专题02 轴对称（期末复习讲义，必备知识+10大重难题型+过关验收）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题02 轴对称（期末复习讲义） 知识模块 核心考点 复习目标 考情规律 1. 轴对称基础 1. 轴对称图形与成轴对称：识别轴对称图形；理解两个图形成轴对称的区别与联系。 2. 轴对称的性质：对应点连线被对称轴垂直平分；对应线段相等，对应角相等。 1. 能辨别轴对称图形和成轴对称的两个图形。 2. 能复述并应用轴对称的三条核心性质进行推理和计算。 选择题、填空题高频考点。主要考查：①识别轴对称图形（汉字、图标等）；②利用性质求角度或线段长度。 2. 线段的垂直平分线 1. 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 2. 判定定理：到线段两端点距离相等的点在其垂直平分线上。 3. 尺规作图：会作线段的垂直平分线。 1. 理解并应用性质与判定定理证明线段相等或点在线段的垂直平分线上。 2. 掌握其基本作图方法，并理解作图原理。 常与等腰三角形、最值问题结合考查。解答题中常用于证明，或作为作图的依据。 3. 角的平分线 1. 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 2. 判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上。 1. 理解并应用性质与判定定理证明角度相等或线段相等。 2. 会利用性质进行有关距离的计算。 常作为证明题的一部分，与全等三角形知识结合，用来证明线段或角相等。 4. 等腰三角形 1. 性质定理：“等边对等角”；“三线合一”。 2. 判定定理：“等角对等边”。 3. 等边三角形：特殊的等腰三角形，具有所有等腰三角形性质，且三边、三角相等。 1. 熟练应用等腰三角形的性质和判定进行角度计算、边长推理和证明。 2. 掌握“三线合一”这一重要性质，并用于简化证明过程。 3. 理解等边三角形与等腰三角形的关系。 本章核心与难点。解答题必考。高频考查：①利用性质求角度（常需分类讨论）；②与三边关系结合，求等腰三角形边长或周长（易漏解）；③利用“三线合一”进行综合证明。 5. 轴对称的应用 1. 最短路径问题：利用轴对称性质（如将军饮马模型）解决线段和最小值问题。 2. 折叠问题：将图形折叠视为轴对称变换，利用其性质求角度或线段长。 1. 会建模：能将实际问题转化为几何最短路径问题。 2. 会求解：掌握通过作对称点解决“两定一动”型最值问题的方法。 3. 能分析：在折叠问题中，准确找出等量关系（重合的角、边）。 中档题与压轴题常见题型。折叠问题是高频热点，常综合考查轴对称、全等、勾股定理等知识，对空间想象和方程思想要求高。 知识点01 轴对称图形 描述一个图形的特性。如果存在一条直线（对称轴），使图形沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合，那么这个图形就是轴对称图形。例如：等腰三角形、圆形、正方形。 两个图形成轴对称：描述两个图形之间的位置关系。如果把一个图形沿着某条直线折叠，它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。 知识点02 轴对称图形的性质 性质1：如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段相等，对应角相等。 性质2 (最核心)：连接任意一对对称点的线段都被对称轴垂直平分。 性质3：两个图形的对应线段或其延长线如果相交，那么交点一定在对称轴上。 知识点03 线段的垂直平分线 性质定理：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等。 知识点04 角的平分线 性质定理：角平分线上的点，到这个角两边的距离相等。 知识点05 等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 性质1 (等边对等角)：等腰三角形的两个底角相等。 性质2 (三线合一)：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这是最强大、最常用的性质。 知识点06 最短路径问题（将军饮马模型） 核心思想：利用轴对称将“同侧两点”转化为“异侧两点”，再根据“两点之间，线段最短”求出最小值。 知识点07折叠问题 核心思想：图形折叠是典型的轴对称变换。解题关键是找出折叠前后的重合部分（对应边、对应角），从而建立等量关系。 题型一、轴对称图形的识别 解｜题｜技｜巧 解题关键是寻找潜在的对称轴。观察图形，想象是否存在一条直线，使图形两部分沿其折叠后能完全重合。注意，部分图形有多条对称轴（如正方形）。选择题中，可通过折叠纸片或观察左右/上下部分是否“镜像”来辅助判断。 【典例1】（22-23七年级上·山东泰安·期末）下列四个图形是轴对称图形是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·山东烟台·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A．B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东济南·期末）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图方格纸网格线上的八条等长线段形成一个线对称图形．图中有四条线段标示上号码，判断擦去下列哪个选项的两条线段后，剩下的图形不是轴对称图形．（   ） A．②和③ B．①和③ C．①和② D．②和④ 题型二、利用轴对称图形的性质求解 解｜题｜技｜巧 利用“对称轴垂直平分对应点连线”这一核心性质。已知对称图形及对称轴时，可得出对应线段相等、对应角相等的结论。解题时，先准确找出对称点或对应部分，再将几何问题转化为边、角的等量关系进行计算或证明。 【典例1】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，与关于直线对称，，，则的度数为 ． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上． (1)请在图中画出关于直线对称的图形； (2)的面积为________； (3)如图，点是的中点，请在直线上确定一点，使得的值最小． 【变式2】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）（1）在正方形网格中，每个小正方形的边长为，网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． ①计算的面积 ； ②在图（1）中作出关于直线对称的； ③若点为直线上的一点，请在图（）中标出使的值最小时点的位置． （2）如图（2），在的正方形网格中，点在格点（网格线的交点）上．请在网格中找出一个格点，使成为轴对称图形，符合条件的格点有 个． 三、图形的折叠问题 解｜题｜技｜巧 将折叠视为轴对称变换。第一步是在图形上标出所有重合的边和角（即对应关系）。利用重合带来的等量关系，结合三角形内角和、勾股定理等建立方程。关键是识别出折叠前后不变的量（如折痕可看作对称轴）。 【典例1】（24-25七年级下·山东日照·期末）如图，将一条对边互相平行的长方形纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·山东日照·期末）如图，将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处， 交 于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为 ． 【变式3】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，D是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为 ． 四、线段垂直平分线的性质 解｜题｜技｜巧 应用核心：“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”。该性质提供证明线段相等的重要路径。解题时，若已知某点在线段的垂直平分线上，或通过证明得到此结论，即可直接得到该点到线段两端点的距离相等，从而简化证明或计算。 【典例1】（22-23七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论： ①； ②； ． ③； ④若点是的中点，则周长等于的长． 其中正确的有（    ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④ 【变式1】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交于点．以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，， 的垂直平分线交于E，交于D，若，求的长． 【变式3】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，四边形中，，点为的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，当，，时，求的长． 五、三线合一的应用 解｜题｜技｜巧 “三线合一”是等腰三角形独有的强大性质。当题设给出等腰三角形及底边上的高、中线或顶角平分线中的一条时，可立即推知它同时具备另外两个身份。此性质常用于快速证明垂直、平分线段或平分角，是简化证明步骤的关键。 【典例1】（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图；在中，是的角平分线，下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】（24-25七年级下·山东·期末）如图，在中，，，点为的中点，则 ． 【变式2】（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，已知在中，，，D为BC的中点，于点E，若，则的长为 ． 六、等边对等角的应用 解｜题｜技｜巧 解题时，只要证明或指出一个三角形是等腰三角形，即可直接得到其两底角相等。反之，若已知三角形中两角相等，可用“等角对等边”证明它是等腰三角形。这是角度计算和边角关系转化的基础。 【典例1】（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，点在线段上（点不与点，重合），连接，作且边交线段于，若，则的大小为 ． 【变式1】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式2】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，点是边上一点（不与、重合），连接，以为一边在右侧作，使，，连接． (1)试判断与的数量关系，并说明理由； (2)①若，求的度数． ②若，请直接写出与之间的数量关系__________． (3)若平分，且，求的长． 七、等腰三角形的性质与判定的综合 解｜题｜技｜巧 综合题中常需灵活切换性质与判定。思路：若要证边相等，常考虑用“等角对等边”（判定）；若要证角相等，则考虑用“等边对等角”（性质）。复杂图形中，常需多次或循环使用两者，结合“三线合一”进行推理。 【典例1】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，点为上一点，且，，以为边向右上方作，使得，连接，则 ． 【变式1】（24-25七年级下·山东泰安·期末）在等腰直角中，，点在边上，过点作射线的垂线，垂足为点，过点作射线的垂线，垂足为点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，在射线上取点，使，连接，与交于点．若，，求线段的长． 【变式2】（24-25七年级下·山东滨州·期末）在平面直角坐标系的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．例如：、都是格点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，要求：保留连线痕迹，不必说明理由． (1)在图1中画出一个以为边且与全等的三角形； (2)在图2中画出的高线； (3)在图2中，找一个格点P使为等腰三角形，请至少写出4个符合条件的格点P的坐标，不需要画图、不需要写出理由． 八、30°锐角所对的直角边 解｜题｜技｜巧 该性质存在于含30°角的直角三角形中。解题时，识别或构造出这样的三角形是关键。结论“30°角所对直角边等于斜边一半”及其逆定理，常用于涉及线段半倍关系的计算或证明，是勾股定理外的又一重要工具。 【典例1】（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图，中，，是高，，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，腰的垂直平分线与底边交于点D，垂足为点E，，则边的长度为 ． 九、角平分线的性质 解｜题｜技｜巧 核心是“角平分线上的点到角两边距离相等”。该性质提供了证明点到直线距离相等的途径。应用时，常需从角平分线上点向两边作垂线，构造全等直角三角形。其逆定理（判定）也常用于证明一条射线是角平分线。 【典例1】（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，是角平分线，，垂足为点E，的面积为30，，，则的长为（   ） A．4 B．8 C．7 D． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连接，则下列结论错误的是（  ） A．根据尺规作图可用判定，得 B． C． D．的最小值是的长 【变式1】（24-25七年级下·山东滨州·期末）如图，在中，平分，．已知，，则 ． 【变式2】（24-25七年级下·山东·期末）已知：四边形．求作：点P，使点P在四边形内部，且到边，的距离相等，． 十、最短路径问题 解｜题｜技｜巧 解决“两定一动”型线段和最小值问题的经典模型。步骤：1. 任选一定点，作关于动点所在直线（如河岸）的对称点；2. 连接对称点与另一定点，连线与直线的交点即为动点最优位置；3. 线段和最小值即为该连线的长度。核心思想是“化折为直”。 【典例1】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的点，，分别为点A，B，C的对应点； (2)在直线l上找一点P，使得的长最小； (3)求出的面积． 【变式1】（20-21八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是，，关于y轴对称的图形为． (1)画出并写出点的坐标为______ (2)写出的面积为______ (3)在x轴上找出点P，使得的值最小，并写出最小值为______．（保留作图痕迹） 【变式2】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看它们正好在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下班后到P点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息．P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？请在下图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线． 34．（24-25八年级上·广东广州·期中）（1）作出关于轴对称的图形，并写出点、的坐标：_____________； （2）在轴上找一点，使得最小（画出图形，找到点的位置）． （3）求的面积． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 35．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为，． (1)当点在的什么位置时，？并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 36．（24-25七年级下·山东济南·期末）以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A． B． C．纳米 D．微云人工智能 37．（24-25七年级下·山东济南·期末）第届世界乒乓球锦标赛于年月日至日在卡塔尔多哈举办，我国乒乓球运动员在比赛中取得优异成绩，下列世乒赛标识中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25七年级下·山东烟台·期末）在中，．用无刻度的直尺和圆规在内部作一个角，下列四种作图方法中能使等于的有（    ）        A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 39．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，若平分，，则的长为 ． 40．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，有一个以格点为顶点的其中点，，均在网格上 (1)作关于直线的轴对称图形； (2)的面积是_________ ； (3)在直线上画出点，使得最小．（保留作图痕迹） 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 41．（24-25七年级下·山东青岛·期末）青岛是旅游热点城市，前海一线的回澜阁、小青岛更是游客网红打卡地．为吸引更多的游客参观旅游，某旅游公司重新开设两条海上旅游观光航线：邮轮码头C—回澜阁A，邮轮码头C—小青岛B，为了安全在两条航线的内部区域设置一个安全浮岛P，要求浮岛P到两条航线的距离相等，并且到回澜阁和邮轮码头的距离也相等，请你在图中作出安全浮岛P的位置． 42．（24-25七年级下·山东·期末）如图，在中，，垂足为D，，．E，F为边，上两点，点，关于直线对称，点为线段上一动点，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 43．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，为折痕，若，则边长为（   ） A． B． C．10 D． 44．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，．平分，交于点，，垂足为点；平分，交于点，，垂足为点．若，则 ． 45．（24-25八年级上·安徽池州·期末）【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵， ∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 46．（24-25七年级下·山东青岛·期末）【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 47．（23-24七年级下·山东·期末）数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，矩形中，，，点是边上与点和点不重合的任意一点，小明把矩形沿折叠，使点落在点处，连接，当线段的值最小时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 48．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点M，N，作直线分别交，于点D，E；再以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点F，G；分别以点F，G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点Q，则的度数是（    ） A． B． C． D． 49．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是 ． 50．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，直线与，轴分别相交于点，，点在线段上，且点坐标为，点为线段的中点，点为上一动点，则当的周长最小时，点的坐标为 ． 51．（24-25七年级下·山东烟台·期末）在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题： (1)如图1，当点E在线段上，是的角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？小颖通过观察、分析、思考，探究出了辅助线的添加方法：延长交于一点．从而很快地解决了问题．请写出本题的证明过程； (2)如图2，当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，若，则 ；（请直接写出结果） (3)如图3，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程． 52．（24-25七年级下·山东济南·期末）有一张长方形纸片，点E是边上的一定点，点F是边上一动点，连接，将沿折叠得到；点G是边上一动点，连接，将沿折叠得到． (1)如图1，当折叠得到的与没有重叠部分时． ①当，时，______，______； ②若，求的度数． (2)如图2，当点落在直线上时，______，______； (3)如图3，当折叠得到的与有重叠部分时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 53．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图， 在中，，，，． 点P 从点C 出发， 以每秒2个单位长度的速度沿向终点C运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当点 在上运动时，的长为 (用含 的代数式表示)． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求t的值． (3)当将分成的两部分的面积比为时，求t的值． (4)当点P与的顶点连结的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出t的值． 试卷第58页，共61页 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 轴对称（期末复习讲义） 知识模块 核心考点 复习目标 考情规律 1. 轴对称基础 1. 轴对称图形与成轴对称：识别轴对称图形；理解两个图形成轴对称的区别与联系。 2. 轴对称的性质：对应点连线被对称轴垂直平分；对应线段相等，对应角相等。 1. 能辨别轴对称图形和成轴对称的两个图形。 2. 能复述并应用轴对称的三条核心性质进行推理和计算。 选择题、填空题高频考点。主要考查：①识别轴对称图形（汉字、图标等）；②利用性质求角度或线段长度。 2. 线段的垂直平分线 1. 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 2. 判定定理：到线段两端点距离相等的点在其垂直平分线上。 3. 尺规作图：会作线段的垂直平分线。 1. 理解并应用性质与判定定理证明线段相等或点在线段的垂直平分线上。 2. 掌握其基本作图方法，并理解作图原理。 常与等腰三角形、最值问题结合考查。解答题中常用于证明，或作为作图的依据。 3. 角的平分线 1. 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 2. 判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上。 1. 理解并应用性质与判定定理证明角度相等或线段相等。 2. 会利用性质进行有关距离的计算。 常作为证明题的一部分，与全等三角形知识结合，用来证明线段或角相等。 4. 等腰三角形 1. 性质定理：“等边对等角”；“三线合一”。 2. 判定定理：“等角对等边”。 3. 等边三角形：特殊的等腰三角形，具有所有等腰三角形性质，且三边、三角相等。 1. 熟练应用等腰三角形的性质和判定进行角度计算、边长推理和证明。 2. 掌握“三线合一”这一重要性质，并用于简化证明过程。 3. 理解等边三角形与等腰三角形的关系。 本章核心与难点。解答题必考。高频考查：①利用性质求角度（常需分类讨论）；②与三边关系结合，求等腰三角形边长或周长（易漏解）；③利用“三线合一”进行综合证明。 5. 轴对称的应用 1. 最短路径问题：利用轴对称性质（如将军饮马模型）解决线段和最小值问题。 2. 折叠问题：将图形折叠视为轴对称变换，利用其性质求角度或线段长。 1. 会建模：能将实际问题转化为几何最短路径问题。 2. 会求解：掌握通过作对称点解决“两定一动”型最值问题的方法。 3. 能分析：在折叠问题中，准确找出等量关系（重合的角、边）。 中档题与压轴题常见题型。折叠问题是高频热点，常综合考查轴对称、全等、勾股定理等知识，对空间想象和方程思想要求高。 知识点01 轴对称图形 描述一个图形的特性。如果存在一条直线（对称轴），使图形沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合，那么这个图形就是轴对称图形。例如：等腰三角形、圆形、正方形。 两个图形成轴对称：描述两个图形之间的位置关系。如果把一个图形沿着某条直线折叠，它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。 知识点02 轴对称图形的性质 性质1：如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段相等，对应角相等。 性质2 (最核心)：连接任意一对对称点的线段都被对称轴垂直平分。 性质3：两个图形的对应线段或其延长线如果相交，那么交点一定在对称轴上。 知识点03 线段的垂直平分线 性质定理：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等。 知识点04 角的平分线 性质定理：角平分线上的点，到这个角两边的距离相等。 知识点05 等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 性质1 (等边对等角)：等腰三角形的两个底角相等。 性质2 (三线合一)：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这是最强大、最常用的性质。 知识点06 最短路径问题（将军饮马模型） 核心思想：利用轴对称将“同侧两点”转化为“异侧两点”，再根据“两点之间，线段最短”求出最小值。 知识点07折叠问题 核心思想：图形折叠是典型的轴对称变换。解题关键是找出折叠前后的重合部分（对应边、对应角），从而建立等量关系。 题型一、轴对称图形的识别 解｜题｜技｜巧 解题关键是寻找潜在的对称轴。观察图形，想象是否存在一条直线，使图形两部分沿其折叠后能完全重合。注意，部分图形有多条对称轴（如正方形）。选择题中，可通过折叠纸片或观察左右/上下部分是否“镜像”来辅助判断。 【典例1】（22-23七年级上·山东泰安·期末）下列四个图形是轴对称图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故不符合题意； B．不是轴对称图形，故不符合题意； C．是轴对称图形，故符合题意； D．不是轴对称图形，故不符合题意； 故选C． 【变式1】（24-25七年级上·山东烟台·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·山东济南·期末）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”，逐项判定能否找出对称轴，得出答案即可，熟练掌握轴对称图形的识别是解题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图方格纸网格线上的八条等长线段形成一个线对称图形．图中有四条线段标示上号码，判断擦去下列哪个选项的两条线段后，剩下的图形不是轴对称图形．（   ） A．②和③ B．①和③ C．①和② D．②和④ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义逐项分析即可，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键，根据定义结合选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、擦去②和③，剩下的不是轴对称图形，故符合题意； B、擦去①和③，是轴对称图形，故不符合题意； C、擦去①和②，是轴对称图形，不符合题意； D、擦去②和④，是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 题型二、利用轴对称图形的性质求解 解｜题｜技｜巧 利用“对称轴垂直平分对应点连线”这一核心性质。已知对称图形及对称轴时，可得出对应线段相等、对应角相等的结论。解题时，先准确找出对称点或对应部分，再将几何问题转化为边、角的等量关系进行计算或证明。 【典例1】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，与关于直线对称，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，掌握轴对称的性质是解题关键．由轴对称的性质可知，，，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：与关于直线对称，，， ，， ， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上． (1)请在图中画出关于直线对称的图形； (2)的面积为________； (3)如图，点是的中点，请在直线上确定一点，使得的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）连接交直线于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：的面积为． 故答案为：5． （3）解：如图，连接交直线于点，连接， 此时，为最小值，则点即为所求． 【变式2】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）（1）在正方形网格中，每个小正方形的边长为，网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． ①计算的面积 ； ②在图（1）中作出关于直线对称的； ③若点为直线上的一点，请在图（）中标出使的值最小时点的位置． （2）如图（2），在的正方形网格中，点在格点（网格线的交点）上．请在网格中找出一个格点，使成为轴对称图形，符合条件的格点有 个． 【答案】（1）①5；②见解析；③见解析；（2）4 【分析】本题考查了利用网格求三角形的面积，作轴对称图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． （1）①利用割补法计算即可；②根据轴对称图形的性质作图即可；③连接，与直线l相交于点P，点即为所求； （2）根据轴对称图形的性质画图即可求解． 【详解】解：①； 故答案为：5 ②如图，即为所求； ③如图，点P即为所求； （2）如图， 由图得：符合条件的点C有4个． 故答案为：4 三、图形的折叠问题 解｜题｜技｜巧 将折叠视为轴对称变换。第一步是在图形上标出所有重合的边和角（即对应关系）。利用重合带来的等量关系，结合三角形内角和、勾股定理等建立方程。关键是识别出折叠前后不变的量（如折痕可看作对称轴）。 【典例1】（24-25七年级下·山东日照·期末）如图，将一条对边互相平行的长方形纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到，进而得出． 【详解】解：如图，延长到点， 纸带对边互相平行，， ， ， ， 由折叠可得，， ， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·山东日照·期末）如图，将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处， 交 于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，解题关键在于掌握知识点的合理运用； 由折叠得到，，由平行线的性质，可得，进而求得，再由角的和即可解答． 【详解】解：由折叠得到， ∵ ∴，即： ∴． ∴ 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为 ． 【答案】18 【分析】本题考查三角形中的翻折变换，根据将、分别沿、向外翻折至、，可得是等腰直角三角形，要使面积最小，即是使的长度最小，也就是长度最小，此时为的边上的高，根据，且，可得最小为6，即可得面积的最小值为． 【详解】解：∵将、分别沿、向外翻折至、， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 要使面积最小，即是使的长度最小，也就是长度最小，此时为的边上的高， ∵，且， ∴最小为，即的最小值为6， ∴面积的最小值为， 故答案为：18． 【变式3】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，D是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为 ． 【答案】或 【分析】此题重点考查平行线的性质、翻折变换的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键； 分三种情况讨论，一是，则，求得，由折叠得，则，求得；二是，则，由，求得；三是由D是线段上的一个动点，说明不存在的情况，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，， ， ， ， 把沿折叠，点C落在点处， ， ， ， ； 如图2，， ， ， 由折叠得， ， ， ； 是线段上的一个动点， 不存在的情况， 综上所述，等于或， 故答案为：或． 四、线段垂直平分线的性质 解｜题｜技｜巧 应用核心：“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”。该性质提供证明线段相等的重要路径。解题时，若已知某点在线段的垂直平分线上，或通过证明得到此结论，即可直接得到该点到线段两端点的距离相等，从而简化证明或计算。 【典例1】（22-23七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论： ①； ②； ． ③； ④若点是的中点，则周长等于的长． 其中正确的有（    ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④ 【答案】B 【分析】先证明，即可判断①，再证明，即可判断②，延长交于点M，证明即可判断③，利用垂直平分线的判定与性质即可判断④． 【详解】解：，分别为，边上的高， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ， ∵， ∴，故②错误； 延长交于点M， ， ， ， ∴，故③正确； 若点是的中点， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ， ∴即周长等于的长，故④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、线段的垂直平分线的判定与性质等，解题关键是读懂题意，牢记相关概念并利用转化的思想． 【变式1】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交于点．以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质．根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项 A ；先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质可得，由此即可判断选项D，C；先假设可得，再根据角的和差可得，从而可得，由此即可判断选项D． 【详解】解：由题意可知，垂直平分， ，则选项A正确； ， ， ， ， ， ， ， ∴，则选项 D正确； ∵， ∴，则选项C正确； 假设， ， 又 ∵， ∴与矛盾， 则假设不成立，选项B错误； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，， 的垂直平分线交于E，交于D，若，求的长． 【答案】12 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并求出含角的直角三角形是解题的关键． 连接，根据三角形的内角和定理求出、，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 的垂直平分线交于点E， ，， ， ， ， ， ． 【变式3】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，四边形中，，点为的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，当，，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键． 根据得，，再根据点为的中点得，由此可依据“”判定和全等； （2）根据和全等得，，进而得，是的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质即可得出的长． 【详解】（1）证明：， ，， 点为的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：由可知：， ，， ， ，， ， ，， 是的垂直平分线， ． 五、三线合一的应用 解｜题｜技｜巧 “三线合一”是等腰三角形独有的强大性质。当题设给出等腰三角形及底边上的高、中线或顶角平分线中的一条时，可立即推知它同时具备另外两个身份。此性质常用于快速证明垂直、平分线段或平分角，是简化证明步骤的关键。 【典例1】（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图；在中，是的角平分线，下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定，等腰三角形的角平分线，底边上的中线，底边的高相互重合． 由于，利用等边对等角，等腰三角形三线合一定理，可知，，，从而，无法证明，进而求解即可． 【详解】∵在中，是的角平分线， ∴ ∴，，，故①②④正确； ∴，故⑤正确； 无法证明，故③错误． 综上所述，正确的有4个． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·山东·期末）如图，在中，，，点为的中点，则 ． 【答案】度/ 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据等腰三角形的性质得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ， ，点为的中点， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，已知在中，，，D为BC的中点，于点E，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 由等腰三角形的性质可以求得，以及和的度数，从而可以求得、的长，从而可以求得的长，据此求解即可． 【详解】如图，连接， ∵在中，，，D是的中点， ∴，， ∴， ∵于点E，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 六、等边对等角的应用 解｜题｜技｜巧 解题时，只要证明或指出一个三角形是等腰三角形，即可直接得到其两底角相等。反之，若已知三角形中两角相等，可用“等角对等边”证明它是等腰三角形。这是角度计算和边角关系转化的基础。 【典例1】（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，点在线段上（点不与点，重合），连接，作且边交线段于，若，则的大小为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和的性质，得到是等腰三角形是解决本题的关键． 先由可得，再由，可得，即是等腰三角形，可求解的度数，再结合三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴的大小为． 故答案为：30 ． 【变式1】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理及等边对等角等，理解题意，熟练掌握运用各个知识点是解题关键． （1）根据平行线的性质可得，依据全等三角形的判定和性质即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，，再由各角之间的数量关系得出，利用等边对等角及三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，点是边上一点（不与、重合），连接，以为一边在右侧作，使，，连接． (1)试判断与的数量关系，并说明理由； (2)①若，求的度数． ②若，请直接写出与之间的数量关系__________． (3)若平分，且，求的长． 【答案】(1)，见解析 (2)①；② (3) 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）证明，即可得到； （2）①由等腰三角形的性质求得，由求得，据此求解即可；②由，得，而，，可证明，得，则，因为，，所以； （3）求得，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：， 理由：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②， 理由：， ， 同理，， ， ， ，，且， ； （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 七、等腰三角形的性质与判定的综合 解｜题｜技｜巧 综合题中常需灵活切换性质与判定。思路：若要证边相等，常考虑用“等角对等边”（判定）；若要证角相等，则考虑用“等边对等角”（性质）。复杂图形中，常需多次或循环使用两者，结合“三线合一”进行推理。 【典例1】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，点为上一点，且，，以为边向右上方作，使得，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 延长至，使，从而得到，进一步证明，且，利用证明，则，通过线段的等量代换运算即可得出答案． 【详解】解：如图，延长至，使， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故答案为： 6． 【变式1】（24-25七年级下·山东泰安·期末）在等腰直角中，，点在边上，过点作射线的垂线，垂足为点，过点作射线的垂线，垂足为点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，在射线上取点，使，连接，与交于点．若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质，得到，，由垂线可得，进而得出，再利用“”证全等即可； （2）根据等腰直角三角形的判定和性质，以及全等三角形的性质，可证，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：在等腰直角中，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由（1）可知，， ，， 又，， ， ， ， ， ． 【变式2】（24-25七年级下·山东滨州·期末）在平面直角坐标系的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．例如：、都是格点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，要求：保留连线痕迹，不必说明理由． (1)在图1中画出一个以为边且与全等的三角形； (2)在图2中画出的高线； (3)在图2中，找一个格点P使为等腰三角形，请至少写出4个符合条件的格点P的坐标，不需要画图、不需要写出理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格特征，易得，，故，即可作答． （2）结合网格，得出，故，则，因为，即，即，合网格得，即，故是的高线； （3）因为为等腰三角形，则当以点B为顶角，以为腰，故点P的坐标为或或，当以点A为顶角，以为腰，故点P的坐标为，即可作答． 【详解】（1）解：与全等的三角形，如图所示： （2）解：画出的高线，如图所示： （3）解：依题意，4个符合条件的格点P的坐标分别是或或或． 八、30°锐角所对的直角边 解｜题｜技｜巧 该性质存在于含30°角的直角三角形中。解题时，识别或构造出这样的三角形是关键。结论“30°角所对直角边等于斜边一半”及其逆定理，常用于涉及线段半倍关系的计算或证明，是勾股定理外的又一重要工具。 【典例1】（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图，中，，是高，，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理和含30度角的直角三角形的性质的应用，解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果有一个角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．求出，根据含30度角的直角三角形的性质求出，，即可得出答案． 【详解】解：在中，，， ，， ， ， ， ， ， ∴，即 故选B． 【变式1】（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，腰的垂直平分线与底边交于点D，垂足为点E，，则边的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关性质是解题的关键． 利用等边对等角，求出的度数，利用中垂线的性质，得到，利用等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系可得，根据含角的直角三角形的性质，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴． 故答案为： 九、角平分线的性质 解｜题｜技｜巧 核心是“角平分线上的点到角两边距离相等”。该性质提供了证明点到直线距离相等的途径。应用时，常需从角平分线上点向两边作垂线，构造全等直角三角形。其逆定理（判定）也常用于证明一条射线是角平分线。 【典例1】（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，是角平分线，，垂足为点E，的面积为30，，，则的长为（   ） A．4 B．8 C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点作于点，先根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算出，接着计算出，然后根据三角形面积公式计算出的长． 【详解】解：过点作于点，如图， 是角平分线，，， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连接，则下列结论错误的是（  ） A．根据尺规作图可用判定，得 B． C． D．的最小值是的长 【答案】A 【分析】根据角的平分线的基本作图，圆的性质，垂线段最短，角的平分线性质定理判断解答即可． 本题考查了角的平分线基本作图，三角形全等的判定和性质，圆的性质，垂线段最短，角的平分线性质定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A. 根据尺规作图可用判定，得，错误，符合题意； B. ，同圆的半径相等，正确，不符合题意； C. ，根据得，正确，不符合题意； D. 的最小值是，根据角的平分线性质定理，得点D到的距离等于， 根据垂线段最短，得的最小值是的长，正确，不符合题意； 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·山东滨州·期末）如图，在中，平分，．已知，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，过D作于F，利用角平分线的性质定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解： 过D作于F， ∵平分，，， ∴， 又， ∴， 故答案为：5． 【变式2】（24-25七年级下·山东·期末）已知：四边形．求作：点P，使点P在四边形内部，且到边，的距离相等，． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的性质和垂直平分线的性质，尺规作角平分线和垂直平分线，掌握角平分线和垂直平分线的性质是解题的关键． 作的平分线和线段的垂直平分线，两条线交于点P，点P即为所求． 【详解】解：如图，点P就是求作的点． 证明：连接，如下图所示， ∵平分，点P在上， ∴点P到，的距离相等， ∵是的垂直平分线，点P在上， ∴， ∴， 十、最短路径问题 解｜题｜技｜巧 解决“两定一动”型线段和最小值问题的经典模型。步骤：1. 任选一定点，作关于动点所在直线（如河岸）的对称点；2. 连接对称点与另一定点，连线与直线的交点即为动点最优位置；3. 线段和最小值即为该连线的长度。核心思想是“化折为直”。 【典例1】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的点，，分别为点A，B，C的对应点； (2)在直线l上找一点P，使得的长最小； (3)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接交直线l于点P，则点P即为所求； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，连接交直线l于点P，连接， 此时，为最小值， 则点P即为所求； （3）解：的面积为. 【变式1】（20-21八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是，，关于y轴对称的图形为． (1)画出并写出点的坐标为______ (2)写出的面积为______ (3)在x轴上找出点P，使得的值最小，并写出最小值为______．（保留作图痕迹） 【答案】(1)图见解析， (2)3.5 (3)图见解析， 【分析】（1）根据网格结构找出点、关于轴的对称点、的位置，再与顺次连接即可，然后根据平面直角坐标系写出点的坐标； （2）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解； （3）找出点关于轴的对称点位置，连接，根据轴对称确定最短路线问题与轴的交点即为所求的点，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所作，； 由图可得：． （2）解：的面积 ； （3）解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求， ∵点A关于x轴的对称点， ∴， ∴ 根据两点之间线段最短，此时，值最小，最小值等于的长， ∵， ∴最小值等于． 【点睛】本题考查了作轴对称图形，三角形的面积，利用轴对称求最短路径问题，勾股定理，点的坐标，熟练掌握轴对称图形的性质，网格结构，准确作出图形是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看它们正好在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下班后到P点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息．P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？请在下图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线． 【答案】P点选在关于直线的对称点和点B的连线于直线m的交点；路线见解析 【分析】本题考查了轴对称解决最短路径问题，解题关键是依据轴对称性质和两点之间线段最短来确定P点． 作关于直线的对称点（或作关于直线的对称点 ） ． 连接（或 ），这条线段与直线的交点就是所求的点 ．因为根据轴对称性质，（或 ），那么（或 ），而两点之间线段最短，所以此时的和最短，连接，这就是工作人员所走的最短路线． 【详解】解：作关于直线的对称点，连接，交直线m于点P，点P即为使路程和最短的点； 连接，这就是工作人员所走的最短路线． 34．（24-25八年级上·广东广州·期中）（1）作出关于轴对称的图形，并写出点、的坐标：_____________； （2）在轴上找一点，使得最小（画出图形，找到点的位置）． （3）求的面积． 【答案】（1）图见详解，；；（2）图见详解，（3） 【分析】（1）作出△三个顶点关于轴的对称点，依次连接即可； （2）连接，与轴的交点即为所求点，即根据两点之间线段最短，得； （3）利用割补法即可求解． 本题考查了作轴对称图形，两点间线段最短，割补法求图形面积； 【详解】解：（1）关于轴对称的图形如图所示， ∴； 故答案为：；； （2）连接，与轴交点即为所求，如图所示； （3）． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 35．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为，． (1)当点在的什么位置时，？并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)当点在的中点上时，，理由见解析 (2)24 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质． 根据等腰三角形三线合一与角平分线上的点到角两边的距离相等说明即可； 两次利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半即可求得． 【详解】（1）解：当点在的中点上时，． 理由：连接． ∵为中点，， 为的平分线， ，， ． （2）解:，，为中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 36．（24-25七年级下·山东济南·期末）以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A． B． C．纳米 D．微云人工智能 【答案】D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：A，B，C不是轴对称图形，D是轴对称图形， 故选： 37．（24-25七年级下·山东济南·期末）第届世界乒乓球锦标赛于年月日至日在卡塔尔多哈举办，我国乒乓球运动员在比赛中取得优异成绩，下列世乒赛标识中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键，根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项B，C，D的图形均不能找到一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形； 选项A的图形能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选：A ． 38．（24-25七年级下·山东烟台·期末）在中，．用无刻度的直尺和圆规在内部作一个角，下列四种作图方法中能使等于的有（    ）        A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】B 【分析】本题主要考查作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、三角形的内角和、等边对等角． 根据角平分线的尺规作图、直角三角形的性质，逐一判断即可． 【详解】解：A．此选项是作直角的平分线，则，符合题意； B．此选项是作锐角的平分线，则，不符合题意； C．此选项是作，由得，符合题意； D．此选项是作两个锐角的平分线，由得， ，符合题意； 综上所述，共有3种符合题意． 故选B． 39．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，若平分，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的性质得到，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 40．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，有一个以格点为顶点的其中点，，均在网格上 (1)作关于直线的轴对称图形； (2)的面积是_________ ； (3)在直线上画出点，使得最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作出，，的对应点即可． （2）利用分割法求三角形面积． （3）连接交直线于点，连接，点即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）的面积是 （3）如图，点Q即为所求． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 41．（24-25七年级下·山东青岛·期末）青岛是旅游热点城市，前海一线的回澜阁、小青岛更是游客网红打卡地．为吸引更多的游客参观旅游，某旅游公司重新开设两条海上旅游观光航线：邮轮码头C—回澜阁A，邮轮码头C—小青岛B，为了安全在两条航线的内部区域设置一个安全浮岛P，要求浮岛P到两条航线的距离相等，并且到回澜阁和邮轮码头的距离也相等，请你在图中作出安全浮岛P的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．作平分，作线段的垂直平分线交与点P，点P即为所求． 【详解】解：如下图，安全浮岛P即为所求作： 42．（24-25七年级下·山东·期末）如图，在中，，垂足为D，，．E，F为边，上两点，点，关于直线对称，点为线段上一动点，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称−最短路线问题、三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 连接，根据轴对称的性质可得，由垂线段最短可知，即的最小值为，结合三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图：连接， ∵点，关于直线对称， ∴， ∴， ∵，． ∴, ∴的最小值为6， 故选B． 43．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，为折痕，若，则边长为（   ） A． B． C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，由折叠的性质得到是解题的关键． 由折叠可得，，进而由得到，根据三角形面积即可得到，进而求解． 【详解】解：由折叠可得，，， ， ， ， ， ， 解得， ， 故选：B． 44．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，．平分，交于点，，垂足为点；平分，交于点，，垂足为点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，解题时注意，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．先根据，，平分，，求得，，再根据平分，，求得，，设，根据，列出方程求解即可． 【详解】解：，，平分，， ，， 又平分，， ，， 设，则，，， 中， ，即， 解得， 即． 故答案为： 45．（24-25八年级上·安徽池州·期末）【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵， ∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）对顶角相等；；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过“倍长中线”法构造全等三角形，将分散的线段和角的关系集中，进而解决问题． （1）根据中点定义得到，结合对顶角相等的性质，利用判定定理证明； （2）由全等三角形性质得，再根据三角形三边关系求出的取值范围，进而得到的取值范围； （3）延长交延长线于F，利用证明，得出、，结合得，最后计算长度即得的长． 【详解】（1）解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵，（对顶角相等） ∴； 故答案为：对顶角相等；． （2）由题意可得：， ∵， 即， ∴． 故答案为：． （3）延长交的延长线于点F，如图： ∵，， ∴ 在和中． ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分 ∴， ∴． 46．（24-25七年级下·山东青岛·期末）【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明：见解析；模型运用：；解决问题：50 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 模型证明：作于，于，则，，证明，即可得证； 模型运用：在上截取点，使得，连接，由角平分线的定义可得，证明，得出，，再证明，得出，即可得证； 解决问题：由题意可得米，米，延长至点，使得，连接，证明，得出米，，，再证明，即可得解． 【详解】模型证明：证明：如图，作于，于， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 模型运用：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 解决问题：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴米，，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴米， 即此时甲、乙两人的距离为米． 故答案为：50． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 47．（23-24七年级下·山东·期末）数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，矩形中，，，点是边上与点和点不重合的任意一点，小明把矩形沿折叠，使点落在点处，连接，当线段的值最小时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形与折叠性质、勾股定理、最短路径问题，先根据两点之间线段最短得到线段的值最小时，点F在上的点处，此时点E在点处，根据矩形和折叠性质得到，，在中，由勾股定理求得即可． 【详解】解：连接， ∵，当D、F、B共线时取等号， ∴线段的值最小时，点F在上的点处，此时点E在点处，如图，    在矩形中，，，则， 由折叠性质得，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即线段的值最小时，的长度为， 故选：D． 48．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点M，N，作直线分别交，于点D，E；再以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点F，G；分别以点F，G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点Q，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图——基本作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．分别求出，再利用三角形的外角的性质求解． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ， ， ， 平分， ， ， ， 故选： 49．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键． 【详解】解：∵点是边的中点， ∴， 在上取点，使得， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 50．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，直线与，轴分别相交于点，，点在线段上，且点坐标为，点为线段的中点，点为上一动点，则当的周长最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 作关于轴对称点，连接，交轴于点，当点与点重合时，的周长最小，由直线，分别求出，，又点为线段的中点，则，所以，求出直线解析式为即可． 【详解】解：如图，作关于轴对称点，连接，交轴于点，当点与点重合时，的周长最小， ∴， 由根据两点之间线段最短可得：的周长， ∵点在直线上， ∴， ∴， 由直线，当时，， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 51．（24-25七年级下·山东烟台·期末）在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题： (1)如图1，当点E在线段上，是的角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？小颖通过观察、分析、思考，探究出了辅助线的添加方法：延长交于一点．从而很快地解决了问题．请写出本题的证明过程； (2)如图2，当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，若，则 ；（请直接写出结果） (3)如图3，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题是考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形及三角形全等的性质与判定，熟练掌握相关知识点，添加恰当的辅助线是解题的关键； （1）延长交于点M．利用平行线的性质，等腰三角形的性质和角平分线的定义，依次证明， 再证明，得，由等量代换即可； （2）延长相交于点N，利用平行线的性质，等腰三角形的性质和角平分线的定义，依次证明， 再证明，得，由等量代换求的长； （3）延长与相交于点G，利用平行线的性质，等腰三角形的性质和角平分线的定义，依次证明， 再证明，得，由等量代换即可． 【详解】（1），理由如下： 如图1，延长交于点M． ， ， ， ， ， 平分， ， ，即 ， ， ， ， ， ， 由得． （2）如图2，延长相交于点N， ，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ，， 平分， ， ，即 ， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：6． （3），理由如下： 如图3，延长与相交于点G， ， ， ， ， 又， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 由得． 52．（24-25七年级下·山东济南·期末）有一张长方形纸片，点E是边上的一定点，点F是边上一动点，连接，将沿折叠得到；点G是边上一动点，连接，将沿折叠得到． (1)如图1，当折叠得到的与没有重叠部分时． ①当，时，______，______； ②若，求的度数． (2)如图2，当点落在直线上时，______，______； (3)如图3，当折叠得到的与有重叠部分时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；；② (2)；0 (3)，见详解 【分析】本题考查了图形的翻折，角度的和差，由翻折前后角度不变且相等结合等量代换，利用平角为求解角度是解决本题的关键． （1）①根据平角为即可求解，再根据三角形翻折可得角度相等，即可求解； ②根据三角形翻折可得，，再由平角为，整体求解的度数，即可求解； （2）根据点落在直线，以及图形翻折可得，且这四个角相加为求解即可； （3）根据图形翻折可得，，设出未知数x和y，由平角表示出角的关系即可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵由翻折得到，由由翻折得到， ∴，， ∴， 故答案为：；； ②∵由翻折得到，由由翻折得到， ∴，， ∵， ∴， 即， 则有， 解得， ∴； （2）解：∵由翻折得到，由由翻折得到， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ， 故答案为：；0； （3）解：，理由如下： 设，， 则， ∴， ∵， 即， ∴， 即． 53．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图， 在中，，，，． 点P 从点C 出发， 以每秒2个单位长度的速度沿向终点C运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当点 在上运动时，的长为 (用含 的代数式表示)． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求t的值． (3)当将分成的两部分的面积比为时，求t的值． (4)当点P与的顶点连结的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)4 (3)或 (4)0.9或2.4或3.6或5.6 【分析】本题主要考查了动点问题，等腰三角形的性质，分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）由等于点P运动的距离与的差，从而得出结果； （2）由可得出点P运动距离，进而求得结果； （3）分为的面积与的面积是或，进一步得出结果； （4）分为点P在上，点P在上和点P在上．当点P在上时，P点运动距离是；当点P在上时，点P运动的距离是4.8或7.2，当点P在上时，可得，从而得出点P运动距离是，进一步求得结果． 【详解】（1）解：∵点P运动的距离是， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，点P在上， ∴， ∴； （3）解：由题意得：点P在上， 当时，， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴， 综上所述：或； （4）解：，， 当点P在上时，， ∴，即， ∴， 当点P在上时，或， 即或， ∴或3.6， 当点P在上时，， ∴， 综上所述：或2.4或3.6或5.6． 试卷第58页，共61页 2 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $