江苏省南通市海门区2026届高三上学期第二次调研考试数学试卷

2026届高三第二次调研测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上 指定位置，在其他位置作答一律无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A=xx=n本ne9,B=x-≤， 则AnB= A.0, B.分》 c.02刳 D. 分子 2. 己知(1+)z=2+i,则z在复平面内所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 已知a,b是平面内的非零向量，则“a∥b”是“a.b-allb1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，则 A.AB∥CD B.AD∥BC C.AB⊥CD D.AC⊥BD 5.已知函数y=log。x+b(a>0,a≠1)的图象如右图所示，则下列关系不可能成立的是 A日分 B.a2>b2 C.a°<b D.2°>2 6.在所有棱长为2的直三棱柱密闭容器内（厚度忽略）放置一个最大的球，则球的表面积为 A.π B. C.33z 27 D.4n 数学试卷第1页（共4页) CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 7.已知定义在R上的奇函数∫(x),满足x∈R,f(x+4)-∫(x)=f(2),则 A.f(x+I)一定是奇函数 B.f(c+)一定是偶函数 C.(2+x)一定是奇函数 D.f(2-x)一定是偶函数 8. 已知双曲线等-茶-=a>0,b>0的焦点为5《e,0,Fe,0Kc>0,若过5且斜率为正 的直线与圆：+U-?=号相切，与双曲线在第一象限交于点P,且P5⊥x轴，则双 曲线的离心率为 A.√2 B.5 C.2 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若将函数f()=c0s2x的图象向左平移石个单位长度，得到函数g)的图象，则 A.86y=c0s(2x+9 B.8y在[-晋？上单调递减 C.8的图象关于x=一晋对称 D.)在[0，上有2个零点 10.已知数列a,}满足4=3，-总=十DeN),则 1 A.{nan}是等差数列 B.Hn∈N,an≤3 C.VneN', 2a,-Wa1-=a号 n+ D.VneN',(@-D)>2In(n+D) 11.在平面直角坐标系xOy中，P(m,n)是曲线C:x2=2y+2上任一点，则下列说法正确的是 A.曲线C关于原点对称 B.任意k≥分，直线y=:与曲线C没有公共点 C.0为坐标原点，1OP1≥2 D.任意1eR,lm-21+ln-3≥号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知在矩形ABCD中，AB=2√3，E是BC的中点，则(AE+AC·AB=】 数学试卷第2页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 13.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线1与C交于A,B两点，和y轴交于D点，且A在 B与D之间，若|AF=2,|BF=5,则△ADF与△BDF的面积之比为 14.在平面直角坐标系xOy中，将曲线y=a(e-1(≥0)绕坐标原点0逆时针旋转牙后，所得 曲线是某个函数的图象，则实数a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分) 已知△MBC的内角4B,C的对边分别为a,be,且n+n日品是，a=5. (1)求A: (2)若如B+si如C=9,b>c,求c, 16.（15分) 已知函数f(x)=ax2-lnx,a∈R. (1)若x=1是f(x)的极小值点，求a: (2)若存在x∈(0，+o),使f(x)<x,求a的取值范围. 17.(15分) 如图，在正四棱台ABCD-AB,C,D,中，AB=2A,B,E是BC的中点. (1)求证：AE/I平面CCDD: (2)若BB⊥B,D,且正四棱台ABCD-A,B,C,D,的 D C 外接球的表面积为16π. B (i)求正四棱台ABCD-AB,CD,的体积； (i)设平面AAE与B,C交于点F,求直线EF 与平面AADD所成角的正弦值. 数学试卷第3页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.(17分) 已知数列{o}的前n项和为S。,(号-1)S。=c-a,n∈N,其中p>0,c>0. (1)求证：数列{a}是等比数列. (2)若数列.)满足么=4,3动+弘+弘++n.=b-1,neN, (i)求数列b}的通项公式： (i)己知a,=l2,S=9,设c。=a。+bn,试判断是否存在m,n∈N,1<m<n,使得g, c。,c。成等差数列，若存在，求出所有m,n的值：若不存在，请说明理由. 19.(17分) 在平面直角坐标系xOy中，已知P,Q两点分别在x轴，y轴上运动，|P2=3,点M满 足QM=2MP,记M的轨迹为E. (1)求E的方程： (2)设A是E上一动点，过A作两条直线l,分别交E于B,C两点. ()若A的横坐标为1，△ABC的重心恰为原点O,求直线BC的方程； (i)若L,l,的斜率互为相反数，求△ABC面积的最大值. 数学试卷第4页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP双河世公药 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 3 4 5 6 7 8 A D B D C B C D 二、 多项选择题：本题共3小题，每小題6分，共8分。 9 10 11 BC ABD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.24 13￥ 14.a≤0或a≥ 四、解答題：本题共5小題，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 【解】(1)因为。b-c一=b-a sinA+sin B sinC 依据正弦定理，▣一=b sinA sin BsinC' 所以b-￡=b-a,即b+2-d2=bc. 2分 a+b c 由余弦定理d2=b2+c2-2 bccosA得， sA=立= 2bc 4分 因为A(0,所以A=号： 6分 2》法1：因为如8+snC=9。 在三角形中，B+C=π-A=匹， 3 所以s如（停-0+saC=9, 即9ac+子如c=9, 所以msC+9mC=9, 8分 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 所以sC+彩-9， 因为b>c.所以B>C,即号-C>C, 所以0<C<号，即C+君-开 64 所以C=贵， 所以sinC=s45-0')=5-巨 4 ……11分 由正孩定理得，c品·6=2aC=5:巨 2 13分 法2：由正弦定理▣=b sinA sinB sinC y3 2 所以sm8+s血C=b+el=点，即6+c=60. 8分 由(1)a2=b2+2-bc,脚3=(b+c)2-3bc. 所以bc=1②： .10分 联立①2.c2-V6c+1=0, 解得c=6±迈， 因为b>c,所以c<1.即c=6=互 13分 16(15分) 【解】(1)因为(x)=2x-↓=2x-L. 2分 Y x 因为x=I是极值点， 所以)=0，即2a-l=0,a= 4分 此时，∫)=-. 所以函数∫)在(0，)上单调递减，在(l,+∞上单调递增。…6分 所以x=1是极小值点， 综上，a= …7分 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap (2)法1：研究命愿的否定，即x∈(0，+∞)，f(x)≥x, 所以f0)≥1，解得≥1（成立的必要条件）， 下面证明：a≥1时，f(x)≥x在(0，+o)但成立. 因为fx)-x=ax2-hx-x≥x2-lnx-x, 令g()=x2-nx-x.则g《x)=2x-1-1=2x2-x-L-=-102x+D, 所以g(x)在(0,1)递减，在(1，+∞)递增， 所以g(x)≥g心)=0，脚证. 所以xe(0,+o),使得f(x)<￥，则a<1. 法2：由腿庶，a<兰n-上+有解， x 令g田)=+， .9分 所以g=-+l2￥=2h区， 设p(x)=l-x-2nx,… mi11分 因为p《x)=-1-2<0, 所以p(x)在(0.+∞)上单调逆减，且)=0， 所以0<x<1,g'《x)>0:x>1,gx)<0, 所以g(x)在(0,1)上单调递增。在Q,+0)上单调递减，…，…13分 所以g()在(0，+0)上的最大值为g)=1, 所以a<l.- .15分 法3：由慰，ar2-x-lnx<0在0，+o)有解 令M)=ar2-x-lnx,则x)=2-1-⊥=2a2-x-1, ①当a≤0时，则g)=a-1<0,词足题麽： ②当a>0时，因为存在>0使得2-。-1=0， 所以x)在(0，x)上单调运减，在（名，+∞）上单调递增， 所以x)a=）=a-x-ln<0. CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 因为a=士.所以Mx)=方书-ln% 令)=7x-nx,所以p(=-方士<0， 所以(x)在(0，+0)上单调递减，且（①=0， 所以x)<0的解为飞>1. 因为2a=+=+1<2,所以0<4<1： 综上，a<1. 17.(15分) 【解】(1)连接CD, 因为E四棱台ABCD-B,C,D,AB=2A只， D 所以AD∥AD,2AD=AD: 因为E为BC中点，所以AD∥EC,AD=2EC, 所以AD∥EC,AD,=EC, E 所以四边形AECB为平行四边形，...… 2分 所以A,E∥D,C, D 因为DCs平面CCDD,AEa平面CCDD, 所以AE∥平面CCDD.… 4分 (2)连接BD,AC交于点O,连接OB· 因为正方形ABCD,所以OB=OD=OC=OA: B 因为BB⊥DB,所以OB=OD=OB, 由正四棱台对称性得，OA=OC=OA,=OC, 所以O为正四棱台ABCD-ABC,D,的外接球的球心，设OA=R, 因为球的表面积为16F4元R2,所以R=OA=OB,=2. .6分 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF (i)菇长AA,B,CC.DD交于一点P, 连接BD,PO. 因为平面AC∥平面AC, ∩平面PBD=BD,平面A,G∩平面PBD=B,D, NBD: A 08 路-给=0=2. D BD交于点O,则OO⊥平面ABCD. ) ,则0B2=002+0R, 甲00=V月： …8分 所以V=S4xn+S4,+F4xnSA)x0O, =×BD2+分BD2+28DxB,A)×5=45.l0分 (i)法I连接PE交BC于F. 所以F∈平面PE,且F∈BC,即F与F咀合，（唯一性路） 所以EF即为直线PE… .…12分 如图，以{OAOB,OP为正交基底建立空间直角坐标 系xOy-:,所以 A2,0,0),D(0.-2,0),P0,0,25),B0,20)C(-20,0) 则BC中点E(-1.l,0). A 所以PE=(-1.1,-25), D PA=2,0,-25),PD=(0,-2,-25. 设平面PAD的一个法向量为n=(x,y,)· B CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 所以n-=0·阅2-2e=0,令x=万，则y=-5:=l, a.PD=0.电1-2y-25=0. 所以n=(5,-5,). 14分 所以隔29。 所以直线EF与平面4，D,D的所成角的正弦值为y5 15分 法2：取BC中点F,连接4F. 因为4F=4码+F=+正，正=B+E, 所以4不=正， 因为AE∈平面ABCD.AF∈平面A,B,CD, 所以AF∥AE. 所以F与F里合.下同法1建系或利用综合法求解， 18.(17分) 【解】(1)因为n=1时，a-a=c-a,即a=c: 当≥2时.分-8=c-a 所以分-0a.=a.1-an2),即a.=pa 3分 因为pc>0,所以4≠0， 所以=p, 即数列{a}是公比为p,首项为p心的等比数列。5分 2)i因为助+熟+号熟+叶32，=b1, 所以n=1时，36=b-1,即4=1： .6分 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 当n≥2时.则36+子6+号4++川与=b-l, 相减得.220.=61-6，即别之.=b1 3n-2 因为6,0，所以=3n+号2)， b3n-2 因为色-4=3+，所以1=3n+号≥ 613-2 …8分 3n-2 所以会x之× ×产子*×贸2列. 即b=31-24n≥2)，b=1也符合， 所以b.=3n-2. 10分 (i)由（1)得，a。=p”,因为a,=l2,S2=9, 所以 印=12， 化恼得3p2-4p-4=0, 甲+p2=9, 解得p=2或p=-号， 因为p>0,所以p=2,c=号， 所以a.=32"4 所以c=3-2-+3n-2. .12分 假设存在1<m<n使得Sc。c.等范， 即2c.=G+ca' 所以3.2+6m-4=4+3-2+3n-2, 化商得，2”+2m=2-l+n+2, 即2-2"+n+2-2m=0（). 13分 法l:因为n>m>1,所以n-m≥l. ①当n-m=1时、（●）式即为m+3-2加=0， 所以m=3n=4:…--l4分 ②当-m≥2时，则2-≥21， 所以2-2”+n+2-2m≥2+m+4-2m=2"-m+4, .15分 令(m)=2”-m+4, CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 所以（曲+1）-(m)=2”-1,因为出>1，所以2”-1>0， 所以f(m+I)>了(m),即(m)}递增， 所以m)(2)=6>0, 所以(·)式不可，成立，即无解， 综上，m=3,h=4。… 17分 法2：设)=2-l+n+2-2”-2m,n>m. 因为h)=2+n+2-2"-2m单调递增， 所以m)≥hm+I)=3-n, 当m=2时，则hn)≥3)=3-2=1>0： 当m=3时，则4)=0： 当⊙4时，m+1)=3-m<0, lm+2)=21+m+4-2"-2m=2"-m+4, 设d=2"-m+4,则d1-d。=2-1>0, 所以d≥16>0， 所以H≥m+2时，hn)≥m+2)>0: 综上，h(a)=0成立的解只有m=3,n=4. 19、(17分) 【解】(1)设Pa,0),Q(0.b),因为P2上3， 所以d+P=9. 设动点M(x,y),则O=(x,y-b),0=(a-x-y), 因为0丽=2而，所以=2a-2x, y-b=-2y, 所以a=2x,b=3y, 2分 所以动点M的轨迹E的力程为号+y=1. 3分 (2)(①因为A在曲线号+y=1上.当x=1时，y=±要 所以415或41，-9. 当1，马时，设三y).C,)· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 因为△ABC的重心为原点O, +为+L=0, 3 所以 当+片+ 即当+名=-山，片+为=-夏 .5分 2--0 法1：因为 两式相减得， += 4 5-2X+2+0M-y20M+⅓)=0， 4 所以二当=-9，即直线C的斜率为k=9 出-￥2 6 因为C的中点为3一5。 所以直线C的方程为y=--9。 7分 同理，4-马.直线BC的方程为y=互，+夏 6 …8分 3 (ii)考虑曲线对称性，不妨设m,n).0≤m≤2,0≤1日， 设直线AB:y=k(x-m)+n,则AC:y=-k(x-m)+n. 联立 y=km)+n整理得，(1+4kx2+8u-omx+4《m-m-4=0· x2+4y2=4, 所以m+,=m驰，且k-a>0),k+0. 9分 1+4k2 法11所以AB趾+kxa--m上V+k产xl2m+跳m, 1+4k2 同理，1AC卡V+k2×2m-8bl 1+4k2 11分 设直线AB的個斜角为a,则AC的倾斜角为π-a, 当k>0,则sin∠BAC=sin(π-2a)=in2a= 2 tang 2k 1+an2a1+k2: 当k<0,则sin∠BAC=si2a-)=-sin2a=-2tame=-,2k 1+am2a1+k: 所以△ABC的面积为S=引AB且ACIn∠BAC CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP =1+k的)×2m-8km2m+86nl (1+4k2)2 1+2 =4lk1×l-16krl (1+4k22 因为驾+=1， 所以S=4到kIX4-n0t4=6kl-n0+4k1,l3分 (1+4k22 (1+4k2 因为-1≤n1+42)-1≤4k2. 0当42≥，即1k1≥号时，S≤641k1k 2 0+42' 设了)=k,其为阀函数. (1+4k产 当k≥时，了k)=,4 16k+8+ 所以y-(6+是+)=+X4-边. 所以y=6k+是+亡在马)单调递减，在5，+四)单调避增， 所以S≤4kk_64x且×是 0+4k2)2 16 当且仅当n=l,即40，)处，此时k士-损 .15分 ②当0<4k2<1,不妨设0<k<号时，S≤161k =16 0+4yl6+8k+安 设ok)=16k2+8k+女则p0k=4k+102-, k2 所以p)在0，夏)单调递减，在（告，单调避增。 所以S≤ 若=互，当且仅当m=0,即2,0)处，此时k*- 0+4x2 4n 综上，△AC的面积最大值为固 .17分 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF