圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题专项训练 题型一：椭圆中的定点问题 题型二：椭圆中的定值问题 题型三：椭圆中的定直线问题 题型四：双曲线中的定点问题 题型五：双曲线中的定值问题 题型六：双曲线中的定直线问题 题型七：抛物线中的定点问题 题型八：抛物线中的定值问题 题型九：抛物线中的定直线问题 题型一：椭圆中的定点问题 1．已知椭圆的离心率为，以椭圆的长轴和短轴端点为顶点的四边形面积为． （1）求椭圆的方程； （2）设经过点P（0，2）且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点A，B，经过点B且平行于x轴的直线与椭圆交于点C．证明：直线AC过定点． 2．已知椭圆的离心率，短轴长为2，不经过右顶点的直线l与该椭圆相交于A，B两点． （1）求椭圆C的方程； （2）若以AB为直径的圆恒过该椭圆的右顶点，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 3．已知椭圆的离心率为，且点P（2，1）在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若A，B为椭圆C上的两点，且满足AP⊥BP，求证：直线AB过定点． 4．已知椭圆经过点，其右焦点为． （1）求椭圆C的离心率； （2）若点P，Q在椭圆C上，右顶点为A，且满足直线AP与AQ的斜率之积为，求证：直线PQ过定点． 5．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为；点M，N为椭圆E上的两个不同动点，△F1MF2面积的最大值为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）设直线MF1的斜率为k1，直线NF1的斜率为k2． （i）若M，N在x轴上方，且k1+k2＝0，求证：直线MN过定点； （ii）点M，N在运动过程中，是否存在某些位置使得MF1⊥NF1且MF2⊥NF2？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二：椭圆中的定值问题 6．已知椭圆E：，其中a＝3，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上异于A1，A2的动点，记直线PA1的斜率为k1，直线PA2的斜率为k2，求证：k1•k2为定值，并求出这个定值． 7．已知椭圆C：1（a＞0，b＞0）的离心率为，且P（，）是C上一点． （1）求椭圆C的方程； （2）过右焦点F2作直线l交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使为定值？若存在，求出点M的坐标及该定值；若不存在，试说明理由． 8．已知椭圆C：过点，短轴长为2． （1）求椭圆C的方程及离心率； （2）过点的直线交椭圆C于异于点M的A，B两点，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值． 9．如图，椭圆经过点，离心率． （1）求椭圆C的方程； （2）过右焦点F的直线交椭圆于A，B（A，B均不与P重合），直线AB与直线l：x＝4相交于点M，记PA、PB、PM的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1+k2＝2k3． 10．已知圆C：x2+（y+4）2＝18，圆O：x2+y2＝2与x轴交于F1，F2两点． （1）过A（0，﹣1）的直线y＝kx﹣1与圆O交于C，D两点，与圆C交于M，N两点，若|CD|•|MN|＝16，求k的值； （2）若平面内动点P满足：|PF1|+|PF2|＝6，记P的轨迹为W． （i）求W的方程； （ii）过A（0，﹣1）的射线交圆O于R，交W于Q，且满足|AR|•|AQ|＝3，记直线OR，直线OQ的斜率分别为k1，k2，求的值． 11．已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为Γ上的一点． （1）若点M的坐标为（1，m）（m＞0），求△F1MF2的面积； （2）若点M的坐标为（0，1），且直线与Γ交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值； （3）如图，设点M的坐标为（s，t），过坐标原点O作圆M：（x﹣s）2+（y﹣t）2＝r2（其中r为定值，0＜r＜1且|s|≠r）的两条切线，分别交Γ于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2.如果k1k2为定值，求|OP|•|OQ|的最大值， 题型三：椭圆中的定直线问题 12．已知椭圆E：1（a＞b＞0）过点（，1），且离心率为． （1）求椭圆E的方程； （2）过右焦点F且不与x轴重合的直线与椭圆交于M，N两点，已知D（3，0），过M且与y轴垂直的直线与直线DN交于点P，求证：点P在一定直线上，并求出此直线的方程． 13．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，点A，B分别为C的上、下顶点，点D（0，1）为AB的四等分点． （1）求椭圆C的方程； （2）若过点D的直线l与C交于异于A，B的E，F两点，且直线AE，BF交于点M，证明：点M在定直线上． 14．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的上下顶点分别为B1，B2，左右顶点分别为A1，A2，四边形A1B1A2B2的面积为6，若椭圆C上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6． （1）求椭圆C的方程； （2）过点（﹣1，0）且斜率不为0的直线l与C交于P，Q（异于A1，A2）两点，设直线A2P与直线A1Q交于点M，证明：点M在定直线上． 15．已知F1为椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点，直线yb与C交于A，B两点，且△ABF1的周长为，面积为2． （1）求C的标准方程； （2）若P（2，1）关于原点的对称点为Q，不经过点P且斜率为的直线l与C交于点D，E，直线PD与QE交于点M，证明：点M在定直线上． 16．已知椭圆的左右顶点为A，B，短轴长为，且C上的动点T满足直线TA、TB的斜率之积为． （1）求C的方程； （2）已知，过点M的直线与椭圆交于点D（异于B），求△MBD面积的最大值． （3）若过点Q（4，0）且斜率不为0的直线l与椭圆交于E，F两点，直线AE与BF相交于点G．试判断点G是否在定直线上？若是，求出该定直线方程，若不是，说明理由． 题型四：双曲线中的定点问题 17．已知双曲线的离心率为，O为坐标原点，过C的右焦点的直线l交C的右支于P，Q两点，当l⊥x轴时，． （1）求C的方程； （2）过P作直线x＝1的垂线，垂足为N． （i）证明：直线QN过定点； （ii）求△OQN面积的最小值． 18．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P为E上一点，且|PF1|﹣|PF2|＝6． （1）求E的方程； （2）过点（2，0）且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为B′，求证：直线AB′恒过点． 19．如图，设双曲线的左顶点为点P，直线l：y＝kx+m与双曲线C相交于A、B两点，且A、B两点均异于点P． （1）求点P的坐标，及双曲线C的离心率； （2）若线段AB的中点为M（2，1），求直线l的方程； （3）若以线段AB为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 20．已知双曲线的离心率为，点P（2，1）在双曲线C上． （1）求双曲线C的方程； （2）设过点（1，0）的直线l与曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由． 21．已知双曲线的焦距为，且C的焦点到渐近线的距离为． （1）求C的方程． （2）设C的右顶点为D，直线AB：y＝kx+m与C交于点A，B（A，B都异于点D），且DA⊥DB，证明：直线AB过定点Q． （3）若动直线l过（2）中的定点Q，且l与C的左、右支分别交于点M，N，与直线交于点P，证明：|MP|•|NQ|＝|MQ|•|NP|． 题型五：双曲线中的定值问题 22．在直角坐标系xOy中，已知点F1（﹣2，0），F2（2，0），动点M满足|MF1|＝|MF2|+2，记动点M的轨迹为C． （1）求C的标准方程； （2）设直线MF2与C的另一个交点为N，证明：为定值． 23．动点T与定点F（1，0）的距离与T到定直线l：x＝4的距离之比是常数，记动点T的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）过点F的直线l′（不与x轴重合）与C交于P，Q两点，过点A（﹣2，0）的直线AP和AQ，与直线x＝4的交点分别为M，N，记直线MF和NF的斜率分别为k1和k2，证明：k1•k2为定值． 24．已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为A1，A2，过点T（3，0）的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线MN的斜率为1，求弦长MN； （3）记直线A1M，A2N的斜率分别为k1，k2，证明：是定值． 25．已知双曲线C：的右焦点为，渐近线方程为． （1）求双曲线C的标准方程． （2）设D为双曲线C与x轴负半轴的交点，直线l与双曲线C交于异于点D的E，F两点．若以EF为直径的圆经过点D且DG⊥EF于点G，证明：存在定点H，使得|GH|为定值． 26．已知双曲线的渐近线方程为，且点A（2，1）在双曲线上． （1）求双曲线C的方程； （2）点A1，A2为双曲线C的左右顶点，P为双曲线C上异于A1，A2的点，求的值； （3）点M，N在双曲线C上，且，AD⊥MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． 27．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率． （1）求双曲线C的方程； （2）记双曲线C的右顶点为A，过点A作直线MA，NA与C的左支分别交于M，N两点，且MA⊥NA，AD⊥MN，D为垂足． （i）证明：直线MN恒过定点P，并求出点P坐标． （ii）判断是否存在定点Q，使得|DQ|为定值，若存在说明理由并求出Q点坐标． 题型六：双曲线中的定直线问题 28．已知P，Q是双曲线上两个不同的点，O为坐标原点，点． （1）若点A在Γ上，求Γ的渐近线方程． （2）当O，P，Q，A四点共线时，，点B（2，0）． （i）求Γ的方程； （ii）若B，P，Q三点共线，P，Q两点均不在x轴上，M，N分别为Γ的左、右顶点，直线PM与QN交于点D，证明：动点D在一条定直线上． 29．已知a＞0，b＞0，等轴双曲线M的左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为F1，F2，且，点D为双曲线M的左支上异于点A的一个动点． （1）求双曲线M的方程； （2）若，求点D的坐标； （3）设点C（2，0），直线CD交双曲线M的右支于点E．试判断直线AD与直线BE的交点P是否在一条定直线上？若是，请求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 30．已知A1，A2分别是双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，F1，F2分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线C上异于顶点的任意两点，当MN经过原点O时，直线A1M与直线A1N斜率之积为定值4． （1）求双曲线C的方程； （2）已知直线l：x＝my+4（m∈R），交双曲线C的左、右两支于D，E两点． ①求m的取值范围； ②设直线A1D与直线A2E交于点Q，求证：点Q在定直线上． 31．已知双曲线C的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记C的上、下顶点分别为A1，A2，过点（0，4）的直线与C的上支交于M，N两点． （1）求C的方程； （2）直线A1M和A2N的斜率分别记为k1和k2，求的最小值； （3）直线A1M与A2N交于点P，证明：点P在定直线上． 题型七：抛物线中的定点问题 32．已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，点F在直线2x+3y﹣2＝0上，A，B是抛物线C上两个不同的点． （1）求抛物线C的方程； （2）设直线OA，OB的斜率为kOA，kOB，若kOA•kOB＝﹣2，证明：直线AB过定点，并求定点坐标． 33．已知点A（﹣4，2），B（2，8），C（4，2）中恰有两个点在抛物线E：x2＝2py（p＞0）上， （1）求E的标准方程； （2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）在E上，且x1x2＝﹣16，证明：直线MN过定点． 34．已知以动点P（x，y）为圆心的圆T过点（1，0），且圆T与直线x＝﹣1相切，若动点P的轨迹为C． （1）求轨迹C的方程； （2）直线l与轨迹C相交于M、N两点，已知A（1，2）且AM⊥AN，证明：直线l恒过定点E，并求出E点坐标； 35．已知过点A（2，0）的直线与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于M，N两点，且满足． （1）求抛物线C的方程； （2）若点B为直线x＝﹣3上的动点，过点B作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点． 题型八：抛物线中的定值问题 36．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，F，M（m，2）是抛物线C上一点，且|MF|＝2． （1）求抛物线C的方程． （2）若P（4，y0）（y0＞0）是抛物线C上一点，过点Q（1，﹣4）的直线与抛物线C交于A，B两点（均与点P不重合），设直线PA，PB的料本分别为k1，k2，试问k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 37．已知抛物线C：x2＝4y，A，B是抛物线上异于原点的O的两个动点． （1）若M点坐标为（0，3），求AM的最小值； （2）若OA⊥OB，且OH⊥AB于H，问：是否存在定点R，使得RH为定值．若存在，求出R点坐标，若不存在，说明理由． 38．设点F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，过点F且斜率为的直线与C交于A，B两点（O为坐标原点）． （1）求抛物线C的方程； （2）过点E（0，2）作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S．已知|EP|•|EQ|＝|ER|•|ES|，问：是否存在实数λ，使得k1+λk2为定值？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由． 39．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点（1，0）． （1）求C的方程； （2）若直线l与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，OA⊥OB，在x轴上是否存在点T，使得直线TA与直线TB的斜率之和为定值k．若存在，求出点T的坐标和定值k；若不存在，请说明理由． 40．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点（4，0）的直线l与E交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O． （1）求E的方程； （2）连接AF，BF，分别延长交E于C，D两点，问kAD•kBC是否为定值，若是求出该定值；若不是说明理由． 41．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点O为坐标原点，直线l过点T（4，0）与抛物线C相交于A，B两点（点A位于第一象限）． （1）求证：OA⊥OB； （2）如图，连接AF，BF并延长分别交抛物线C于A1，B1点，设直线AB的斜率为k1，直线A1B1，的斜率为k2，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 题型九：抛物线中的定直线问题 42．已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，Γ上任意一点P到F的距离与到点E（2，0）的距离之和的最小值为3． （1）求抛物线Γ的标准方程； （2）已知过点E的直线l1，l2与Γ分别交于点A，C与点B，D，延长AB，DC交于点Q，线段AC与BD的中点分别为M，N． ①证明：点Q在定直线上； ②若直线l1⊥l2，直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，求k1k2的取值范围． 43．已知抛物线Ω：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0）．过F作两条互相垂直的直线l1，l2，且直线l1与Ω交于M，N两点，直线l2与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限．设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． （1）求Ω的方程． （2）直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． （3）证明：点H在直线x＝﹣1上． 44．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），过F作互相垂直的两条直线l1，l2，这两条直线与抛物线C分别交于A，B和D，E两点，其中点A，D在第一象限． （1）求抛物线C的标准方程； （2）求四边形ADBE面积的最小值； （3）证明：直线AD与直线BE的交点在定直线上 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题专项训练 题型一：椭圆中的定点问题 题型二：椭圆中的定值问题 题型三：椭圆中的定直线问题 题型四：双曲线中的定点问题 题型五：双曲线中的定值问题 题型六：双曲线中的定直线问题 题型七：抛物线中的定点问题 题型八：抛物线中的定值问题 题型九：抛物线中的定直线问题 题型一：椭圆中的定点问题 1．已知椭圆的离心率为，以椭圆的长轴和短轴端点为顶点的四边形面积为． （1）求椭圆的方程； （2）设经过点P（0，2）且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点A，B，经过点B且平行于x轴的直线与椭圆交于点C．证明：直线AC过定点． 【解析】 （1）因为椭圆的离心率为，以椭圆的长轴和短轴端点为顶点的四边形面积为，所以，解得a＝2，，则椭圆的方程为； （2）证明：易知直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝kx+2（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y并整理得（1+2k2）x2+8kx+4＝0，此时Δ＝64k2﹣16（2k2+1）＝16（2k2﹣1）＞0，解得或，由韦达定理得，，因为直线BC斜率为0，由椭圆的对称性，设C（﹣x2，y2），所以，令x＝0，解得．故直线AC过定点（0，1）． 2．已知椭圆的离心率，短轴长为2，不经过右顶点的直线l与该椭圆相交于A，B两点． （1）求椭圆C的方程； （2）若以AB为直径的圆恒过该椭圆的右顶点，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【解析】 （1）设椭圆C的半焦距为c，则依题意有，解得，所以椭圆C的方程为． （2）直线l过定点，理由如下：由（1）可得，椭圆C的又顶点为M（2，0），当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m，联立，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，Δ＝64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，即m2＜1+4k2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，， 所以y1+y2＝k（x1+x2）+2m， ，因为以AB为直径的圆恒过该椭圆的右顶点，所以，所以，即（x1﹣2，y1）•（x2﹣2，y2）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2 ，即5m2+16km+12k2＝0，即（m+2k）（5m+6k）＝0，所以m＝﹣2k或，当m＝﹣2k时，直线l的方程为y＝kx﹣2k＝k（x﹣2），则直线AB过又顶点，不符合题意；当时，直线AB的方程为，则直线l过点． 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝t，代入椭圆方程得，不妨设点A在x轴上方，则，，则，解得或t＝2（舍去），所以直线l过点．综上所述，直线l过定点． 3．已知椭圆的离心率为，且点P（2，1）在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若A，B为椭圆C上的两点，且满足AP⊥BP，求证：直线AB过定点． 【解析】 （1）由，设a＝2k，，则，则椭圆方程为，由点P（2，1）在椭圆C上得，解得k2＝2，可得椭圆方程为． （2）证明：如图所示，①当直线AB斜率不存在时，B（m，），由点P（2，1），得），，则，化简得5m2﹣16m+12＝0，解得m或m＝2（舍），，设直线AB方程为，则，解得，得则此时直线AB方程为；②当直线AB斜率存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB方程为y＝kx+t，则， 消去y得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣8＝0，当Δ＝（8kt）2﹣4（1+4k2）（4t2﹣8）＞0，，，则，y1y2＝（kx1+t）（kx2+t）＝k2x1x2+kt（x1+x2）+t2＝k2ktt2，可知，， 当AP⊥BP时，，化简得5﹣2（x1+x2）+x1x2﹣（y1+y2）+y1y2＝0，代入得，化简得12k2+16kt+5t2﹣2t﹣3＝0，变形得（2k+t﹣1）（6k+5t+3）＝0，当2k+t﹣1＝0，即t＝1﹣2k，此时y＝kx+1﹣2k＝k（x﹣2）+1，过定点（2，1），舍去，当6k+5t+3＝0时，即，此时，过定点，符合条件．综上所述，直线AB过定点得证． 4．已知椭圆经过点，其右焦点为． （1）求椭圆C的离心率； （2）若点P，Q在椭圆C上，右顶点为A，且满足直线AP与AQ的斜率之积为，求证：直线PQ过定点． 【解析】 （1）因为椭圆C经过点，且右焦点为，所以，解得，则椭圆C的方程为，故椭圆的离心率； （2）证明：由（1）知A（2，0），知直线AP与AQ的斜率存在且同号，所以直线PQ不垂直于x轴，设直线PQ的方程为y＝kx+m，k≠0，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，消去y并整理得（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣4＝0，由韦达定理得，此时Δ＝16（4k2+1﹣m2）＞0， 因为，所以，整理得，因为，所以，解得m＝﹣2k或m＝3k，所以直线PQ的方程为y＝k（x﹣2）或y＝k（x+3）， 因为直线PQ不经过点A．所以直线PQ经过定点（﹣3，0）． 5．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为；点M，N为椭圆E上的两个不同动点，△F1MF2面积的最大值为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）设直线MF1的斜率为k1，直线NF1的斜率为k2． （i）若M，N在x轴上方，且k1+k2＝0，求证：直线MN过定点； （ii）点M，N在运动过程中，是否存在某些位置使得MF1⊥NF1且MF2⊥NF2？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】 （1）由题意，即，当M点位于短轴端点时，△F1MF2 面积的最大值，得：，即，又a2＝b2+c2，因此，即，解得：， 故椭圆的标准方程为； （2）（i）证明：设直线MN方程为：y＝kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），由得：（7+8k2）x2+16kmx+8m2﹣56＝0，，因为k1+k2＝0，因此，即y1（x2+1）+y2（x1+1）＝0，因此（kx1+m）（x2+1）+（kx2+m）（x1+1）＝0，整理得：2kx1x2+（k+m）（x1+x2）+2m＝0，代入韦达定理，化简得：m＝8k 因此直线MN方程为：y＝kx+8k，恒过定点（﹣8，0）； （ii）设M（x0，y0），显然x0≠±1，则直线MF1斜率为，直线MF2的斜率为，因为MF1⊥NF1，MF2⊥NF2，因此直线NF1斜率为，直线NF2的斜率为，因此直线NF1的方程为：，直线NF2的方程为：，两方程联立解得：，即，因为点N在椭圆上，因此，即或，又点M在椭圆上，，联立无解，联立，解得：， 因此符合条件的点M得坐标为． 题型二：椭圆中的定值问题 6．已知椭圆E：，其中a＝3，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上异于A1，A2的动点，记直线PA1的斜率为k1，直线PA2的斜率为k2，求证：k1•k2为定值，并求出这个定值． 【解析】 （1）由题意，，又a＝3，∴c＝2，从而b2＝a2﹣c2＝5，∴； （2）证明；易知：A1（﹣3，0），A2（3，0），设点P坐标为P（x0，y0），则，化简为， 则．∴k1•k2为定值，且． 7．已知椭圆C：1（a＞0，b＞0）的离心率为，且P（，）是C上一点． （1）求椭圆C的方程； （2）过右焦点F2作直线l交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使为定值？若存在，求出点M的坐标及该定值；若不存在，试说明理由． 【解析】 （1）有题意可知，解得，∴椭圆C的标准方程为． （2）由椭圆C的标准方程可知F2（1，0），设直线AB的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立方程，消去x得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，∴，， 假设存在这样的点M（t，0）符合题意，则（x1﹣t，y1），（x2﹣t，y2），∴（x1﹣t）（x2﹣t）+y1y2＝（my1+1﹣t）（my2+1﹣t）+y1y2＝（m2+1）y1y2+m（1﹣t）（y1+y2）+（1﹣t2），要使其为定值，则，解得t，∴存在点M（，0），使为定值． 8．已知椭圆C：过点，短轴长为2． （1）求椭圆C的方程及离心率； （2）过点的直线交椭圆C于异于点M的A，B两点，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值． 【解析】 （1）由题意得2b＝2，所以b＝1，所以椭圆C的方程为．因为椭圆C过点，所以，解得a2＝4， 所以椭圆C的方程为，因为a2＝4，b2＝1，所以c2＝a2﹣b2＝3， 所以a＝2，，所以离心率； （2）证明：由题意知，直线AB的斜率存在，当直线AB的斜率为0时，直线AB的方程为y＝0，点A，B是长轴的端点，设A（﹣2，0），B（2，0），则，所以．当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2）， 把直线AB的方程代入椭圆C的方程，化简得．由，得．所以，，所以．把，，代入化简得，综上，k1+k2为定值． 9．如图，椭圆经过点，离心率． （1）求椭圆C的方程； （2）过右焦点F的直线交椭圆于A，B（A，B均不与P重合），直线AB与直线l：x＝4相交于点M，记PA、PB、PM的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1+k2＝2k3． 【解析】 （1）由题可得，解得：a2＝4，b2＝3，故椭圆C的标准方程为； （2）证明；由（1）知，椭圆的方程为，则右焦点坐标F（1，0），显然直线AB斜率存在，设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，则，，因为直线AB的方程为y＝k（x﹣1），令x＝4，可得y＝3k，即M（4，3k），从而，，，又A，F，B共线，则有k＝kAF＝kBF，即有，所以 ＝2k﹣1，又，所以k1+k2＝2k3． 10．已知圆C：x2+（y+4）2＝18，圆O：x2+y2＝2与x轴交于F1，F2两点． （1）过A（0，﹣1）的直线y＝kx﹣1与圆O交于C，D两点，与圆C交于M，N两点，若|CD|•|MN|＝16，求k的值； （2）若平面内动点P满足：|PF1|+|PF2|＝6，记P的轨迹为W． （i）求W的方程； （ii）过A（0，﹣1）的射线交圆O于R，交W于Q，且满足|AR|•|AQ|＝3，记直线OR，直线OQ的斜率分别为k1，k2，求的值． 【解析】 （1）设圆心C，圆心O到直线y＝kx﹣1的距离分别为d1，d2，则，， 所以，，因为|CD|•|MN|＝16，所以，解得，即． （2）（i）因为|PF1|+|PF2|＝6＞|F1F2|＝2，所以轨迹W是焦点在x轴上的椭圆，且a＝3，， 所以b7，故W的方程为． （ii）设R（x1，y1），Q（x2，y2），不妨取x1＞0，x2＞0，因为A，R，Q三点共线，所以①，因为A（0，﹣1），R（x1，y1），所以直线AR的斜率为，弦长|AR|•|x1﹣0|•|x1|，同理可得|AQ|•|x2|，因为|AR|•|AQ|＝3，所以•|x1|••|x2|＝3②，联立①②，可得x2，因为点R在圆O：x2+y2＝2上，所以，所以，代入①可得，所以． 11．已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为Γ上的一点． （1）若点M的坐标为（1，m）（m＞0），求△F1MF2的面积； （2）若点M的坐标为（0，1），且直线与Γ交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值； （3）如图，设点M的坐标为（s，t），过坐标原点O作圆M：（x﹣s）2+（y﹣t）2＝r2（其中r为定值，0＜r＜1且|s|≠r）的两条切线，分别交Γ于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2.如果k1k2为定值，求|OP|•|OQ|的最大值， 【解析】 （1）因为点M在椭圆上，所以，因为m＞0，解得，因为，所以； （2）证明：设A（xA，yA），B（xB，yB），联立，消去y并整理得，由韦达定理得，因为A，B两点均在直线上，所以，，此时，所以，则为定值； （3）因为直线OP：y＝k1x与⊙M相切，所以，即， 同理得，此时k1、k2是关于ξ的方程的两实根，因为|s|≠r，且，所以，因为k1k2为定值，设k1k2＝δ（定值），所以，即，此时，解得，，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，解得，同理得，所以，当且仅当时，等号成立，解得，则|OP|•|OQ|的范围为．故|OP|•|OQ|的最大值为． 题型三：椭圆中的定直线问题 12．已知椭圆E：1（a＞b＞0）过点（，1），且离心率为． （1）求椭圆E的方程； （2）过右焦点F且不与x轴重合的直线与椭圆交于M，N两点，已知D（3，0），过M且与y轴垂直的直线与直线DN交于点P，求证：点P在一定直线上，并求出此直线的方程． 【解析】 （1）由已知可得，解得a2＝8，b2＝4，所以椭圆E的方程为， （2）证明：由题意可知点P所在直线必然垂直于x轴，设为x＝t，设直线MN的方程为：x＝my+2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程，消去y整理可得：（2+m2）y2+4my﹣4＝0，所以y，y，则直线DN的方程为：y，令y＝y1，则t＝x31+3＝4，所以t＝4，故点P在定直线x＝4上． 13．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，点A，B分别为C的上、下顶点，点D（0，1）为AB的四等分点． （1）求椭圆C的方程； （2）若过点D的直线l与C交于异于A，B的E，F两点，且直线AE，BF交于点M，证明：点M在定直线上． 【解析】 （1）由题意可知，e，因为A（0，b），B（0，﹣b），且点D（0，1）为AB的四等分点，所以2b＝4，所以b＝2，又a2＝b2+c2，所以a，c＝1，故椭圆C的方程为1． （2）证明：由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l方程为y＝kx+1，E（x1，y1），F（x2，y2），由，得（5k2+4）x2+10kx﹣15＝0，所以x1+x2，x1x2，所以3（x1+x2）＝2kx1x2， 由（1）可知，A（0，2），B（0，﹣2），所以kAE，所以AE的方程为yx+2， 同理可知BF的方程为yx﹣2，将两直线方程联立方程组可知y4，故点M在定直线y＝4上． 14．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的上下顶点分别为B1，B2，左右顶点分别为A1，A2，四边形A1B1A2B2的面积为6，若椭圆C上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6． （1）求椭圆C的方程； （2）过点（﹣1，0）且斜率不为0的直线l与C交于P，Q（异于A1，A2）两点，设直线A2P与直线A1Q交于点M，证明：点M在定直线上． 【解析】 （1）由题意可知：，解得，所以椭圆C的方程为； （2）证明：如图所示，由（1）可知：，因为（﹣1，0）在椭圆C的内部，可知直线l与椭圆C必相交，由题意可设：直线：x＝my﹣1（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程，消去x得（5m2+9）y2﹣10my﹣40＝0，则，可知my1y2＝﹣4（y1+y2），又因为直线，直线，联立方程，解得 ＝﹣9，即点M在直线x＝﹣9上． 15．已知F1为椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点，直线yb与C交于A，B两点，且△ABF1的周长为，面积为2． （1）求C的标准方程； （2）若P（2，1）关于原点的对称点为Q，不经过点P且斜率为的直线l与C交于点D，E，直线PD与QE交于点M，证明：点M在定直线上． 【解析】 （1）把yb代入1，得x，∴A（，b），B（a，b），则|AB|a，由对称性可得|AF1|＝|BF2|，∴△ABF2的周长为|AB|+|AF1|+|BF1|＝|AB|+|BF2|+|BF1|a+2a＝4+4，解得a＝2，又△ABF1的面积为2，∴|AB|•b＝2，即•a•b＝2，∴ab＝4，得b，椭圆C的方程为1； （2）证明：由题意，P（2，1），则Q（﹣2，﹣1），设DE所在直线方程为y，与椭圆方程联立，可得x2+2mx+2m2﹣4＝0．Δ＝4m2﹣4（2m2﹣4）＞0，得﹣2＜m＜2．设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2＝﹣2m，．，DP所在直线方程为y，，QE所在直线方程为y，联立DP与QE的方程，解得（mx2﹣mx1+4m）x＝2m（x1+x2）＝﹣4m2，∴x，则y，可得M（，），则kOM．∴M在过原点O，且斜率为的直线上，直线方程为y，即x+2y＝0． 16．已知椭圆的左右顶点为A，B，短轴长为，且C上的动点T满足直线TA、TB的斜率之积为． （1）求C的方程； （2）已知，过点M的直线与椭圆交于点D（异于B），求△MBD面积的最大值． （3）若过点Q（4，0）且斜率不为0的直线l与椭圆交于E，F两点，直线AE与BF相交于点G．试判断点G是否在定直线上？若是，求出该定直线方程，若不是，说明理由． 【解析】 （1）设T（x0，y0），则x0≠±a，且，所以，，，故①，又②，联立①②，解得a2＝4，b2＝3，故椭圆C的方程为； （2）如图所示，易知点在椭圆上，又B（2，0），直线MB的方程为，设与直线MB平行的直线l的方程为，当直线m与椭圆相切时，切点到直线MB距离取得最大值，D为切点时，△MBD面积最大，把代入椭圆方程中得：4x2﹣4tx+4t2﹣12＝0，故有Δ＝0，即Δ＝16t2﹣16（4t2﹣12）＝0，所以t2＝4，即t＝±2，当t＝﹣2时，与之间的距离即为椭圆上点到直线MB距离的最大值，此时，所以△MBD面积最大值为； （3）设直线EF：x＝ty+4，E（x1，y1），F（x2，y2），，可得（3t2+4）y2+24ty+36＝0，所以，直线AE的方程：①，直线BF的方程：，由对称性可知：点G在垂直于x轴的直线上，联立①②可得，因为，所以，所以点G在直线x＝1上． 题型四：双曲线中的定点问题 17．已知双曲线的离心率为，O为坐标原点，过C的右焦点的直线l交C的右支于P，Q两点，当l⊥x轴时，． （1）求C的方程； （2）过P作直线x＝1的垂线，垂足为N． （i）证明：直线QN过定点； （ii）求△OQN面积的最小值． 【解析】 （1）由题设，则，由l⊥x轴时，，不妨令，代入双曲线得，所以a2＝b2＝2，则所求方程为； （2）（i）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则N（1，y1），由l斜率不为0，设l：x＝my+2，联立双曲线并整理得（m2﹣1）y2+4my+2＝0，则m2﹣1≠0，Δ＝8m2+8＞0，所以，，由x2≠1，直线，根据双曲线的对称性，直线NQ所过定点必在x轴上， 令y＝0，则，因为x2＝my2+2，所以， 而，则x，所以NQ过定点M（，0）；由，由（i），，可得0≤m2＜1，令t＝m2﹣1∈[﹣1，0），则，由，故，当t＝﹣1时取等号．综上，SΔOQN的最小值为． 18．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P为E上一点，且|PF1|﹣|PF2|＝6． （1）求E的方程； （2）过点（2，0）且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为B′，求证：直线AB′恒过点． 【解析】 （1）设E的半焦距为c（c＞0）．由题意知P在E的右支上，|PF1|﹣|PF2|＝2a＝6，∴a＝3， ∵，∴，∴，∴E的方程为； （2）证明：依题意，设直线l的方程为 x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与双曲线的方程，得消去x并整理，得（4m2﹣3）y2+16my﹣20＝0，∴4m2﹣3≠0，且Δ＝（16m）2﹣4×（﹣20）×（4m2﹣3）＞0，解得，且，∴，y1y2，由题意知，B'（x2，﹣y2），∴．直线AB'的方程为y﹣y1（x﹣x1），令y＝0，得， ∴直线AB'恒过点． 19．如图，设双曲线的左顶点为点P，直线l：y＝kx+m与双曲线C相交于A、B两点，且A、B两点均异于点P． （1）求点P的坐标，及双曲线C的离心率； （2）若线段AB的中点为M（2，1），求直线l的方程； （3）若以线段AB为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【解析】 （1）由双曲线，得：，，所以双曲线C的左顶点为P（﹣1，0），离心率为； （2）联立，得（k2﹣2）x2+2kmx+（m2+2）＝0，则Δ＝（2km）2﹣4（m2+2）（k2﹣2）＝8（m2+2﹣k2）＞0，且，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由M（2，1）为AB的中点，得，解得k＝4，m＝﹣7，满足Δ＞0，所以直线l的方程为y＝4x﹣7，即4x﹣y﹣7＝0； （3）由（2）知，，，由题意可知 0，得m＝k或m＝﹣3k，当m＝k时，直线l：y＝k（x+1）过P（﹣1，0），不符合题意；当m＝﹣3k时，直线l：y＝k（x﹣3）过定点（3，0），所以直线l过定点，该定点坐标为（3，0）． 20．已知双曲线的离心率为，点P（2，1）在双曲线C上． （1）求双曲线C的方程； （2）设过点（1，0）的直线l与曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由． 【解析】 （1）由题意，，解得a2＝2，b2＝1．∴双曲线方程为； （2）假设存在定点Q（t，0），使得为常数，当直线l的斜率不为0时，可设直线l的方程为x＝my+1，联立，得（m2﹣2）y2+2my﹣1＝0．由已知m2﹣2≠0，且Δ＝4m2+4（m2﹣2）＞0，解得m2≠2且m2＞1，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴，∴， ∴， 由已知为常数，与m无关，∴7﹣4t＝0，即，此时．∴在x轴上存在定点，使得为常数．当直线l的斜率为0时，直线l与双曲线的交点坐标为和，此时，所以在x轴上存在定点，使得为常数． 21．已知双曲线的焦距为，且C的焦点到渐近线的距离为． （1）求C的方程． （2）设C的右顶点为D，直线AB：y＝kx+m与C交于点A，B（A，B都异于点D），且DA⊥DB，证明：直线AB过定点Q． （3）若动直线l过（2）中的定点Q，且l与C的左、右支分别交于点M，N，与直线交于点P，证明：|MP|•|NQ|＝|MQ|•|NP|． 【解析】 （1）因为双曲线的渐近线方程为，即bx±ay＝0，因为C的焦点到渐近线的距离为，所以，又，所以a2＝c2﹣b2＝3﹣2＝1，所以C的方程为． （2）证明：因为直线AB：y＝kx+m与C交于点A，B（A，B都异于点D），设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由，消y得（2﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣2＝0，则Δ＝8（m2﹣k2+2）＞0，2﹣k2≠0， 且，因为DA⊥DB，D（1，0），所以，则（kx1+m）（kx2+m）+x1x2﹣（x1+x2）+1＝0，即，所以，整理得3k2+2km﹣m2＝0， 即（3k﹣m）（k+m）＝0，所以或k＝﹣m，当时，直线方程为y＝kx+3k＝k（x+3），直线过定点Q（﹣3，0）；当k＝﹣m时，直线方程为y＝kx﹣k＝k（x﹣1），直线过点D（1，0），不合题意． （3）证明：由（2）知Q（﹣3，0），设M（x3，y3），N（x4，y4），当kl＝0时，， 此时，所以，当kl≠0时，设l：x＝ty﹣3，由，消x得（2t2﹣1）y2﹣12ty+16＝0，则，且，所以，因为，所以，即|MP|•|NQ|＝|MQ|•|NP|． 题型五：双曲线中的定值问题 22．在直角坐标系xOy中，已知点F1（﹣2，0），F2（2，0），动点M满足|MF1|＝|MF2|+2，记动点M的轨迹为C． （1）求C的标准方程； （2）设直线MF2与C的另一个交点为N，证明：为定值． 【解析】 （1）由|MF1|＝|MF2|+2，得|MF1|﹣|MF2|＝2，|F1F2|＝4＞|MF1|﹣|MF2|，由双曲线的定义知，点M的轨迹是以F1、F2为左右焦点的双曲线的右支，且|MF1|﹣|MF2|＝2a，则a＝1，c＝2，所以b2＝c2﹣a2＝3，所以C的方程为； （2） 证明：如图所示，设MN方程为x＝my+2，M（x1，y1），N（x2，y2），，消去x得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0，则Δ＝（12m）2﹣36（3m2﹣1）＝36m2+36＞0，，，又x1＝my1+2，x2＝my2+2，由两点距离公式得，，所以 ，即证． 23．动点T与定点F（1，0）的距离与T到定直线l：x＝4的距离之比是常数，记动点T的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）过点F的直线l′（不与x轴重合）与C交于P，Q两点，过点A（﹣2，0）的直线AP和AQ，与直线x＝4的交点分别为M，N，记直线MF和NF的斜率分别为k1和k2，证明：k1•k2为定值． 【解析】 （1）因为动点T与定点F（1，0）的距离与T到定直线l：x＝4的距离之比是常数，设点T（x，y），所以，化简整理得3x2+4y2＝12，所以曲线C的方程为． （2）证明：设直线PQ的方程为x＝ty+1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由， 消去x得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，显然Δ＝36t2+36（3t2+4）＞0，则，直线AP的方程为，则，同理，则，所以k1•k2为定值﹣1． 24．已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为A1，A2，过点T（3，0）的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线MN的斜率为1，求弦长MN； （3）记直线A1M，A2N的斜率分别为k1，k2，证明：是定值． 【解析】 （1）由题意，双曲线的焦距为， 则，即，由a2+1＝5，得a＝2，所以双曲线的方程为； （2）依题意，直线MN的方程为y＝x﹣3，联立，即3x2﹣24x+40＝0 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则x1+x2＝8，x1x2， 所以弦长.； （3）证明：依题意，设直线的方程为x＝my+3，M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立， 即（m2﹣4）y2+6my+5＝0，则Δ＝36m2﹣4（m2﹣4）×5＞0，且，， 即﹣5（y1+y2）＝6my1y2，而A1（﹣2，0），A2（2，0），所以为定值． 25．已知双曲线C：的右焦点为，渐近线方程为． （1）求双曲线C的标准方程． （2）设D为双曲线C与x轴负半轴的交点，直线l与双曲线C交于异于点D的E，F两点．若以EF为直径的圆经过点D且DG⊥EF于点G，证明：存在定点H，使得|GH|为定值． 【解析】 （1）由题意知，因为双曲线C的渐近线方程为，所以，因为a2＝c2﹣b2，所以a＝2，b＝3，故双曲线C的标准方程为； （2）证明：易知D（﹣2，0），设E（x1，y1），F（x2，y2），①当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx+m，联立化简得（9﹣4k2）x2﹣8kmx﹣4m2﹣36＝0，则Δ＝（8km）2+4（9﹣4k2）（4m2+36）＞0，即m2﹣4k2+9＞0，所以，因为，所以，化简得5m2+16km﹣52k2＝（m﹣2k）（5m+26k）＝0，解得：m＝2k或，且均满足m2﹣4k2+9＞0，当m＝2k时，直线l的方程为y＝k（x+2），直线过定点（﹣2，0），与已知矛盾，当时，直线l的方程为，过定点；②当直线l的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE的方程为y＝x+2，联立，解得：x＝﹣2（舍去）或，此时直线l过定点，因为DG⊥EF，所以点G在以DM为直径的圆上，H为该圆圆心，|GH|为该圆半径，故存在定点，使得|GH|为定值． 26．已知双曲线的渐近线方程为，且点A（2，1）在双曲线上． （1）求双曲线C的方程； （2）点A1，A2为双曲线C的左右顶点，P为双曲线C上异于A1，A2的点，求的值； （3）点M，N在双曲线C上，且，AD⊥MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． 【解析】 （1）由，因为A（2，1）在双曲线上，所以有； （2）由题意可知，，设，则有，所以； （3）证明：因为，所以直线MN的斜率存在，因此设直线MN的方程为y＝kx+m，设M（x1，y1），N（x2，y2），，Δ＝（4km）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2m2﹣2）＝8（m2+1﹣2k2），且1﹣2k2≠0，，， ）⇒（x1﹣2）（x2﹣2）＝2（kx1+m﹣2）（kx2+m﹣2） ⇒4m（2k+m﹣1）＝0⇒2k+m﹣1＝0，或m＝0，当2k+m﹣1＝0时，y＝kx+m⇒y＝kx+1﹣2k⇒y﹣1＝k（x﹣2），直线MN过A（2，1）点，不符合题意；当m＝0时，，因为AD⊥MN，所以△ADO是直角三角形，且，当定点Q为斜边AO中点时，，即存在定点，使得|DQ|为定值． 27．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率． （1）求双曲线C的方程； （2）记双曲线C的右顶点为A，过点A作直线MA，NA与C的左支分别交于M，N两点，且MA⊥NA，AD⊥MN，D为垂足． （i）证明：直线MN恒过定点P，并求出点P坐标． （ii）判断是否存在定点Q，使得|DQ|为定值，若存在说明理由并求出Q点坐标． 【解析】 （1）根据题意，坐标原点是双曲线C的中心，离心率为，左焦点为， 所以，所以b＝4，a＝2，因此双曲线方程为． （2）证明：（i）根据第一问知A（2，0），当直线MN斜率存在时，设直线MN方程为y＝kx+m，联立直线MN和双曲线方程，化简得（4﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣16＝0，根的判别式Δ＝4k2m2+4（4﹣k2）（m2+16）＞0，所以4k2﹣m2＜16，设N（x2，y2），M（x1，y1），根据韦达定理可得，由于MA⊥NA，因此，所以y1y2+（x1﹣2）（x2﹣2）＝0，所以y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4＝0，所以（kx1+m）（kx2+m）+x1x2﹣2（x1+x2）+4＝0，整理得，所以，所以3m2﹣4km﹣20k2＝0，可得（m+2k）（3m﹣10k）＝0，所以，将代入直线， 此时直线MN过定点，当直线MN的斜率不存在时，不妨设直线方程为x＝t，因为MA⊥NA，所以AMN为等腰直角三角形，此时M点坐标为，所以（舍）或，此时MN过定点；将m＝﹣2k代入直线y＝kx+m⇒y＝k（x﹣2），此时直线MN过定点A（2，0），不符合题意．综上可知，直线MN恒过定点， （ii）因为AD⊥MN，此时存在以AP为斜边的直角三角形，所以存在定点Q为AP中点满足，此时． 28．已知P，Q是双曲线上两个不同的点，O为坐标原点，点． （1）若点A在Γ上，求Γ的渐近线方程． （2）当O，P，Q，A四点共线时，，点B（2，0）． （i）求Γ的方程； （ii）若B，P，Q三点共线，P，Q两点均不在x轴上，M，N分别为Γ的左、右顶点，直线PM与QN交于点D，证明：动点D在一条定直线上． 【解析】 （1）因为点在双曲线上，所以．又因为a＞0，所以．故Γ的渐近线方程为． （2）（i）当O，P，Q，A四点共线时，则直线OA的方程为，由得． 因为a＞0，所以，所以，解得a2＝1，故Γ的方程为x2﹣y2＝1． （ii）证明：因为P，Q两点均不在x轴上，所以直线PQ的斜率不为0，则可设直线PQ的方程为x＝my+2．由得（m2﹣1）y2+4my+3＝0，则m2﹣1≠0，Δ＝16m2﹣12（m2﹣1）＝4m2+12＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则．直线，直线，由得，解得，故动点D在定直线上． 29．已知a＞0，b＞0，等轴双曲线M的左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为F1，F2，且，点D为双曲线M的左支上异于点A的一个动点． （1）求双曲线M的方程； （2）若，求点D的坐标； （3）设点C（2，0），直线CD交双曲线M的右支于点E．试判断直线AD与直线BE的交点P是否在一条定直线上？若是，请求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【解析】 （1）根据题意可得⇒．因此双曲线M为：x2﹣y2＝1． （2）由于，因此D在以为半径，以O为圆心的圆上．根据⇒或．因此或． （3）是，理由如下，如图所示，由于D与A不重合，因此CD的斜率不为0，因此可设直线CD为x﹣2＝my，E（x2，y2），D（x1，y1），由于点D在双曲线的左支上，因此m≠0． 联立直线CD和双曲线方程可得，化简得（m2﹣1）y2+4my+3＝0．当m＝±1时，显然直线与双曲线只有一个交点，因此m≠±1，当m≠±1，0时，根的判别式Δ＝（4m）2﹣4（m2﹣2）×3＝4m2+12＞0．因此根据韦达定理可得，，那么，因此．易得B（1，0），A（﹣1，0），那么，所以直线BE的方程为：，，因此直线AD为，故点P的横坐标满足：，显然x≠1，由题意得：x1＝my1+2，x2＝my2+2，则，则x+1＝﹣3（x﹣1）⇒．故点P在定直线上． 30．已知A1，A2分别是双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，F1，F2分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线C上异于顶点的任意两点，当MN经过原点O时，直线A1M与直线A1N斜率之积为定值4． （1）求双曲线C的方程； （2）已知直线l：x＝my+4（m∈R），交双曲线C的左、右两支于D，E两点． ①求m的取值范围； ②设直线A1D与直线A2E交于点Q，求证：点Q在定直线上． 【解析】 （1）因为|A1A2|＝4＝2a，所以a＝2，设M（x0，y0），此时N（﹣x0，﹣y0），又A1（﹣2，0）， 所以直线A1M的斜率，直线A1N的斜率，因为直线A1M与直线A1N斜率之积为定值4，所以，即，因为由，所以，解得b＝4，则双曲线C的方程为； （2）①因为双曲线C的方程为，渐近线方程为y＝±2x，易知直线l的斜率存在且斜率k，因为直线l与双曲线有两个交点，所以，解得或； ②证明：设D（x1，y1），E（x2，y2），联立，消去x并整理得（4m2﹣1）y2+32my+48＝0，由①知4m2﹣1≠0且Δ＝（32m）2﹣4（4m2﹣1）•48＝256m2+192＞0，由韦达定理得，，两式相除得，即，因为A1（﹣2，0），A2（2，0），所以直线A1D的方程为，即，同理得直线A2E的方程，联立，解得，即，所以，解得x＝1．综上所述，直线A1D与直线A2E的交点Q在定直线x＝1上． 31．已知双曲线C的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记C的上、下顶点分别为A1，A2，过点（0，4）的直线与C的上支交于M，N两点． （1）求C的方程； （2）直线A1M和A2N的斜率分别记为k1和k2，求的最小值； （3）直线A1M与A2N交于点P，证明：点P在定直线上． 【解析】 （1）设双曲线的标准方程为，半焦距为c，因为C的上焦点为，离心率为，所以，解得a＝2，b＝4，所以双曲线的标准方程为； （2）由（1）有双曲线的上下顶点为A1（0，2），A2（0，﹣2），设直线MN的方程为y＝kx+4， 联立，消去y可得（4k2﹣1）x2+32kx+48＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，且4k2﹣1＜0，所以，因为，，所以，所以k2＝﹣3k1，所以，当k1＝1时，的最小值为﹣1； （3） 证明：直线A1M的方程为y＝k1x+2，直线A2N的方程为y＝k2x﹣2，联立，得，解得y＝1，即点P在定直线上y＝1． 题型七：抛物线中的定点问题 32．已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，点F在直线2x+3y﹣2＝0上，A，B是抛物线C上两个不同的点． （1）求抛物线C的方程； （2）设直线OA，OB的斜率为kOA，kOB，若kOA•kOB＝﹣2，证明：直线AB过定点，并求定点坐标． 【解析】 （1）易知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，因为直线2x+3y﹣2＝0与x轴的交点坐标为（1，0），所以，解得p＝2，则抛物线为y2＝4x； （2）证明：易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去x并整理得y2﹣4my﹣4n＝0，此时Δ＝16m2+16n＞0，由韦达定理得y1y2＝﹣4n，所以，解得n＝2，此时满足Δ＞0．故直线AB恒过点（2，0）． 33．已知点A（﹣4，2），B（2，8），C（4，2）中恰有两个点在抛物线E：x2＝2py（p＞0）上， （1）求E的标准方程； （2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）在E上，且x1x2＝﹣16，证明：直线MN过定点． 【解析】 （1）已知点A（﹣4，2），B（2，8），C（4，2）中恰有两个点在抛物线E：x2＝2py（p＞0）上，将A（﹣4，2）代入抛物线方程，解得p＝4，将B（2，8）代入抛物线方程，解得，将C（4，2）代入抛物线方程，解得p＝4，根据题意可知p＝4，所以E的标准方程为x2＝8y； （2）因为x1x2＝﹣16，所以x1≠x2，不妨设直线MN：y＝kx+b，则联立方程组得，即x2﹣8kx﹣8b＝0，所以，则b＝2，则MN：y＝kx+2，即直线MN过动点（0，2）． 34．已知以动点P（x，y）为圆心的圆T过点（1，0），且圆T与直线x＝﹣1相切，若动点P的轨迹为C． （1）求轨迹C的方程； （2）直线l与轨迹C相交于M、N两点，已知A（1，2）且AM⊥AN，证明：直线l恒过定点E，并求出E点坐标； 【解析】 如图所示，（1）因为动圆P过定点T（1，0），且与直线x＝﹣1相切，所以点P到T（1，0）的距离等于点P到直线x＝﹣1的距离，则点P的轨迹是以T（1，0）为焦点、x＝﹣1为准线的抛物线 设该抛物线方程为y2＝2px，此时解得p＝2，则轨迹C的方程为y2＝4x； （2）设直线l方程为x＝ty+n，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，消去x并整理得y2﹣4ty﹣4n＝0，此时Δ＝（4t）2+4×4n＞0，解得t2+n＞0，由韦达定理得y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4n，则 ＝（t2+1）（﹣4n）+（nt﹣t﹣2）×4t+n2﹣2n+5＝0，整理得（n﹣3）2﹣（2t+2）2＝0，解得即n＝2t+5或n＝﹣2t+1，所以直线方程为x＝ty+2t+5或x＝ty﹣2t+1，当直线方程为x＝ty+2t+5时，此时直线过定点E（5，﹣2）；当直线方程为x＝ty﹣2t+1时，此时直线过定点E（1，2），因为直线与点A重合，不符合题意．综上所述，直线l恒过定点E（5，﹣2）． 35．已知过点A（2，0）的直线与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于M，N两点，且满足． （1）求抛物线C的方程； （2）若点B为直线x＝﹣3上的动点，过点B作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点． 【解析】 （1）由题意可设直线MN的方程为：x＝my+2，M（x1，y1）、N（x2，y2），联立抛物线方程得，，所以y1y2＝﹣4p，又，，化简得，即4﹣4p＝﹣12，解之得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x． （2） 证明：设点B（﹣3，y0），P（x3，y3），Q（x4，y4），以P为切点的抛物线的切线方程为y﹣y3＝k（x﹣x3），由，可得ky2﹣8y+y3（8﹣ky3）＝0，由判别式Δ＝0，即（﹣8）2﹣4ky3（8﹣ky3）＝0，即，显然y3≠0，可得，因此，以P为切点的抛物线的切线方程为y3y＝4（x+x3），同理可得，以Q为切点的抛物线的切线方程为y4y＝4（x+x4），由于这两条切线都经过点T（﹣3，y0），代入可得y3y0＝4（﹣3+x3），y4y0＝4（﹣3+x4），则直线PQ的方程为y0y＝4（﹣3+x），可得直线MN过定点（3，0）． 题型八：抛物线中的定值问题 36．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，F，M（m，2）是抛物线C上一点，且|MF|＝2． （1）求抛物线C的方程． （2）若P（4，y0）（y0＞0）是抛物线C上一点，过点Q（1，﹣4）的直线与抛物线C交于A，B两点（均与点P不重合），设直线PA，PB的料本分别为k1，k2，试问k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【解析】 （1）因为点M（m，2）在抛物线上，所以4＝2pm，① 因为|MF|＝2，所以，② 联立①②，解得p＝2，m＝1，则抛物线C的方程为y2＝4x； （2）因为P（4，y0）（y0＞0）在抛物线C上，解得y0＝4，即P（4，4），易知过点Q（1，﹣4）的直线斜率不为0，不妨设直线AB方程为x＝m（y+4）+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x并整理得y2﹣4my﹣16m﹣4＝0，此时Δ＝16m2﹣4（﹣16m﹣4）＝16（m2+4m+1）＞0，解得或，由韦达定理得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣16m﹣4，则，x1x2＝（my1+4m+1）（my2+4m+1）＝m2y1y2+m（4m+1）（y1+y2）+（4m+1）2＝16m2+8m+1，又，，所以．故k1k2为定值，定值为． 37．已知抛物线C：x2＝4y，A，B是抛物线上异于原点的O的两个动点． （1）若M点坐标为（0，3），求AM的最小值； （2）若OA⊥OB，且OH⊥AB于H，问：是否存在定点R，使得RH为定值．若存在，求出R点坐标，若不存在，说明理由． 【解析】 （1）设A（x，y），又M（0，3），则， 当y＝1时，|AM|有最小值为2； （2）如图所示，设直线AB方程为y＝kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），由OA⊥OB，得x1x2+y1y2＝0，联立，消去y整理得，，∴m2﹣4m＝0，解得m＝0（舍去）或m＝4，则直线AB过定点N（0，4），又OH⊥AB，则H在以ON为直径的圆上（不含y轴交点），设ON的中点为R（0，2），则，所以，存在定点R（0，2），使得RH为定值． 38．设点F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，过点F且斜率为的直线与C交于A，B两点（O为坐标原点）． （1）求抛物线C的方程； （2）过点E（0，2）作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S．已知|EP|•|EQ|＝|ER|•|ES|，问：是否存在实数λ，使得k1+λk2为定值？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由． 【解析】 （1）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，），直线AB的方程yx，由，得x2﹣2py﹣p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2＝2p，x1x2＝﹣p2，所以|x1﹣x2|2p，所以S△AOB|OF||x1﹣x2|2p＝2，p＞0，所以p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y． （2）存在λ＝1，使得k1+λk2为定值，由题意可得直线l1的方程y＝k1x+2，直线l2的方程为y＝k2x+2，联立，得x2﹣4k1x﹣8＝0，设P（x3，y3），Q（x4，y4），所以x3+x4＝4k1，x3x4＝﹣8，|EP||x3|，|EQ||x4|，所以|EP|•|EQ|＝8（1），设R（x5，y5），S（x6，y6）， 同理可得x5+x6＝4k2，x5x6＝﹣8，所以|ER|•|ES|＝8（1），由|EP|•|EQ|＝|ER|•|ES|，得8（1）＝8（1），即，而k1≠k2，所以k1+k2＝0，所以存在λ＝1，使得k1+λk2为定值0． 39．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点（1，0）． （1）求C的方程； （2）若直线l与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，OA⊥OB，在x轴上是否存在点T，使得直线TA与直线TB的斜率之和为定值k．若存在，求出点T的坐标和定值k；若不存在，请说明理由． 【解析】 （1）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点（1，0），所以1，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x； （2）易知直线l的斜率存在，不妨设l：x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x并整理得y2﹣4my﹣4n＝0，此时Δ＞0，由韦达定理得y1y2＝﹣4n，所以x1x2•n2，又OA⊥OB，所以，即x1x2+y1y2＝0，所以n2﹣4n＝0，解得n＝4，则直线l的方程为x＝my+4，假设存在满足条件的点T（t，0），使得kTA+kTB＝k，因为y1+y2＝4m，y1y2＝﹣16，所以k＝kTA+kTB，整理得4tkm2﹣4（t+4）m﹣k（4﹣t）2＝0，此时满足，解得t＝﹣4，k＝0，所以在x轴上存在点T（﹣4，0），使得直线TA与直线TB的斜率之和为0． 40．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点（4，0）的直线l与E交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O． （1）求E的方程； （2）连接AF，BF，分别延长交E于C，D两点，问kAD•kBC是否为定值，若是求出该定值；若不是说明理由． 【解析】 （1）由题知，直线l的斜率不为0，可设其方程为x＝my+4，A（x1，y1），B（x2，y2），联立得y2﹣2pmy﹣8p＝0，所以y1+y2＝2pm，y1y2＝﹣8p，因为以AB为直径的圆过原点O，所以OA⊥OB，即，所以x1x2+y1y2＝0，即，将y1y2＝﹣8p代入，解得p＝2．所以E的方程为y2＝4x． （2）设C（x3，y3），D（x4，y4），直线AF的方程为x＝ny+1，联立得y2﹣4ny﹣4＝0，所以y1y3＝﹣4，即，同理y2y4＝﹣4，即，，同理，由（1）知y1y2＝﹣16，所以． 41．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点O为坐标原点，直线l过点T（4，0）与抛物线C相交于A，B两点（点A位于第一象限）． （1）求证：OA⊥OB； （2）如图，连接AF，BF并延长分别交抛物线C于A1，B1点，设直线AB的斜率为k1，直线A1B1，的斜率为k2，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 【解析】 （1）设直线l方程为x＝my+4，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与抛物线C的方程，， 消去x，得y2﹣4my﹣16＝0，故y1y2＝﹣16，又，所以，即OA⊥OB． （2）设A1（x3，y3），B1（x4，y4），由焦点F（1，0），设直线AA1的方程为x＝ny+1，联立直线AA1与抛物线C的方程，消去x，得y2﹣4ny﹣4＝0，所以y1+y3＝4n，y1y3＝﹣4，则， 同理可得，，所以，又，所以k2＝4k1，即为定值． 题型九：抛物线中的定直线问题 42．已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，Γ上任意一点P到F的距离与到点E（2，0）的距离之和的最小值为3． （1）求抛物线Γ的标准方程； （2）已知过点E的直线l1，l2与Γ分别交于点A，C与点B，D，延长AB，DC交于点Q，线段AC与BD的中点分别为M，N． ①证明：点Q在定直线上； ②若直线l1⊥l2，直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，求k1k2的取值范围． 【解析】 （1）如图所示，设点P到准线的距离为d，抛物线E的准线方程为，由抛物线的定义，得，解得p＝2，当且仅当P，Q，F三点共线时，等号成立，所以抛物线E的标准方程为y2＝4x； （2）①证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），直线l1的方程为x＝my+2，直线l2的方程为x＝ny+2，联立消去x整理得y2﹣4my﹣8＝0，所以y1+y3＝4m，y1y3＝﹣8，联立，消去x，可得y2﹣4ny﹣8＝0，所以y2+y4＝4n，y2y4＝﹣8，所以直线AB的方程为，即，同理直线CD的方程为．联立，得，即，即4（y2+y1﹣y3﹣y4）x＝y1y2（y3+y4）﹣y3y4（y2+y1），即4（y2+y1﹣y3﹣y4）x＝﹣8y2﹣8y1﹣（﹣8y3﹣8y4），所以，即点Q在直线x＝﹣2上． ②由题意可知，l1，l2的斜率存在且均不为0，因为l1⊥l2，所以设直线l1的方程为x＝my+2，则直线l2的方程为，由①知，．所以，所以，所以，当且仅当，即m＝±1时取等号，又易知k1k2＜0，所以k1k2的取值范围为． 43．已知抛物线Ω：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0）．过F作两条互相垂直的直线l1，l2，且直线l1与Ω交于M，N两点，直线l2与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限．设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． （1）求Ω的方程． （2）直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． （3）证明：点H在直线x＝﹣1上． 【解析】 （1）抛物线Ω：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），则有，则p＝2，所以抛物线Ω的方程为y2＝4x． （2）直线l1，l2与抛物线各有两个交点，可知直线l1，l2斜率存在且不为0，设直线l1的斜率为k， 则直线l1：y＝k（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去x并整理得，此时，由韦达定理得，y1y2＝﹣4，由A为弦MN的中点，有，则，由垂直的条件，可将k换为，设E（x3，y3），P（x4，y4），同理得y3+y4＝﹣4k，y3y4＝﹣4，有B（1+2k2，﹣2k），当k＝1或k＝﹣1时，直线AB的方程为x＝3，当k≠1且k≠﹣1时，直线AB的斜率为，方程为，即（k2﹣1）y+（x﹣3）k＝0，可知x＝3时y＝0，所以直线AB过定点，其坐标为（3，0）． （3）证明：，同理得，此时直线ME的方程为，即，同理，直线NP的方程为，由，消去y解得x＝﹣1，故直线ME与直线NP的交点H在直线x＝﹣1上． 44．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），过F作互相垂直的两条直线l1，l2，这两条直线与抛物线C分别交于A，B和D，E两点，其中点A，D在第一象限． （1）求抛物线C的标准方程； （2）求四边形ADBE面积的最小值； （3）证明：直线AD与直线BE的交点在定直线上． 【解析】 （1）因为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），即，所以抛物线C的标准方程y2＝4x； （2）如图所示，当直线l1的斜率为0时，不符合题意，当直线l1的斜率不为0时，设直线l1：x＝my+1，联立，可得y2﹣4my﹣4＝0，Δ＝16m2+16＞0恒成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，所以，同理，则四边形ADBE的面积为，当且仅当，即m＝±1时，等号成立，所以四边形ADBE面积的最小值为32； （3）设，由（2）知y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，同理，直线AD的方程为，即①，同理直线BE的方程为②，联立①②得，即4（y2+y3）x﹣4（y1+y4）x＝y2y3（y1+y4）﹣y1y4（y2+y3），即4（y2+y3﹣y1﹣y4）x＝y1y2y3+y2y3y4﹣y1y2y4﹣y1y3y4，∵y1y2＝﹣4，y3y4＝﹣4，∴4（y2+y3﹣y1﹣y4）x＝﹣4y3﹣4y2+4y4+4y1，∴x＝﹣1，故直线AD与直线BE的交点在定直线x＝﹣1上． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/9 10:48:22；用户：15972902576；邮箱：15972902576；学号：21498003 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $