第十章 分式（知识清单）数学北京版2024八年级上册

第十章 分式 知识点一、分式及其性质 一般地，如果A、B表示两个 ，并且B中含有 ，那么式子叫做 ，其中A叫做分子，B叫做分母. 知识点二、分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于 ，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 知识点三、分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的 ， 不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 知识点四、分式的约分 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的 ，不改变分式的值，这样的分式变形叫做 . 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做 . 【补充说明】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 知识点五、分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个 的分式分别化成与原来的分式相等的 ，这一过程叫做 . 最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做 ．在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数. 确定最简公分母的方法： 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 知识点六、分式的加减法 1）同分母分式相加减： ，把分子相加减；符号表示为： 2）异分母分式相加减：先 ，变为同分母的分式，再 ；符号表示为： 知识点七、分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 知识点八、分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先 ，再 ，最后 ；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 知识点九、分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做 ． 分式方程的重要特征：① ；② ；③分母中含有 . 知识点十、分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为 . 解分式方程的一般步骤： 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先 ； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去 ，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 知识点十一、用分式方程解决实际问题的步骤： ：理解并找出实际问题中的等量关系; ：用代数式表示实际问题中的基础数据; ：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; ：求解方程; ：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. ：实际问题的答案. 一、分式的相关概念 1.分式有无意义的条件 错误：不理解分式有无意义的条件 注意：分式有意义时分母不为零；无意义时分母为零 例：若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 2.分式值为零的情况 错误：分类讨论，一是分子为零；二是分母为零 注意：分式值为零时也要满足分式有意义的条件，即分母不为零 例：若分式的值等于0，则x的值为（    ） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 二、分式的运算 1.分式化简求值 错误：分式化简求值时代入的值不符合分式有意义的条件 注意：应当分析分式有意义的条件，再代入合适的值进行求解 例：先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 2.分式混合运算 错误：分式混合运算不注意分式计算的顺序 注意：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 例：已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 三、分式方程 1.分式方程的解法 错误：忘记验根 注意：解分式方程的时候，要注意将解出来的根代入原分式方程进行排除 例：解方程：． 2.分式方程的含参问题 错误： 注意：1、分式方程有解，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根. 2、分式方程无解，说明：①原方程去分母后的整式方程无解；②分式方程有增根. 3、分式方程解为正/负，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根； ③特殊解大于0或小于0 4、 分式方程有增根，说明：①原分式方程中的字母为0；②增根为原方程去分母后的整式方程的根. 例：关于x的分式方程3＝0有解，则实数m应满足的条件是（　　） A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2 3.分式方程的应用 错误：找不到等量关系 注意：正确理解题干中出现的数据，找到等量关系 例：为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 1．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若分式的值为0，则a，b满足的条件是（   ） A． B． C．或 D．且 2．（24-25八年级上·北京延庆·期中）不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级上·北京·期中）若分式的值为0，则的值是（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·北京丰台·期末）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·北京顺义·二模）方程的解为 ． 6．（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）如果关于x的分式方程（）无解，那么a的值是 ． 7．（24-25八年级下·北京朝阳·开学考试）若分式的值为正数，则需满足的条件是 ． 8．（24-25八年级上·北京·期末）有一个分式：①当时，分式有意义；②当时，分式的值为0．请写出同时满足以上两个条件的一个分式 ． 9．（2025·北京门头沟·二模）已知，求代数式的值． 10．（2025·广东深圳·二模）先化简，再求值：，再从，0，1，2中，选个合适的值作为代入求值． 11．（2025·北京·模拟预测）已知，求代数式的值． 12．（24-25八年级上·北京顺义·期中）观察下列方程及其解的特征 第1个方程：的解为 第2个方程：的解为 第3个方程的解为 解答下列问题： (1)猜想，第5个方程，方程的解为________． (2)关于的第个方程为________，它的解为________； (3)利用上述规律解关于的分式方程： 13．（24-25九年级下·北京东城·阶段练习）某足球特色学校在商场购进A、B两种品牌的足球，已知购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元，分别求A、B品牌的足球的单价． 14．（24-25八年级下·北京·开学考试）为培养学生的阅读能力，某校初二年级购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的1.4倍，并且订购的《红楼梦》的数量比《西游记》的数量多300本．设购买《西游记》的单价为元． (1)根据题意，用含的式子填写下表： 单价（元） 数量（本） 总费用（元） 《西游记》 7000 《红楼梦》 14000 (2)根据题意列出方程，求该校初二年级购买的《红楼梦》和《西游记》的单价各为多少元？ (3)该校初二年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《红楼梦》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 15．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 参考小智的方法，完成下面的问题： (1)如果分式可以变形为（，为整数），求和的值； (2)求分式的最大值． 16．（24-25八年级上·北京大兴·期末）阅读下面的解题过程： 例：已知，求代数式的值． 第一步  因为，所以，即； 第二步  因为， 所以． 该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题． 已知， (1)仿照第一步，求的值； (2)仿照第二步，求的值． 17．（24-25八年级上·北京海淀·期末）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________； (3)当时，判断与的大小关系，并证明． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 分式 知识点一、分式及其性质 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 知识点二、分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 知识点三、分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 知识点四、分式的约分 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【补充说明】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 知识点五、分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数. 确定最简公分母的方法： 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 知识点六、分式的加减法 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 知识点七、分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 知识点八、分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 知识点九、分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 知识点十、分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 知识点十一、用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 一、分式的相关概念 1.分式有无意义的条件 错误：不理解分式有无意义的条件 注意：分式有意义时分母不为零；无意义时分母为零 例：若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，分母不能等于，列不等式求解即可． 【详解】解：分式有意义的条件是分母不能等于， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义的条件． 2.分式值为零的情况 错误：分类讨论，一是分子为零；二是分母为零 注意：分式值为零时也要满足分式有意义的条件，即分母不为零 例：若分式的值等于0，则x的值为（    ） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 【答案】A 【分析】根据分式的值为0的条件即可得出答案． 【详解】解：根据题意，−1＝0，x−1≠0， ∴x＝−1， 故选：A． 二、分式的运算 1.分式化简求值 错误：分式化简求值时代入的值不符合分式有意义的条件 注意：应当分析分式有意义的条件，再代入合适的值进行求解 例：先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 【答案】，时，原式，时，原式. 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可. 【详解】解： 且 ∴当时，原式； 当时，原式. 2.分式混合运算 错误：分式混合运算不注意分式计算的顺序 注意：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 例：已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 由题意得，对进行通分化简即可． 【详解】解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 三、分式方程 1.分式方程的解法 错误：忘记验根 注意：解分式方程的时候，要注意将解出来的根代入原分式方程进行排除 例：解方程：． 【答案】． 【分析】本题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程化为整式方程求解，即可解题． 【详解】解：， 方程两边都乘，得． 去括号得：， 解得． 经检验，是原方程的根． 2.分式方程的含参问题 错误： 注意：1、分式方程有解，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根. 2、分式方程无解，说明：①原方程去分母后的整式方程无解；②分式方程有增根. 3、分式方程解为正/负，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根； ③特殊解大于0或小于0 4、 分式方程有增根，说明：①原分式方程中的字母为0；②增根为原方程去分母后的整式方程的根. 例：关于x的分式方程3＝0有解，则实数m应满足的条件是（　　） A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2 【答案】B 【分析】解分式方程得：即，由题意可知，即可得到. 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， ∴， ∵分式方程有解， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B. 【点睛】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键. 3.分式方程的应用 错误：找不到等量关系 注意：正确理解题干中出现的数据，找到等量关系 例：为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】(1)航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； (2)当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，根据用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的列出方程求解即可； （2）设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，先根据航空模型数量不少于航海模型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； （2）解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个， 由题意得，， 解得， ， ∵， ∴y随m增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为， 此时有， 答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少． 1．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若分式的值为0，则a，b满足的条件是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式值为0的条件．根据分式分式值为0的条件：分母不等于及分式的值为列出不等式，解之可得． 【详解】解：因为分式的值为0，所以且， 所以且， 所以，且， 故选：D． 2．（24-25八年级上·北京延庆·期中）不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的性质，平方差公式，分式乘方等知识．根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于的整式，分式值不变，即可得出答案． 【详解】解：A、，原选项变形错误，不符合题意； B、，原选项变形错误，不符合题意； C、，原选项变形错误，不符合题意； D、，原选项变形正确，符合题意； 故选：D． 3．（21-22八年级上·北京·期中）若分式的值为0，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键； 根据分式的值为0即分子为0，分母不为0，据此解答即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 解得：． 故选：B． 4．（24-25八年级上·北京丰台·期末）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．根据题意可得出物体B的体积是，分别求出物体A和物体B的密度，再结合A，B两个物体的密度之比为列等式即可． 【详解】解：设物体A的体积是，则物体B的体积是， ∴物体A的密度为，物体B的密度为． ∵A，B两个物体的密度之比为， ∴． 故选A． 5．（2025·北京顺义·二模）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解； 两边都乘以，得 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 故答案为：． 6．（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）如果关于x的分式方程（）无解，那么a的值是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了分式方程无解， 先去分母可知，再移项，合并同类项，然后根据系数为0得出答案． 【详解】解：分式方程， 当时无解，即； 当时， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 当时，原方程无解，即； 当时，， 解得． 所以a的值为或． 故答案为：或． 7．（24-25八年级下·北京朝阳·开学考试）若分式的值为正数，则需满足的条件是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的值为正数，正确列出不等式是解题关键． 根据平方的非负性、分式的值为正数可得，，由此即可得． 【详解】解：∵分式的值为正数，， ∴，解得， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·北京·期末）有一个分式：①当时，分式有意义；②当时，分式的值为0．请写出同时满足以上两个条件的一个分式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的值为0的条件，根据当时，分式有意义；当时，分式的值为0，再构建分式即可． 【详解】解：∵①当时，分式有意义；②当时，分式的值为0． ∴分式可以为， 故答案为： 9．（2025·北京门头沟·二模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质是关键． 根据分式的性质化简，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 10．（2025·广东深圳·二模）先化简，再求值：，再从，0，1，2中，选个合适的值作为代入求值． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分，然后从，0，1，2中，选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，0，1，2中，只有符合题意， 当时，原式． 11．（2025·北京·模拟预测）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，由已知得，再根据分式的性质和运算法则进行化简，最后把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式 ． 12．（24-25八年级上·北京顺义·期中）观察下列方程及其解的特征 第1个方程：的解为 第2个方程：的解为 第3个方程的解为 解答下列问题： (1)猜想，第5个方程，方程的解为________． (2)关于的第个方程为________，它的解为________； (3)利用上述规律解关于的分式方程： 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了解分式方程，数式规律问题，分式方程的解，根据题意找出规律是解题的关键． （1）仿照题中规律，解答即可； （2）仿照题中规律，解答即可； （3）先把原方程两边同时乘2，进行变形为，利用得出的规律解答即可． 【详解】（1）解：，即， ∴，， 故答案为：，； （2）解：可猜想第n个方程为：的解为，， 故答案为：，； （3）解：方程两边乘2得，， 移项，得， ∴或， 解得：，， 经检验得，，是原方程的解． 13．（24-25九年级下·北京东城·阶段练习）某足球特色学校在商场购进A、B两种品牌的足球，已知购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元，分别求A、B品牌的足球的单价． 【答案】A、B品牌的足球的单价分别为元、元． 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，理解题意正确列方程是解题关键．设A品牌的足球的单价为元，根据“购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元”列分式方程求解即可． 【详解】解：设A品牌的足球的单价为元，则B品牌的足球的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 元， 答：A、B品牌的足球的单价分别为元、元． 14．（24-25八年级下·北京·开学考试）为培养学生的阅读能力，某校初二年级购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的1.4倍，并且订购的《红楼梦》的数量比《西游记》的数量多300本．设购买《西游记》的单价为元． (1)根据题意，用含的式子填写下表： 单价（元） 数量（本） 总费用（元） 《西游记》 7000 《红楼梦》 14000 (2)根据题意列出方程，求该校初二年级购买的《红楼梦》和《西游记》的单价各为多少元？ (3)该校初二年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《红楼梦》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 【答案】(1)，，； (2)该校初二年级购买的《西游记》的单价为10元，《红楼梦》的单价为14元 (3)这个班订购这两种书籍有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程和不等式． （1）利用数量总价单价填表即可； （2）根据花费14000元订购《朝花夕拾》的数量比花费7000元订购《西游记》的数量多300本，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出订购《西游记》的单价，再将其代入中，即可求出订购《朝花夕拾》的单价； （3）设这个班订购本《朝花夕拾》，则订购本《西游记》，根据“《朝花夕拾》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各订购方案，再求出各订购方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设该校初二年级购买《西游记》的单价为元，则购买《红楼梦》的单价为元， 购买《西游记》的数量为本，购买《红楼梦》的数量为本， 故答案为：，，； （2）解：据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：该校初二年级购买的《西游记》的单价为10元，《红楼梦》的单价为14元； （3）解：设这个班订购本《红楼梦》，则订购《西游记》本， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为3，4，5，6， 这个班共有4种订购方案， 方案1：订购3本《红楼梦》，7本《西游记》，所需总费用为（元； 方案2：订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，所需总费用为（元； 方案3：订购5本《红楼梦》，5本《西游记》，所需总费用为（元； 方案4：订购6本《红楼梦》，4本《西游记》，所需总费用为（元． ， 按照这些方案订购最低总费用为112元． 答：这个班订购这两种书籍有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元． 15．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 参考小智的方法，完成下面的问题： (1)如果分式可以变形为（，为整数），求和的值； (2)求分式的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值． （1）依题意，原分式可化为，可得解； （2）依题意，原分式可化为，再由推出即可得解． 【详解】（1）解： ， ，； （2）解： ， ， ， ， ， 原分式的最大值为． 16．（24-25八年级上·北京大兴·期末）阅读下面的解题过程： 例：已知，求代数式的值． 第一步  因为，所以，即； 第二步  因为， 所以． 该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题． 已知， (1)仿照第一步，求的值； (2)仿照第二步，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式的变形． （1）将已知条件的两边式计算各自的倒数，约分后可得结论； （2）由．再把代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：由（1）得， ∴． ∴． 17．（24-25八年级上·北京海淀·期末）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________； (3)当时，判断与的大小关系，并证明． 【答案】(1)； (2)1，3； (3)，证明过程见详解 【分析】本题考查新定义下分式的加减及分式的大小比较，理解题中新定义、熟练掌握作差法是解题的关键． （1）根据题中示例进行变形即可得出答案； （2）将通分，即可求得m及关于的方程组，解之即可得答案； （3）根据做差法求出两个分式的差再判断出差的正负即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ， ，解得， 故答案为：1，3； （3） 证明： ， ，， ，， ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$