精品解析：甘肃省酒泉市第二中学教育集团2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

2025-2026学年第一学期12月份学科质量检测 九年级数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 如图所示的几何体，其主视图是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断几何体的三视图．根据主视图是从正面看得到的图形解答即可．掌握主视图是从正面看得到的图形，左视图是从左面看得到的图形，俯视图是从上面看得到的图形是解题关键． 【详解】解：从正面看看到的是一个长方形，中间有两条竖着的虚线， 即， 故选：A． 2. 若，则下列各式正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A. 2a=3b⇒a:b=3:2，故选项错误； B. 3a=2b⇒a:b=2:3，故选项正确； C.⇒b:a=2:3，故选项错误； D. ⇒a:b=3:2，故选项错误． 故选B. 3. 反比例函数的图象不经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握：函数图象上的点表示该点的横纵坐标适合该函数的解析式，反过来也成立．据此逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为 ， A、当，，满足方程，则该点在图象上； B、当，，不满足方程，则该点不在图象上； C、当，，满足方程，则该点在图象上； D、当，，满足方程，则该点在图象上． 故选：B． 4. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 5. 如图，在中，D，E分别是，上的点，，若，，则等于（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，根据列式计算即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， 故选B． 6. 在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：列表得： 1 2 3 4 1 3 4 5 2 3 5 6 3 4 5 7 4 5 6 7 由表格可知和共有12种情况，其中和为奇数的有8种，所以两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是； 故选B. 考点：列表法求概率. 7. 如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为(　 　) A. 800sinα米 B. 800tanα米 C. 800cosα米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据锐角三角函数的定义得出tanα＝；然后把数值代入，变形即可解答. 【详解】在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝800米， ∴tanα＝， 锐角三角函数的定义 ∴AB＝ ＝. 故选D. 【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键. 8. 12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震．面对突发灾情，某公司积极募捐资金，支持当地开展灾害救援救助及灾后重建工作．第1天募捐到资金万元，第2天、第3天募捐资金连续增长，第3天募捐到的资金为万元．设该公司这两天募捐资金平均每天的增长率为x，则所列方程正确的是（　　） A. B. =3.2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均增长率的计算，正确理解题是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故选A． 9. 函数与（）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可． 【详解】时，，在一、二、四象限，在一、三象限，无选项符合． 时，，在一、三、四象限，（）在二、四象限，只有D符合； 故选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限． 10. 如图，在中，分别是的边上的中线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质及三角形面积的比例关系，解题的关键是利用中线分三角形面积为相等的两部分． 先根据中线性质确定与的面积关系，再确定与的面积关系，最后求出两者的面积比． 【详解】解：是的中线， ∴是中点，是中点， ∴，且， ∴，相似比为， ∴， 同理：， ∴， ∴， 是中线，，且， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 一元二次方程用配方法解可变形为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先移项，再两边配上，写成完全平方公式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ， ∴， 故答案为：． 12. 已知：∠A+∠B＝90°，若sinA=，则cosB＝__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据∠A+∠B＝90°，判定三角形ABC为直角三角形，则根据互余两角的三角函数的关系求解即可. 【详解】由∠A+∠B＝90°，sinA＝，得：cosB＝sinA＝， 故答案为． 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数的关系的应用，注意：在△ACB中，∠A+∠B＝90°，则∠C=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB． 13. 如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为_____m． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意得△ABC∽△EDC，相似三角形成比例得解． 【详解】∵△ABC∽△EDC， ∴，，CB=6，BD=6-2=4． 故BD为4m． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是清楚相似三角形的性质． 14. 若代数式4x2－2x－5与2x2＋1的值互为相反数，则x的值是____． 【答案】1或－ 【解析】 【详解】由题意得：4x2－2x－5+2x2＋1=0， 解得：x=1或x=-． 故答案为：1或- 15. 如图，河坝横断面迎水坡的坡度为，坝高，则的长度为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据坡度的概念求出，根据勾股定理求出． 【详解】解∶迎水坡的坡比为， ，即， 解得，， 由勾股定理得，， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，P(2a，a)是反比例函数y＝的图象与正方形的边的一个交点，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】4 【解析】 【分析】先利用反比例函数解析式y＝确定P点坐标为（2，1），由于正方形的中心在原点O，则正方形的面积为16，然后根据反比例函数图象关于原点中心对称得到阴影部分的面积为正方形面积的. 【详解】解：把P(2a，a)代入y＝得: 2a•a=2，解得a=1或-1， ∵点P在第一象限，∴a=1， ∴P点坐标为(2，1)， ∴正方形的面积=4×4=16， ∴图中阴影部分的面积=×正方形的面积=4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形．根据对称性理解阴影部分的面积是正方形面积的是关键. 17. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，若，则=_________. 【答案】 【解析】 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝CD，即可证得△DEF∽△BAF，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴△DEF∽△BAF， ∴， ∵DE：EC＝2：3， ∴DE：CD＝DE：AB＝2：5， ∴＝4：25，即=． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 18. 如图，为等边三角形，点恰好在反比例函数的图象上，且轴于点．若点的坐标为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，求得点B的坐标是解题的关键．首先根据等边三角形的性质得到，进而求出，然后利用角直角三角形的性质求出，然后利用等边三角形的性质得到，利用勾股定理得到，进而得到点B的坐标，然后代入即可求出k的值． 【详解】∵为等边三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵，点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点恰好在反比例函数的图象上， ∴，即． 故答案为：． 三、计算题：（本大题共4小题，共22分）． 19. （1）解方程； （2）计算． 【答案】（），；（）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，含特殊角三角函数的运算，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）运用公式法解一元二次方程即可； （）依次计算负整数指数幂，立方根，实数的绝对值，特殊角三角函数值，最后合并即可求解． 【详解】（）解： ， ， ∴，； 解： ． 20. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，，求的长． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由，得，求出即可，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕原点逆时针旋转得到； （2）以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求； （2） 如图，即为所求， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转作图、作位似图形等知识点，掌握相应知识点和作图方法是解题的关键． （）将旋转图形的各顶点与旋转中心相连，根据旋转方向和旋转角度确定旋转后的对应点，连接这些对应点即可； （）根据图形的位似性质，将图形的各顶点与位似中心相连，并将其延长，并根据位似比截取线段得对应点，连接这些对应点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 2024年酒泉市第二中学九年级学生计划到酒泉市周边的旅游景区去研学，根据酒泉市《旅游指南》2024年1月酒泉市已有五家国家级旅游景区，分别为A：嘉峪关长城景区；B：敦煌莫高窟旅景区；C：航天发射基地；D：瓜州榆林窟；E：金塔胡杨林景区．如果九年级计划从中选择部分景区研学． （1）九年级任选一家去研学，选择B：敦煌莫高窟景区的概率是多少？ （2）若九年级选择了B：敦煌莫高窟旅景区，他们再从A，C，D，E四个景区中任选两个景区去旅游，求选择A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到选择A、D两个景区的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有五家旅游景区，且每个景区被选择的概率相同， ∴选择B：敦煌莫高窟景区的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 则一共有12种等可能性的结果数，其中选择A，D两个景区的结果数有2种， ∴选择A，D两个景区的概率为． 四、解答题：（本题共5小题，共44分．） 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 23. 如图，点D，E分别是和上的点，，，． （1）求的度数； （2）求的度数； （3）求的长． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和等知识，熟练掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键． （1）根据相似三角形的对应角相等即可得到答案； （2）由三角形的内角和进行计算即可； （3）根据相似三角形对应边成比例计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）在△ADE中， ； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． （1）分别求出反比例函数与正比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3）4 【解析】 【分析】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，三角形的面积． （1）把点代入可得的值，求得反比例函数的解析式，进而求解； （2）先求出点B的坐标，根据图象得出不等式的解集即可； （3）求出点的坐标然后利用三角形面积公式可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 把点代入得：， ∴， ∴正比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点， ∴， 根据图象得：不等式的解集为或． 【小问3详解】 解：∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∴， ∴． 25. 某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．将销售价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？ 【答案】销售价定为14元时，每天所获销售利润最大，且最大利润是360元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意列出二次函数，将函数化简为顶点式，便可知当时，所获得的利润最大． 【详解】解：设销售单价定为元（），每天所获利润为元． 则 ， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为360， 所以将销售定价定为14元时，每天所获销售利润最大，且最大利润是360元． 26. 如图，小明想测量塔CD的高度，他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°．求塔高CD，（小明的身高忽略不计，结果精确到1m，≈1.732） 【答案】该塔高为 【解析】 【分析】根据题意知，至B处，测得仰角为，，可求出塔高． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， 答：该塔高为． 【点睛】本题考查仰角的定义，要求能借助仰角找到直角三角形各边之间的联系，从而求解． 27. 问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长． 【答案】问题解决：（1）证明：如图1，∵四边形是矩形， ． ． ． ． 又． ∴矩形是正方形． （2）是等腰三角形．理由如下： ， ． 又，即是等腰三角形． 类比迁移：8 【解析】 【分析】问题解决：（1）证明矩形ABCD是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合和可知，再利用矩形的边角性质即可证明，即，即可求解； （2）由（1）中结论可知，再结合已知，即可证明，从而求得是等腰三角形； 类比迁移：由前面问题的结论想到延长到点，使得，结合菱形的性质，可以得到，再结合已知可得等边，最后利用线段BF长度即可求解． 【详解】解：问题解决： （1）略 （2）略 类比迁移： 如图2，延长到点，使得，连接． ∵四边形是菱形， ． ． ． 又． 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档难度的几何综合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期12月份学科质量检测 九年级数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 如图所示的几何体，其主视图是(　　) A. B. C. D. 2. 若，则下列各式正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象不经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 5. 如图，在中，D，E分别是，上的点，，若，，则等于（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为(　 　) A. 800sinα米 B. 800tanα米 C. 800cosα米 D. 米 8. 12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震．面对突发灾情，某公司积极募捐资金，支持当地开展灾害救援救助及灾后重建工作．第1天募捐到资金万元，第2天、第3天募捐资金连续增长，第3天募捐到的资金为万元．设该公司这两天募捐资金平均每天的增长率为x，则所列方程正确的是（　　） A. B. =3.2 C. D. 9. 函数与（）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，分别是的边上的中线，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 一元二次方程用配方法解可变形为______． 12. 已知：∠A+∠B＝90°，若sinA=，则cosB＝__________. 13. 如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为_____m． 14. 若代数式4x2－2x－5与2x2＋1的值互为相反数，则x的值是____． 15. 如图，河坝横断面迎水坡的坡度为，坝高，则的长度为_________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，P(2a，a)是反比例函数y＝的图象与正方形的边的一个交点，则图中阴影部分的面积是________． 17. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，若，则=_________. 18. 如图，为等边三角形，点恰好在反比例函数的图象上，且轴于点．若点的坐标为，则的值为________． 三、计算题：（本大题共4小题，共22分）． 19. （1）解方程； （2）计算． 20. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，，求的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕原点逆时针旋转得到； （2）以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 22. 2024年酒泉市第二中学九年级学生计划到酒泉市周边的旅游景区去研学，根据酒泉市《旅游指南》2024年1月酒泉市已有五家国家级旅游景区，分别为A：嘉峪关长城景区；B：敦煌莫高窟旅景区；C：航天发射基地；D：瓜州榆林窟；E：金塔胡杨林景区．如果九年级计划从中选择部分景区研学． （1）九年级任选一家去研学，选择B：敦煌莫高窟景区的概率是多少？ （2）若九年级选择了B：敦煌莫高窟旅景区，他们再从A，C，D，E四个景区中任选两个景区去旅游，求选择A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）． 四、解答题：（本题共5小题，共44分．） 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 23. 如图，点D，E分别是和上的点，，，． （1）求的度数； （2）求的度数； （3）求的长． 24. 如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． （1）分别求出反比例函数与正比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 25. 某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．将销售价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？ 26. 如图，小明想测量塔CD的高度，他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°．求塔高CD，（小明的身高忽略不计，结果精确到1m，≈1.732） 27. 问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $