吉林省长春市2025-2026学年高三上学期高考数学模拟试题

绝密★启用前 2026年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟试题 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知复数么-汁背为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于 A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.某企业对一种特殊零部件进行招标，共有7个厂商参与竞标.将7个厂商的报价整理得到如 下数据（单位：元/个）：6.1,5.9,5.9,6.0,5.8,6.1,6.3，则这组数据的第70百分位数为 A5.8 B.5.9 C.6.0 D.6.1 3.已知平面向量a=(2,3),b=(1,0),且2a一b与a十mb共线，则m= A1 B.-1 c D-是 4设全集U=(红∈z引x2是小于9的平方数)，集合A={女∈z}产>0，B=(-21,2,则 Cu(A∩B)= A{-2,-1,0} B.{-1) C.{-2,-1} D.{-1,0,1} 5.已知函数f女)是定文在R上且周期为4的奇函数，当2<x<3时，时(：)-号x+子，则 假)- A号 B.0 c- D-号 6.在(3+)x一y‘的展开式中，xy2的系数为 A15 B.25 C.30 D.65 描全能王 建 7.如图，在正六棱台ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，AE=√3，A1D1=4,四边形ADD1A1的面 积为6√3，则该正六棱台的表面积为 D A.5+7w5 B.951 C53 D.9y5+15 2 2 2 2 8.已知函数f(x)=ax2十a一(1一x3十x2十x)e在区间[0，十∞)上有两个零点，则实数a的取 值范围为 A[1,e) B.[e,e2) c) D.ei Ze 55 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设正数a,b,c,d满足b为a与c的等差中项，c为b与d的等比中项，则下列说法正确的是 A若6=2a,则d=号0 B若d-骨c,则a=号c C.若a,b为整数，则c不为整数 D.若a,b为整数，则d可能不为整数 10.设实数a,b满足3(a一b)2=6一4ab,则ab的可能取值有 A.1 B.-1 C.2 n-是 知椭圆E十片1@>6>0)的左有焦点分别为F1,F2,焦距为2，短轴长为2月 A为E在第一象限部分上的一点，过点A且与E相切的直线分别交y轴、x轴于B,C两点， 设O为坐标原点，则下列说法正确的是 A椭圆E的离心率为号 B若点D(经，0，则AD的最小值为3 C.△OBC的面积不小于2√3 D.∠F1AB=∠F2AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12记F2,0为双曲线E:答-苦-1a>0)的右焦点，则区的南近线方程为 13.已知某随机变量X服从正态分布X~N(2,σ2)，且P(2≤X<6)=0,4,则P(X≥6)= ,P(X>-2lX<2)= .(第一空2分，第二空3分) 14,在△ABC中，C=号，AB=23,以△ABC各边为直径分别向外作三个半圆，P,Q为三个半 圆上任意两点，则PQ的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证阴过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=tan(ar+p)(o>0,0<p<受)，点(-0和(，0是曲线y=f(x)相 邻的两个对称中心. (1)求f(x)的解析式； (2)探究在区间（一π，π）上有几条平行于y轴且被曲线y=f(x)无限逼近的直线. 16.(本小题满分15分) 已知{an}与bn}为公差相同的等差数列，且an十bn=4n,a1=b2, (1)求(an}与{bn}的通项公式； (2)设5，为数列{1 的前n项和，证明：2Sn<1, 17.(本小题满分15分) 设函数f(x)=e+a十a一1，a∈R (1)若f(x)存在大于0的零点，求a的取值范围； (2)设点(m,n)在曲线y=f(x)的任意一点的切线上，证明：f(m)≥n. 18.(本小题满分17分) 如图，在等腰梯形ABCD中，AB,/CD,AE1CD,垂足为E,且AB=AE=号CD=1,延长线 段ED至点P,使得EP=2√2.将△AEP沿AE翻折至△AEP的位置，D到达D'的位置，使得 P'C=2 (1)证明：平面P'BC⊥平面P'BE, (2)求直线AD'与CP'所成角的大小； (3)求三棱锥A-P'EC与三棱锥B-P'EC所围成的公共部分的外接球的表面积， 19.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系xOy中，点F(1,0)为抛物线E:y2=2px(>0)的焦点，A,B,C为E上 三点，且F为△ABC的垂心. (1)若点A的纵坐标为22，求直线BC的斜率； (2)若|AF|=1,求△ABC的面积； (3)证明：FA·F克为定值， 题号1234567891011 答案AD CAABDAABD AD ACD 1.人解折：因为：=3升=3+3二-5+8i-3i-止-10+5i=2+i,故：在复平面内对应的点为 2+i(2+i)(2-iD 5 5 (2.1),位于第一象限，故选A. 2.D解析：将这组数据从小到大进行排列得到：5.8.5.9,5.9,6.0,6.1.6.1.6.3，由7×0.7=4.9可知，第 70百分位数为第5个数.即6.1.故选D. 3.C解析：由题意可得2a一b=(3,6),a+mb=(2+m,3),由2a一b与a+mb共线可得3X3=6(2+m), 解得m一一方故选心 A解折：由题意可得U=(2-1.0,12,≥0，可得中00解得一1r3,叉 x∈Z,于是A={-1.0,1,21,所以A∩B={1.21,所以Cw(A∩B)=(-2,-1,01,故选A 5A解折：由函数性质可得/受)=-》=-侵)-（←》-子故选A 6.B解折：(r-y)的展开式中，xy的系数为C心(-1)2=15，x'y的系数为C(-1)=-20.所以 (3+号}x-y)的展开式中y的系数为3X15-20=25,故选B AE 7.D解析：如图.由平面几何知识可知AE⊥DE,故AD-n∠AD正-2，AB-1A1B1-2.不妨记该按 台的高为A,易知h为梯形ADD,A1的高：故6厅-之(AD十A1D1h=3h.解得h=2厅.记点A在下底 面的射影为M,则AM=h=23.易知A,M=1,则AA1=√AM+A不=√3.过A作AN⊥A,B, 垂足为N.则A,N-分，于是AN-A-AN=受，放梯形ABB,A的面积为S,=之AB十 2 A,B,)×AN一3瓦，于是该按台的表面积为3瓦x6+35+65-915返.故选D 4 2 2 8Λ解折：由题意可转化为关于x的方程a-(1+行)：在区向[0，十∞)止有两个不同的实数根，设 数Rx)-(++)e.则g')-=+2-22-2r+2。,即gx)- (x+1) -二+✉+2。，所以当x∈(0.1)时g'x)>0g(x)单调递增，当re1,+∞)时.8'(x)0. (x+1)F g(x)单调递减，所以当r∈[0.十o)时，g(r)的最大伯为g(1)=c,又g(0)=1且x++oo时，g(x)+ 一oo,所以1≤u<c,故选A 9.ABD解折：由题意可得abc成等差数列，即a十c=2b,b,c,d成等比数列.即c=d,若b=2a,则 c=3,则d-号a,故A正确：若d-号c则b-台c,则a=是c,故B正确若ab为整数，则b-a为楚 数故c=6+(6-a)为整数，故C错误若a,bcd分别取34.5，孕此时可满足条件，但d不为整数。 故D正确.故选ABD 10.AD解桥：由3(a-b):=6-4ab得3(a2+b3)=2ub+6,因为-(u2+b)≤2ab≤a2+b2,所以 -(生9)<2<22m以-≤足放法△D 1山.ACD解折：依题意得c=1.b=5.则a=+-万=2故椭圆E的离心率为宁故A正确：易知 B亏+号=1.设点Au则AD1F-(。+=-之，+后+8将=3-代人 得AD1-d-之，+号-么少+积当，=1时AD1取得是小值9，放B错误：设切线的 方程为y=kr+m,联立行十专-引“得(4：+3)x2+8mr+4m-12=0,所以十z,=即 y=kr+m. 五=舞3所以，十加双平所安=-普即=爱代人直线方程中相%=一密十 yo m所以m-是所以B6,).c(侵o小：因能△08C的商积为及又1=乎+号> 4y。 yo toyo 2厚罗-管所以总之2尽，当且仅当宁岩-号时等号成立.放C正确，设直线FA的倾斜 角为a,直线F:A的倾斜角为B,直线BC的倾斜角为Y.因为Y=a+∠F,AC=a+180°-∠F,AB,Y= B+∠F:AC,所以2Y=a+B+180°+∠F:AC-∠F,AB,所以要证∠F,AB=∠F:AC.只要证明 180°+a+B=2y即可.其中tan2y= 2tan Y -】 6ana-kw=行 24xoyo 1-tan'y (3 am一名所以ua1w+a+》-a+=巴号-产气爱之将1-子+号代 tana十tanβ2xoyo 人得2y。 z6-y8=9x-6·所以tan180+a+B)=an2Y.因为0<a+8<180.90°<y<180,所以 24royo 180°+a+B=2y,所以∠F,AB=∠F:AC,故D正确.故选ACD. 12y士5：解折：易知a十3-2，解得0=1，即Er-苦=1，故其渐远线方程为y=士 13.0.10.8解析：由题可知P(X<2)=P(X≥2)=0.5，又P(2≤X<6)=0.4,则P(X≥6)=0.1.由对 称性可知P(X≤-2)=0.1，则P(-2<X<2)=0.5-0.1=0.4,故P(X>-21X<2)= P-2≤X≤2-0.8. P(X<2) 14.3V3解析：如图，不妨设P.Q分别为BCAC上任意一点，取AC,BC的中点分别为F,G,连接FG并 延长交两个半圆于E,H,则PQ≤PG十GF+FQ=BC+AB+AC,当且仅当P,G,F,Q四点共线时等 2 号成立，即线段PQ与缇段HE重合时等号成立，所以三个半圆上任意两点的最大距离等于△ABC周长 的-单由正弦定理得二~二=-4：所以BC=mA:AC=如B,则PQ≤ in 专5+4sinB+4m管-B]=5+3nB+5cosB=5+25sn(B+若）<3，当B=音时取 等号，即PQn=35. H 15.解：1①由题可知，后-（←-号=云共中T是了x)的最小正周期，故u=2.…2分） 又国为点(-是0)是曲线y=f)的对称中心， 所以-吾+p=受，n∈z,即p=君+罗n∈z结合0<g<受可知p=吾 .…(4分) 因此fx)=tanl2x+) …(5分) (2)平行于y轴且被曲线y=∫心x)无限逼近的直线的方程满足2x+晋=受十k,k∈乙， …(7分) 解得x=晋十经kZ… …(8分） 在区间（一，上解一<看十经<，可得负=-2-1,01，共回个取值… (12分) 所以在区间（一π，π）上有4条平行于y轴且被曲线y=∫(x)无限逼近的直线。…(13分) 16.解：(1)设a1=x,则b1=4一x,b2=x,a2=8-x,… (2分) 由题意可得a2一a1=8-2x=b2-b1=2x一4，解得x=3,…(4分) 则{an》的首项为3，公差为2，《bn}的首项为1，公差为2， 故a.=3+2(-1)=21+1,bn=1+2(n-1)=2m-1. …(8分) (2)证明：由(1)有anbn=(2十1)(2n-1),… (9分) (11分) 剥s.=[-+哈-)+…+(2中】 =号(-2卡)分… (14分) 故2Sn<1.… (15分) 17.解：(1)易知函数f(.x)在R上单调递增，且x→十∞时，∫(x)→十∞， 若f(x)存在大于0的容点，则f(0)<0,即e十a一1<0.… …(3分) 令g(a)=e十a一l,易知函数g(a)在R上单调递增， 因为g(0)=0,所以要使g(a)<0,只需a<0, 即a的取值范围为（一0∞，0）.…(7分) (2)证明：不妨设切点为(1，f(1),则切线为y=e+(x一1)十f(1),…(8分) 由于(，n)是切线上一点，故n=e+(m一t)十f(t), 要证f(n)≥n,即证em+a十a-l≥e+a(-t)十etw十a一l, (11,分) 等价于证明e"一e(n一t十l)≥0.… (12分) 设h(t)=e"-e(m-t十1)，则h'(l)=e(1-m）.… (13分) 当t<m时，'()<0，h(u)单调递减，当t>m时，h'(t)>0,h()单调递增。 又h(m)=0,故h(t)≥h(m)=0,也即f(m)≥n得证.… (15分) 18.解：(1)证明：由题意得AP'=AP=3,AC=√5， 在△ACP'中，因为AP2=AC2+PC2=9,所以P'CLAC,同理可得P'C⊥CE 因为AC∩CE=C,AC,CEC平面ABCE,所以P'C⊥平面ABCE. 因为BEC平面ABCE,所以P'C⊥BE.… (3分) 在△BCE中，因为BE=BC=√2，CE=2,所以CE2=BE2+BC2,即BE⊥BC.…(4分) 又PC∩BC=C,P'C,BCC平面P'BC,所以BE⊥平面P'BC 又BEC平面PBE,所以平面P'BC⊥平面P'BE. (6分) (2)以E为坐标原点，EA,E心的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1,0.0,C02,0,P'02,2).D'0,）. 2,2 …(8分) 所以AD=(-1,9,）,CP=00,2, 2,2 设直线AD'与CP'所成的角为0， 则os0=.C2=E=， AD'ICP2X222心 (10分) 又0e0,引故直线AD'与CP'所成角为号 …(11分） D (3)如图，设AC∩BE=M,则三校锥P'-MCE即为所求的公共部分， .0.04..066.0404000086000000008 (12分) 设△MCE的外接圆半径为r,三枚锥P'-MCE的外接球半径为R, 图为AB/CE,所以△AMBn△CME,则CM=号AC=25 3， (13分) 由正弦定理得2，=CM=2@ 泰象单带0。年单●带●。e。。●0●。。。参●●● 3 (14分) sin 4 故R2=()+r2-， 000000000 (16分) 所以外接球的表面积S4=4R?=76 …（17分) 9 升 ●●● 19.解：(1)由题意可得抛物线E:y2=4x,…（1分） 令y=2√2，易得A(2,2√2)， 故直线AF的斜辛为2反，…(2分) 由于F(1,0)为△ABC的垂心，故BC⊥AF, 故直线BC的斜率为-1=-巨 2√24 …(3分） (2)由|AF|=1易得A为坐标原点，此时BCLx轴，…(4分) 分X二m=一1，解得n=士5. 设B(2,2m),则C(n2,-2m,由BF⊥AC可得2X,2m …(6分) 从而△ABC的面积为号×m2X4m=10,5. …（7分） (3)证明：因为FB⊥AC,所以(FA-F心)·F店=0，即FA,F范=F范.F心， 同理有F克，F心=F戒.FA, 故i=号i.F+心+℉武.i.… …(9分) 设A(4a2,4a),B(4b2,4b).C(4c2,4c). 因为A京.BC=0,则1-4a)(b十c)-4a=0①， 同理有(1一4b2)(c十a)一4h=0②，(1一4c2)(a十b)-4c=0③，…(11分) 0-②得ab+bc+oa=-0.①+@+③得a6+ic+ea+ab62+bc+oa2=-2a+b+c. …(们3分） a26+b2c+c2a+ab2+bc2+ca2=(ab+bc+ca)(a+b+c)-3abc, 故结合@可得ac=-寻a+6十c)⑤，… …（14分) 记FA.F+F馆.F心+F元.FA=S, 则由④⑤知 S=(1-4a2)(1-4h2)+(1-4b2)(1-4c2)+(1-4c2)(1-4a2)+16(ab+bc+ca) =16(a2b2+b2c2+c2a2)-8(a2+b2+c2)-17 =16[(ab+bc+ca)2-2abc(a+b+c)]-8[(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)]-17 =-12, 从而F月，FB=一4为定值. (17分)