精品解析：陕西省宝鸡市第一中学2025--2026学年上学期九年级数学期中试卷

宝鸡市第一中学2025年秋季九年级期中数学试卷 九年级数学 时间：120分钟 试题分值：120分 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. B. C. D. 2. 如果，那么的值为（ ） A. B. C. 5 D. 1 3. 一个纸箱中装有若干白色和黄色的乒乓球，共计20个，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到白球的频率绘制成如图所示的统计图，由此可估计纸箱中白球的个数为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 下列命题中，真命题是（ ） A. 两对角线相等的四边形是矩形 B. 两对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 两对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D. 一组对边相等另一组对边平行的四边形是平行四边形 5. 在小孔成像问题中，根据如图所示，若O到AB的距离是18 cm，O到CD的距离是6 cm，则像CD的长是物体AB长的（ ） A. 3倍 B. C. D. 2倍 6. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共相互赠送标本210件，若全组有名同学，则根据题意列出方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 从个苹果和4个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是，则的值是___________． 10. 已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是__________． 11. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是_______． 12. 菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为______． 13. 如图，设是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取．点就是线段的黄金分割点．已知线段的长为80cm，则线段的长为____cm． 14. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 用适当的方法解下列方程： （1） （2）； 16. 如图，在中，过点作一条直线交于点，使得．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明) 17. 已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程的一个根，求这个三角形的周长． 18. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC的边上，且AD＝8，DB＝4，AE＝6，求AC的长． 19. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，，，求菱形ABCD的周长． 20. 如图，一中校园有一块长，宽的长方形空地，空地上有两条宽度为的人行步道，现要修建一个边长为的正方形消防水池，使得两条人行步道的总面积与正方形消防水池的面积相等，求的值． 21. 如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度．小明先在竖起的标杆上的点N处，测得A点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点E，C，A在同一直线上，并测得，．已知，，F，D，B三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端A的高度 ． 22. 小陆同学和小港同学是某校的初三学生，这个学期开学校开设了一门新的课程叫化学，化学是一门探究物质奥秘的学科．小陆和小港同学对化学课充满了兴趣．一次实验课上，小陆和小港所在的小组为了探究物理变化和化学变化的区别，制作了，，，四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． A．铁钉生锈 B．滴水成冰 C．矿石粉碎 D．牛奶变质 （1）小陆同学从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是_____； （2）小港同学从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小港抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 23. 如图，在中，点分别在边上，． （1）求证：； （2）如果的面积为2，求四边形的面积． 24. 猕猴桃是我省修文县特产．修文县某村民合作社年种植猕猴桃亩，年该合作社扩大了猕猴桃的种植面积，共种植亩． （1）求该合作社这两年种植猕猴桃亩数的平均增长率． （2）某水果专卖店销售修文猕猴桃，市场调查发现，当猕猴桃售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降低元，每天可多售出千克，为了推广宣传，该店决定降价促销，已知猕猴桃的平均成本价为元/千克，若使销售猕猴桃每天获利元，则售价应降低多少元？ 25. 如图，在中，四个角的平分线分别相交于点、、、． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 26. 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝鸡市第一中学2025年秋季九年级期中数学试卷 九年级数学 时间：120分钟 试题分值：120分 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟练掌握一般形式是解题的关键． 根据一元二次方程的基本概念去判断确定． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为， 故选：D． 2. 如果，那么的值为（ ） A. B. C. 5 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，解题的关键是通过等式变形求出的值． 已知等式，通过在等式两边同时除以，直接变形得到的结果． 【详解】解：∵，且， ∴两边同除以，得，即． 故选：B． 3. 一个纸箱中装有若干白色和黄色的乒乓球，共计20个，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到白球的频率绘制成如图所示的统计图，由此可估计纸箱中白球的个数为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：由题意知，袋子中有白球（个）． 故选：C． 4. 下列命题中，真命题是（ ） A. 两对角线相等的四边形是矩形 B. 两对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 两对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D. 一组对边相等另一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理可进行求解． 【详解】解：A、两对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故不符合题意； B、两对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误，故不符合题意； C、两对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法正确，故符合题意； D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原说法错误，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理，熟记平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理是解题的关键． 5. 在小孔成像问题中，根据如图所示，若O到AB的距离是18 cm，O到CD的距离是6 cm，则像CD的长是物体AB长的（ ） A. 3倍 B. C. D. 2倍 【答案】C 【解析】 6. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共相互赠送标本210件，若全组有名同学，则根据题意列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，每个同学需赠送出件标本，x名同学需赠送出件标本，即可列出方程． 【详解】解：设全组有名同学，每位同学将送出件， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、确定等量关系是解答本题的关键． 7. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别连接、、，其所在直线交于点，即可得到答案． 【详解】如图，分别连接、、，其所在直线交于点 则点G为所求的位似中心， 故选：C． 【点睛】本题考查了确定位似中心，即延长对应点的连线，其交点即为位似中心，熟练掌握知识点是解题的关键． 8. 如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理的应用，解题的关键是通过全等三角形转化线段长度，结合勾股定理列方程求解． 利用正方形性质与垂直条件证，；设，则，结合勾股定理列方程，求解后计算三角形面积． 【详解】解：根据正方形的性质，得， ． 于点于点， ， ， ， ， 由勾股定理得， ， ， . 设，则， 因为， 所以， 解得， ． 故答案为：． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 从个苹果和4个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是，则的值是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查概率的基本计算，解题的关键是根据概率的定义列出方程求解． 选中苹果的概率等于苹果的数量除以总水果的数量，由此列出方程求解． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 经检验：是原方程的解且符合题意， 故答案为：． 10. 已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 11. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】过点作于，交于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】过点作于，交于， ∵， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 12. 菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为______． 【答案】24 【解析】 【详解】解：x2﹣14x+48=0， 则有（x-6）(x-8)=0 解得：x=6或x=8． 所以菱形的面积为：（6×8）÷2=24． 菱形的面积为：24． 故答案为：24． 【点睛】本题考查菱形的性质．菱形的对角线互相垂直，以及对角线互相垂直的四边形的面积的特点和根与系数的关系． 13. 如图，设是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取．点就是线段的黄金分割点．已知线段的长为80cm，则线段的长为____cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据、，通过勾股定理计算得AD；结合，计算得AE，从而得到AC的值，即可得到答案． 【详解】∵ ∴ ∵，的长为80cm ∴cm ∴cm ∵ ∴cm ∴cm ∴cm 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、二次根式、线段和与差的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理和二次根式的性质，从而完成求解． 14. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵沿翻折，得到， ∴，， 过E作于H，设与相交于M， 则，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴，则， 解得，（舍去）， 即， 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 用适当的方法解下列方程： （1） （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法），解题的关键是根据方程的特点选择合适的解法． （1）用配方法求解，通过配方将方程转化为完全平方式； （2）先整理为一般式，再用因式分解法求解． 【小问1详解】 解： 配方得：即 开方得： 解得：； 【小问2详解】 解：先整理方程： 展开得： 即 因式分解得： 解得：． 16. 如图，在中，过点作一条直线交于点，使得．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明) 【答案】 如图所示，点D为所求： 【解析】 【分析】根据题意可得只需做∠BAC的角平分线即可． 【详解】解：∵， ∴∠BAD=∠C， ∵∠BAC=2∠C， ∴需作∠BAC的角平分线； 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及角平分线的尺规作图，熟练掌握相似三角形的性质与判定及角平分线的尺规作图是解题的关键． 17. 已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程的一个根，求这个三角形的周长． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形的三边关系定理的应用，先求出方程的解，得出两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ，， ，， 分为两种情况：①当三边为3、7、7时，， 符合三角形三边关系定理，这个三角形的周长为； ②当三边为3、7、10时，， 不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形； 所以这个三角形的周长为17． 18. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC的边上，且AD＝8，DB＝4，AE＝6，求AC的长． 【答案】AC的长为9 【解析】 【分析】由证明可得：再代入数据求值即可. 【详解】解： AD＝8，DB＝4，AE＝6， 经检验：符合题意； 所以AC的长为9． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握“相似三角形的对应边成比例”是解题的关键. 19. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，，，求菱形ABCD的周长． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理即可求得AB的长，继而求得菱形ABCD的周长； 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴，， ，． 在中，由勾股定理，得 ， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20. 如图，一中校园有一块长，宽的长方形空地，空地上有两条宽度为的人行步道，现要修建一个边长为的正方形消防水池，使得两条人行步道的总面积与正方形消防水池的面积相等，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-几何问题，解题的关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．根据“两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等”列出方程，求解即可． 【详解】由题意，得： 化简，得：． ∵， ∴． 答：步道的宽为． 21. 如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度．小明先在竖起的标杆上的点N处，测得A点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点E，C，A在同一直线上，并测得，．已知，，F，D，B三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端A的高度 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， 可得，再证明是等腰直角三角形，得到，设，则，进一步证明，利用相似三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴点N和点G重合， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， 答：避雷针顶端的高度为． 22. 小陆同学和小港同学是某校的初三学生，这个学期开学校开设了一门新的课程叫化学，化学是一门探究物质奥秘的学科．小陆和小港同学对化学课充满了兴趣．一次实验课上，小陆和小港所在的小组为了探究物理变化和化学变化的区别，制作了，，，四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． A．铁钉生锈 B．滴水成冰 C．矿石粉碎 D．牛奶变质 （1）小陆同学从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是_____； （2）小港同学从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小港抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式， （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中C卡片的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小港抽取两张卡片内容均为化学变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中C卡片的结果有1种， ∴抽中C卡片的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：四张卡片内容中是化学变化的有：A，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小港抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有：，，共2种， ∴小港抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为． 23. 如图，在中，点分别在边上，． （1）求证：； （2）如果的面积为2，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． （2）四边形的面积是6． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识； （1）由题意得，根据相似三角形的判定方法可得出结论； （2）由相似三角形的性质得出，求出三角形的面积，则可得出答案； 熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积为8， ∴． 24. 猕猴桃是我省修文县特产．修文县某村民合作社年种植猕猴桃亩，年该合作社扩大了猕猴桃的种植面积，共种植亩． （1）求该合作社这两年种植猕猴桃亩数的平均增长率． （2）某水果专卖店销售修文猕猴桃，市场调查发现，当猕猴桃售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降低元，每天可多售出千克，为了推广宣传，该店决定降价促销，已知猕猴桃的平均成本价为元/千克，若使销售猕猴桃每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）； （2）元． 【解析】 【分析】（）设该合作社这两年种植猕猴桃亩数的平均增长率为，由“增长前的量增长后的量”，列出方程，解方程即可求解； （）设售价降低元，根据“每千克利润销售量总利润”，列出方程，解方程即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设该合作社这两年种植猕猴桃亩数的平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该合作社这两年种植猕猴桃亩数的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价降低元，则每千克的销售利润为元，每天可销售千克， 依题意得，， 整理得，， 解得， 答：售价应降低元． 25. 如图，在中，四个角的平分线分别相交于点、、、． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ， ，分别平分与， ，， ， ， 同理：， ， 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是关键． （1）由平行四边形的性质和角平分线定义求出，则，同理，则，再由矩形的判定即可得出结论； （2）延长，交于，依据平行四边形的性质，即可得到，进而得出的长．再判定四边形是平行四边形，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，延长，交于， ∵，平分， ， ， 又， ． 平分，平分， ， 又， ， ． 四边形是平行四边形， ，， 又平分，平分， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， ． 26. 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 【答案】（1），； （2），理由： 如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）的长为或. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案． 【小问1详解】 解：∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①为的中点，当点在线段上时，线段的延长线交线段于点，记与交于点，有如下两种情况，两种情况解法相同． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ②为的中点，当点在线段上时，线段交线段于点，延长交于，有如下两种情况，两种情况解法相同． 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或． 【点睛】本题是一道以菱形与等边三角形为载体的几何综合题，解决这道题的第二小问核心在于通过旋转构造全等三角形，第三小问中，要区分射线带来的多解情况，需对点的不同位置分类讨论，不能遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $