圆锥曲线的定点、定值、定直线以及新定义问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆锥曲线定点问题、定值问题、定直线问题、新定义问题专项训练 圆锥曲线定点问题、定值问题、定直线问题、新定义问题专项训练 考点目录 圆锥曲线定点问题 圆锥曲线定值问题 圆锥曲线定直线问题 圆锥曲线新定义问题 考点一 圆锥曲线定点问题 例1．（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆过点.过作两条互相垂直的直线与分别与椭圆交于四点.记弦的中点分别是.    (1)求椭圆的方程； (2)若直线与轴不重合，求△面积的最大值； (3)求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【详解】（1）因为椭圆的左､右焦点分别为，所以， 又椭圆经过点， 所以， 所以，所以， 所以椭圆的方程. （2）由题可设直线的方程为：， 由得，， 令，则，所以， 又因为时，单调递增，所以，所以， 所以， 所以面积的最大值为. （3）设， （i）当或与轴重合时，直线为轴. 若直线过定点，则该点在轴上，设为， （ii）当与都不与轴重合时，由（2）可知： ， 把换成可得， 因为 且，所以. 解得：， 所以直线过定点. 例2．（25-26高三上·江苏徐州·月考）已知椭圆的右顶点为，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)已知为的右焦点，，为轴上两动点，且． （i）若的外接圆与在第二象限的交点为，直线交轴于点，记的面积为的面积为，求； （ii）若直线分别与交于点，求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）设椭圆的焦距为， 因为椭圆的右顶点为，所以． 因为椭圆的离心率为，所以，解得， 所以， 所以椭圆的方程为． （2）（i）由，，得． 中，外接圆圆心为中点，半径为. 所以外接圆方程为， 整理得， 设， 则， 消去，得， 即 化简得， 又，所以． 过点作轴，则，所以. 所以． （ii）设直线的方程为， 联立，消去，整理得， 因为直线与交于， 所以，即． 因为， 所以， 所以， 即，即， 化简得， 因为，所以， 所以直线恒过定点． 例3．（25-26高三上·北京·月考）已知椭圆 经过点 . (1)求椭圆 的方程及离心率； (2)设椭圆 的左顶点为 ，直线 与 相交于 两点，直线 与直线 相交于点 . 问: 直线 是否过定点? 若过定点，求出该点坐标; 若不过定点， 说明理由. 【答案】(1); (2)直线过定点 【详解】（1）因为椭圆经过点， 所以，解得， 所以椭圆E的方程为， 因为所以， 所以离心率为. （2）直线过定点，理由如下： 由可得， 显然， 设则有 直线的方程为 令，解得，则， 所以直线的斜率为且， 所以直线的方程为 令，则 所以直线过定点. 变式1．（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于两点.当点运动时，点的轨迹为. (1)证明：点的轨迹方程是； (2)过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）设点的坐标为，联立方程，消去后整理为， 令，可得. 所以，， 得点的坐标为.如图：    直线的方程为，整理为，可得， 有，可得，有， 所以点的轨迹方程为. （2）设点的坐标分别为，有，设直线的方程为.如图：    联立方程，消去后整理为， 有，. 由双曲线及对称性可知若直线过定点，定点必在轴上，设定点. 有，有，有. 有，，得， 可得点的坐标为，故直线过定点. 变式2．（25-26高三上·湖北随州·月考）已知是双曲线的右焦点，且经过点． (1)求的标准方程． (2)已知斜率为的直线与的右支相交于A，B两点，直线，的一个方向向量分别为，，，且． （ⅰ）求． （ⅱ）判断是否过定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）过定点． 【详解】（1）由题意得，得， 所以的标准方程为． （2）（ⅰ）因为，所以是直线的一个方向向量， 因为直线的一个方向向量分别为， 且，所以， 则，整理得． 因为，所以． （ⅱ）过定点． 理由如下：设，，， 由，得， 则， ，， 由（ⅰ）知， 得， 即，整理得， 所以或． 又， 故当时，，不符合题意． 当时，，符合题意． 综上，，所以过定点．    变式3．（25-26高三上·湖北·月考）在平面直角坐标系中，已知，动点满足直线和直线的斜率之积是． (1)求动点的轨迹方程，并指出该轨迹是什么曲线； (2)当时，为的轨迹上的两个动点，记直线的斜率分别为，若，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析; (2)直线过定点. 【详解】（1）设点，则由题意可得：，整理可得 所以点的轨迹方程为：. 当时，该轨迹表示双曲线（去掉点）； 当或时，该轨迹表示椭圆（去掉点）； 当时，该轨迹表示圆（去掉点）. （2）当时，点的轨迹方程为， 由点在双曲线上得，由轨迹定义可知， 则，又，所以. 方法一：依题直线斜率不为0， 设直线方程为 联立方程组， 整理得 则 又 即， 代入韦达定理可得：， 解得或（舍去）；所以直线的方程为， 即直线过定点. 方法二：依题直线不过点，则设直线方程为 方程化为， 整理有 联立直线方程，利用代换1齐次化： 整理可得：， 从而，解得， 所以直线的方程为，即 所以直线过定点. 考点二 圆锥曲线定值问题 例1．（25-26高三上·辽宁大连·月考）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线（斜率存在且不为0）与椭圆相交于两点，的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)过两点分别作椭圆的切线，设与交点为. （i）求点的轨迹方程； （ii）记直线的斜率分别为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)（i）;（ii）证明见解析. 【详解】（1）由题意可设，则， 根据椭圆的定义可知的周长为 ， 所以，即椭圆方程为； （2）设点在椭圆上，易知， 所以， 即，当且仅当时取得等号， 即椭圆上有且仅有一点在直线上， 所以过椭圆上一点的切线方程为：； （i）由上知，可设l方程为，， 而直线斜率存在且不为0及椭圆的对称性可知， 则分别为， 联立可得是定值， 又作差可得，整理得， 即，所以M点在定直线上； （ii）易知， 联立得， 所以， 则 ，是定值，证毕.    例2．（25-26高二上·北京海淀·月考）已知椭圆：的右焦点，离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)点是椭圆上一动点，且点不在坐标轴上，轴于点，，且交直线于点，直线交轴于点，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为椭圆：的右焦点，所以， 因为离心率，解得，由，解得， 因此椭圆的标准方程为. （2）设点在椭圆上且，则，即， 当时，，直线为，因为，故直线为，为直线与的交点，即，直线的轴截距点，此时，所以. 当时，因为轴于点，所以， 故的斜率为，因，故的斜率为， 所以直线的方程为，令得点纵坐标为， 故， 直线的斜率为，代入， 直线的方程为， 令，解得， 故， 因此为定值. 综上所述，为定值. 例3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是. (1)求动点P的轨迹曲线C的方程； (2)过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值. 【答案】(1) (2)是，定值为3 【详解】（1）设，， 因为动点P与，两点连线的斜率之积是， 所以，整理得， 所以动点P的轨迹曲线C的方程为. （2）易知直线斜率不为0， 设直线：，，， 联立，得， 则且，即且， 而， 则 ，为定值.    变式1．（2026·河北沧州·模拟预测）已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)直线与相交于，两点． （i）是坐标原点，若的面积为，求的值； （ii）设的左焦点为，则是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）为定值，为. 【详解】（1）设焦距为，则，所以，即， 其渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离为，即， 所以，所以的方程为； （2）（i）设，联立，化简得， ，则， 所以，解得， 所以的值为．    （ii）由（i）知． 所以， 即为定值. 变式2．（24-25高二上·山东枣庄·期末）已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M. (1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程； (2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，6. 【详解】（1）由题意知，设直线的方程为， 由 得：，所以， 所以，所以， 故抛物线的方程为 （2）由（1）抛物线的方程为， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾， 故直线的斜率不为0，故可设的方程为 消去得：，设， 则， 所以， ，即 ， 所以 . 所以：为定值，该定值为6. 变式3．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)若为原点，，试探究是否为定值，并说明理由. 【答案】(1) (2)为定值，理由如下. 【详解】（1） 由题意知，直线的斜率存在且不为，又直线过点，故设直线的方程为， 联立，可得，，，解得且， 又直线交轴于，直线交轴于，故直线不过点， 把代入，解得，从而， 故直线的斜率的取值范围为. （2）为定值，理由如下： 设，由（1）可知， ， ， ， 故, 直线的方程为，令，则，同理可得, 由，可得，得， 由，可得，得同理可得， 则 . 考点三 圆锥曲线定直线问题 例1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）一个动圆Q与圆外切，与圆内切，设圆心Q的轨迹为曲线C，过点作斜率为k的直线l交曲线C于A，B两点． (1)求曲线C的方程； (2)在y轴上求异于的点P，使得对于任意的直线l，都有； (3)设，分别为曲线C的上、下顶点，直线与直线交于点M，若曲线C在点A处的切线交y轴于点N，试判断直线AB与直线MN的交点H是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是， 【详解】（1）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 设动圆的半径为， 圆与圆外切，与圆内切， ，， ，， ，的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，即，， 的轨迹方程为.    （2）在y轴上求异于的点P，设， 当时，两点关于轴对称，满足，故符合题意； 当时，设过点作斜率为的直线的方程为， 将代入中得到， 整理得， 设， 则， 对于任意的直线l，都有，为的角平分线， ， ， ，， ，， ，， ，， ，， 综上可知，在y轴上存在异于的点，使得对于任意的直线l，都有；    （3），，分别为曲线C的上、下顶点， ，设， 则在点处的切线方程为， 将代入，解得，则， 将代入得，则 ，直线的方程为， ，直线的方程为， 将代入，得， 解得，即， 即，即为的横坐标， 将代入， 即， 即， 即，即为的纵坐标， 故，， ， ，，， 将代入， 得， 直线的方程为， 直线的方程为，解得， 将代入直线得， ， ， ， ， ， ， 将代入， 得， ，， 直线AB与直线MN的交点的纵坐标为定值， 直线AB与直线MN的交点在定直线上.    例2．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1），由椭圆定义知 ， 所以，又， 所以椭圆C的标准方程为 （2）若直线l的斜率为0，此时两点与重合，不合题意，舍去， ，设直线l的方程为， 由，得．    显然恒成立，设， 所以有① 直线的方程为，直线的方程为， 联立两方程可得，所以， ， 由①式可得， 代入上式可得， 即，解得，故点D在定直线上. 例3．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知双曲线：的实轴长为2，离心率为2，，分别为左，右顶点，，分别为左，右焦点． (1)求双曲线的方程； (2)若过的直线与双曲线右支交于，两点，直线与直线交于点． ①证明：点在定直线上； ②若，求直线的方程． 【答案】(1) (2)①证明见解析  ②或. 【详解】（1）因为双曲线实轴长为，所以，即，又因为离心率为，所以，所以，因为，所以，所以双曲线：. （2）①因为为双曲线右焦点，所以，，， 设过直线的方程为，，， 所以，联立可得， 由韦达定理可得， 直线的斜率为，方程为， 直线的斜率为，方程为， 设，所以， 将，，所以， 整理可得 因为， ，所以， 所以 ，解得， 所以点在定直线上. ②设，因为在直线，，如图所示 ，因为，，三点共线，所以，即， ，，所以，同理，即，，，所以， 所以，因为，所以， 所以 ， ，， 因为，所以， ， 所以， 解得，即，所以直线的方程为或. 变式1．（25-26高三上·湖南·月考）已知圆，圆．若动圆C与圆外切，且与圆内切，设圆心C的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)已知双曲线，过其右顶点A作直线分别交曲线E和双曲线于点（异于点A），作直线分别交曲线E和双曲线Γ于点（异于点A），设直线与直线交点为H， （ⅰ）求证：点的横坐标乘积为定值，并求出该定值． （ⅱ）求证：点H在定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析，定值3；（ⅱ）证明见解析，点H在定直线上． 【详解】（1）设动圆C的半径为R， ∵动圆C与圆外切，则．                            又∵动圆C与圆内切，结合图象可知，∴．            ∴．                     由椭圆的定义可知，动点C在以为焦点，4为长轴长的椭圆上， 设椭圆的方程为，半焦距为c， 则，∴．                    又可知圆与圆内切，∴点C不能在切点处，即椭圆应去掉点， ∴曲线E的方程为． （2）（ⅰ）证明：设，    则；        ；          又∵，∴． 即（*），同向相除得， 解得，即点M，N的横坐标乘积为定值3．                   （ⅱ）设，则 由（ⅰ）知：，代入（*）式得：．同理，．     ， 整理得：…① 同理…②                 将代入②化简得： …③． 联立①③解得：． 即点H在定直线上． 变式2．（2025·福建福州·模拟预测）已知抛物线E：（p>0），过点的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．当l1的斜率为时， (1)求E的标准方程： (2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当的斜率为时，得方程为， 由,消元得，，，； 由弦长公式得， 即，解得或（舍去），满足， 从而的标准方程为. （2）法一：因为l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点，所以直线斜率存在 设直线的方程为，设， 由，消去得，则. 设直线的方程为， 同理，消去得可得． 直线方程为，即， 化简得， 同理，直线方程为， 因为在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证的横坐标为定值即可． 由消去， 因为直线与相交，所以， 解得， 所以点的横坐标为2，即直线与的交点在定直线上． 法二：设直线方程为，由消去得， 设，则． 设直线的方程为， 同理可得． 直线方程为，即， 化简得， 同理，直线方程为，． 因为在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证的横坐标为定值即可． 由消去， 因为直线与相交，所以， 解得， 所以点的横坐标为2，即直线与的交点在定直线上． 变式3．（2025·山东淄博·模拟预测）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为3，，为抛物线上异于原点的两点.延长，分别交抛物线于点，，直线，相交于点. (1)若，求四边形面积的最小值； (2)证明:点在定直线上. 【答案】(1)32 (2)证明见解析 【详解】（1）由抛物线定义可知，，解得， 即抛物线方程为， 由题意，设，，直线的方程， 由，消去得，恒成立， 由韦达定理可知：，， 故， 因为，所以直线的方程为， 于是， 则 当且仅当，即时等号成立， 所以四边形面积的最小值为32； （2）设，，，因为，，，都在上， 所以，， 因为，，三点共线，所以有， 即，整理得：， 同理，因为，，三点共线，可得， 即， 解得：， 由（1）可知，，代入上式可得：， 得， 即点在定直线上. 考点四 圆锥曲线新定义问题 例1．（25-26高二上·湖北武汉·月考）如图，坐标平面上的点也可表示为，其中，为x轴非负半轴绕原点O逆时针旋转到与重合的旋转角．将点P绕原点O逆时针旋转后得到，这个过程称之为旋转变换，由此可以得到旋转变换公式： ．已知将焦点在x轴上的椭圆W绕原点O进行旋转变换可以得到曲线． (1)直接写出曲线的对称轴和椭圆W的方程（不用说明理由）； (2)已知曲线绕原点O逆时针旋转可以得到双曲线，曲线与椭圆W交于A，B，C，D四点． （i）求k的取值范围； （ii）求四边形的面积S（用k表示）及其取值范围． 【答案】(1)， (2)（i）；（ii），取值范围为 【详解】（1）设点在曲线上，则， 所以，则点也在曲线上，故是曲线的对称轴， 又，所以点也在曲线上， 故也是曲线的对称轴， 综上，曲线的对称轴为； 所以曲线由椭圆逆时针旋转得到， 设点在椭圆上，逆时针旋转后的坐标为， 则，又点在曲线上， 所以， 即， 整理化简得，即椭圆的方程为：； （2）设点在曲线上，逆时针旋转后的坐标为， 则， 整理得，即曲线， （i）联立，得， 因为曲线与椭圆W交于A，B，C，D四点， 令，则有两个不同的正数解， ，解得或， 所以k的取值范围为； （ii）根据题意，椭圆W及曲线关于原点对称，易得四边形为平行四边形， 则，不妨设，，在第四象限， 则， 又 ， 所以，，， 则， 所以，取值范围为． 例2．（25-26高二上·北京·月考）对于，定义曲线. (1)求曲线与直线的公共点的坐标； (2)记为曲线被轴所截得的线段长度与被轴所截得的线段长度之和，求当变化时，的最小值； (3)设坐标原点为，若对于任意，曲线上均存在不同两点，使得，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）曲线，两边平方整理得， 联立方程，解得，所以公共点坐标为. （2）曲线， 两边平方整理得： ， 令，可得， 由， 可得， 所以曲线被轴所截得的线段长度为， 同理可得，曲线被轴所截得的线段长度为， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，因此的最小值为. （3）设， 将两点坐标代入曲线的方程得， 其中，整理得 因为，所以，进而， 又因为，所以， 结合（*），问题等价于存在，使得， 即存在，使得，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 例3．（25-26高二上·广西南宁·月考）曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆上点处的曲率半径公式为．已知椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程： (3)记椭圆的左焦点为，为椭圆上一动点，定点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为点在椭圆上，则，即， 可得， 因为，则， 可得，所以， 则，，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）因为，可知点在椭圆内，直线与椭圆必相交， 设，，则线段的中点坐标为， 可得，，， 因为点，在椭圆内， 则，两式相减得， 整理可得，即，可得， 所以直线的方程为，即. （3）由题意可知：，则椭圆的左、右焦点分别为，， 因为，即， 则， 当且仅当点在的延长线上时，等号成立， 所以的最大值为. 变式1．（24-25高三下·福建厦门·期末）若平面内的曲线与某正方形四条边的所在直线均相切，则称曲线为正方形的一条“切曲线”，正方形为曲线的一个“切立方”． (1)圆的一个“切立方”的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”四条边所在直线的方程； (2)已知正方形的方程为，且正方形为双曲线的一个“切立方”，求该双曲线的离心率的取值范围； (3)设函数的图象为曲线，试问曲线是否存在切立方，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）根据“切立方”的定义，设“切立方”的边所在的直线方程，， 则可得圆的圆心到直线的距离为，则， 圆的圆心到直线的距离也为，则， 故“切立方”四条边所在直线的方程为，； （2）由正方形的方程为，则， 由正方形为双曲线的一个“切立方”， 则联立，整理得， 则， 整理得，即， 由图可知，则， 所以． （3）假设曲线存在切立方，由于函数为奇函数，其图象关于原点对称， 因此如果曲线C存在“切立方”，则正方形也关于原点对称，即正方形的中心为原点； 由曲线，则，设C与正方形的一条边的切点为， 则切线方程为，即， 即一条切线为，则与其平行的切线为， 同理可得正方形另两边所在直线为，． 依题意有，， 则， 设，，则， 整理得， 令，则， 令，则， 由于， 故在上单调递增，而， 故存在，使得，即， 则， 则当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故 ， 令，，则， 令，则， 即，也即在上单调递增，则， 则在上单调递减，则， 即，即无解， 因此曲线C不存在切立方． 变式2．（25-26高二上·上海·开学考试）在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，当且仅当时，称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线是曲线的分隔线． (1)判断点是否被直线分隔： (2)若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围 (3)动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设动点的轨迹为曲线，证明：经过原点的直线中，有且只有一条直线是曲线的分隔线． 【答案】(1)点能被直线分隔； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）点，直线，则， 所以点被直线分隔. （2）由直线是曲线的分隔线，得方程组无解，即方程无解， 而当且仅当时，方程无解，因此； 显然点在曲线上，， 因此点被直线分隔， 所以实数的取值范围是. （3）设点，依题意，，则曲线的方程为， 显然当时，方程无解， 点都在曲线上，且，即点被直线分隔， 因此直线为曲线的分隔线； 设过原点的直线，由消去得， 令函数，当时，， 函数的图象连续不断，则函数在上有解，即方程有实数解， 当时，方程有实数解，即直线与曲线有公共点， 因此直线不是曲线的分隔线， 所以经过原点的直线中，有且只有一条直线是曲线的分隔线，即. 变式3．（25-26高二上·福建泉州·月考）一般地，平面曲线（为实常数且）在点处的切线方程为.对于椭圆上不同的两点，，称为椭圆在两点处的线性积，并记为. (1)证明：. (2)已知，椭圆在两点处的切线交点的轨迹为曲线. （ⅰ）求曲线的方程； （ⅱ）已知为椭圆的上顶点，若点与曲线上的点之间的距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）法一：因为点，在椭圆上， 所以，， 所以， 当且仅当，时等号成立. 故. 法二：因为点，在椭圆上， 所以，. 设，，，，其中，， 则， 所以，当时等号成立. （2）（ⅰ）由得. 由题可得椭圆在点处的切线的方程为， 椭圆在点处的切线的方程为， 则由得. 当切线的斜率都存在且都不为0时，设与交于点（且）， 过点的椭圆的切线方程为， 由得， 则， 整理得. 显然，是上述方程的两个根，故， 所以（且）. 当切线中一条切线的斜率不存在，一条切线的斜率为0时， 可得点的坐标为或或或， 此时点也满足. 综上，， 故曲线的方程为. （ⅱ）易知，由（ⅰ）知曲线是以坐标原点为圆心，为半径的圆， 因为与曲线上的点之间的距离的最大值为3，最小值为1， 所以，得，， 所以椭圆的方程为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线定点问题、定值问题、定直线问题、新定义问题专项训练 圆锥曲线定点问题、定值问题、定直线问题、新定义问题专项训练 考点目录 圆锥曲线定点问题 圆锥曲线定值问题 圆锥曲线定直线问题 圆锥曲线新定义问题 考点一 圆锥曲线定点问题 例1．（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆过点.过作两条互相垂直的直线与分别与椭圆交于四点.记弦的中点分别是.    (1)求椭圆的方程； (2)若直线与轴不重合，求△面积的最大值； (3)求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 例2．（25-26高三上·江苏徐州·月考）已知椭圆的右顶点为，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)已知为的右焦点，，为轴上两动点，且． （i）若的外接圆与在第二象限的交点为，直线交轴于点，记的面积为的面积为，求； （ii）若直线分别与交于点，求证：直线恒过定点． 例3．（25-26高三上·北京·月考）已知椭圆 经过点 . (1)求椭圆 的方程及离心率； (2)设椭圆 的左顶点为 ，直线 与 相交于 两点，直线 与直线 相交于点 . 问: 直线 是否过定点? 若过定点，求出该点坐标; 若不过定点， 说明理由. 变式1．（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于两点.当点运动时，点的轨迹为. (1)证明：点的轨迹方程是； (2)过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点. 变式2．（25-26高三上·湖北随州·月考）已知是双曲线的右焦点，且经过点． (1)求的标准方程． (2)已知斜率为的直线与的右支相交于A，B两点，直线，的一个方向向量分别为，，，且． （ⅰ）求． （ⅱ）判断是否过定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 变式3．（25-26高三上·湖北·月考）在平面直角坐标系中，已知，动点满足直线和直线的斜率之积是． (1)求动点的轨迹方程，并指出该轨迹是什么曲线； (2)当时，为的轨迹上的两个动点，记直线的斜率分别为，若，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由． 考点二 圆锥曲线定值问题 例1．（25-26高三上·辽宁大连·月考）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线（斜率存在且不为0）与椭圆相交于两点，的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)过两点分别作椭圆的切线，设与交点为. （i）求点的轨迹方程； （ii）记直线的斜率分别为，证明：为定值. 例2．（25-26高二上·北京海淀·月考）已知椭圆：的右焦点，离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)点是椭圆上一动点，且点不在坐标轴上，轴于点，，且交直线于点，直线交轴于点，求证：为定值. 例3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是. (1)求动点P的轨迹曲线C的方程； (2)过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值. 变式1．（2026·河北沧州·模拟预测）已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)直线与相交于，两点． （i）是坐标原点，若的面积为，求的值； （ii）设的左焦点为，则是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由． 变式2．（24-25高二上·山东枣庄·期末）已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M. (1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程； (2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值. 变式3．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)若为原点，，试探究是否为定值，并说明理由. 考点三 圆锥曲线定直线问题 例1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）一个动圆Q与圆外切，与圆内切，设圆心Q的轨迹为曲线C，过点作斜率为k的直线l交曲线C于A，B两点． (1)求曲线C的方程； (2)在y轴上求异于的点P，使得对于任意的直线l，都有； (3)设，分别为曲线C的上、下顶点，直线与直线交于点M，若曲线C在点A处的切线交y轴于点N，试判断直线AB与直线MN的交点H是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由． 例2．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 例3．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知双曲线：的实轴长为2，离心率为2，，分别为左，右顶点，，分别为左，右焦点． (1)求双曲线的方程； (2)若过的直线与双曲线右支交于，两点，直线与直线交于点． ①证明：点在定直线上； ②若，求直线的方程． 变式1．（25-26高三上·湖南·月考）已知圆，圆．若动圆C与圆外切，且与圆内切，设圆心C的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)已知双曲线，过其右顶点A作直线分别交曲线E和双曲线于点（异于点A），作直线分别交曲线E和双曲线Γ于点（异于点A），设直线与直线交点为H， （ⅰ）求证：点的横坐标乘积为定值，并求出该定值． （ⅱ）求证：点H在定直线上，并求出该定直线的方程． 变式2．（2025·福建福州·模拟预测）已知抛物线E：（p>0），过点的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．当l1的斜率为时， (1)求E的标准方程： (2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上． 变式3．（2025·山东淄博·模拟预测）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为3，，为抛物线上异于原点的两点.延长，分别交抛物线于点，，直线，相交于点. (1)若，求四边形面积的最小值； (2)证明:点在定直线上. 考点四 圆锥曲线新定义问题 例1．（25-26高二上·湖北武汉·月考）如图，坐标平面上的点也可表示为，其中，为x轴非负半轴绕原点O逆时针旋转到与重合的旋转角．将点P绕原点O逆时针旋转后得到，这个过程称之为旋转变换，由此可以得到旋转变换公式： ．已知将焦点在x轴上的椭圆W绕原点O进行旋转变换可以得到曲线． (1)直接写出曲线的对称轴和椭圆W的方程（不用说明理由）； (2)已知曲线绕原点O逆时针旋转可以得到双曲线，曲线与椭圆W交于A，B，C，D四点． （i）求k的取值范围； （ii）求四边形的面积S（用k表示）及其取值范围． 例2．（25-26高二上·北京·月考）对于，定义曲线. (1)求曲线与直线的公共点的坐标； (2)记为曲线被轴所截得的线段长度与被轴所截得的线段长度之和，求当变化时，的最小值； (3)设坐标原点为，若对于任意，曲线上均存在不同两点，使得，且，求的取值范围. 例3．（25-26高二上·广西南宁·月考）曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆上点处的曲率半径公式为．已知椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程： (3)记椭圆的左焦点为，为椭圆上一动点，定点，求的最大值． 变式1．（24-25高三下·福建厦门·期末）若平面内的曲线与某正方形四条边的所在直线均相切，则称曲线为正方形的一条“切曲线”，正方形为曲线的一个“切立方”． (1)圆的一个“切立方”的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”四条边所在直线的方程； (2)已知正方形的方程为，且正方形为双曲线的一个“切立方”，求该双曲线的离心率的取值范围； (3)设函数的图象为曲线，试问曲线是否存在切立方，并说明理由． 变式2．（25-26高二上·上海·开学考试）在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，当且仅当时，称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线是曲线的分隔线． (1)判断点是否被直线分隔： (2)若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围 (3)动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设动点的轨迹为曲线，证明：经过原点的直线中，有且只有一条直线是曲线的分隔线． 变式3．（25-26高二上·福建泉州·月考）一般地，平面曲线（为实常数且）在点处的切线方程为.对于椭圆上不同的两点，，称为椭圆在两点处的线性积，并记为. (1)证明：. (2)已知，椭圆在两点处的切线交点的轨迹为曲线. （ⅰ）求曲线的方程； （ⅱ）已知为椭圆的上顶点，若点与曲线上的点之间的距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆的方程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $