线与直线、分别交于点、，若线段的长为，求出的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、利用网格求三角形面积 【分析】（1）把点代入，得，则，由直线与直线相交于点可得，方程组的解为，由此即可得出方程组的解； （2）先求出直线与轴的交点的坐标，再求出直线与轴的交点的坐标，然后求出线段的长，再利用三角形的面积公式可得，由此即可求出的面积； （3）由题意得，直线与直线的交点的坐标为，与直线的交点的坐标为，由可得，即，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：把点代入，得： ， ， 直线与直线相交于点， 方程组的解为， 方程组的解为； （2）解：对于直线， 令，则， 解得：， ， 对于直线， 令，则， 解得：， ， ， ； （3）解：由题意得： 直线与直线的交点的坐标为，与直线的交点的坐标为， ， ， 即：， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数图象与坐标轴的交点问题，一元一次方程的应用（几何问题），三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并运用数形结合思想是解题的关键． 【例3-3】（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个数图象相交于点． (1)求出点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时， (3)点坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，解题关键是熟练运用一次函数知识，用待定系数法求解析式，结合一次函数的性质求点的坐标． （1）把分别代入两个解析式，联立两个解析式，解方程组即可； （2）观察图象直接判断即可； （3）根据求出点的纵坐标，代入解析式即可． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得，； 把代入得，， 解得，； 联立方程组得，， 解得，， 点坐标为：； （2）解：根据图象可知，在点或点的左侧时，， ∴当时，； （3）解：由（1），． ， ， 设点坐标为， ， ， ， 当时，， ∴， ∴点坐标为； 当时，， ∴， ∴点坐标为； 综上，点坐标为或． 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，直线：分别交x轴，y轴于A，B两点，直线：分别交y轴，x轴于C，D两点，直线相交于点P． (1)点P的坐标为______； (2)求四边形的面积； (3)过点P的直线把的面积二等分，求该条直线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】（1）根据一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系即可求得； （2）分别求出，，，利用即可求得； （3）根据三角形中线的性质，找到两点的中点，待定系数法求出表达式即可． 【详解】（1）解：∵直线：和直线：相交于点P． ∴点坐标为的解， 解得：． ∴； 故答案为：； （2）解：当时，代入， 得， 解得． ∴． 当时，代入，， 得，， ∴，． ∴． ∴ ； （3）解：由（2）知，，则的中点坐标为． 设该直线的表达式为，代入，，得 ，解得． ∴该直线的表达式为． 【点睛】本题考查了一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系、图象与坐标轴围成面积、三角形的中线、待定系数法求函数表达式等知识点，一次函数知识点的熟练运用是解题关键． 【变式3-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)若是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； (3)观察图象，不等式组的解集是_______． 【答案】(1)， (2)或； (3) 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集、求直线围成的图形面积 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与图形面积，不等式组等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出的值，进而得到点的坐标，再用待定系数法把两点坐标代入一次函数中，计算出的值，进而得到一次函数解析式； （2）先求解，设，再结合的面积为6，建立方程求解即可； （3）根据正比例函数的图象在轴的上方，在函数的图象的下方即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ， ，        即点坐标为， ∵一次函数经过、点， ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：当，则， ∴， 设，且的面积为6， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或； （3）解：由图象可得不等式组的解集为：． 【变式3-3】（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，已知直线过点，． (1)求直线l的表达式． (2)若直线与x轴交于点B，且与直线l交于点C． ①求的面积． ②在直线l上是否存在点P，使的面积是面积的3倍？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①6，②存在，点P的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式和两直线交点的坐标等知识 （1）利用待定系数法求出直线l的表达式即可； （2）①联立两直线得到方程组，求出点C的坐标，即可求出答案； ②的面积是面积的3倍得到，设，则，即可求出答案． 【详解】（1）解：把A，D两点代入：       解得： （2）①     解得         ②的面积是面积的3倍 设     或      点P的坐标为或 【变式3-4】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过，两点，与一次函数交于点C，一次函数与x轴交于点D． (1)求直线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)30． 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、两条直线的交点坐标，用待定系数法求出直线的解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求直线的解析式即可； （2）先求出点C和点D的坐标，然后根据图象写出的取值范围即可； （3）先求出与x轴的交点E的坐标，然后根据三角形面积公式求的面积即可． 【详解】（1）解：∵一次函数经过，两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，， 解得， ∴． 解得 ∴， ∴当时，的取值范围是； （3）解：如图， 当时，， 解得， ∴， ∴ ∴的面积 ． 题型04 函数与方程的关系在实际问题中的应用 【例4】（2023春·安徽芜湖·八年级校考阶段练习）新冠肺炎疫情牵动人民的心，为打赢这场没有硝烟的战“疫”，甲，乙两公司向A，B两城市运送防疫物资，已知甲，乙两公司共有防疫物资400吨，其中甲公司防疫物资比乙公司防疫物资多80吨， （1）求甲，乙两公司分别有多少吨防疫物资． （2）现A城市急需防疫物资220吨，B城市急需防疫物资180吨．甲，乙两公司到A，B两城市的防疫物资运费如表： 运费（元/吨） 甲公司 乙公司 A城市 32 30 B城市 20 24 ①若总运费不超过10800元，求甲公司运往A城市防疫物资至多为多少吨？ ②国家出台支持每吨防控政策，对甲公司运往A城市的防疫物资的运费每吨财政补贴a元，乙公司运往B城市的运费每吨财政补贴b元，其余路线运费不变，已知a+b＜6，若总运费的最小值为10080元，求a的值． 【答案】（1）甲：240吨，乙：160吨   （2）①140吨  ②4． 【分析】（1）设甲公司有x吨防疫物资，乙公司有y吨防疫物资，根据“甲，乙两公司共有防疫物资400吨，甲公司防疫物资比乙公司防疫物资多80吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①设甲公司运往A城市防疫物资m吨，则甲公司运往B城市防疫物资（240﹣m）吨，乙公司运往A城市防疫物资（220﹣m）吨，乙公司运往B城市防疫物资（m﹣60）吨，根据总运费不超过10800元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； ②设总运费为w元，根据总运费＝运送每吨货物所需费用×运货吨数，即可得出w关于m的函数关系式，由a+b＜6可得出6﹣a﹣b＞0，进而可得出w值随m值的增大而增大，由A城市急需防疫物资220吨及乙公司有160吨防疫物资可得出m≥60，代入m＝60及总运费的最小值为10080元，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲公司有x吨防疫物资，乙公司有y吨防疫物资， 依题意，得：， 解得：． 答：甲公司有240吨防疫物资，乙公司有160吨防疫物资． （2）①设甲公司运往A城市防疫物资m吨，则甲公司运往B城市防疫物资（240﹣m）吨，乙公司运往A城市防疫物资（220﹣m）吨， 乙公司运往B城市防疫物资160﹣（220﹣m）＝（m﹣60）吨， 依题意，得： 32m+20（240﹣m）+30（220﹣m）+24（m﹣60）≤10800， 解得：m≤140． 答：甲公司运往A城市防疫物资至多为140吨． ②设总运费为w元， 则w＝（32﹣a）m+20（240﹣m）+30（220﹣m）+（24﹣b）（m﹣60）＝（6﹣a﹣b）m+9960+60b， ∵a+b＜6， ∴6﹣a﹣b＞0， ∴w值随m值的增大而增大． 又∵A城市急需防疫物资220吨，乙公司有160吨防疫物资， ∴m≥220﹣160＝60， ∴当m＝60时， w取得最小值，最小值为60（6﹣a﹣b）+9960+60b＝10320﹣60a． ∵总运费的最小值为10080元， ∴10320﹣60a＝10080， ∴a＝4． 答：a的值为4． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的最值，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；②根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 【变式4-1】某商店销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元． (1)求每台型电脑和型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的3倍，预期进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式： ②该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)100元，150元 (2)①②购进A型电脑25台，B型电脑75台时，利润最大，最大为13750元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】(1)设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑销售利润为b元，列出方程组计算即可． (2) 设型电脑台，则购买型电脑台， ①． ②根据题意，得，，得到，结合一次函数的增减性解答即可． 本题考查了方程组的应用，不等式组的应用，一次函数性质的应用，正确列式并准确解答时解题的关键． 【详解】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑销售利润为b元， 依题意得：， 解得：， 答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑销售利润为150元． （2）解：设型电脑台，则购买型电脑台， ①根据题意，得． ②根据题意，得，， 故， 根据题意，得， 故y所x的增大而减小， 故当时，，y有最大值，且最大值为13750， 答：购进A型电脑25台，B型电脑75台时，利润最大，最大为13750元． 【变式4-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）为进一步推动绿色生态文明建设，走可持续发展之路，某工厂在生产过程中同步进行污水处理，有两种处理方案： 方案1：污水纳入污水处理厂统一处理，每生产1件产品需付7元的排污费； 方案2：积极响应“无废城市”号召，使用专业设备，通过有效方法，对污水进行循环利用．每生产1件产品需付1元的设备原料费，并且设备损耗费为每月b元． 若工厂每月生产x件产品，产品的成本价为25元/件，出厂价为50元/件，方案1、方案2的月利润y（元）与x（件）之间的函数关系如图所示．结合图象回答问题： (1)填空：a＝ ，b＝ ； (2)当工厂每月生产300件产品时，两种方案的月利润相差多少元？ (3)当两种方案的月利润相差1500元时，求x的值． 【答案】(1)500，3000 (2)两种方案的月利润相差1200元 (3)x的值为250或750 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、从函数的图象获取信息、列一次函数解析式并求值、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数的应用、列函数关系式、求函数值等知识点，掌握二元一次方程组和绝对值方程的解法是解题的关键． （1）分别写出方案1、方案2的月利润y（元）与x（件）之间的函数关系式，将坐标分别代入这两个函数，建立关于a和b的二元一次方程组求解即可； （2）将分别代入方案1、方案2的函数关系式，求出和的值并求差即可． （3）将方案1、方案2的函数关系式分别代入，得到关于x的绝对值方程并求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，方案1的月利润（元）与x（件）之间的函数关系为， 方案1的月利润（元）与x（件）之间的函数关系为， 将坐标分别代入和， 得，解得：， ∴． 故答案为：500，3000． （2）解：当时，， （元）． 答：两种方案的月利润相差1200元． （3）解：根据题意得，即， 解得或750． 答：x的值为250或750． 【变式4-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）2024年6月25日，我国“嫦娥六号”携克的月球背面土壤样品荣耀归来，为激发学生对航天事业的兴趣，学校组织航天知识问答活动，并打算购买“嫦娥六号”装饰挂件和限量航天印章送给参加活动的学生作为纪念（给每位学生分发1个挂件和1个印章）．已知每盒挂件有30个，每盒印章有20个，且只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；花费170元可以买2盒挂件和3盒印章． (1)求每盒挂件和每盒印章的价格； (2)如果购买挂件盒，则购买印章_______盒（用含有的式子表示）恰好能够配套分发； (3)累计购买超过1700元后，超出1700元的部分有8折优惠，学校以（2）中配套的方式购买，共花费元，求关于的函数关系式．若有660名学生参加活动，共需要多少费用？ 【答案】(1)40元，30元 (2) (3)，元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、梯度计价问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分段函数及一次函数的应用，能够根据题意列出准确的方程组，求费用的最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键． （1）设每盒挂件 元，每盒印章 元，根据每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；花费170元可以买2盒挂件和3盒印章，再建立方程组解题即可； （2）根据给每位学生分发1个挂件和1个印章再列式计算即可； （3）根据累计购买超过1700元后，超出1700元的部分有8折的优惠，分段可求得解析式，据此即可解答． 【详解】（1）解：设每盒挂件 元，每盒印章 元． 根据题意得： ， 解得 ． 答：每盒挂件 40 元，每盒印章 30 元． （2）解：∵给每位学生分发1个挂件和1个印章， ∴购买挂件盒，则购买印章盒恰好能够配套分发； （3）解：当，即 解得：， ∴． 当，即时， ． 当有660名学生参加活动，则需购买挂件（盒）． 当时， ∴（元）． 一、单选题 1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，函数和的图象相交于点，则方程的解为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的知识．首先将点的坐标代入正比例函数中求得的值，再结合图象得出方程的解． 【详解】解：函数经过点， ， 解得：， 由图象得：方程的解为， 故选：A． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知直线与直线相交于点，则关于的二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，解题的关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解． 先利用待定系数法求出的值，进而得到点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解：直线过点， ， 解得：， 点， 直线与直线相交于点， 二元一次方程组的解为， 故选D． 3．（24-25八年级上·安徽·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于的方程组的解为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．根据一次函数的图象即可判断选项A错误；根据一次函数与轴的交点位于一次函数与轴的交点的上方即可判断选项B错误；根据函数图象可得当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的下方，由此即可判断选项C错误；根据两个一次函数的交点坐标即可判断选项D正确． 【详解】解：A、由函数图象可知，随的增大而减小，则此项错误，不符合题意； B、由函数图象可知，一次函数与轴的交点位于一次函数与轴的交点的上方，所以，此项错误，不符合题意； C、由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的下方，所以，此项错误，不符合题意； D、由函数图象可知，两个一次函数的交点坐标为，所以关于的方程组，即方程组的解为，此项正确，符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（   ） A．方程组的解是 B．方程的解是 C．不等式和不等式的解集相同 D．不等式组的解集是 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系．根据一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系解答即可． 【详解】解：A、根据方程组的解才是，原结论错误，符合题意； B、根据两条直线交点P的坐标是，得到方程的解是，原结论正确，不符合题意； C、根据不等式的解集与不等式的解集都是，得到不等式和不等式的解集相同，原结论正确，不符合题意； D、把代入，得到，当时，，得到不等式的解集是，根据不等式的解集是，得到不等式组的解集是，原结论正确，不符合题意． 故选：A． 二、填空题 5．（22-23八年级上·安徽淮北·期末）如图，一次函数与的图像相交于点，则关于的二元一次方程组的解是    【答案】 【分析】先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标进行判断． 【详解】解：把代入， 得，解得， 所以点坐标为， 所以关于的二元一次方程组的解是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）的综合应用，理解方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标是解题关键． 6．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解是直线与直线相交于点 A，若直线 过点 A，则实数 m 的值是 【答案】 【分析】先根据二元一次方程组于直线交点的问题确定点以及，然后代入求出m 的值即可；根据二元一次方程组的解确定直线交点的坐标是解答本题的关键． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是直线与直线相交于点 A， ∴点，，解得：． ∵直线 过点 A， ∴直线 过点 A，即，解得：． 故答案为． 7．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）一次函数与交于点． （1）关于x的方程解为 ； （2）函数的图象沿y轴向下平移后得到函数图象，图象与图象交于点B，若点B的纵坐标为1，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线相交与二元一次方程组解的关系，一次函数与求不等式解集，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键，注意数形结合思想的运用． （1）关于x的方程解从形来说，就是直线与交点横坐标，由此即可求解； （2）由直线过点A，则可求得其函数解析式，从而求得点B的坐标；画出图形，结合图形即可求得不等式的解集． 【详解】解：（1）∵一次函数与交于点， ∴关于x的方程解为； 故答案为：． （2）由题意知，直线过点A，则有， 解得：； 即； 设函数沿y轴向下平移后得到函数解析式， ∵图象与图象交于点B，点B的纵坐标为1， ∴， 即， ∴； 由图象知，当时，解集为；当时，解集为， ∴不等式的解集为； 故答案为：． 8．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）直线与轴、轴分别相交于点、，直线与轴、轴分别相交于点、，两直线交点为． （1）如图，当时，点的坐标为 ； （2）若两点之间距离为2，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，求解一次函数的解析式以及交点坐标，当时，求解，结合可得，可得直线为，再求解交点坐标即可；求解，，，，利用，，再建立方程组求解即可． 【详解】解：（1）当时，直线为：， 当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：； （2）∵直线：，直线：， 同理可得：，，，， ∵，， ∴， 解得：或； 故答案为：或． 9．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为，，，． （1）四边形的面积为 ； （2）当过点的直线l将四边形的面积分成面积相等的两部分时，则直线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识． （1）根据即可解答； （2）根据当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形的面积，可设直线的解析式为，即可求出直线的解析式为，则直线l与x轴的交点坐标为，求出直线的解析式为，则直线与直线的交点坐标为，再由过点的直线l将四边形的面积分成面积相等的两部分，得到，由此即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，，，， ∴， ∴， 即， （2）∵当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形的面积， 如图， l直线l与x轴的交点为点，直线l与直线的交点为点， ∴可设直线l的解析式为， ∴， ∴， ∴直线l的解析式为， ∴直线l与x轴的交点坐标为， ∴， ∵点坐标为，点D坐标为， ∴直线的解析式为， ∵当时，直线与直线平行，此时直线不可能平分四边形的面积 ∴联立， 解得， ∴直线l与直线的交点坐标为， ∵， ∴， ∵过点B的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分， ∴， 解并检验得或（舍去）， ∴直线l的解析式为 ， 故答案为：（1）24；（2）． 三、解答题 10．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）一次函数的图象经过，两点． (1)此一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解、一次函数与坐标轴的交点问题，掌握待定系数法求出解析式是解题关键． （1）将，两点代入即可求解； （2）求出一次函数与坐标轴的交点，根据即可求解． 【详解】（1）解：将，两点代入得： ， 解得： ∴ （2）解：如图所示： 令，则； ∴， ∴ ． 11．（24-25八年级上·安徽宣城·期末）宣城市郎溪县是我国绿茶之乡，县内有八万亩茶园．为拓宽销售渠道，进一步向外扩大郎溪县茶叶市场，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的茶叶包装成茶叶礼盒后再出售．已知每件A品种茶叶礼盒比B品种茶叶礼盒的售价少20元，且出售2件A品种茶叶礼盒和1件B品种茶叶礼盒的总价共500元． (1)求A、B两种茶叶礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知A、B两种茶叶礼盒每件的成本分别为100元、110元，该乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种茶叶礼盒共100盒，且A品种茶叶礼盒售出的数量不超过B品种茶叶礼盒数量的1.5倍，总成本不超过10500元，一共有多少种满足条件的方案？ (3)在（2）的条件下，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种茶叶礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】(1)A、B两种茶叶礼盒每件的售价分别为160元，180元 (2)共有11种满足条件的方案 (3)要使农户收益最大，销售方案为售出A种茶叶礼盒50盒，售出B种茶叶礼盒50盒，最大收益为6500元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用． （1）设A、B两种茶叶礼盒每件的售价分别为a元，b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程即可； （2）设售出A种茶叶礼盒x盒，则售出B种茶叶礼盒盒，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论； （3）设收益为y元，根据题意结合（2）列出y关于x的一次函数关系式，然后由一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设A、B两种茶叶礼盒每件的售价分别为a元，b元，根据题意得， 解得： 答：A、B两种茶叶礼盒每件的售价分别为160元，180元； （2）解：设售出A种茶叶礼盒x盒，则售出B种茶叶礼盒盒， 根据题意得，， 解得：， ∵，为正整数， 共有11种满足条件的方案； （3）解：设收益为y元， 根据题意得，， ， 随x的增大而减小， 当时，y取得最大值，最大值为（元）， 售出B种茶叶礼盒（盒）， 答：要使农户收益最大，销售方案为售出A种茶叶礼盒50盒，售出B种茶叶礼盒50盒，最大收益为6500元． 12．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅” 素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配 芝士杯 茉莉清茶杯 茉莉清茶杯 杨梅肉 杨梅肉 多肉 多肉 素材2 11月7日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的和每杯“满杯杨梅”的利润比为5：3，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯 素材3 11月8日是该店一周年店庆，为感谢广大顾客对品牌店的信任，拟对“芝士杨梅”进行让利促销，决定每杯降价12元促销，“满杯杨梅”价格保持不变。并要求当天芝士消耗量不少于3500ml，配制的17500ml茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润 任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？ 任务2 为了使11月8日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？此时最大利润是多少元？ 【答案】任务1：每杯“满杯杨梅”的利润是12元，每杯“芝士杨梅”的利润是20元 任务2：最大利润为388元，此时应制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共42杯 【分析】任务1：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元，列分式方程求解即可得到答案； 任务2：设制做“芝士杨梅”杯，“满杯杨梅”杯，两种奶茶获利为元，根据等量关系得到，利用不等关系解得，再由，结合一次函数图象与性质求解即可得到答案． 【详解】解：任务1：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元， 由题意得，解得， 经检验：是原方程的解， （元）， 答：每杯“满杯杨梅”的利润是12元，每杯“芝士杨梅”的利润是20元； 任务2：设制做“芝士杨梅”杯，“满杯杨梅”杯，两种奶茶获利为元， 制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”， ， ， 芝士消耗量不少于， ，解得， 根据题意得， ， 随的增大而减小， 当时，取最大值，最大值为（元）， 此时， （元）， 最大利润为388元，此时应制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共42杯． 【点睛】本题考查分式方程、二元一次方程、不等式及一次函数解应用题，涉及解分式方程、解二元一次方程、解不等式及一次函数图象与性质，读懂题意，准确列出方程、不等式及函数是解决问题的关键． 13．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交于点A，且与一次函数图象相交于点，一次函数图象与x轴相交于点C． (1)求m的值； (2)根据图象，直接写出当时，x的取值范围 (3)若在一次函数上存在点P，使得，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据两个一次函数图象交于点 ，可求出，进而可得到一次函数解析式为，即可求出点A的坐标； （2）先求出点A、C的坐标，画出函数图象，根据图象得一次函数的图象在一次函数的图象下方时，x的取值范围，即可得出答案； （3）先求出，然后分两种情况：点P在点B下方，点P在点B上方，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与一次函数相交于点 ∴B点即在上也在上， 由可得：， ∴； （2）解：∵； ∴B点的坐标为； 把点B代入可得即， ∴一次函数解析式为， 当时，，得， 即点A的坐标为， 当时，，即点C的坐标为，函数图象如图所示： 观察图象，得：当 时，一次函数的图象在一次函数的图象下方时， ∴当时，x的取值范围为． （3）解：∵，，， ∴， 设点P的坐标为， 当点P在点B下方时，点P与点C重合时，与的面积相等，此时点P的坐标为， 当点P在点B上方时， ∴ 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一次函数相结合，一次函数图象的应用，用一次函数解不等式，求三角形的面积，求出两直线的交点坐标，利用一次函数与一元一次不等式的关系解不等式的数形结合思想解答问题是解题的关键． 14．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在以下平面直角坐标系中， (1)画出函数与的图象； (2)根据图象写出方程组的解； (3)根据图象写出不等式的解集． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了画一次函数图象、一次函数与方程组的关系、一次函数与不等式的关系等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）运用列表、描点、连线的步骤画出函数图形即可； （2）根据二元一次方程组的解为其对应函数交点的坐标，据此即可解答； （3）根据函数图象确定在上方部分所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：列表如下： x 0 1 5 4 3 描点、连线、画图如下： （2）解：方程组可化为：， 由函数图象可知直线与直线的交点坐标为， 所以方程组的解为． （3）解：∵当时，函数的图象在函数的下方， ∴不等式的解集为． 15．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，直线和直线相交于点，分别与轴交于，两点． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上有一动点，过点作轴的垂线，分别交函数和直线的图象于点，，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为； (2)的面积为； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，与一次函数相关的线段和面积问题，熟练掌握一次函数的图象和性质，学会联立函数解析式求解点的坐标是解题的关键． （1）联立直线的解析式即可得出点的坐标； （2）分别求出，两点的坐标，再利用三角形的面积公式即可求解； （3）由点的坐标可得出，，再利用列方程求解的值即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 点的坐标为． （2）当时，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ， 即的面积为． （3）由题意知，，， ， 解得：或， 点的坐标为或． 16．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“星辰函数”． (1)已知函数为函数、的“星辰函数”，求，的值； (2)在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点．过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点． ①若，函数、的“星辰函数”图象经过点，求的值； ②若，点在点的上方，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，二元一次方程组，一元一次不等式的求值，理解“星辰函数”的定义，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据“星辰函数”的定义可得，由此列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意，函数与的图象相交于点，联立方程组可得，设函数、的“星辰函数”为，对于①则有，由此化简即可求解；对于②则有点的横坐标为，纵坐标为，根据点在点的上方，可得，由此化简即可求值． 【详解】（1）解：根据“星辰函数”的定义有，， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵函数与的图象相交于点， ∴， 解得，， ∴， 根据题意，设函数、的“星辰函数”为， ①∵点在“星辰函数”上， ∴，整理得，， ∵， ∴， ∴； ②过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∵点在点的上方， ∴， ∴， ∵，则， ∴ ∴． 17．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）材料一：如图1，由画函数与的图象可知，直线可以由直线向上平移5个单位长度得到．由此我们得到正确的结论一：在直线：与直线：中，如果且，那么，反过来，也成立． 材料二：如图2，由画函数与的图象可知，利用所学知识一定能证出这两条直线是互相垂直的．由此我们得到正确的结论二：在直线：与：中，如果，那么，反过来，也成立． 应用举例：已知直线与直线互相垂直，则，所以． 解决问题： (1)请写出一条直线解析式，使它与直线平行． (2)如图3，点A坐标为，点P是直线上一动点，当点P运动到何位置时，线段的长度最小？画出图形，并求出此时点P的坐标． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)线段的长度最小时，点的坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、垂线段以及两直线平行或相交，解题的关键是：（1）根据材料一找出与已知直线平行的直线；（2）利用点到直线之间垂直线段最短找出点的位置． （1）由两直线平行可得出 ，取即可得出结论； （2）过点作直线于点，此时线段的长度最小，由两直线垂直可设直线的解析式为由点的坐标利用待定系数法可求出直线的解析式，联立两直线解析式成方程组，再通过解方程组即可求出：当线段的长度最小时，点的坐标． 【详解】（1）解：∵两直线平行， ， ∴该直线可以为 故答案为： （答案不唯一）； （2）解：过点作⊥直线于点，此时线段的长度最小，如图所示． ∵直线与直线垂直， ∴设直线的解析式为， ∵点)在直线上， ，解得：， ∴直线的解析式为 联立两直线解析式成方程组，得：， 解得； ∴当线段的长度最小时，点的坐标为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 一次函数与二元一次方程 教学目标 1.理解一次函数表达式可以看成一个二元一次方程，从而建立一次函数与二元一次方程的对应关系。 2.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会根据一次函数求解二元一次方程组。 教学重难点 教学重点： 探索两者关系：明确二元一次方程的解与相应一次函数图象上点的坐标的对应关系，即二元一次方程的每一组解都对应着一次函数图象上的一个点，反之，一次函数图象上点的坐标都满足相应的二元一次方程。 掌握方程组与直线交点关系：理解二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标，学会通过解二元一次方程组来确定两条直线的交点坐标，或者根据两条直线的交点坐标得出对应的二元一次方程组的解。 教学难点： 渗透数学思想：让学生体会数形结合的数学思想，学会从 “数” 与 “形” 两个角度去分析问题，理解 “数” 的问题可以通过 “形” 来直观呈现，“形” 的问题可以借助 “数” 来精确求解。 解决实际问题：能够综合运用一次函数、二元一次方程（组）以及不等式等知识解决实际问题。能够从实际情境中抽象出数学关系，并选择合适的方法求解。 知识点01 一次函数与二元一次方程（组）的关系 以二元一次方程ax＋by＝c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y＝的图象相同． 二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y＝和y＝的图象的交点坐标． 一次函数的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图像上. 在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法. 【即学即练】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 知识点02 二元一次方程组的解的情况 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 【即学即练】若一次函数y1=k1x+b1与一次函数y2=k2x+b2的图象没有交点，则方程组的解的情况是(　) A．有无数组解 B．有两组解 C．只有一组解 D．没有解 题型01 一次函数与二元一次方程的关系 【例1】（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，直线与直线交于点，则方程组的解是（   ）    A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别与轴交于点，，则关于，的二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）若直线与的交点在第四象限，求k的取值范围． 【变式1-3】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）一次函数（k为常数，）的图象过点． （1） ； （2）若无解，结合函数的图象，则k的取值范围是 ． 题型02 利用一次函数的图象确定二元一次方程组或解 【例2-1】如图，，分别表示两个一次函数的图像，它们相交于点P． (1)求出两条直线的函数关系式 (2)点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解． 【例2-2】（22-23八年级上·安徽蚌埠·期中）用图象法解二元一次方程组： 【变式2-1】在直角坐标系内，已知直线，请画出直线，并由图象解答： 写出方程组的解； 【变式2-2】在平面直角坐标系中，直线的图象，如图所示． (1)在同一坐标系中，作出一次函数的图象； (2)用作图象的方法解方程组：． 【变式2-3】）已知一次函数与． (1)在同一平面直角坐标系中，画出它们的图象； (2)直线，与轴分别交于点，，请写出，两点的坐标； (3)根据图象，写出方程组的解． 题型03 确定三角形的面积 【例3-1】（24-25八年级上·安徽滁州·期末）已知一次函数的图象与直线平行，且与轴交于点． (1)求该一次函数的函数表达式； (2)点为一次函数图象上的动点，求使时点的坐标． 【例3-2】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，直线与直线相交于点，直线与与轴分别交于、两点． (1)求的值，并结合图象写出关于、的方程组的解； (2)求的面积； (3)垂直于轴的直线与直线、分别交于点、，若线段的长为，求出的值． 【例3-3】（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个数图象相交于点． (1)求出点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，直线：分别交x轴，y轴于A，B两点，直线：分别交y轴，x轴于C，D两点，直线相交于点P． (1)点P的坐标为______； (2)求四边形的面积； (3)过点P的直线把的面积二等分，求该条直线的表达式． 【变式3-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)若是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； (3)观察图象，不等式组的解集是_______． 【变式3-3】（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，已知直线过点，． (1)求直线l的表达式． (2)若直线与x轴交于点B，且与直线l交于点C． ①求的面积． ②在直线l上是否存在点P，使的面积是面积的3倍？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式3-4】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过，两点，与一次函数交于点C，一次函数与x轴交于点D． (1)求直线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)求的面积． 题型04 函数与方程的关系在实际问题中的应用 【例4】（2023春·安徽芜湖·八年级校考阶段练习）新冠肺炎疫情牵动人民的心，为打赢这场没有硝烟的战“疫”，甲，乙两公司向A，B两城市运送防疫物资，已知甲，乙两公司共有防疫物资400吨，其中甲公司防疫物资比乙公司防疫物资多80吨， （1）求甲，乙两公司分别有多少吨防疫物资． （2）现A城市急需防疫物资220吨，B城市急需防疫物资180吨．甲，乙两公司到A，B两城市的防疫物资运费如表： 运费（元/吨） 甲公司 乙公司 A城市 32 30 B城市 20 24 ①若总运费不超过10800元，求甲公司运往A城市防疫物资至多为多少吨？ ②国家出台支持每吨防控政策，对甲公司运往A城市的防疫物资的运费每吨财政补贴a元，乙公司运往B城市的运费每吨财政补贴b元，其余路线运费不变，已知a+b＜6，若总运费的最小值为10080元，求a的值． 【变式4-1】某商店销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元． (1)求每台型电脑和型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的3倍，预期进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式： ②该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【变式4-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）为进一步推动绿色生态文明建设，走可持续发展之路，某工厂在生产过程中同步进行污水处理，有两种处理方案： 方案1：污水纳入污水处理厂统一处理，每生产1件产品需付7元的排污费； 方案2：积极响应“无废城市”号召，使用专业设备，通过有效方法，对污水进行循环利用．每生产1件产品需付1元的设备原料费，并且设备损耗费为每月b元． 若工厂每月生产x件产品，产品的成本价为25元/件，出厂价为50元/件，方案1、方案2的月利润y（元）与x（件）之间的函数关系如图所示．结合图象回答问题： (1)填空：a＝ ，b＝ ； (2)当工厂每月生产300件产品时，两种方案的月利润相差多少元？ (3)当两种方案的月利润相差1500元时，求x的值． 【变式4-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）2024年6月25日，我国“嫦娥六号”携克的月球背面土壤样品荣耀归来，为激发学生对航天事业的兴趣，学校组织航天知识问答活动，并打算购买“嫦娥六号”装饰挂件和限量航天印章送给参加活动的学生作为纪念（给每位学生分发1个挂件和1个印章）．已知每盒挂件有30个，每盒印章有20个，且只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；花费170元可以买2盒挂件和3盒印章． (1)求每盒挂件和每盒印章的价格； (2)如果购买挂件盒，则购买印章_______盒（用含有的式子表示）恰好能够配套分发； (3)累计购买超过1700元后，超出1700元的部分有8折优惠，学校以（2）中配套的方式购买，共花费元，求关于的函数关系式．若有660名学生参加活动，共需要多少费用？ 一、单选题 1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，函数和的图象相交于点，则方程的解为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知直线与直线相交于点，则关于的二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于的方程组的解为 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（   ） A．方程组的解是 B．方程的解是 C．不等式和不等式的解集相同 D．不等式组的解集是 二、填空题 5．（22-23八年级上·安徽淮北·期末）如图，一次函数与的图像相交于点，则关于的二元一次方程组的解是    6．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解是直线与直线相交于点 A，若直线 过点 A，则实数 m 的值是 7．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）一次函数与交于点． （1）关于x的方程解为 ； （2）函数的图象沿y轴向下平移后得到函数图象，图象与图象交于点B，若点B的纵坐标为1，则不等式的解集是 ． 8．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）直线与轴、轴分别相交于点、，直线与轴、轴分别相交于点、，两直线交点为． （1）如图，当时，点的坐标为 ； （2）若两点之间距离为2，则 ． 9．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为，，，． （1）四边形的面积为 ； （2）当过点的直线l将四边形的面积分成面积相等的两部分时，则直线的函数表达式为 ． 三、解答题 10．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）一次函数的图象经过，两点． (1)此一次函数的解析式； (2)求的面积． 11．（24-25八年级上·安徽宣城·期末）宣城市郎溪县是我国绿茶之乡，县内有八万亩茶园．为拓宽销售渠道，进一步向外扩大郎溪县茶叶市场，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的茶叶包装成茶叶礼盒后再出售．已知每件A品种茶叶礼盒比B品种茶叶礼盒的售价少20元，且出售2件A品种茶叶礼盒和1件B品种茶叶礼盒的总价共500元． (1)求A、B两种茶叶礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知A、B两种茶叶礼盒每件的成本分别为100元、110元，该乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种茶叶礼盒共100盒，且A品种茶叶礼盒售出的数量不超过B品种茶叶礼盒数量的1.5倍，总成本不超过10500元，一共有多少种满足条件的方案？ (3)在（2）的条件下，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种茶叶礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 12．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅” 素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配 芝士杯 茉莉清茶杯 茉莉清茶杯 杨梅肉 杨梅肉 多肉 多肉 素材2 11月7日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的和每杯“满杯杨梅”的利润比为5：3，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯 素材3 11月8日是该店一周年店庆，为感谢广大顾客对品牌店的信任，拟对“芝士杨梅”进行让利促销，决定每杯降价12元促销，“满杯杨梅”价格保持不变。并要求当天芝士消耗量不少于3500ml，配制的17500ml茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润 任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？ 任务2 为了使11月8日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？此时最大利润是多少元？ 13．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交于点A，且与一次函数图象相交于点，一次函数图象与x轴相交于点C． (1)求m的值； (2)根据图象，直接写出当时，x的取值范围 (3)若在一次函数上存在点P，使得，求点P的坐标． 14．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在以下平面直角坐标系中， (1)画出函数与的图象； (2)根据图象写出方程组的解； (3)根据图象写出不等式的解集． 15．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，直线和直线相交于点，分别与轴交于，两点． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上有一动点，过点作轴的垂线，分别交函数和直线的图象于点，，若，求出此时点的坐标． 16．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“星辰函数”． (1)已知函数为函数、的“星辰函数”，求，的值； (2)在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点．过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点． ①若，函数、的“星辰函数”图象经过点，求的值； ②若，点在点的上方，求的取值范围． 17．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）材料一：如图1，由画函数与的图象可知，直线可以由直线向上平移5个单位长度得到．由此我们得到正确的结论一：在直线：与直线：中，如果且，那么，反过来，也成立． 材料二：如图2，由画函数与的图象可知，利用所学知识一定能证出这两条直线是互相垂直的．由此我们得到正确的结论二：在直线：与：中，如果，那么，反过来，也成立． 应用举例：已知直线与直线互相垂直，则，所以． 解决问题： (1)请写出一条直线解析式，使它与直线平行． (2)如图3，点A坐标为，点P是直线上一动点，当点P运动到何位置时，线段的长度最小？画出图形，并求出此时点P的坐标． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$