精品解析：湖北省武汉市武昌区部分学校2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年湖北省武汉市武昌区部分学校八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示，把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形是轴对称图形，故A选项符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列长度（单位：cm）的三根小木棒，能搭成为三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 5，6，10 D. 8，8，16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，不能构成三角形，故B不符合题意； C、，能构成三角形，故C符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 3. 如图，木工师傅制作门框时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的几何原理是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用，解答本题的关键是掌握相关知识． 根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的几何原理是三角形的稳定性． 故选：C． 4. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 5. 如图， 中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了作图——复杂作图，角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰三角形的定义，垂直平分线的性质等，熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决问题的关键． A选项中，由作法知，可判断A；B选项中，由作法知是的平分线，根据角平分线的定义和三角形内角和定理得出，根据等腰三角形的定义即可判断B；C选项中，由作法知所作图形是线段的垂直平分线，可判断C；D选项中，由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，可判断D． 【详解】解：选项A、由作法知， 是等腰三角形，故选项A不符合题意； 选项B、由作法知是的平分线， 即， ∵，， ∴， 故， ∴， 是等腰三角形，故选项B不符合题意； 选项C、由作法知，所作直线是线段的垂直平分线， ， 不能判定是等腰三角形，故选项C符合题意； 选项D、由作法知，所作直线是线段的垂直平分线， ， 是等腰三角形，故选项D不符合题意． 故选：C． 6. 如图，已知，且，点E，F为线段上的两点，添加以下条件，不能判定的是（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定定理．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．由平行线的性质可得出，结合题意和三角形全等的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴． 添加，不能判定，故A选项符合题意； 添加，结合，可由“”判定，故B不符合题意； 添加，可得出， ∴，可由“”判定，故C不符合题意； 添加，可得出，可由“”判定，故D不符合题意． 故选A． 7. 如图，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理．连接，设与交于点M，在中，利用三角形内角和定理，可求出，结合三角形内角和定理及对顶角相等，即可求出的度数． 【详解】解：连接，设与交于点M，如图所示． 在中，， ∴ ． 又∵，，， ∴． 故选：B． 8. 如图，先将正方形纸片儿对折，折痕为MN，再把点B折叠在折痕MN上，折痕为AE，点E在CB上，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下得到三角形ADH，则下列选项错误的是（　　） A. DH=AD B. AH=DH C. NE=BE D. DM=DH 【答案】C 【解析】 【分析】利用折叠的性质可得，AB=AH,AH=DH, BE=HE，DM=AD，结合正方形的性质可得A、B、C正确，根据垂线段最短可得C错误． 【详解】解：如图，连结EH， 由折叠得性质可知：AB=AH，AH=DH，BE=HE，DM=AD， ∴AB=AH =DH， 又∵AB=AD， ∴AD=AH =DH， 故A、B正确； ∵BE=HE，HE>NE， ∴BE=NE， 故C不正确； ∵DM=AD，AD= DH， ∴DM=DH， 故D正确； 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，图形的展开与折叠，线段垂直平分线的性质定理，垂线段最短等知识点，熟练掌握折叠得性质是解答本题的关键． 9. 如图，已知，在两边上分别作点，并连接这些点，使……一直作下去，那么图中以这些线段为腰长的等腰三角形最多能找到（ ） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意依次计算，直到等腰三角形的底角不是锐角，即可得到结果． 【详解】解：∵∠A=10°，AB=BC，AB=BC=CD=DE=…， ∴∠A=∠BCA=10°，即第一个等腰三角形的底角为10°， ∴∠CBD=∠CDA=∠A+∠BCA=2∠A， 即第二个等腰三角形的底角为20°， 同理：∠DCM=∠DEC=3∠A， 即第三个等腰三角形的底角为30°， 设最多能找到n个等腰三角形， ∴，即， 解得：， 即8≤n＜9， ∵n为整数， ∴n=8， 故选B． 【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质、三角形外角性质，解不等式组，此类题考生应该注意的是三角形内角和定理、外角性质的运用． 10. 如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】易证，可得，可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得，即③正确，根据③可求得④正确． 【详解】解：为的角平分线， ， 在和中， ， ，①正确； ， ， ， ， ， ，②正确， ， ， ， ， ， ，③正确； 过作，交的延长线于点， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和全等三角形对边角、对应边相等的性质是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知点和点关于轴对称，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查关于轴对称的点的坐标，关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程求出m、n，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 12. 如图，与相交于点E，，若用“”证，则应补充的条件是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题证明两三角形全等的三个条件中已经具备一边和一组对顶角相等，所以只要再添加对顶角的另外一边相等即可．本题考查了三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 【详解】解：添加条件， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 13. 如图，点都在格点上，请再找一个格点，使点组成一个轴对称图形，这样的格点有______个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查设计轴对称图形，根据轴对称的性质，画出符合题意的点，即可得出结果． 【详解】解：由题意，满足题意的点，如图所示： 满足题意的点，共有4个． 故答案为：4． 14. 如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，则的值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明． 根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：5． 15. 如图，的面积为4cm2，AP垂直的平分线BP于点P，则的面积为______cm2． 【答案】8 【解析】 【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直么B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC△和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明的面积． 【详解】解： 延长AP交BC于E，如图所示， ∵AP垂直∠B的平分线BP于P， ∴∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°. 在△APB和△EPB中， ∠APB=∠EPB，BP=BP，∠ABP=∠EBP， ∴△APB≌△EPB(ASA)， ∴S△APB=S△EPB ，AP=PE， ∴△APC和△CPE等底同高， ∴S△APC=S△PCE， ∴S△PBC=S△PBE+S△PCE ∴S△ABC=2S△PBC=2×4=8cm2. 故答案为：8 【点睛】本题考查了三角形面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出S△PBC=S△PBE+S△PCE, S△ABC=2S△PBC． 16. 如图，四边形中，对角线，点F为上一点，连接交于点E，，，，，，则__________． 【答案】12 【解析】 【分析】延长、，交于点，先证明为等腰直角三角形，再判定，然后在等腰直角中得，设，则，判定，从而，解得的值，最后根据，可得答案． 【详解】解：延长、，交于点，如图： ，， ，， 为等腰直角三角形， ， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， ， ， ∵， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为12． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在中，，，求和的度数． 【答案】∠B＝77°，∠C＝ 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B和∠ADB的度数，利用三角形外角性质即可求出∠C的度数． 【详解】解：∵AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣26°）＝77°， ∵AD＝DC， ∴∠C=∠DAC， ∴∠C＝∠ADB＝×77°＝． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握等边对等角、三角形三个内角和等于180°和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题关键． 18. 如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 【答案】 证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE． 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE， ∴∠A＝∠D． 【解析】 【分析】由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质． 19. 已知：如图在中，、两点在边上，且．求证：． 【答案】 证明：如图，过作于， ，， ， ， ，即， ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是作辅助线． 先过作于，而，根据三角形三线合一定理可得，再根据，可得，再根据垂直平分线的性质可得． 【详解】略 20. 如图，是的角平分线，、分别是和的高．求证：垂直平分线段． 【答案】 证明：平分，， ，，， ， ， 又∵， 垂直平分． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．结合三角形的角平分线的性质和定义证明，得到，再根据线段垂直平分线的判定定理即可证明结论． 【详解】略 21. 如图，在平面直角坐标系中，，． （1）在图1中，作出关于轴的对称图形； （2）请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． ①在图1中，作出所有满足条件的格点，使得，则点的坐标为______； ②在图2中，作出的高． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2）①如图所示，，，； ②如图中，线段即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图——轴对称变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． （1）利用轴对称的性质分别作出，的对应点，，依次连接、、即可； （2）①构造等腰直角三角形解决问题即可； ②利用网格的特点，取点，，连接交网格线于，连接延长交于点，线段即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②理由：如图：根据网格的特点，可得， 在与中，，， ∴， 即． 22. 如图，在中，MD是BC的垂直平分线交的平分线于点D，于点E，，交AC的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求AE的长． 【答案】（1） 证明：连接DC、DB，如图所示： ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵是的平分线，，， ∴， ∴（HL）， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接DC、DB，由角平分线和线段垂直平分线的性质可知，，然后根据“HL”可证，进而问题可求证； （2）由（1）易证，则有，然后根据线段的和差关系可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∵， ∴（HL）， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线、角平分线的性质定理及全等三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线、角平分线的性质定理及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 在中，，．点为内部一点，连接，，． （1）如图1，若，，求点到直线的距离； （2）如图2，以为直角边作等腰直角，，线段，交于点，若，求证：； （3）如图3，点在边上，且，点为直线上的一个动点，连接，过点作，且满足，连接，当最短时，请直接写出的度数． 【答案】（1） （2） 证明：延长交于点，过点作于点， 则， 是等腰直角三角形，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于，过点作于，可证得，得出，再由等腰三角形性质可得； （2）延长交于点，过点作于点，可证得，进而可证，即可证得结论； （3）作点关于的对称点，连接、，交于点，过点作交的延长线于点，连接，可证得，得出，即点在直线上运动，当且仅当时，最短，即点与点重合，作点关于的对称点，连接，则，即，再利用等腰三角形性质即可求得答案． 【小问1详解】 解：过点作于，过点作于，如图， 则， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 即点到直线的距离为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作点关于的对称点，连接、，交于点，过点作交的延长线于点，连接， 则，， ，， ， ， ， ，且满足， ， ， 在和中， ， ， ， 即点在直线上运动， 当且仅当时，最短，即点与点重合， 如图，连接， 则，即， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离垂线段最短，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 24. 在平面直角坐标系中，点． （1）如图，若，为等腰直角三角形，点在第三象限时，求点的坐标； （2）如图，在（1）的条件下，边交轴于边交轴于是上一点，且，连．求证：； （3）如图，若、两点均在轴上，且的面积为．分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 证明：过作交轴于点，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）不变，是定值 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，平行线的性质等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题的关键． （1）构造“一线三垂直”全等即可得解； （2）证明线段的和差关系优先考虑截长补短，根据题干条件过作交轴于点，易证，得到，再通过得到即可得证； （3）根据前述两问的思路本题依然构造全等三角形，点作，交轴于点，先证得到，再证得出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：由题干坐标很容易发现为等腰直角三角形时，如果点在第三象限，则此 时，， ， ， 如图，过作轴，过作于点，交轴于点，过作于点，则 ， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的值不会发生变化．理由如下：过点作，交轴于点，则， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点， ， ， ， ， 又， （定值）， 即的长度始终值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年湖北省武汉市武昌区部分学校八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度（单位：cm）的三根小木棒，能搭成为三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 5，6，10 D. 8，8，16 3. 如图，木工师傅制作门框时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的几何原理是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 4. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 5. 如图， 中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，且，点E，F为线段上的两点，添加以下条件，不能判定的是（　） A. B. C. D. 7. 如图，，则等于（　　） A. B. C. D. 8. 如图，先将正方形纸片儿对折，折痕为MN，再把点B折叠在折痕MN上，折痕为AE，点E在CB上，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下得到三角形ADH，则下列选项错误的是（　　） A. DH=AD B. AH=DH C. NE=BE D. DM=DH 9. 如图，已知，在两边上分别作点，并连接这些点，使……一直作下去，那么图中以这些线段为腰长的等腰三角形最多能找到（ ） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 10. 如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知点和点关于轴对称，则_______． 12. 如图，与相交于点E，，若用“”证，则应补充的条件是 ________． 13. 如图，点都在格点上，请再找一个格点，使点组成一个轴对称图形，这样的格点有______个． 14. 如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，则的值为___________． 15. 如图，的面积为4cm2，AP垂直的平分线BP于点P，则的面积为______cm2． 16. 如图，四边形中，对角线，点F为上一点，连接交于点E，，，，，，则__________． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在中，，，求和的度数． 18. 如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 19. 已知：如图在中，、两点在边上，且．求证：． 20. 如图，是的角平分线，、分别是和的高．求证：垂直平分线段． 21. 如图，在平面直角坐标系中，，． （1）在图1中，作出关于轴的对称图形； （2）请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． ①在图1中，作出所有满足条件的格点，使得，则点的坐标为______； ②在图2中，作出的高． 22. 如图，在中，MD是BC的垂直平分线交的平分线于点D，于点E，，交AC的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求AE的长． 23. 在中，，．点为内部一点，连接，，． （1）如图1，若，，求点到直线的距离； （2）如图2，以为直角边作等腰直角，，线段，交于点，若，求证：； （3）如图3，点在边上，且，点为直线上的一个动点，连接，过点作，且满足，连接，当最短时，请直接写出的度数． 24. 在平面直角坐标系中，点． （1）如图，若，为等腰直角三角形，点在第三象限时，求点的坐标； （2）如图，在（1）的条件下，边交轴于边交轴于是上一点，且，连．求证：； （3）如图，若、两点均在轴上，且的面积为．分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $