专题03 三角形（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材北京版

该初中数学三角形专题知识清单涵盖三角形性质、全等判定、等腰与直角三角形等9大知识范畴，8类典型题型，以“知识清单+题型分类”构建从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 清单通过系统梳理三线性质、全等判定定理等知识体系，题型设计梯度分明，如结合人字梯稳定性实例培养数学眼光，“倍长中线”辅助线方法强化推理意识，尺规作图步骤规范提升空间观念。不同基础学生可针对性练习，教师可直接用于备课与分层教学。

絀单三 0媚车 春丝丁·创掣右型 www.zxxk.com 上好每一堂课 三角形(9知识&8题型) 知识图谱 三角形的边 三角形的性质 三角形的角 直角三角形 三角形的中线 三角形的线段 三角形的角平分线 三角形的高线 全等三角形的性质 全等三角形 全等三角形的判定 全等三角形的综合 等腰三角形的性质 等腰三角形的判定 等腰三角形 画等腰三角形 旋转模型 直角三角形的性质 直角三角形 直角三角形的性质 垂线模型 尺规作图 尺规作图与轴对称 逆命题、逆定理 轴对称和轴对称图形 勾股定理 勾股定理 勾股定理逆定理 1/292 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【清单01】三角形的性质 ①三角形的边：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边 ②三角形的角： 三角形的内角和为180 三角形的内角和定理 多边形内角和180°(n-2)(n为正整数，n>2) 三角形外角和为360° 三角形的外角 三角形的一个外角等于与它两个不相邻的两个内 三角形的角 角之和 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内 角 一锐角三角形 三角形的分类 直角三角形 一判定：有两个锐角互余的三角形是直角三角形 钝角三角形 【清单02】三角形的线段 ①三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段，叫做这个三角形的 中线 中线性质：三角形的中线平分三角形的面积；一个三角形的三条中线交于一点，这个点 叫做三角形的重心 ②三角形的角平分线：在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点 与交点之间的线段，叫做这个三角形的角平分线. 角平分线性质：角平分线平分三角形的内角；双角分线形成的角与第三个角之间的规律； 一个三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心. ③三角形的高线：由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线引垂线，顶点和垂足之间的 线段叫做这个三角形的高线，简称三角形的高. 高线性质：一个三角形的三条高线交于一点，这个点叫做三角形的垂心 【清单03】全等三角形 ①全等图形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形： ②全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等 ③全等三角形的判定： 2/292 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 有两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简记为：角边角或ASA) 有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简记为：边角边或$AS) 有三边分别相等的两个三角形全等（简记为：边边边或SSS) 全等三角形的判定 有两个角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（简记为：角 角边或AAS) 直角三角形的斜边和其中一条直角边分别对应相等的两个三角形全等 (简记为：HL) 【清单04】等腰三角形 ①等腰三角形的两个底角相等（简记为：等边对等角） ②等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线重合（简记为：三线合一） ③等边三角形的性质：等边三角形的各角都等于60° ④等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简记为：等角对等边） ⑤等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角 形是等边三角形 【清单05】直角三角形 ①直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余 ②直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形 【清单06】尺规作图 ①作一个角等于已知角 求作：一个角，使它等于∠AOB 作法(I)作射线OA, (②)以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点C,交OB于点D: (3)以点O'为圆心，OC的长为半径作弧CE,交O'A于点C, (4)以点C为圆心，CD的长为半径作弧，交弧CE于点D, (⑤)过点D'作射线OB 所以∠A'OB就是所求作的角（如下图所示） B B' ②作角的平分线 3/292 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 己知：∠AOB. 求作：射线OC,使它平分∠AOB 作法：(1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点D,交OB于点E, (2)分别以点D,E为圆心，以大于二分之一DE的长为半径作弧，两弧交于点C: (3)作射线OC 所以射线OC就是所求作的射线（如下图所示） B D A ③角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 ④角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上 ⑤作线段的垂直平分线 垂直于一条线段并过这条线段中点的直线叫作这条线段的垂直平分线，又称线段的 中垂线 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 己知：线段AB 求作：线段AB的垂直平分线 作法：(1)分别以点A,B为圆心，大于二分之一AB的长为半径作弧，两弧分别交于点 C,D; (2)作直线CD.所以直线CD就是所求作的直线（如下图所示） B 【清单07】逆命题、逆定理 两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二 个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题：如果把其中的个命题叫作原命题，那么另一 个命题叫作它的逆命题。 【清单08】轴对称 4/292 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①当我们把这个图形沿折痕翻折过来时，图形的两部分能够完全重合，这样的图形叫作轴 对称图形，中间的折痕所在的直线叫作对称轴 ②轴对称的性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分 【清单09】勾股定理 ①勾股定理：在直角三角形中，两直角边长的平方和等于斜边长的平方 ②勾股定理逆定理：如果三角形的三边a,b,c长满足a+b2=c2，那么这个三角形是 直角三角形 期末常考题型清单 【题型一】三角形的边 【例1】如图，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做是利用了三角形的 拉杆 【答案】稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性“如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小 就完全确定了，三角形的这个特征，叫作三角形的稳定性”，熟练掌握三角形的稳定性是解 题关键，根据三角形的稳定性求解即可得 【详解】解：人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做是利用了三角形的稳定性 故答案为：稳定性 【变式1-1】安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是」 空调 三角形支架 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解，正确掌握三角形的 这一性质是解题的关键 【详解】解：其根据的几何原理是三角形的稳定性， 5/292 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：三角形的稳定性 【变式1-2】平板是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功 能，有一种如图，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这里应用的几何原理是 () A,三角形的稳定性 B.两点之间线段最短 C.两点确定一条直线 D.三角形两边之和大于第三边 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键，根据三角形 具有稳定性解答即可， 【详解】解：这是利用了三角形的稳定性， 故选：A. 【例2】下列长度的三条线段，能组成三角形的是() A.3,4,8 B.11,6,5 C.3,4,6 D.5,8,15 【答案】C 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形的三边关系“任意两边之和大于第 三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键. 根据构成三角形的条件进行求解即可. 【详解】解：A、3+4<8, …不能构成三角形，不符合题意； B、5+6=11, 不能构成三角形，不符合题意； C、3+4>6, “能构成三角形，符合题意； D、.5+8<15, 6/292 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 不能构成三角形，不符合题意； 故选C 【变式2-l】如果三角形三边长分别是正整数a,b,c,且a>b>c,b=5,则满足条件且 周长彼此不同的三角形共有个 【答案】5 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之差小于第三边，任意两 边之和大于第三边，则a-c<b=5<a+c,再分c=4,c=3,c=2和c=1四种情况，求 出对应情况下α的值，进而求出对应的周长即可得到答案， 【详解】解：a、b、c是一个三角形的三边长，a>b>c,b=5, :.a-c<b=5<a+c, 当c=4时，a-4<5<a+4, .5<<9, 又a是正整数， ∴a的值可以为6或7或8， :此时该三角形的周长为4+5+6=15或4+5+7=16或4+5+8=17； 当c=3时，a-3<5<a+3, 5<a<8, 又a是正整数， ∴a的值可以为6或7， 此时该三角形的周长为3+5+6=14或3+5+7=15； 当c=2时，a-2<5<a+2, 5<a<7, 又a是正整数， a的值为6， ∴此时该三角形的周长为2+5+6=13； 当c=1时，a-1<5<a+1, .5<a<6, 又a是正整数， 此时不符合题意； 7/292 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述，该三角形的周长可以为13或14或15或16或17，共有5个不同的值， 故答案为：5. 【变式2-2】小亮有两根长度为5cm和9cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上 有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择() A.3cm B.4cm C.9cm D.16cm 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系，第三边需满足两边之差小于第三边且小于两边之 和，据此解答即可。 【详解】解：两根木棒长5cm和9cm, 第三边x需满足：9-5<x<9+5,即4<x<14, 所以，选项中，A、B、D不满足4<x<14,只有C满足4<9<14， 故选：C 【变式2-3】若长度分别为3，a,5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是 () A.1 B.2 C.5 D.8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，熟练掌握和运用三角形三边之间的关系是解 决本题的关键.根据三角形三边之间的关系可得2<α<8，再逐一分析即可. 【详解】解：：长度分别为3，a,5的三条线段能组成一个三角形， .5-3<a<5+3,即2<a<8, 故只有5符合题意， 故选：C. 【变式2-4】在△ABC中，AB=9,BC=2,并且AC为奇数，那么△ABC的周长为 () A.18 B.19 C.20 D.21 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关 键.三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再根据第三边是奇数，确定第三边的值， 8/292 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 从而求得三角形的周长。 【详解】解：在△ABC中，AB=9,BC=2, 9-2<AC<9+2,即7<AC<11, ~AC为奇数， AC=9, △ABC的周长为：9+9+2=20. 故选：C. 【例3】已知△ABC的三边长为a,b,c,且a,b,c都是整数. (1)若a=2,b=5,且c为奇数，求△ABC的周长. (2)化简：a-c+b-lb-c-a-a+b+c. 【答案】（①）12 (2)b-a-3c 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值的意义，关键是掌握三角形三边关系定理，绝 对值的性质， (1)三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到3<c<7,得到 c=5,即可求出△ABC的周长； (2)由三角形三边关系定理得到a-c+b>0,b-c-a<0,即可化简 a-c+b-b-c-a-a+b+c. 【详解】(1)解：由三角形三边关系定理得到：5-2<c<5+2, .3<c<7, c为奇数， .c=5, .∴△ABC的周长=a+b+c=2+5+5=12. (2)由三角形三边关系定理得到：a+b>c,a+c>b, .a-c+b>0,b-c-a<0, .a-c+b-b-c-a-a+b+c =a-c+b-「-(b-c-a)]-(a+b+c) =a-c+b+b-c-a-a-b-c 9/292 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =b-a-3c. 【变式3-1】已知a,b,c为三角形的三边长，则(a-b)2-c2的值() A.可能是0 B.一定是负数 C.一定是正数 D.可能是正数，也可能是负数 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形三边关系及因式分解，熟练掌握三角形三边关系及因式分解 是解题的关键；由三角形三边关系可知a+c>b,b+c>a,由 (a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c)可进行判断式子的正负性，进而问题可求解. 【详解】解：由三角形三边关系可知a+c>b,b+c>a, .a-b+c>0,a-b-c<0, .(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c）<0, ∴(a-b)-c的值一定是负数； 故选：B, 【变式3-2】设a,b,c是三角形的三边，则多项式b+c2-a2+2bc的值为() A,大于零 B.小于零 C.等于零 D,无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，三角形的三边关系，熟练掌握多项式的因式 分解的方法，三角形的三边关系是解题的关键。 先将原式因式分解为(b+c+a)(b+c-a),再根据三角形的三边关系求解. 【详解】解：b+c2-a2+2bc (6+c)2-a =(b+c+a)(b+c-a), a,b,c是三角形的三边， :.a+b+c>0,b+c>a, .b+c-a>0, (b+c+a)(b+c-a)>0,即b+c2-a2+2bc>0, 故选：A. 10/292 专题03 三角形（9知识&8题型） 【清单01】三角形的性质 1 三角形的边：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边. 2 三角形的角： 【清单02】三角形的线段 1 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段，叫做这个三角形的中线. 中线性质：三角形的中线平分三角形的面积；一个三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心. 2 三角形的角平分线：在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做这个三角形的角平分线. 角平分线性质：角平分线平分三角形的内角；双角分线形成的角与第三个角之间的规律；一个三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心. 3 三角形的高线：由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做这个三角形的高线，简称三角形的高. 高线性质：一个三角形的三条高线交于一点，这个点叫做三角形的垂心. 【清单03】全等三角形 1 全等图形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形. 2 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等. 3 全等三角形的判定： 【清单04】等腰三角形 1 等腰三角形的两个底角相等（简记为：等边对等角） 2 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线重合（简记为：三线合一） 3 等边三角形的性质：等边三角形的各角都等于60° 4 等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简记为：等角对等边） 5 等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【清单05】直角三角形 1 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余 2 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形 【清单06】尺规作图 1 作一个角等于已知角 求作:一个角，使它等于∠AOB 作法:(1)作射线 O'A'; (2)以点O为圆心，任意长为半径作弧，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D; (3)以点 O'为圆心，OC的长为半径作弧 C'E',交O'A' 于点 C; (4)以点 C'为圆心，CD 的长为半径作弧，交弧C'E'于点 D'; (5)过点D'作射线O'B' 所以∠A'O'B'就是所求作的角（如下图所示） 2 作角的平分线 已知:∠AOB. 求作:射线 OC，使它平分∠AOB 作法:(1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点D，交OB于点E; (2)分别以点D，E为圆心，以大于二分之一DE 的长为半径作弧，两弧交于点C; (3)作射线OC. 所以射线 OC 就是所求作的射线（如下图所示） 3 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 4 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上 5 作线段的垂直平分线 垂直于一条线段并过这条线段中点的直线叫作这条线段的垂直平分线，又称线段的中垂线 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 已知:线段 AB. 求作:线段 AB 的垂直平分线 作法:(1)分别以点 A，B为圆心，大于二分之一AB的长为半径作弧，两弧分别交于点C，D; (2)作直线 CD.所以直线 CD 就是所求作的直线（如下图所示） 【清单07】逆命题、逆定理 两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题:如果把其中的个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的逆命题。 【清单08】轴对称 1 当我们把这个图形沿折痕翻折过来时，图形的两部分能够完全重合，这样的图形叫作轴对称图形，中间的折痕所在的直线叫作对称轴 2 轴对称的性质:成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分 【清单09】勾股定理 1 勾股定理:在直角三角形中，两直角边长的平方和等于斜边长的平方 2 勾股定理逆定理:如果三角形的三边，，长满足，那么这个三角形是直角三角形 【题型一】三角形的边 【例1】如图，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做是利用了三角形的 ． 【变式1-1】安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是 ． 【变式1-2】平板是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这里应用的几何原理是（   ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形两边之和大于第三边 【例2】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A．3，4，8 B．11，6，5 C．3，4，6 D．5，8，15 【变式2-1】如果三角形三边长分别是正整数a，b，c，且，则满足条件且周长彼此不同的三角形共有 个 【变式2-2】小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】在中，，，并且为奇数，那么的周长为（　　） A．18 B．19 C．20 D．21 【例3】已知的三边长为，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 【变式3-1】已知a，b，c为三角形的三边长，则的值（    ） A．可能是0 B．一定是负数 C．一定是正数 D．可能是正数，也可能是负数 【变式3-2】设a，b，c是三角形的三边，则多项式的值为（   ） A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．无法确定 【变式3-3】若是三角形的三边长，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】已知，，为的三边长，，满足，且为方程的解，求的周长，并判断的形状． 【题型二】三角形的角 【例1】一个三角形的三个内角的度数比为，则这个三角形是 三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）． 【变式1-1】在中，若，则这个三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式1-2】如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【例2】下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，已知，平分，平分，，那么成立吗？请说明理由． 【变式2-2】如图，直线，，，则的度数为 ． 【变式2-3】如图，已知D、E在的边上，，，，则的度数为 ． 【变式2-4】在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】如图，把含有角的直角三角板的斜边放在直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，直线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在中，D是边上一点，，，，则的度数为 ． 【变式3-3】如图，点E在上，点F在上，，交于点O，且，，求的度数． 【变式3-4】如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【变式3-5】如图，是的外角，平分，平分，且交于点E． (1)若，求证：； (2)试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【例4】如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为 ． 【变式4-1】如图，在中，，，是边上一点，连接．将沿折叠后，点落到点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，把纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 【例5】如图， ． 【变式5-1】如图，在中，是边上的高，垂足为点，点在边上，连接，若． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【变式5-2】如图，在中，是边上的高，垂足为D点，点P在边上，连接，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【变式5-3】如图，已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【题型三】三角形的中线、角平分线、高线 【例1】如图，已知为的中线，的周长为，则的周长为 ． 【变式1-1】如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为，求的长． 【变式1-2】如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点A、C重合），连接交于点． (1)若是的中线，，求与的周长之差； (2)若是的高，，求的度数． 【变式1-3】如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是 ． 【变式1-4】如图，在中，已知D为上一点，E、F分别为、的中点，且，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【变式1-5】如图，在中，点D、E、F分别在三边上，E是的中点，，，，交于一点G，，，则的面积是（    ） A．30 B．28 C．56 D．60 【例2】如图，为的中线，为的中线，过点作，垂足为． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，且，求的长． 【变式2-1】下列命题是真命题的是（   ） A．两个锐角之和一定是钝角 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．同旁内角互补 D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点 【变式2-2】下列叙述正确的是（   ） ①三角形的中线、角平分线都是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条高交于一点； ④三角形的三条角平分线交于一点 A．②④ B．①②④ C．③④ D．②③④ 【变式2-3】如图，在中， (1)求证∶为直角三角形； (2)若的平分线交于点E，于点D，，求的度数． 【变式2-4】如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【例3】下列四个图形中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列四个图形中，画出的边上的高正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型四】全等的概念与性质 【例1】下列各组中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各组给出的两个图形中，全等的是（    ） A． B． C． D． 【例2】下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 【变式2-1】已知：如图，，，，． (1)写出和的对应边和对应角． (2)求的度数和边的长． 【变式2-2】如图，，的延长线经过点，交于，，，，则 ． 【变式2-3】如图，，的延长线交于点．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】已知如图，，，，． (1)求的长； (2)求的度数． 【例3】如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，速度为V，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，若存在某一时刻使与全等，则V为（   ） A．或 B． C．或 D．或 【变式3-1】现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点是边的中点，小狗汪汪从点出发沿以的速度向点跑，同时小狗妞妞从点出发沿向点跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式3-2】如图，在中，，，，点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动，点从点出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，且一个点到达终点，则另一个也停止运动．分别过、两点作于点，于点，当与全等时，的值为 ． 【例4】小飞用铁丝围了两个全等的三角形，其中一个三角形的三边长分别为5，7，8，另一个三角形的三边长分别为5，，，且，均为正整数，则 ． 【变式4-1】一个三角形的三边为3、7、，另一个三角形的三边为3、9、，若这两个三角形全等，则 ． 【变式4-2】如图，，A，B，C，D四点在同一直线上，若，，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【题型五】三角形全等的判定 【例1】如图，在和中，点B、F、C、E在同一直线上，，，请添加一个条件，能用“”使，这个条件可以是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，相交于点，，连接． 求证：． 【变式1-2】某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得的长为那么，河的宽度是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，点D在上，点E在上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式1-4】如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，连接，，且，下列说法：①；②和周长相等；③；④；⑤．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-5】如图，在中，，是边上的高，是边上的高，AD、BE相交于点O，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，动点从点B出发沿射线以每秒8个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，点F是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【变式1-6】几何世界就像一场探险，而“转化思想”就是你手中最明亮的那盏灯．请用“转化”的眼光去解决以下问题， (1)如图1，为上一点，，．求证：； (2)如图2，，，，的延长线交于点，猜想与的数量关系，并加以证明． 【变式1-7】如图，在中，，于点D，E为边上一点，连接交于点F，G为外一点，且，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1-8】如图，在与中，点，，，在同一条直线上，，，连接交于点，． 求证： (1)； (2)． 【变式1-9】小丽与小琳在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处， 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距 水平距离的处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点处时，小丽距离地面的高度为，已知， 于点， 于点 ． (1)求证：； (2)为了安全考虑规定户外秋千设置高度在以下，小丽所在公园的秋千高度 设置是否合理？为什么？ 【例2】如图，已知，，如果添加一个条件用“”使，则添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，，D，E分别是上的点，交于点O，且． 求证： (1)； (2)． 【变式2-2】如图，在和中，延长交于F．，，．求证：． 【变式2-3】已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．求证． 【变式2-4】 【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【变式2-5】如图，分别以的边，为腰作等腰和等腰，，点在同一直线上． (1)证明：； (2)若，求． 【变式2-6】如图，，，，延长至点使， (1)求证：． (2)若，求． 【例3】如图，已知，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；以点为圆心，的长为半径作弧，与以点为圆心，的长为半径所作的弧交于点，连接，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，点E，B，F，C在一条直线上，已知，，．求证：． 【变式3-2】如图，工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图所示，是一个任意角在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合．过角尺顶点的射线即是的平分线．这种做法的道理是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，点B，E，C，F在同一条直线上，． (1)求证； (2)若，求的度数． 【例4】如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图所示，，，，在同一直线上，，，要使，需添加的一个条件是 ． 【变式4-2】如图，已知AC与BD交于点E，且，请你再添加一个边或角的条件使，添加的条件是： ．（添加一个即可）依据是 ． 【题型六】全等及全等的综合 【例1】如图，，，，是的中点，连并延长线交射线于点． (1)如图1，当时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若为钝角时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论． 【变式1-1】如图，在中，，，点在的延长线上，是的中点，是线段上一动点，且，连接，作交延长线于点．猜想线段与的数量关系，并证明你的结论． 【变式1-2】如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． (1)求证：； (2)写出线段的长（用含t的式子表示）； (3)连接，当线段经过点C时，求t的值． 【变式1-3】（1）如图1，C、A、E在一条直线上，，，于点，于点．求证：． （2）如图2，且，且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，，，连接、，且于点，与交于点， ①求证：； ②若，，求的面积． 【变式1-4】小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得． (1)求证：； (2)求的长． 【变式1-5】如图，在和中，，E是的中点，，垂足为F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式1-6】在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，请猜想之间有何数量关系？并证明你的猜想． 【例2】问题背景： 如图1，在四边形中，，，．、分别是、上的点．且．探究图中线段、、之间的数量关系．    (1)小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是________； (2)如图2，若在四边形中，，．、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【变式2-1】如图，点在线段上，，，，、在线段同侧，分别连接、交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式2-2】如图，在四边形中，，，，点E、F分别在，上，且．求证：． 【变式2-3】如图，中，，延长到点，使，作射线于点，并在射线上截取，连接．猜想与的数量关系和位置关系，并证明． 【变式2-4】如图，在中，，，． (1)证明：； (2)求与延长线的夹角．（用含的表达式表示） 【变式2-5】如图，在和中，，为锐角，，，连接、，与交于点，与交于点． (1)与有怎样的数量关系和位置关系？说明理由． (2)固定不动，将绕着点B顺时针方向旋转，在变化的过程中的长度变化的范围是______． 【变式2-6】如图，，连结，试着判断与的关系，并证明你的结论． 【变式2-7】如图，在中，，点是直线上的一个动点（不与重合），连接，以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)当时，的位置关系是 ； (3)设．当时，请你探究与之间的数量关系． 【例3】问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【变式3-1】如图，在中，，是边上的中线．求证：是的角平分线． 【变式3-2】如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 【变式3-3】如图，，，，点，分别在，上，，延长至点H，使得，连接．求证： (1)； (2)． 【例4】 【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过思考： （1）由已知和作图能得到的理由是___________． A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．HL （2）求得AD的取值范围是___________． A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，，求证：． 【变式4-1】在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法． 【特例分析】例如：在中，，，点是边上的中点，怎样求的取值范围呢？我们可以延长到点，使，然后连接（如图①），这样，在和中，由于，，，接下来，在中通过的长可求出的取值范围． （1）在图①中，中线的取值范围是______． 【拓展探究】 （2）应用上述方法，解决下面问题： 如图②，在中，点是边上的中点，点是边上的一点，作交边于点，连接，若，，请直接写出的取值范围． 【推广应用】 （3）如图③，在四边形中，，，点是中点，点在上，且满足，，连接、，请判断与的位置关系，并证明你的结论． 【变式4-2】【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长至，使，连接． 因为是的中点 所以 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案） 【变式4-3】“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． 某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习： 已知在四边形中，，，分别是直线，上的点． （1）如图，若，，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为__________． （2）如图，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组的同学们先猜想线段，，之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法： 方法1：延长至点，使得，先证与的全等，再证与的全等，可得到线段，，的之间的数量关系． 方法2：在上截取，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系． 请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明． （3）如图，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【题型七】等腰三角形的性质与判定 【例1】等腰三角形周长是30，其中一边长是8，则等腰三角形的底边长是 ． 【变式1-1】已知是等腰三角形，且，．求的周长． 【变式1-2】等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数． 【变式1-3】已知是二元一次方程组的解，若m，n是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长是（   ） A．8 B．10 C．8或10 D．12 【变式1-4】已知，分别为等腰三角形的两条边长，且，满足，求此三角形的周长． 【变式1-5】定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为，底边长为，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为 ． 【变式1-6】如图，在中，，，，为的中点．点在线段上以2cm/s的速度由点向点运动，同时点在线段上以的速度由点向点运动．设运动的时间为． (1)填空（用含t，a的代数式表示）： ①_________；②_____． (2)当a，t为何值时，以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等？写出求解过程． 【例2】如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．平分 【变式2-1】如图，在，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．那么的度数是 ． 【变式2-2】如图，中，，点分别在上，且，连接，若，，求的度数． 【变式2-3】如图，在中，为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当在线段上时， ①求证：． ②当时，求的度数． (2)当时，若中最小角为，求的度数． 【变式2-4】在中，，D是射线上的一个动点（不与点B，C重合），以为一边在右侧作，使，，连接． (1)如图①，当点D在线段上，且时，则______． (2)设，． ①如图②，当点D在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图③，当点D在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，直接写出此时与之间的量关系____________（不需要证明）． 【变式2-5】如图，在中，，D为底边BC的中点，于点E．过点D作于点F． (1)将图形补充完整 (2)求证：． 证明： ________① ， 为底边的中点 ________② 在和中 ③ （________④） （________⑤） 【变式2-6】如图，为等腰直角三角形，，在内作射线，过点作的垂线交线段的延长线于点，在射线上截取，连接，过点作交线段于点． (1)依题意补全图形； (2)求的大小； (3)猜想与的数量关系，并证明． 【变式2-7】某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图①，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、、集中在中，利用三角形三边的关系，探究得出的取值范围是___________； (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过作与相交于点，且．求证：平分． 【例3】如图，是等边的边上的中线，，则的度数为 ． 【变式3-1】如图，在中，，．求证： (1) (2) 【变式3-2】已知：如图，在中，，为的中点，于点，交于点．连接，若．求证：． 【例4】如图，在中，，，和的平分线交于O点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．14 【变式4-1】如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点O，且，分别交于点M、N，则的周长是 ． 【变式4-2】如图，中，平分，交于点，若，，则长度为（    ） A．4.5 B．3 C．4 D．5 【变式4-3】如图，中，点D是的中点，点E是上一点，与的延长线交于点F，． (1)__________； (2)判断并证明和的数量关系． 【变式4-4】如图，点，在的边上，，，．求证：．请你补全下述证明过程： 证明：， ．（依据：___________） ， ．（依据：___________） ，___________， ， ， ． 【例5】如图，在中，，，点D为三角形内部一点且，点E为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形． 【变式5-1】如图：在中，已知，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N． (1)求证：； (2)设与相交于点E，若点E是的中点，试探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式5-2】在中，，，P是线段上一动点（与点B，C不重合），连接，延长至点Q，使得，在的延长线上取一点H，使，连接并延长，交的延长线于M． (1)若，直接写出的大小（用含有a的式子表示）； (2)用等式表示线段和之间的数量关系，并证明． 【变式5-3】已知，等腰中，是直角，点是边上一动点（不与点，重合），过点作，使得点和点落在两侧，且，连接、，、交于点． (1)当点是边中点时，则的度数是________． (2)若点在边上移动到其它位置（不与点，重合），的度数是否变化？________（填“变”或“不变”），并给以证明． (3)若点的位置满足，依题意补全图，用等式表示线段、的数量关系，并证明． 【变式5-4】已知，为等腰三角形（顶点、、按逆时针顺序排列），且．以为一条边作等腰直角（顶点、分别在两侧），其中，连接交于点． (1)如图1，若； ①_____； ②若的平分线交于，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，作，（或其延长线）交于点，且，连接、，请补全图形，若，当最长时，线段的长为_____． 【变式5-5】如图，中，，，点，分别在，上（不与A，，重合），连接，． (1)如图，判断与的数量关系是_____； (2)如图，若，将绕点逆时针旋转，使点正好落在上，取的中点，连接，． 在图中，依题意补全图形； 判断，的数量关系和位置关系，并证明． 【例6】如图，在中，，，平分，交于点D，交的延长线于点E，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【变式6-1】如图1，在中，，以点B为圆心，为半径画弧，交于点D．过点D作交AC于点E． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，试判断的形状，并说明理由． 【变式6-2】如图，在中，点E和点F分别在和边上，且，连接并延长交的延长线于点G，，取的中点O，连接并延长交于点D． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式6-3】为等边三角形，点E在边上，在射线上取点D，使，连接并延长交射线于点F，从下列①②两问中选择一个解答． ①是否存在点E，使得?若存在，求的度数；若不存在，说明理由． ②判断是否成立，并说明理由． 【题型八】等边三角形的性质与判定 【例1】如图，是等边三角形，若，，，求的度数． 【变式1-1】如图，是等腰三角形，，和是等边三角形，和相交于点，且于，于，则的度数为 ． 【变式1-2】如图，点，，在同一条直线上，和都是等边三角形，交于点F，交于点H，连接．求证： (1)； (2)； (3)是等边三角形． 【变式1-3】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，若它们的顶角具有公共的顶点，并当把它们底角的顶点连接起来时会形成一组全等的三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【问题发现】如图1．在和中．，连接，当点落在边上，且三点共线时，则在这个“手拉手”图形中，可得的度数为，请证明这个结论； (2)【拓展探究】如图2，若和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，求的度数． 【变式1-4】已知，在等边中，点为射线上一点（点与点不重合），连接，以为边在上方作等边，连接． (1)如图，当点是边中点时，求的度数； (2)求证：； (3)如图，当动点在的延长线上时，以为边在其下方作等边，连接，求线段，，之间的等量关系式． 【例2】下列三角形： ①有两个角等于； ②有一个角等于的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； ④每边上的高也是这边上中线的三角形． 其中是等边三角形的有（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【变式2-1】如图，在中，．若添加一个条件可判定为等边三角形，则添加的条件可以是 ． 【变式2-2】已知a，b，c是的三条边，若a，b，c满足，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2-3】如图所示，将两个含角的三角尺摆放在一起，可以得到是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． (1)若交换上述命题的题设和结论将得到一个新命题，请写出此命题． (2)请判断（1）中命题的真假，若为真命题，请写出已知和求证并给出证明；若为假命题，请说明理由． 【例3】如图，在等边三角形中，点是延长线上一点，作射线，点关于射线的对称点为点，连接交射线于点． (1)依题意补全图形； (2)连接，． ①求的大小（用含的代数式表示）； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【变式3-1】 （1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【题型九】直角三角形与HL判定全等 【例1】如图，，是的中点，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为，则这个三角形的底角为 ． 【变式1-2】如图，在中，，，是边上一点，连接交于点，过点作于点交于点． (1)求证：； (2)若是中点，连接交于点，判断与的数量关系并证明． 【变式1-3】在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点． (1)如图，当，在直线的同一侧时， 求证：； 求证：； (2)如图，当，在直线的异侧时，直接用等式表示，，之间的量关系：___________． 【变式1-4】如图，在等腰中，，点是斜边上的动点，且，连接． (1)过点作的垂线，垂足为，在线段上取点，使得，连接、. ①请你依据题意，补全图形； ②求证：； (2)在（1）的条件下，若点为线段的中点，连接，试判断线段与线段之间的位置关系，并证明． 【例2】在下列条件中不能确定是直角三角形的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【例3】如图，在和中，点、、在同一条直线上，，．若添加一个条件后可用“”证明，则添加的条件可以是 ． 【变式3-1】如图，，垂足为C，且，若用“”证明，则需添加的条件是 ． 【变式3-2】如图，于点于点，则的长是（    ） A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm 【例4】如图，中点D为中点，于点E，，交的延长线于点F，G是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式4-1】如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式4-2】如图，在和中，，延长交于点，已知，，若，，求的长度． 【变式4-3】如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求证：平分． 【题型十】尺规作图、角平分线与垂直平分线 【例1】如图，用同一个圆规张开一定角度比较两条线段和的长短，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 【变式1-1】如图，已知线段a，用尺规作出，使． (1)作一条线段______； (2)分别以点______，______为圆心，以______为半径画弧，两弧交于点C； (3)连接______，______，则就是所求作的三角形； (4)请按（1）（2）（3）的作图步骤，作出． 【变式1-2】如图，在中，，将边绕点A逆时针旋转得到线段． (1)判断与的数量关系，并证明； (2)以点C为圆心，为半径画弧，交边于点Q，连接，延长交于点M． ①请你依据题意，补全图形； ②试判断线段、与之间的数量关系，并证明． 【例2】用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下： 则说明的依据是（   ） A．边角边 B．角边角 C．角角边 D．边边边 【变式2-1】如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点； （2）作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定，得，其中判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】根据下列语句用圆规和直尺作图，保留作图痕迹，并完成证明． 已知：如图，．求作：，使． （1）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）已知射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； （4）作射线．则即为所求． 证明：连接，． 在与中， ， （___________）， ___________． 即． 在与中， ， ， ． 即． 【例3】下面是“作的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点． （3）画射线，射线即为所求． 上述方法是通过判定得到的，其中判定的依据是     A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．三边分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【变式3-1】已知：如图中，． 求作：点，使得点在上，且点到的距离等于． 作法： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线，于点，； ②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点； ③作射线交于点．则点即为所求． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明． 证明：连接， 在和中 （ ）（填推理的依据）． （ ）（填推理的依据）． ，点在上， ． 作于点， 点在上， （ ）．（填推理的依据）． 【变式3-2】尺规作图： (1)已知：如图，已知．求作：的平分线． ①在答题卡上完成尺规作图．（保留作图痕迹，为所有射线与弧的交点、弧与弧的交点标注字母，不写作法．） ②填空（其中_____处填推理的依据）： 证明：（连接必要的线段）根据作图过程，在_____和_____中， ， __________，（_____） ， 平分． (2)已知：如图，直线和直线外一点． 求作：点关于直线的对称点． ①根据以下作法，在答题卡上完成尺规作图． 作法：先在上任取两点，； 再以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧在直线另一侧交于点，点为所求． ②填空（其中_____处填推理的依据）： 证明：（连接必要的线段）根据作图过程，有__________，__________， 点_____，_____都在线段_____的垂直平分线上，（_____） 直线_____是线段_____的垂直平分线，（_____） 点，关于直线对称． 【例4】如图，平分，，点D是上的动点，若，则长度的最小值为 ． 【变式4-1】如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、，，，则下列结论中正确的个数（   ） ①平分；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-2】如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，D在的延长线上，交于F，交于G，连接．下列结论：①；②；③；④垂直平分线．其中一定正确的有（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【变式4-3】如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，证明： (1)； (2)． 【变式4-4】如图，在等边和等边中，，，三点共线，与，与与分别交于点，点，点，下列四个结论中：①；②平分；③；④．所有正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【变式4-5】如图1，在等腰中，，作射线交于点，且． (1)求证：平分； (2)如图2，点在线段上，点在线段的延长线上，且．若，，求线段的长． 【变式4-6】如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ①；②平分；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-7】已知点和两条相交直线，，点不在这两条直线上．作一条经过点的直线，交直线于，交直线于．若，，这三点之中，有一点是另两点所连线段的中点，则称为关于这个中点的“好线”． (1)如图1，已知点在的平分线上，若为关于点的“好线”，则的度数是_____； (2)如图2，已知点不在的平分线上． ①怎样画出一条关于点的“好线”？小明的探究思路是：假设直线已作出，满足，如图2-1，那么可以在图中构造出一个以为顶点、且与全等的三角形．由此小明发现了画关于点的“好线”的一种方法． 请你参考小明的思路，或另寻思路，探究画关于点的“好线”的方法．写出画图步骤，再证明此时是的中点； ②在图2-2中画关于点的“好线”并写出画图步骤．结论不需证明． （注：本题允许使用三角板、量角器等工具画图，写画图步骤时，可参考第25题步骤1~步骤3的写法． 【例5】数学课上，老师布置如下任务： 如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点，使．下面是小李同学设计的尺规作图过程： 作法：①作线段的垂直平分线，直线交射线于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点，则点即为所求． 根据小李同学设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明： 证明：连接． 直线为线段的垂直平分线， _____（_____）（填推理的依据） ， ． ， _____（_____）（填推理的依据） ． 【变式5-1】如图，区域S内要修建一个加油站P，其设计要求是加油站到A、B两个小镇的距离相等．且到m，n两条公路的距离也相等．请在图中区域S内确定加油站的位置（保留作图痕迹）． 【变式5-2】如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，； ②作直线交于点，连接． 若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例6】如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，则（    ）． A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 °． 【变式6-2】已知，A为射线上一点，在射线上取一点B，使得，C为线段垂直平分线上一点（不与O、A两点共线），且点C与点B位于射线的两侧，连接，，，，线段交于点D．并回答下列问题． (1)请在图1中依据题意补全图形． (2)若， ①求的度数； ②的角平分线交于点F，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【变式6-3】如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．20 D．11 【例7】下列说法：①有一个角是的等腰三角形是等边三角形；②如果三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形，其中正确的结论是（    ） A．①④ B．①②④ C．②③ D．①②③ 【变式7-1】如图，在等腰中，，，于，点是线段上一点，点是延长线上一点，若，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．①③④ 【变式7-2】如图，是的中线，点，分别在，上，且，连接，则下列说法中正确的是 （填序号）． ①若，则；②若，则；③若，，这三条线段能构成一个锐角三角形，则． 【变式7-3】如图，在中，平分．请从条件①，条件②中选择一个作为已知，使得成立，并证明． 条件①于点E，于点F； 条件②． 【例8】如图，中，． (1)尺规作图：在AC边上确定点D，使得（保守作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，将，判断是否为等腰三角形．并说明理由． 【变式8-1】已知∠α和线段a，用尺规作△ABC，使∠A＝2∠α，AB＝2a，∠B＝3∠α，作法如下：（1）在AN上截取AB＝2a，（2）作∠MAN＝2∠α，（3）以B为圆心，BA为一边作∠ABE＝3∠α，BE交AM于点C．△ABC就是所求作的三角形．则正确的作图顺序是 ．（只填序号．） 【题型十一】逆命题、逆定理 【例1】命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 ，它是 命题（填真或假） 【变式1-1】下列命题的逆命题成立的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．等边对等角 C．对顶角相等 D．如果，那么 【变式1-2】下列说法正确的是（   ） A．等腰三角形的中线就是角平分线 B．两边及一角对应相等的两个三角形全等 C．若，则经过E的直线垂直平分线段 D．对顶角相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【变式1-3】写出命题“同角的余角相等”的逆命题： ． 【变式1-4】下列说法正确的个数是（   ） ①每个命题都有逆命题 ②真命题的逆命题是真命题 ③假命题的逆命题是真命题 ④每个定理都有逆定理 ⑤每个定理一定有逆命题 ⑥命题“若，那么”的逆命题是假命题，可举反例． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-5】一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为 ；等腰三角形的两边长为和，则该等腰三角形的周长为 ；定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆定理是 ． 【题型十二】轴对称与轴对称图形 【例1】下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】如图，在中，，，面积是16，的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【例2】如图，已知为等边三角形，D、E分别为线段延长线上的点，且．作直线，点B关于直线的对称点为F，连接分别交直线于G、H．设． (1)①请你根据题意，补全图形； ②连接，求的大小；（用含有α的式子表示） (2)试猜想和之间的数量关系，并证明． 【变式2-1】小明同学在画对称轴的过程中，忘记带圆规，只带了一把无刻度的直尺，他选择仅使用直尺工具完成以下问题探究 (1)问题1：轴对称图形对应点连线互相______．（填“平行”或“垂直”） (2)问题2：如图1，画出线段AB与的对称轴．小明采用以下画法：连接与，两条线段交于点，延长BA与交于点，连接，，． ①根据小明的画法完成作图； ②证明：； ③证明：由②结论证明：是与的垂直平分线，也就是对称轴； (3)问题3：如图2，设计一种方法，只用直尺作出与的对称轴，用文字描述你的画法并证明这样画出的直线即为对称轴． 【变式2-2】小明同学在画对称轴的过程中，忘记带圆规，只带了一把无刻度的直尺，他选择仅使用直尺工具完成以下问题探究 (1)问题1：轴对称图形对应点连线互相_________．（填“平行”或“垂直”） (2)问题2：如图1，画出线段与的对称轴．小明采用以下画法：连接与，两条线段交于点O，延长与交于点P，连接，，． ①根据小明的画法完成作图； ②证明：； ③证明：由②结论证明：是与的垂直平分线，也就是对称轴； (3)问题3：如图2，设计一种方法，只用直尺作出与的对称轴，用文字描述你的画法并证明这样画出的直线即为对称轴． 【变式2-3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线对称的； (2)格点到点、的距离相等，则网格中满足条件的点共有______个； (3)在直线上找一点，使的值最小． 【变式2-4】如图，点P是内一定点，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，当周长取得最小值时， ． 【例3】为等边三角形，射线经过点，，作点关于射线的对称点，连接、交直线于点． (1)如图，当时． ①依题意补全图形，并直接写出此时_____（用含的式子表示）； ②用等式表示线段、、的数量关系，并证明； (2)若为等腰三角形，直接写出的度数． 【变式3-1】如图，在中，，点关于直线的对称点为，分别连接、，点关于直线的对称点为，连接交于点，连接，连接并延长，交于点． (1)根据题意补全图形； (2)求证：． 【变式3-2】如图，在中，，D为边的中点，，点C关于的对称点为E，连接，，交于点F． (1)依题意补全图形并求的度数； (2)用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【变式3-3】已知：如图，中，，，点是边上的定点，点、点、点分别是边、边和边上的动点．当最小时，与的度数和是 ． 【变式3-4】如图，等腰中，，，为BC上一点，，关于所在直线的对称点为点，连接、，交于点． (1)依题意补全图形； (2)比较与的大小，并证明． (3)过做于点，延长交于点，求证：． 【变式3-5】已知△中，，点D是上一点，，点E是上一点，，设． (1)直接写出度数（用含α的式子表示）； (2)连接，平分交于F，作点B关于的对称点G，连接 ①依题意在图2中补全图形，并直接写出的度数； ②用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 【变式3-6】在等腰中，，D是边上一个动点（点D不与点B、C重合），连接，点D关于的对称点为F，点E在射线上且． (1)若点D在边上的位置如图所示． ①在图中按题意补全图形； ②写出线段之间满足的数量关系，并证明； (2)过点A作直线的垂线，垂足为G，写出线段之间满足的数量关系． 【例4】如图，在中，，．点是边上的一点且，将沿直线折叠，使点落到点的位置，延长到点，使，连接、．则下列结论：①②③④其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】如图，在中，，，D是上一点，将沿折叠，使点B落在边上处，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】在中，，，将按如图所示的方式依次折叠： 有下面四个结论： ①平分；②；③；④的周长等于的长．所有正确结论的序号为 ． 【题型十三】勾股定理与逆定理 【例1】数学活动课上，李华用同样的火柴棒摆直角三角形，他摆两条直角边分别用了5根和12根火柴棒，他摆完这个直角三角形共用火柴棒（   ） A．30根 B．29根 C．28根 D．27根 【变式1-1】如图，长方形的边在数轴上，点B的坐标为，点C的坐标为3，，以B为圆心，为半径画弧与数轴交于点E，则点E表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，将沿对角线翻折得到，边交轴于点．则点的坐标是 ． 【例2】如图，是等腰直角三角形，，点D是边上一点，连接，在下方以为斜边作等腰直角，在线段的延长线上截取一点E，使得．连接． (1)依题意补全图形，直接写出线段与的位置关系与数量关系______； (2)H为线段的中点，连接，请用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【变式2-1】如图，在中，，点在边上，，点在边延长线上，满足． (1)判断和的位置关系，并证明； (2)过作交延长线于点，请你补全图形，并用等式表示、、之间的数量关系，并证明； (3)若，点，分别是线段，上的动点，直接写出的最小值． 【例3】如图所示，以直角三角形三边为边长作正方形，其中两个以直角边为边长的正方形面积分别为和，则正方形的面积是 ． 【变式3-1】如图，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当，时，则阴影部分的面积为 ． 【变式3-2】在直线l上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，按此规律继续摆放，则 ． 【变式3-3】如图，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别为；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为．其中，，，，则 ． 【例4】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在图①中画一条线段，使； (2)在图②画一个，使其三边长分别为，， ； (3)求图②中点A到线段的距离． 【变式4-1】如图是由边长相等的小正方形组成的网格，请利用网格和无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)如图，画一个，使，，． (2)请直接写出的面积． 【例5】如图，在长方形纸片中，，，点在边上，将长方形纸片沿折痕翻折，使点恰好落在对角线上的点处，求的长． 【变式5-1】如图，在三角形纸片中，，如果在边上取一点，以为折痕，使三点共线（是对称点），那么的周长为 ．    【变式5-2】在中，，点是平面内一点（不与点重合），连接，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，求点到直线的距离． (2)如图2，点在的内部，试探究，，之间的数量关系并说明理由． 【变式5-3】步行台阶每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是 ． 【变式5-4】如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-5】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度和芦苇的长度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽，芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【例6】以下列三条线段的长为三边，能构成直角三角形的是（    ） A．1，1，2 B．2，3，4 C．6，8，10 D．7，8，9 【变式6-1】已知的算术平方根是3，，试判断以，，为边长的三角形的形状，并说明理由． 【变式6-2】在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为与的线段、，要求线段的端点在格点上． (2)在图 2中画出一个三条边长分别为5、、的三角形，使它们的顶点都在格点上． (3)试判断图2中这个三角形的形状．（直接判断，不需要说明理由） 【变式6-3】如图所示网格中，已知，两个格点，现要在网格中另取一格点，使得，则这样的格点共有（   ）个    A． B． C． D． 【变式6-4】如图，为某种帐篷支架的立柱，和分别为两侧坡柱．安装时要求A，D，B三点固定在地面上，于点D，且．如果按，，进行设置，请判断此支架是否合格． 学科网（北京）股份有限公1 / 5 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