精品解析：广东省佛山市南海区2024-2025学年高二上学期期中数学试题

2024-2025学年广东省佛山市南海区高二（上）期中 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且,则四边形ABCD是(　　) A. 空间四边形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 矩形 2. 已知，，且，则的值为（    ） A. 6 B. C. 12 D. 14 3. 直线的倾斜角是 A. B. C. D. 4. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 7 D. 9 5. 直线，直线与平行，且直线与垂直，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 7. 若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为1的正方体中，，分别是线段，上的点，是直线上的点，满足平面，，且、不是正方体的顶点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列给出的命题正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B. 两个不重合的平面，的法向量分别是，，则 C. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 对空间任意一点O与不共线的三点，若（其中），则四点共面 10. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（ ） A. B. C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 D. 点O到直线BC的距离是 11. 已知直线：与圆：相交于A，B两点，则（ ） A. 若圆C关于直线对称，则 B. 的最小值为 C. 当时，对，曲线：恒过直线与圆C的交点 D. 若A，B，C，O（O为坐标原点）四点共圆，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间三点，则在上的投影向量坐标为__________. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作x轴的垂线交椭圆与点P，若直线的斜率为，则椭圆C的离心率为______. 14. 在如图所示的三棱锥中，平面，，，，为中点，为内的动点（含边界），且.当在上时，________；点的轨迹的长度为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且. （1）求； （2）求向量与夹角的大小. 16. 如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）三角形的面积. 17. 已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上，过原点作直线交椭圆于、两点，且点不是椭圆的顶点，过点作轴的垂线，垂足为，点是线段的中点，直线交椭圆于点，连接 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）求证：． 18. 在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点． （1）点到平面的距离； （2）若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由． 19. 已知圆心在原点的圆被直线截得的弦长为 （1）求圆的方程； （2）设动直线与圆交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省佛山市南海区高二（上）期中 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且,则四边形ABCD是(　　) A. 空间四边形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 矩形 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，化简可得，利用向量相等证明四边形为平行四边形. 【详解】由已知得,即是相等向量,因此的模相等,方向相同, 即四边形ABCD是平行四边形.故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的加法，向量相等的意义，属于中档题. 2. 已知，，且，则的值为（    ） A. 6 B. C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量坐标运算以及空间向量垂直的坐标表示可以计算得到答案. 【详解】因为，所以， 解得， 故选：C. 3. 直线的倾斜角是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化直线一般式方程为斜截式，求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于直线的斜率求得倾斜角. 【详解】由，得， 设直线的倾斜角为，则， ，故选D. 【点睛】本题主要考查直线的斜截式方程的应用以及直线斜率与直线倾斜角的关系，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题. 4. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】先确定焦点位置，再根据计算即可. 【详解】由已知可得椭圆的焦点在轴上， 故， 则，得. 故选：D. 5. 直线，直线与平行，且直线与垂直，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据求出的值，即可得出答案. 【详解】因为直线与平行， 并且直线，所以，. 又因为直线与垂直，所以，. 所以. 故选：B. 6. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 【答案】D 【解析】 【分析】求出两圆的圆心和半径，得到，得到两圆外切. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆，故圆心，半径为， 则， 所以圆与圆的位置关系是外切. 故选：D 7. 若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点坐标写出以为直径的圆的方程即可. 【详解】直线与两坐标轴的交点为， 则， 则以为直径的圆半径为，圆心即为中点坐标为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得：. 故选：A 8. 如图，在棱长为1的正方体中，，分别是线段，上的点，是直线上的点，满足平面，，且、不是正方体的顶点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意建立空间直角坐标系，设，，即可表示的坐标，再连结，可证平面，即可得到则即可得到，设，则，即可得到，即可表示的坐标，最后根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得； 【详解】解：如图，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，0，，，1，，，0，，，1，， 设，，，， 则，，， ， 连结，正方体中，是正方形，平面， ，， 又，平面，平面， 平面，， 又，1，，，， ，，，，，， 设，则，，， ，，即， ，，，， ， 当时，的最小值是． 故选：． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列给出的命题正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B. 两个不重合的平面，的法向量分别是，，则 C. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 对空间任意一点O与不共线的三点，若（其中），则四点共面 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量研究线面、面面关系可判定A、B，利用基底的概念可判定C，利用空间中四点共面的推论可判定D. 【详解】易知，则直线l与平面平行或在面内，故A错误； 易知，则，故B正确； 若不能作为基底， 则存在，使得， 整理得， 又是空间的一组基底，则，显然方程无解，假设不成立，故C正确； 由空间四点共面的推论可知：若，且时， 四点共面，所以D错误. 故选：BC 10. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（ ） A. B. C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 D. 点O到直线BC的距离是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标表示，结合向量数量积、模的意义计算判断选项AB；利用异面直线夹角的向量求法判断选项C；利用空间向量求出点到直线距离判断选项D作答. 【详解】对于A，，，， 依题意，，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，,因为， 则异面直线OB与AC所成角的余弦值为，故C正确； 对于D，因为，，在上的投影为， 所以点O到直线BC的距离是，故D错误. 故选：AC. 11. 已知直线：与圆：相交于A，B两点，则（ ） A. 若圆C关于直线对称，则 B. 的最小值为 C. 当时，对，曲线：恒过直线与圆C的交点 D. 若A，B，C，O（O为坐标原点）四点共圆，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由直线过圆心计算判断A；求出最短弦长判断B；整理曲线方程，结合圆系方程判断C；由的垂直平分线确定圆心纵坐标，根据两圆方程求出直线方程，由直线过点D求解判断D. 【详解】依题意，直线过定点， 圆，即的圆心，半径， 对于A，由圆关于直线对称，得直线过圆心，则，A错误； 对于B，圆心到直线的距离的最大值为， 直线被圆心所截弦长的最小值为，B正确； 对于C，，直线，曲线的方程为， 因此曲线是过直线与圆的交点的曲线方程，C正确； 对于D，线段的垂直平分线，若四点共圆，设此圆的圆心为， 圆的方程为，整理得， 直线是圆和圆的交线，因此直线的方程为， 而点在直线上，则，解得， 于是直线的斜率为，即，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间三点，则在上的投影向量坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】由三点， 可得，则， 则在上的投影向量坐标为. 故答案为：. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作x轴的垂线交椭圆与点P，若直线的斜率为，则椭圆C的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出，根据斜率得到方程，结合得到，求出离心率. 【详解】由题意得，中令得，， 由于直线的斜率为，故，则①， 又②，联立①②得，，所以， 解得或（舍）. 故答案为：. 14. 在如图所示的三棱锥中，平面，，，，为中点，为内的动点（含边界），且.当在上时，________；点的轨迹的长度为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意建立空间直角坐标系可得当在上时，满足，求得的长；当为内的动点（含边界）时，再取中点，，再过作，可证平面，得到的轨迹，求解三角形可得点的轨迹的长度． 【详解】因为平面，平面，所以，又，所以， 又平面，所以平面，过，如图建立空间直角坐标系， 则，设，所以，则 ①当在上时，设，因为，所以，故，则 所以； ②为内的动点（含边界）时，如图，取中点，过作，垂足为 由①可得，又，平面，所以平面，因为平面，所以 即在线段上运动时，， 点的轨迹为线段． 则． 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且. （1）求； （2）求向量与夹角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据求出坐标，进而求出的坐标，则模可求； （2）求出坐标，然后求数量积，根据数量积可得夹角. 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 由（1）可得， ， 向量与垂直， 即向量与夹角的大小为. 16. 如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）三角形的面积. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用直线的两点式方程即可求得所在直线的方程； （2）先求得直线的斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得所在直线的方程； （3）利用点到直线距离公式求得边上的高，再利用两点间距离公式求得边的长，进而求得三角形的面积. 【小问1详解】 因为， 所以直线的两点式方程为， 化简得； 【小问2详解】 因为，又， 则，所以， 则直线的方程为， 即. 【小问3详解】 点到直线：的距离 又的底边， 所以的面积为. 17. 已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上，过原点作直线交椭圆于、两点，且点不是椭圆的顶点，过点作轴的垂线，垂足为，点是线段的中点，直线交椭圆于点，连接 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）求证：． 【答案】（1）椭圆的方程为，离心率； （2）设点 由点是线段的中点，所以 由①，② 则②-①： 由三点共线，所以 则 即 所以 【解析】 【分析】（1）根据焦距可得，以及点可得，然后根据，可得结果. （2）分别假设点的坐标，并计算坐标，然后计算，根据，最后化简，可得结果. 【详解】（1）由题可知：，又 所以 故椭圆的方程为，离心率 （2）略 【点睛】本题考查椭圆的方程以及椭圆与直线的几何关系，重点在于点坐标的假设，观察到椭圆是对称的图形，难点在于计算，考验计算能力，属中档题. 18. 在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点． （1）点到平面的距离； （2）若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点在靠近的三等分点处 【解析】 【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量后利用点面距公式可求点到平面的距离； （2）求出直线与的方向向量后可求它们夹角的余弦值； （3）设，求出面和平面法向量后利用夹角公式可求参数的值，从而可得所求的位置关系. 【小问1详解】 过作直线平面， 则可以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有，，，，，， 则，， 设面的一个法向量为，则， 令，则，，所以， 所以点到面的距离. 【小问2详解】 因为为的中点，所以，所以，， 所以 所以异面直线与AE所成角的余弦值为． 【小问3详解】 设，其中， 则，， 设面的一个法向量为， 则有，令，则，， 所以，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 所以， 若存在点，使得二面角的余弦值为， 则，所以，解得（舍去）或， 故存在满足题意，即存在点在靠近的三等分点处． 另解： 连接，则，易得，所以， 又平面，， 所以，，所以两两互相垂直， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，，则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，，所以， 同理可得平面的一个法向量， 所以，即， 解得（舍）或，所以存在点在处或在靠近的三等分点处． 19. 已知圆心在原点的圆被直线截得的弦长为 （1）求圆的方程； （2）设动直线与圆交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1）；（2）当点为时，直线与直线关于轴对称 【解析】 【分析】（1）利用圆心到直线的距离公式求得圆的半径，即可求得圆的方程； （2）设，通过对称性将坐标的关系找出，联立直线与圆的方程，得出韦达定理，代入化简求解即可. 【详解】（1）圆心到直线的距离，由圆的性质可得，所以，圆的方程为； （2）设， 由得，, 所以 若直线与直线关于轴对称，则， 即，即，化简得， 代入韦达定理，即 所以当点为时，直线与直线关于轴对称； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $