专题01 分式（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材北京版

该初中数学分式专题知识清单全面梳理了分式的核心内容，涵盖分式概念、性质、运算、方程及应用等8大知识模块，搭建了从基础定义到综合拓展的递进式学习支架。 清单通过“知识清单+题型分类”呈现完整知识体系，8大模块含概念辨析、性质应用等要点，13类题型配例题与变式，标注“分式分离常数法”等拓展点，培养抽象能力和运算能力。设计“分式方程检验步骤”等实用提示，助力学生自主学习，教师可精准教学。

专题01 分式（8知识&13题型） 【清单01】分式的概念 分式:式子；、都是整式；中含有字母. 【清单02】分式有意义的条件 分母. 【清单03】分式的值为0 分子= 0，同时满足. 【清单04】分式的性质 ① 分式的分子分母扩大相同的倍数，分式的值不变. ② 分式分子分母当中的字母，扩大相同的倍数，分式的值如何变化. ③ 最简分式：分式的分子与分母没有公因式. ④ 约分：分式的分子分母约分约相同的公因式. ⑤ 最简公分母：系数部分由所有分母中系数的最小公倍数组成，字母部分由所有分母中字母的最高次组成. ⑥ 通分：在不改变分式值的情况下，把几个异分母的分式化为相同分母的分式的变形，叫做通分. 【清单05】分式的乘除法 ① 分式乘法：分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，用式子表示为. ② 分式除法：分式除以分式，把除式的分子，分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为. ③ 分式乘除混合运算 ④ 分式乘方：分式的乘方是记分式的分子，分母分别乘方，用式子表示为， (n是正整致). ⑤ 含乘方的分式乘除混合运算:先算乘方，再算乘除法. 【清单06】分式的加减法 ① 分式加减法混合运算：同分母的分式相加减时，分母不变分子相加减，即；异分母的分式相加减时，先进行通分化为同分母后，再进行加减运算，即. ② 零指数幂：任意非零数的零次幂等于1，用式子表示为. ③ 分式化简求值：先按照要求化简分式，再代入相应的值. ④ 分式加减乘除混合运算：先算分式乘方，再算乘除法，最后算分式加减法，有括号，先算括号内部. 【清单07】分式方程及实际应用 ① 分式方程的定义：分母里含有未知数的方程 ② 解分式方程：去分母；去括号；移项合并且同类项；系数化为1；检验. ③ 分式方程的实际应用 一般步骤： 【清单08】分式综合题目拓展 分式分离常数法：将分式的分子拆出含分母因式的因式，再进行约分，使得分式化简为多项式与分式和的形式。 【题型一】分式的概念 【例1】下列各式：，，，其中分式有 个． 【变式1-1】在代数式中，其中分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】下列各式，，，中，分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】下列各式:，，，，，．其中分式有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型二】分式有意义的条件 【例1】若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【变式1-1】要使分式有意义，则x的取值范围是 ． 【例2】若分式无意义，则 ． 【变式2-1】当时，分式无意义，求m的值为 ． 【题型三】分式的值为0 【例1】若分式的值为0，则x的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式1-1】若分式的值为零，则的值是（   ） A． B． C． D．或0 【变式1-2】若分式的值为0，则x的值为 ． 【变式1-3】若代数式的值为0，则满足要求的所有x的值为（   ） A．1 B．0 C．0或 D．0或1 【题型四】分式的求值 【例1】若，则的值为 ． 【变式1-1】若，那么的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【变式1-2】若，则分式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-3】若，则的值是（ ） A．1 B．5 C．4 D．3 【例2】若分式的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是 ． 【变式2-1】若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 【变式2-2】若整数m使为正整数，则m的值为 ． 【题型五】分式的性质 【例1】下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若，则M为（   ） A． B． C． D． 【例2】如果把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（   ） A．值不变 B．扩大到原来的5倍 C．扩大到原来的25倍 D．缩小为原来的 【变式2-1】若把分式 中的x 与y都扩大2倍，则所得分式的值（     ） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的 D．缩小为原来的 【变式2-2】若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．变为原来的3倍 B．变为原来的 C．变为原来的 D．不变 【题型六】最简分式与约分 【例1】分式①；②；③；④中，属于最简分式的有 （填序号）． 【变式1-1】有下列分式：①；②；③；④；⑤．其中是最简分式的有 ．（填序号） 【例2】计算： ． 【变式2-1】约分： ． 【变式2-2】计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【题型七】最简公分母与通分 【例1】分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】分式，，的最简公分母是 ． 【变式1-2】分式，，的最简公分母为 ； 【例2】小亮和小茵两位同学对异分母分式加减法运算和解分式方程进行了对比学习： 小亮同学的做法： …第一步 …第二步 …第三步 小茵同学的做法： …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 （1）小亮同学第一步的运算是通分，其依据是 ； （2）小茵同学第一步的运算是去分母，其依据是 ． 【题型八】分式乘除法及混合运算 【例1】计算： ． 【变式1-1】下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】计算：． 【例2】计算：． 【变式2-1】若运算的结果是整式，则“□”代表的式子可能是（   ） A． B． C．a D． 【变式2-2】计算： (1)； (2)． 【例3】计算： ． 【变式3-1】计算： (1)； (2)． 【题型九】分式乘方及混合运算 【例1】计算：的结果是 ． 【变式1-1】计算： (1)； (2)． 【变式1-2】计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【例2】计算： ． 【变式2-1】（1）计算：. （2）化简：. 【变式2-2】计算： ． 【题型十】分式加减法及混合运算 【例1】化简的结果是 ． 【变式1-1】计算： (1)； (2)． 【变式1-2】将，先约分，再通分，并求两分式之和． 【例2】计算：． 【变式2-1】计算 (1)； (2)． 【变式2-2】计算． 【变式2-3】是物理学中的一个公式，表示并联电路中，有两个支路时电路的总电阻与分支电阻的关系，其中表示总电阻，表示分支电阻．若用表示，则 ． 【例3】计算：． 【题型十一】分式化简求值与混合运算 【例1】（1）已知，求代数式的值． （2）计算： 【变式1-1】先化简，再求值： (1)先化简：，再从中选一个适合的整数代入求值． (2)已知，求． 【例2】化简求值 (1)已知，求代数式的值． (2)先化简，再从中选取一个适合的数代入求值． 【变式2-1】先化简，再求值：，其中． 【变式2-2】先化简，再求值：，其中． 【变式2-3】先化简，再求值：，其中． 【例3】已知：，求代数式的值． 【变式3-1】若，则代数式的值为 【变式3-2】若，则的值是 ． 【变式3-3】已知，则分式的值为 ． 【变式3-4】若，且，求的值． 【题型十二】分式方程定义与解分式方程 【例1】在方程：①，②，③， ④中，是分式方程的有（        ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【变式1-1】下列关于x的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【例2】解方程：． 【变式2-1】解分式方程． 【变式2-2】解分式方程：． 【例3】已知关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式3-1】若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【变式3-2】若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．0或2 B．4 C．8 D．4或8 【例4】若关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 【变式4-1】若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式4-2】已知关于的分式方程的解为正整数，则的最小值是 ． 【变式4-3】若关于的不等式组有解，关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的值的和为（ ） A． B． C． D． 【变式4-4】已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【例5】若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式5-1】若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【变式5-2】若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【变式5-3】已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 【题型十三】分式方程的实际应用 【例1】某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】青岛地铁7号线是连接即墨城区与青岛市区的一条在修地铁路线．在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成的轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装，结果提前6天完成了安装任务．设施工队原计划每天安装，根据题意可列方程为 ． 【变式1-2】今年大葱减产，使得大葱的价格持续上涨,王厨师想去市场购买大葱，已知今年大葱的价格是去年大葱价格的3倍，去年王厨师花200元购买大葱的质量比今年花480元购买的质量多10千克，请问王厨师去年买了多少千克的大葱？若设王厨师去年买了x千克的大葱，则根据题意可列方程 ． 【变式1-3】某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】磁悬浮列车是一种靠磁悬浮力来推动的列车，磁悬浮列车的建设是中国交通发展史上的一次精彩跨越．A，B两站之间的距离为，其间运行的磁悬浮列车的平均速度是地铁的平均速度的10倍，且乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少小时．求地铁的平均速度． 【变式2-1】年月日是中国共产党成立的第周年，初心如磐，使命在肩．在国家发展的新时期，为了加快建设高效交通网，某市将要新建一批高速公路项目．已知甲、乙两地原国道长度为，改为高速公路后长度缩短为，高速公路通车后，一辆货车在高速公路上行驶的速度比在国道上行驶的速度提高了，时间上是原来在国道行驶时间的，求该货车在原国道上行驶的速度． 【变式2-2】年月日，在嵊州氧气音乐节上，具有传承和创新精神的嵊州“六小笼”和杭州“六小龙”之一云深处科技公司组团出道，在音乐节中提供畅吃小笼包活动，体现了“小吃共富”的魅力． (1)活动现场某小笼包摊位随机每人次赠送一份小笼包，已知一份装有个肉包和个豆腐包的成本为元，装有个肉包和个豆腐包的成本为元，求个肉包和个豆腐包的成本； (2)作为小笼包“派送员”的机器狗需送货至距离出发点米处的目的地，机器狗在派送中匀速运动，由于当天地面泥泞导致机器狗工作效率降低，派送速度降低为原来的，派送来回一趟所需的时间比原来多分钟秒，求当天机器狗的派送速度． 【变式2-3】某学校组织八年级学生代表乘大巴车赴距离学校11千米的易门野生菌博物馆研学参观活动．大巴车实际行驶速度比原计划提高了，结果提前了2分钟到达，求大巴车原计划车速为多少千米/小时． 【例3】《北京市中小学人工智能教育地方课程纲要（试行）（2025年版）》指出，从2025年秋季学期开始，全市中小学校开展人工智能通识教育，每学年不少于8课时，实现中小学生全面普及．为了响应号召，刘老师决定利用研发的两个模型和设计一节通识课。已知单独设计的时间比少3小时，若两模型合作设计，仅需2小时即可完成．设单独设计需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． ​ 【变式3-1】宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【变式3-2】中国是世界上种茶、制茶和饮茶最早的国家，中国茶以其博大精深的文化内涵，滋养了几千年的历史．而贵州，是中国种茶、制茶和饮茶最早的地区之一，为发展农业新质生产力，某农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经观察和测试，一个工人每分钟采25片茶叶，一个机器人每分钟采30片茶叶． (1)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得到了提高，工人每分钟比之前多采片茶叶，机器人每分钟比之前多采片茶叶，这时，一个机器人采1200片茶叶所用的时间是一个工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求的值． (2)在（1）的条件下，某茶庄计划在采茶时安排工人和机器人共20个合采茶叶，且机器人的数量少于工人数量的2倍．要使每分钟合采茶叶的总片数不低于710片，有哪几种安排方案？ 【变式3-3】智能机器人已广泛应用于各类工业生产领域，某化工厂要在规定时间内搬运2000千克化工原料，现有两种智能机器人可供选择，已知型机器人每小时完成的工作量是型机器人每小时完成的工作量的2.5倍，型机器人单独完成所需的时间比型机器人单独完成所需的时间少20小时，求型机器人每小时各搬运多少千克原料？ 【例4】为增强学生体质，某校准备购买一批短跳绳用于学生大课间锻炼，已知甲种跳绳比乙种跳绳的单价低5元，且用3000元购买甲种跳绳与用3750元购买乙种跳绳的数量相同．该校有105名学生，若计划用2000元购买甲种跳绳，是否能保障每名学生一根？请通过计算说明． 【变式4-1】中国是全球电动汽车最大市场，2025年9月全球电动汽车销量210万辆中，中国占比约三分之二（约130万辆），同比增长．中国汽车在2025年前9个月累计销售2436.3万辆，同比增长．其中，新能源汽车（包括纯电动和插电式混合动力）销量占比显著提升．小静家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从A地到B地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费． 【变式4-2】4月23日是世界读书日，为激发学生的阅读热情，弘扬和传承中华优秀传统文化，某中学计划用3000元购买一批图书用于图书馆更新．实际购买时，书店推出优惠活动：每本图书的价格是原来价格的倍，则学校可以用相同预算比原计划多买25本．求原计划每本图书的价格是多少元？ 【变式4-3】在今年的全国两会上，国家卫生健康委表示将持续推进“体重管理年”行动，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式．为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考查，有A、B两种型号的健身器材可供选择．已知每套B型健身器材的价格比每套A型健身器材的价格多万元，用6万元购买A型健身器材的数量与用9万元购买B型健身器材的数量相等． (1)求每套A型健身器材的价格； (2)若市政府计划采购这两种健身器材共15套，总费用不超过20万元，则购买A型健身器材最少多少套？ 【题型十三】分式新定义问题 【例1】给出定义：如果两个分式与的和为一个常数，则称与是“和常分式”，这个常数称为与的“和常值”．例如：分式，则与是“和常分式”，与的“和常值”为4．解决下面的问题： (1)已知分式，判断与是不是“和常分式”，若不是，请说明理由：若是，求出与的“和常值”； (2)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为2，求的值； (3)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为．若为整数，且的值也为整数，直接写出满足条件的的值． 【变式1-1】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）：     ． (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________，________． (3)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的整数的值． 【变式1-2】一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②； ③ (1)仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)仿照上述方法，把化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (3)已知x、y均为正整数，，，且M、N均为正数．若，请求出x、y的值． 【变式1-3】材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：​，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二： 求代数式的最小值． ， ， ， 的最小值为． 解决下列问题： (1)如果分式可以变形为（，为实数），则_____；_____； (2)求代数式的最大值． 【例2】给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． (1)在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； (2)若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； (3)若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【变式2-1】若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“好分式”，约分后的整式称为这个分式的“好整式”．例如：，则称分式是“好分式”，4x为它的“好整式”． (1)若分式（m，n为常数）是一个“好分式”，它的“好整式”为，求m，n的值； (2)若“好分式”的“好整式”为，请判断是否是“好分式”，并说明理由． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式（8知识&13题型） 【清单01】分式的概念 分式:式子；、都是整式；中含有字母. 【清单02】分式有意义的条件 分母. 【清单03】分式的值为0 分子= 0，同时满足. 【清单04】分式的性质 ① 分式的分子分母扩大相同的倍数，分式的值不变. ② 分式分子分母当中的字母，扩大相同的倍数，分式的值如何变化. ③ 最简分式：分式的分子与分母没有公因式. ④ 约分：分式的分子分母约分约相同的公因式. ⑤ 最简公分母：系数部分由所有分母中系数的最小公倍数组成，字母部分由所有分母中字母的最高次组成. ⑥ 通分：在不改变分式值的情况下，把几个异分母的分式化为相同分母的分式的变形，叫做通分. 【清单05】分式的乘除法 ① 分式乘法：分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，用式子表示为. ② 分式除法：分式除以分式，把除式的分子，分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为. ③ 分式乘除混合运算 ④ 分式乘方：分式的乘方是记分式的分子，分母分别乘方，用式子表示为， (n是正整致). ⑤ 含乘方的分式乘除混合运算:先算乘方，再算乘除法. 【清单06】分式的加减法 ① 分式加减法混合运算：同分母的分式相加减时，分母不变分子相加减，即；异分母的分式相加减时，先进行通分化为同分母后，再进行加减运算，即. ② 零指数幂：任意非零数的零次幂等于1，用式子表示为. ③ 分式化简求值：先按照要求化简分式，再代入相应的值. ④ 分式加减乘除混合运算：先算分式乘方，再算乘除法，最后算分式加减法，有括号，先算括号内部. 【清单07】分式方程及实际应用 ① 分式方程的定义：分母里含有未知数的方程 ② 解分式方程：去分母；去括号；移项合并且同类项；系数化为1；检验. ③ 分式方程的实际应用 一般步骤： 【清单08】分式综合题目拓展 分式分离常数法：将分式的分子拆出含分母因式的因式，再进行约分，使得分式化简为多项式与分式和的形式。 【题型一】分式的概念 【例1】下列各式：，，，其中分式有 个． 【答案】3 【分析】本题考查的是分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：、、的分母中含有字母，属于分式．共有3个分式． 故答案为：3． 【变式1-1】在代数式中，其中分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查分式的定义，根据分式的定义，形如，中含有字母，这样的式子叫作分式，进行判断即可． 【详解】解：在代数式中，其中分式有，共4个； 故选D． 【变式1-2】下列各式，，，中，分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了分式的定义，熟记分式的定义是解题的关键． 形如，A、B都是整式，B中有字母的式子叫分式，根据定义判断． 【详解】解：是整式，是分式，是分式，是分式，共3个， 故选：C． 【变式1-3】下列各式:，，，，，．其中分式有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，解题的关键是正确理解分式的定义． 根据分式的定义，分母中含有字母的式子称为分式，逐一判断各式的分母是否含有字母即可． 【详解】解：∵，，的分母中含有字母，符合分式的定义， ∴，，是分式， ∵，，分母中不含字母，不符合分式的定义， ∴，，不是分式， ∴，，，，，中，共有个分式， 故选：． 【题型二】分式有意义的条件 【例1】若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键； 直接利用分式有意义的条件是分母不为零，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】要使分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零据此解答即可． 【详解】解：分式 有意义， ∴， 解得：． 故答案为 ． 【例2】若分式无意义，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式无意义的条件，关键是掌握分式无意义的条件是分母等于零． 根据分式无意义的条件可得，解方程即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2-1】当时，分式无意义，求m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了分式无意义的条件，理解分式无意义的条件是解题的关键 ． 根据题意，把代入，分式无意义，则分母为零，由此即可求解 ． 【详解】解：根据题意，把代入得，， ∵分式无意义， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【题型三】分式的值为0 【例1】若分式的值为0，则x的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为零，根据分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 解得：， 故选：A． 【变式1-1】若分式的值为零，则的值是（   ） A． B． C． D．或0 【答案】C 【分析】此题主要考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为0．这两个条件缺一不可． 根据分式值为零的条件可得且，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得：． 故选：C 【变式1-2】若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件为分子为零、分母不为零是解题的关键．根据分式为零的条件进行计算即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：， 故答案为：． 【变式1-3】若代数式的值为0，则满足要求的所有x的值为（   ） A．1 B．0 C．0或 D．0或1 【答案】B 【分析】此题考查分式值为零的条件：分子等于零，且分母不等于零，据此列得等式或不等式，求出答案． 【详解】解：∵代数式的值为0， ∴，且， 解得：或，且， ∴， 故选：B． 【题型四】分式的求值 【例1】若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的运算，由题可得，然后代入分式化简解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】若，那么的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程，由已知分式方程出发，通过交叉相乘转化为整式方程，解出x与y的关系式，进而求出结果． 【详解】解：， 交叉相乘得：， 将移到左边，合并同类项：， 两边同时除以2，得：， ， 故选：D． 【变式1-2】若，则分式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由已知条件，将分式的分子部分因式分解用该条件替换，化简后即可求解． 本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用因式分解法将分式化简． 【详解】∵ ∴ ． 故选：D． 【变式1-3】若，则的值是（ ） A．1 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的求值，由比例关系设参数k，将x、y、z用k表示，代入分式化简即可. 【详解】解：设，则，，， 代入分式： 分子：， 分母：， ∴； 故选：B 【例2】若分式的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查分式的值为整数时求字母的取值．先对分式进行变形，然后根据分式值为整数的条件来确定m的取值． 【详解】解：∵， ∴是3的因数， ∵分式的值为正整数， ∴或， ∴或， ∵时，原分式无意义，舍去， ∴， 故答案为：0． 【变式2-1】若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，将化简为，是解题的关键． 将分式变形为，得出的值为整数，只需为整数即可，然后分别求出x的值即可． 【详解】解： ， 若要的值为整数，只需为整数即可，可以是， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知，分式的值为整数．满足条件的的个数共有8个， 故答案为：D． 【变式2-2】若整数m使为正整数，则m的值为 ． 【答案】0，1，2，5 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值，要使为正整数，则应是6的正因数，得到，2，3，6，从而解得m的值，熟练掌握分式的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵为正整数， ∴是6的正因数， 即，2，3，6． 解得，1，2，5， 故答案为：0，1，2，5． 【题型五】分式的性质 【例1】下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质和变形，熟记分式相关性质是解决问题的关键． 根据分式的性质，检查每个选项的等式是否成立，通过化简或代入值验证即可得到答案． 【详解】解：A：右边左边，分式变形错误，不符合题意； B：右边左边，除非或，分式变形错误，不符合题意； C：右边左边，除非，分式变形错误，不符合题意； D：，分式变形正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，分式的变形，掌握分式的性质是解题的关键． 根据分式的性质变形即可求解． 【详解】解：， 故符合的只有B选项， 故选：B． 【变式1-2】若，则M为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的分母的变化确定分子分母都乘以，从而可得答案. 【详解】解：∵，而， ∴， 故选：D 【例2】如果把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（   ） A．值不变 B．扩大到原来的5倍 C．扩大到原来的25倍 D．缩小为原来的 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质．把x与y都扩大5倍，确定出分式的值，比较即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴x，y都扩大到原来的5倍，分式的值不变． 故选：A． 【变式2-1】若把分式 中的x 与y都扩大2倍，则所得分式的值（     ） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的 D．缩小为原来的 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．利用分式的基本性质，将原式中的x和y都扩大为原来的2倍后再约分即可． 【详解】解：将分式中的x和y都扩大为原来的2倍得，则分式的值扩大为原来的2倍， 故选：B． 【变式2-2】若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．变为原来的3倍 B．变为原来的 C．变为原来的 D．不变 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 根据分式的基本性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴若把分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值变为原来的， 故选：C． 【题型六】最简分式与约分 【例1】分式①；②；③；④中，属于最简分式的有 （填序号）． 【答案】② 【分析】根据最简分式的定义逐个分式进行判断，若能约分，则不是最简分式． 本题考查了最简分式的相关知识，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：①因为，所以①不是最简分式； ②因为分子分母没有公因式，所以②是最简分式； ③因为，所以③不是最简分式； ④因为，所以④不是最简分式． 故答案为：②． 【变式1-1】有下列分式：①；②；③；④；⑤．其中是最简分式的有 ．（填序号） 【答案】④⑤ 【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：①，原式不是最简分式； ②，原式不是最简分式； ③，原式不是最简分式； ④，原式是最简分式； ⑤是最简分式； 综上分析可知，最简分式有④⑤． 故答案为：④⑤． 【点睛】本题主要考查了最简分式的定义，解题的关键是熟练掌握定义， 在化简结果中（利用约分的方法），分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式． 【例2】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的约分，将原式分子和分母约去3即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2-1】约分： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分． 通过对分子和分母进行因式分解，然后约去公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2-2】计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的约分，根据分式的基本性质，进行约分即可． 【详解】解：； 故选B． 【题型七】最简公分母与通分 【例1】分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．当各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． 【详解】解：分式与的最简公分母是； 故选A． 【变式1-1】分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母． 根据最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母即可求出答案． 【详解】解：，， ∴分式，，的最简公分母是， 故答案为：． 【变式1-2】分式，，的最简公分母为 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了最简公分母的确定，熟练掌握最简公分母的确定方法是解题的关键． 先对分母进行因式分解，再根据最简公分母的确定方法求出最简公分母． 【详解】解：因为， 所以分式，，的最简公分母为（或）． 故答案为：． 【例2】小亮和小茵两位同学对异分母分式加减法运算和解分式方程进行了对比学习： 小亮同学的做法： …第一步 …第二步 …第三步 小茵同学的做法： …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 （1）小亮同学第一步的运算是通分，其依据是 ； （2）小茵同学第一步的运算是去分母，其依据是 ． 【答案】 分式的基本性质 等式的性质 【分析】本题主要考查了等式的性质，分式的基本性质，解分式方程的知识，掌握分式方程的解法，是解答本题的关键． （1）根据分式的基本性质即可解答； （2）根据等式的性质即可解答． 【详解】解：（1）小亮同学第一步的运算是通分，依据的是分式的基本性质，即分式的分子与分母都乘或除以同一个不等于零的整式，分式的值不变； （2）小茵同学第一步的运算是去分母，依据的是等式的性质，即等式两边同时乘同一个数或除以同一个不为0的数所得结果仍是等式． 故答案为：分式的基本性质，等式的性质． 【题型八】分式乘除法及混合运算 【例1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘法运算，根据乘法法则进行计算，约分化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1-1】下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘法，根据分式的乘法运算法则逐项判断即可求解，掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项计算正确，不符合题意； 、，该选项计算错误，符合题意； 、，该选项计算正确，不符合题意； 、，该选项计算正确，不符合题意； 故选：． 【变式1-2】的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘法，根据分式的乘法法则即可得出答案． 【详解】解： 故选：A 【变式1-3】计算：． 【答案】 【分析】根据分式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【例2】计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了分式除法，先把除法转化为乘法，然后约分即可． 【详解】解：原式 ． 【变式2-1】若运算的结果是整式，则“□”代表的式子可能是（   ） A． B． C．a D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的除法运算，将原分式除法运算转化为乘法，并分解因式后约分，根据结果为整式的条件确定“□”的表达式． 【详解】解： ， 要求结果为整式，分母中的a需被分子中的因子约掉．当“□”为时，分子为，分母为，约分后得．此时分母为常数3，不含字母，符合整式定义． 故选C． 【变式2-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法运算法则是解题的关键． （1）根据分式的除法运算法则计算即可； （2）根据分式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例3】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．先把除法化为乘法，再根据分式的乘法法则计算． 【详解】解：原式 ． 【变式3-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算，熟练掌握因式分解和分式乘除运算法则是解题的关键． （1）先对分子分母进行因式分解，再将除法转化为乘法，通过约分计算． （2）先利用平方差公式对因式分解，再将除法转化为乘法，通过约分计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型九】分式乘方及混合运算 【例1】计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方； 分式的分子、分母分别进行乘方运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式的乘方运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； 本题考查了分式的乘方运算，掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1-2】计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘除法．先进行分式平方及立方的运算，然后约分，即可得出答案． 【详解】解： ． 故选：C． 【例2】计算： ． 【答案】 【分析】先计算分式的乘方，再进行乘除运算即可求解． 【详解】解：原式 故答案为： 【点睛】本题考查分式的乘方、分式的乘除混合运算．掌握相关运算法则是解题关键． 【变式2-1】（1）计算：. （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先计算分式的乘方，再计算分式的乘法； （2）先计算分式的乘方，再计算分式的乘除. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 . 【点睛】本题考查了分式的运算，涉及分式的乘方和乘除，熟练掌握运算法则是解题关键. 【变式2-2】计算： ． 【答案】 【分析】先计算分式的乘方，再计算分式的乘除即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题综合考查分式的乘除和乘方运算．熟记相关运算法则即可． 【题型十】分式加减法及混合运算 【例1】化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同分母分式加减法，观察分母和互为相反数，通过通分和合并同类项进行化简即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式1-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键． （1）利用同分母分式减法运算法则计算，并且因式分解、约分，即可求解； （2）先把括号内的分式通分，然后再按照分式的混合运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-2】将，先约分，再通分，并求两分式之和． 【答案】，， 【分析】根据约分的定义，先将，的分子分母分别分解因式，再约去它们的公因式，将两个分式化成最简分式，再根据通分的定义，将两个分式化成同分母的分式，最后根据同分母分式相加减的法则，将两个分式相加，把最后结果化成最简分式即可；本题考查了分式的约分、通分以及同分母分式相加减，熟练掌握约分、通分的概念以及同分母分式相加减的法则是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以这两个分式的最简公分母是， 所以， 所以． 【例2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法，掌握异分母分式的减法法则是解答本题的关键．根据异分母分式的减法法则计算化简即可解答． 【详解】解： ． 【变式2-1】计算 (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先化成同分母分式，再根据分式的减法法则计算即可得解； （2）根据分式的混合运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-2】计算． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法，括号内先通分，再括号外进行通分，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 【变式2-3】是物理学中的一个公式，表示并联电路中，有两个支路时电路的总电阻与分支电阻的关系，其中表示总电阻，表示分支电阻．若用表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减法，根据异分母分式的加减法则，求出，再取倒数即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 【例3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算．先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分后再通分进行分式的减法运算． 【详解】解： ． 【题型十一】分式化简求值与混合运算 【例1】（1）已知，求代数式的值． （2）计算： 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的化简法则． （1）先化简分式，然后代入求值即可； （2）先计算括号内加法，再计算乘法． 【详解】解：（1）由得，， ， 将代入上式得， 原式； （2） ． 【变式1-1】先化简，再求值： (1)先化简：，再从中选一个适合的整数代入求值． (2)已知，求． 【答案】(1)，当时，原式 (2) 【分析】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）先根据分式混合运算法则化简，然后选择使分式有意义的a的值代入计算即可； （2）先根据分式混合运算法则化简，再由可得，然后代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式无意义， 当时，原式． （2）解： ， ∵， ∴， ∴原式． 【例2】化简求值 (1)已知，求代数式的值． (2)先化简，再从中选取一个适合的数代入求值． 【答案】(1) (2)，时，原式或时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可． （2）先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴原式． （2）解： 且 ∴当时，原式； 当时，原式． 【变式2-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】 ，2 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键；先通分合并括号内的表达式，再利用因式分解和约分进行化简，最后代入数值计算． 【详解】解： 原式 ， 当时，原式 ． 【变式2-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】此题考查分数的化简求值，先计算小括号，将除法化为乘法，再计算乘法得到化简结果，再将字母的值代入求出结果． 【详解】解： 当时，原式． 【变式2-3】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法转化成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，． 【例3】已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把整理得，再整体代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵， ∴， 把代入， 原式． 【变式3-1】若，则代数式的值为 【答案】2025 【分析】本题考查了代数式求值，平方差公式的运用，掌握整式，分式的混合运算，平方差公式是关键． 根据题意得到，根据整式，分式的混合运算将原式变形得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴原式， 故答案为： ． 【变式3-2】若，则的值是 ． 【答案】7 【分析】先将已知条件进行化简，然后将所求的分式进行变形，代入已知关系即可求解． 【详解】解：①由已知条件得出与的关系： ∵,通分可得， ∴． ②将所求式子化简求值： 把代入，将分子和分母分别整理： 分子变为：． 分母变为：． 将代入整理后的分子和分母： 分子变为：． 分母变为：． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题关键是根据已知条件得出与的关系，再利用整体代入思想化简求值． 【变式3-3】已知，则分式的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的基本性质是解题的关键． 由可得，再根据分式的基本性质将化为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：， ，， ． ． 故答案为：． 【变式3-4】若，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值； 先利用分式的运算法则对所求式子化简，再根据得到，然后代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∵， ∴原式 ． 【题型十二】分式方程定义与解分式方程 【例1】在方程：①，②，③， ④中，是分式方程的有（        ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的定义，分母中含有未知数的方程即为分式方程．逐一分析各方程分母是否含未知数即可判断． 【详解】解：方程①：，分母为和，均含未知数，故为分式方程． 方程②：，无分母，为整式二次方程，不是分式方程． 方程③：，分母为常数3和2，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程． 方程④：，分母为和，均含未知数，故为分式方程． 综上，分式方程为①和④， 故选：D． 【变式1-1】下列关于x的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、不含有分式，不是分式方程，不符合题意； B、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意； C、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意； D、分母中含有x，是关于x的分式方程，符合题意． 故选：D． 【变式1-2】下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式方程的定义，解题关键是熟练掌握分式方程的定义． 由分式构成的方程即为分式方程，据此进行逐项分析即可作答． 【详解】解：选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母不含有未知数，不是分式方程，符合题意，选项正确． 故选：． 【例2】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解答此题的关键． 先去分母，方程两边同乘以，将分式方程化为整式方程，求解即可． 【详解】解： 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 【变式2-1】解分式方程． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 检验：把代入， ∴分式方程的解为． 【变式2-2】解分式方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查解分式方程．根据解分式方程的方法可以解此方程． 【详解】解： 方程两边同乘，得， 解得， 检验，当时，， 原分式方程无解． 【例3】已知关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式方程有增根的问题，去分母将方程转化为整式方程，将增根代入整式方程，进行求解即可． 此题主要考查了分式方程的增根，以及解分式方程，正确理解相关概念，准确计算是解题关键． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 整理得， ∴ ， ∵ 方程有增根，且增根为 ， ∴ ， 解得：， ∴ ， 故k的值为， 故选：B． 【变式3-1】若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，先把去分母整理得，结合，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， 整理得， ∴去分母得， 整理得， 即， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 故， ∴ ∴， 故答案为： 【变式3-2】若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．0或2 B．4 C．8 D．4或8 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的增根问题．把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得a的值． 【详解】解：原方程的最简公分母为，可能的增根为或， 两边同乘，得：， 解得：， 若是增根，则，解得； 若是增根，则，解得； 综上，的值为4或8， 故选：D． 【例4】若关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，求不等式的解集，先求出分式方程的解，再根据解的情况得到关于的不等式，求出的取值范围，并求出最简公分母不等于时的取值即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， ∴， ∵方程的解是正数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 【变式4-1】若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键．根据分式方程的解法和增根的定义即可确定的取值范围． 【详解】解：将关于的分式方程的两边都乘以得， ， 解得， 由于分式方程的解为正数， 所以， 解得， 又因为分式方程的增根是， 所以， 解得， 综上所述，且． 故选：C． 【变式4-2】已知关于的分式方程的解为正整数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键．根据分式方程的解法得出，因为分式方程的解是正整数，而，得出，进而可得出答案． 【详解】解：将分式方程的两边都乘以，得 ， 解得， 由于分式方程的增根是， 所以， 即， 因为分式方程的解是正整数，而， 则x的最小值为2， 所以， 解得， 故答案为：4． 【变式4-3】若关于的不等式组有解，关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的值的和为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，掌握分式方程的解法，一元一次不等式组的解法是正确解答的关键．根据不等式组的解集确定的取值范围，再根据分式方程的解法和增根的定义进一步确定的值即可． 【详解】解：不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， 由于不等式组有解， ， 解得， 将关于的分式方程的两边都乘以得， ， 解得， 又分式方程的解为有非负数解， ， 即， 又分式方程的增根是， ， 解得， 综上所述，且， 即或或或或， 符合条件的所有整数的值的和为． 故选：A ． 【变式4-4】已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定的范围． 【详解】解：， 得， 得， 解得：， 根据题意，解， 即， 解得：， 分母， 即， 即， 解得：， ， 故选：A． 【例5】若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键． 原方程去分母得，整理得，然后根据题意分类讨论即可． 【详解】解：原方程去分母得， 整理得：， 当，即时， 无解，则原分式方程无解，符合题意， 当时， 若原方程无解，那么它有增根， 把代入整式方程， 得：， 解得：， 综上，或， 故选：D． 【变式5-1】若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解分两种情况，分别求的值即可． 【详解】解：， 整理得：， 解得：， ∵分式方程无解， 当分式方程有增根时，，则， 此时， 解得：； 当整式方程无解时，， 解得：， 综上可知，的值为或， 故答案为：或． 【变式5-2】若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，把分式方程去分母整理得，再分和两种情况解答即可，理解分式方程无解的意义并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 当，即时，，此时方程无解； 当时，解得， ∵分式方程无解， ∴， 即， 解得； 综上，的值是或， 故选：． 【变式5-3】已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤得到，当，即时，此时方程无解；当，则原方程有增根，即或，进而可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 当，即时，方程的左边等于0，右边不等于0，此时方程无解； 当时， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴或， ∴或， ∴或， 解得或； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 【题型十三】分式方程的实际应用 【例1】某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，结合时间等于路程除以速度，列出方程即可． 【详解】解：设自行车的速度为，则汽车的速度为，，由题意，得： ； 故选D． 【变式1-1】青岛地铁7号线是连接即墨城区与青岛市区的一条在修地铁路线．在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成的轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装，结果提前6天完成了安装任务．设施工队原计划每天安装，根据题意可列方程为 ． 【答案】（合理即可） 【分析】本题考查了列分式方程，施工队原计划每天安装，则改进了安装技术后每天安装；据此即可求解； 【详解】解：施工队原计划每天安装，则改进了安装技术后每天安装； 由题意得：， 故答案为： 【变式1-2】今年大葱减产，使得大葱的价格持续上涨,王厨师想去市场购买大葱，已知今年大葱的价格是去年大葱价格的3倍，去年王厨师花200元购买大葱的质量比今年花480元购买的质量多10千克，请问王厨师去年买了多少千克的大葱？若设王厨师去年买了x千克的大葱，则根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出正确的等式关系是解决本题的关键． 根据去年王厨师花200元购买大葱可得，去年大葱的单价为元千克，然后根据今年价格是去年的3倍可得，今年大葱的单价为元千克，最后根据去年王厨师购买大葱的质量比今年购买的质量多10千克可得，今年花480元购买的大葱质量为千克，则今年的单价也可表示为元千克，进而即可列出式子解答． 【详解】解：根据题意得去年大葱的单价为元千克， ∵今年价格是去年的3倍， ∴今年大葱的单价为元千克， 根据题意得，今年花480元购买的大葱质量为千克， ∴今年的单价也可表示为元千克， ∴可列方程：， 故答案为：． 【变式1-3】某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是找出题目中的等量关系． 先弄清因客户要求工作提速后的工作效率和工作时间，然后根据题目给出的关键语“提前5天”找到等量关系，然后列出方程即可． 【详解】解：因客户的要求每天应该做件，所用的时间为：， 根据“因客户要求提前5天交货”，用原有完成时间减去新完成时间， 可以列出方程：． 故选：D． 【例2】磁悬浮列车是一种靠磁悬浮力来推动的列车，磁悬浮列车的建设是中国交通发展史上的一次精彩跨越．A，B两站之间的距离为，其间运行的磁悬浮列车的平均速度是地铁的平均速度的10倍，且乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少小时．求地铁的平均速度． 【答案】地铁的平均速度为40千米/时 【分析】本题考查了分式方程的应用，设地铁的平均速度为x千米/时，则磁悬浮列车的平均速度为千米/时，由题意：A，B两站之间的距离为，乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少小时．列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设地铁的平均速度为x千米/时，则磁悬浮列车的平均速度为千米/时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：地铁的平均速度为40千米/时． 【变式2-1】年月日是中国共产党成立的第周年，初心如磐，使命在肩．在国家发展的新时期，为了加快建设高效交通网，某市将要新建一批高速公路项目．已知甲、乙两地原国道长度为，改为高速公路后长度缩短为，高速公路通车后，一辆货车在高速公路上行驶的速度比在国道上行驶的速度提高了，时间上是原来在国道行驶时间的，求该货车在原国道上行驶的速度． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、正确列出分式方程是解题的关键． 设该货车在原国道上行驶的速度为，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设该货车在原国道上行驶的速度为， 由题意可得，解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：该货车在原国道上行驶的速度为． 【变式2-2】年月日，在嵊州氧气音乐节上，具有传承和创新精神的嵊州“六小笼”和杭州“六小龙”之一云深处科技公司组团出道，在音乐节中提供畅吃小笼包活动，体现了“小吃共富”的魅力． (1)活动现场某小笼包摊位随机每人次赠送一份小笼包，已知一份装有个肉包和个豆腐包的成本为元，装有个肉包和个豆腐包的成本为元，求个肉包和个豆腐包的成本； (2)作为小笼包“派送员”的机器狗需送货至距离出发点米处的目的地，机器狗在派送中匀速运动，由于当天地面泥泞导致机器狗工作效率降低，派送速度降低为原来的，派送来回一趟所需的时间比原来多分钟秒，求当天机器狗的派送速度． 【答案】(1)个肉包的成本为元，个豆腐包的成本为元 (2)当机器狗的派送速度为米/分 【分析】本题考查分式方程的应用以及二元一次方程组的应用， （1）设个肉包的成本是元，个豆腐包的成本是元，根据“一份装有个肉包和个豆腐包的成本为元，装有个肉包和个豆腐包的成本为元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设当天机器狗的派送速度为米/分钟，则原来机器狗的派送速度为米/分钟，利用“时间路程速度”，根据“当天派送来回一趟所需的时间比原来多分钟秒”，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 【详解】（1）解：设个肉包的成本是元，个豆腐包的成本是元， 依题意，得：， 解得：， 答：个肉包的成本为元，个豆腐包的成本为元； （2）设当天机器狗的派送速度为米/分钟，则原来机器狗的派送速度为米/分钟， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解且符合题意， 答：当机器狗的派送速度为米/分． 【变式2-3】某学校组织八年级学生代表乘大巴车赴距离学校11千米的易门野生菌博物馆研学参观活动．大巴车实际行驶速度比原计划提高了，结果提前了2分钟到达，求大巴车原计划车速为多少千米/小时． 【答案】大巴车原计划车速为30千米/小时． 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出方程并求解即可解答，注意单位换算． 【详解】解：设大巴车原计划车速为x千米/小时，则大巴车实际行驶速度为千米/小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：大巴车原计划车速为30千米/小时． 【例3】《北京市中小学人工智能教育地方课程纲要（试行）（2025年版）》指出，从2025年秋季学期开始，全市中小学校开展人工智能通识教育，每学年不少于8课时，实现中小学生全面普及．为了响应号召，刘老师决定利用研发的两个模型和设计一节通识课。已知单独设计的时间比少3小时，若两模型合作设计，仅需2小时即可完成．设单独设计需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． ​ 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，设单独设计需要x小时，根据工作率问题，则的工作效率为，的工作效率为，合作工作率之和乘以时间等于总工作量1，列出方程即可． 【详解】解：设单独设计需要x小时，则单独设计需要小时， 则的工作率为，的工作率为， 那么合作时，总工作率为， ∴ ，即， 故选：B． 【变式3-1】宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【答案】A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件． 【分析】设B型数控机器人每小时分拣x件快递，先用x表示出A型数控机器人每小时分拣快递的数量，再根据“一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成”列出分式方程求解，并检验根． 本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是正确列出方程． 【详解】解：设一台B型数控机器人每小时分拣x件快递，则一台A型数控机器人每小时分拣件快递，根据题意，得 ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件． 【变式3-2】中国是世界上种茶、制茶和饮茶最早的国家，中国茶以其博大精深的文化内涵，滋养了几千年的历史．而贵州，是中国种茶、制茶和饮茶最早的地区之一，为发展农业新质生产力，某农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经观察和测试，一个工人每分钟采25片茶叶，一个机器人每分钟采30片茶叶． (1)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得到了提高，工人每分钟比之前多采片茶叶，机器人每分钟比之前多采片茶叶，这时，一个机器人采1200片茶叶所用的时间是一个工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求的值． (2)在（1）的条件下，某茶庄计划在采茶时安排工人和机器人共20个合采茶叶，且机器人的数量少于工人数量的2倍．要使每分钟合采茶叶的总片数不低于710片，有哪几种安排方案？ 【答案】(1)的值为 (2)有三种方案：方案一：安排工人人，机器人人；方案二：安排工人人，机器人人；方案三：安排工人人，机器人人 【分析】本题考查分式方程和不等式组的应用； （1）根据“一个机器人采1200片茶叶所用的时间是一个工人采600片茶叶所用时间的1.5倍”列关于a的分式方程解题即可； （2）设安排工人x人，根据题意列不等式组求出x的取值范围，根据整数解得到方案即可． 【详解】（1）解：根据题意列方程得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； 答：的值为． （2）解：设安排工人x人，则： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x可取，，， 故有三种方案： 方案一：安排工人人，机器人人； 方案二：安排工人人，机器人人； 方案三：安排工人人，机器人人． 【变式3-3】智能机器人已广泛应用于各类工业生产领域，某化工厂要在规定时间内搬运2000千克化工原料，现有两种智能机器人可供选择，已知型机器人每小时完成的工作量是型机器人每小时完成的工作量的2.5倍，型机器人单独完成所需的时间比型机器人单独完成所需的时间少20小时，求型机器人每小时各搬运多少千克原料？ 【答案】A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运150千克． 【分析】本题主要考查分式方程的应用，理解题意列出方程是解题关键．设A型机器人每小时搬运x千克，则B型机器人每小时搬运千克，根据题意列出分式方程求解，然后检验即可 【详解】解：设A型机器人每小时搬运x千克，则B型机器人每小时搬运千克， 根据题意得：， 解得：， 经检验：为分式方程的解， 则， 答：A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运150千克． 【例4】为增强学生体质，某校准备购买一批短跳绳用于学生大课间锻炼，已知甲种跳绳比乙种跳绳的单价低5元，且用3000元购买甲种跳绳与用3750元购买乙种跳绳的数量相同．该校有105名学生，若计划用2000元购买甲种跳绳，是否能保障每名学生一根？请通过计算说明． 【答案】不能保障每名学生一根跳绳 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设甲种跳绳的单价为x元，根据用3000元购买甲种跳绳与用3750元购买乙种跳绳的数量相同，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设甲种跳绳的单价为x元，则乙种跳绳的单价为元． 根据题意，得 ． 解得； 经检验是原方程的解， （根）， ∵， ∴不能保障每名学生一根跳绳． 【变式4-1】中国是全球电动汽车最大市场，2025年9月全球电动汽车销量210万辆中，中国占比约三分之二（约130万辆），同比增长．中国汽车在2025年前9个月累计销售2436.3万辆，同比增长．其中，新能源汽车（包括纯电动和插电式混合动力）销量占比显著提升．小静家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从A地到B地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费． 【答案】元 【分析】本题考查了分式的方程的应用，设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元，根据行驶的路程相等列出方程即可解决问题，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元， 由题意列方程得：， 解方程得，， 经检验，是原方程得解，且符合实际意义， 答：新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元． 【变式4-2】4月23日是世界读书日，为激发学生的阅读热情，弘扬和传承中华优秀传统文化，某中学计划用3000元购买一批图书用于图书馆更新．实际购买时，书店推出优惠活动：每本图书的价格是原来价格的倍，则学校可以用相同预算比原计划多买25本．求原计划每本图书的价格是多少元？ 【答案】原计划每本图书的价格是40元． 【分析】本题考查分式方程的应用，找到等量关系是解题的关键． 设原计划每本图书的价格是x元，根据用3000元购买一批图书用于图书馆更新．实际购买时，书店推出优惠活动：每本图书的价格是原来价格的倍，则学校可以用相同预算比原计划多买25本，列出分式方程，即可解答． 【详解】解：设原计划每本图书的价格是x元，依题意，得 解得 ， 经检验，是原方程的解． 答：原计划每本图书的价格是40元． 【变式4-3】在今年的全国两会上，国家卫生健康委表示将持续推进“体重管理年”行动，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式．为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考查，有A、B两种型号的健身器材可供选择．已知每套B型健身器材的价格比每套A型健身器材的价格多万元，用6万元购买A型健身器材的数量与用9万元购买B型健身器材的数量相等． (1)求每套A型健身器材的价格； (2)若市政府计划采购这两种健身器材共15套，总费用不超过20万元，则购买A型健身器材最少多少套？ 【答案】(1)每套A型健身器材的价格是1万元； (2)购买A型健身器材最少5套． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）每套A型健身器材的价格是x万元，则每套B型健身器材的价格是万元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型健身器材m套，则购买B型健身器材套，根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每套A型健身器材的价格是x万元，则每套B型健身器材的价格是万元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：每套A型健身器材的价格是1万元； （2）设购买A型健身器材m套，则购买B型健身器材套，依题意得：． 解得：． 答：购买A型健身器材最少5套． 【题型十三】分式新定义问题 【例1】给出定义：如果两个分式与的和为一个常数，则称与是“和常分式”，这个常数称为与的“和常值”．例如：分式，则与是“和常分式”，与的“和常值”为4．解决下面的问题： (1)已知分式，判断与是不是“和常分式”，若不是，请说明理由：若是，求出与的“和常值”； (2)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为2，求的值； (3)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为．若为整数，且的值也为整数，直接写出满足条件的的值． 【答案】(1)与是“和常分式”，且与的“和常值”为 (2)3 (3)0或2 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，正确理解“和常分式”的定义是解题的关键． （1）根据分式的加法计算法则求出的结果即可得到结论； （2）根据“和常分式”的定义得到，则可推出，据此可得答案； （3）根据“和常分式”的定义得到，则；再由的值也为整数，可以得到，其中k为整数，则可推出，进而得到为整数，则，即可求出或． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴与是“和常分式”，且与的“和常值”为； （2）解：∵，且与是“和常分式”，与的“和常值”为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为， ∴， ∴； ∵的值也为整数， ∴是整数， ∴，其中k为整数， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵k为整数， ∴为整数， ∴为整数， ∴， ∴或． 【变式1-1】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）：     ． (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________，________． (3)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的整数的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了分式的化简，分式有意义的条件． （1）根据“和谐分式”的定义可判定求解； （2）根据分式的性质，进行化简求解； （3）将原式进行化简，根据题意可得，根据分式有意义的条件进行检验，即可得符合条件的整数的值． 【详解】（1）解： ，是和谐分式， ，不是和谐分式， ，是和谐分式． 故答案为：． （2）解：， ． 故答案为：，． （3）解：， ∵的值为整数，且为整数， ∴为整数，为整数， 设（为整数）， 则， ∵为整数， ∴为整数， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， 经检验，当或时，分母均不为零，符合题意． ∴符合条件的整数的值为或． 【变式1-2】一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②； ③ (1)仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)仿照上述方法，把化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (3)已知x、y均为正整数，，，且M、N均为正数．若，请求出x、y的值． 【答案】(1)； (2) (3)， 【分析】本题考查了分式的变形与运算，需熟练掌握分式的拆分技巧，即对分子进行凑配或因式分解等方法，同时还考查了分式的加减运算，由这一条件列方程对正整数解的分析是解决本题的关键． （1）将中的分子化为；将的分子化为使用平方差公式即可求解； （2）将中的分子化为，再使用平方差公式即可求解； （3）先将转化为，将转化为，再结合，令，，分析出a，b为正整数，分类讨论即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解：∵， ， 因为， 所以， 即， 令，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M、N均为正数，x、y均为正整数， ∴a，b为正整数， ∴或或， 当时，，此时，， 当时，，此时，（舍）， 当时，，此时，（舍）， ∴综上，， ∴，， 经检验，符合题意， ∴，． 【变式1-3】材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：​，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二： 求代数式的最小值． ， ， ， 的最小值为． 解决下列问题： (1)如果分式可以变形为（，为实数），则_____；_____； (2)求代数式的最大值． 【答案】(1) ，； (2) ． 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、完全平方公式的应用、类比思想的运用，正确理解题意是解题的关键． 仿照阅读材料中的解题思路，可得：原式，类比可得：，； 类比中的解题思路，可得：原式，把分母进行配方可得：，根据平方的非负性可知的最小值是，所以的最大值是． 【详解】（1）解： ， ，， 故答案为：，； （2）解： 可得：， ， ， 的最小值是， 的最大值是， 的最大值是， 的最大值为． 【例2】给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． (1)在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； (2)若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； (3)若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】(1)① (2) (3)或 【分析】本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． （1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求t的值即可． （3）根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”，得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． 【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立， 所以数对是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是， ， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是， 无意义， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故③错误； 故答案为：①； （2）解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得； （3）解：根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 得关于的分式方程的解是， 回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 【变式2-1】若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“好分式”，约分后的整式称为这个分式的“好整式”．例如：，则称分式是“好分式”，4x为它的“好整式”． (1)若分式（m，n为常数）是一个“好分式”，它的“好整式”为，求m，n的值； (2)若“好分式”的“好整式”为，请判断是否是“好分式”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解，二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“好分式”的定义． （1）根据“好分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （2）根据给出的“好分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：分式（m，为常数）是一个“好分式”， 它的“好整式”为， ， ， ∴， 解得：； （2）解：分式的“好整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“好分式”． 试卷第2页，共65页 试卷第1页，共65页 学科网（北京）股份有限公司 $