第5章一元一次方程 单元综合达标测试题 2025-2026学年北师大版七年级数学上册

2025-2026学年北师大版七年级数学上册《第5章一元一次方程》 单元综合达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运用等式的性质，变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．下列方程变形正确的是（         ） A．由移项，得 B．由去括号，得 C．由系数化为1，得 D．由去分母，得 4．将方程 中分母化为整数，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．方程与方程的解之和等于，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．某同学在解方程去分母时，方程右边的没有乘以2，因而求得方程的解为，则a的值和方程的正确的解分别是多少？(   ) A． B． C． D． 7．《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题：今有一群人共买物，人出九，盈六；人出六，不足三，问人数几何？设共有人，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．在如图所示日历中，任意平行四边形框出的四个数之和不可能是（   ） A．22 B．48 C．78 D．106 二、填空题（满分24分） 9．若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 10．若代数式与 是同类项，则x的值是 ． 11．当 时，关于x的方程的解为0． 12．代数式与的值互为相反数，则的值等于 ． 13．被减数、减数、差相加得1，差是减数的3倍，这个减法算式是 ． 14．甲油库存油112吨，乙油库存油80吨，每天从两个油库各运走8吨油， 天后甲油库剩下的油是乙油库剩下油的2倍？ 15．汽车上坡时每小时走28千米，下坡时每小时走35千米，去时下坡比上坡路的2倍还少14千米，原路返回比去时多用12分钟，则去时下坡路程 千米． 16．将图①所示的6个形状、大小相同的小长方形放在大长方形中．若图①的小长方形的周长为，大长方形的周长为，则图②中阴影部分的面积为 ． 三、解答题（满分72分） 17．解方程： (1) (2) 18．已知关于x的方程的解与的解相同，求的值． 19．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称为这两个方程为“致真方程”．如方程和为“致真方程”． (1)若关于的方程与方程是“致真方程”，求的值； (2)若关于的方程和是“致真方程”，求这两个方程的解． 20．某商厦以每件80元的价格购进某种商品100件，提高50%后标价．在国庆假期期间，该商厦用打折销售的方式，回馈顾客，活动结束后经统计，有90件商品以每件赚4元的价格售出． (1)国庆假期期间，商厦销售该商品时，打_______折． (2)若商厦在销售完这批商品后想获利8%，则剩余的商品应打多少折？ 21．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于的方程与是“和一方程”，求的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“和一方程”，求关于的一元一次方程的解． 22．把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则差25本． (1)这个班有多少名学生？ (2)读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？ 23．制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有木材，要用多少木料制作桌面，多少木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工几张桌子？ 24．如图1，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且满足．是数轴上的一个动点，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为． (1)________，________； (2)当时，求点所表示的数； (3)如图2，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点从点出发，以与点相同的速度沿数轴向左运动． ①若运动时间均为，用代数式表示，之间的距离； ②若点，之间的距离是点，之间距离的2倍，求此时运动时间的值． 参考答案 1．D 【分析】题目主要考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程），逐一判断各选项是否符合条件即可． 【详解】解：一元一次方程需同时满足： ① 只含一个未知数； ② 未知数的最高次数为1； ③ 为整式方程。 选项A：，含有两个未知数和，不符合①； 选项B：，化简为，未知数最高次数为2，不符合②； 选项C：，未知数在分母上，不是整式方程，不符合③； 选项D：，只含一个未知数，且的次数为1，是整式方程，符合所有条件； 故选：D． 2．D 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立．根据等式基本性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，原结论正确，不符合题意； B、若，则，原结论正确，不符合题意； C、若，则，原结论正确，不符合题意； D、若，则需要时，才成立，原结论错误，符合题意． 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解．根据一元一次方程的性质分析，即可得到答案． 【详解】解：A．由移项，得，故选项A错误； B．由去括号，得，故选项B错误； C．由系数化为1，得，故选项C错误； D．由去分母，得，故选项D正确； 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了解一元一次方程，方程各项分子分母扩大相应的倍数，使其小数化为整数得到结果，即可作出判断． 【详解】解：分母化为整数时， 分子分母同乘10得，分子分母同乘10得， 即化为 故选：C． 5．A 【分析】本题考查解一元一次方程．分别求得两个方程的解，根据两个解之和等于，得出，即可求解． 【详解】解：， ， 解得：， ， ∴， 解得：， 依题意，， ∴， 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了一元一次方程的解法及错解还原问题，解题的关键是根据“去分母时右边未乘2”的错误操作，先列出错误方程，再将错解代入求出a的值，最后代入原方程计算正确解． 先根据错误操作（去分母时右边不乘2）写出错误方程；将错解代入错误方程，求出a的值；再把a的值代入原方程，按正确步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解，最后匹配选项． 【详解】解：由原方程去分母时右边未乘2，得． ∵错解满足错误方程， ∴代入得， 即，解得． 将代入原方程， 去分母得， 移项合并得，解得． 综上，，正确的解，对应选项C． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据人数不变，即可得出关于y的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得． 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设其中最小的一个数为，根据月历表知，这四个数分别为，，，，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】设其中最小的一个数为，根据月历表知，这四个数分别为，，，， 这四个数的和为： 当时，解得：，不符合题意， 当时，解得：不是整数，不在日历表中，符合题意， 当时，解得：，不符合题意， 当时，解得：，不符合题意， 故选：B． 9． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，根据一元一次方程的定义得出且，即可求出a的值． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．1 【分析】本题考查根据同类项求参数的值，解一元一次方程，根据同类项的定义，得到，解方程即可得出结果． 【详解】解：由题意得， 解得； 故答案为1． 11．/ 【分析】本题考查的是一元一次方程解的定义，根据方程的解的定义，能够使方程左右两边相等的未知数的值，将代入方程，然后解这个关于k的方程即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：． 故答案是：． 12． 【分析】本题主要考查了相反数的意义，解一元一次方程，解题的关键是掌握相反数的意义． 利用相反数的意义列出方程求解，将方程的解代入代数式求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得， 代入得， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设减数为x，则差为，被减数为，根据被减数、减数、差相加得1，列出方程，求出x的值，再分别求出被减数、减数、差，即可得出答案． 【详解】解：设减数为x，则差为，被减数为，根据题意得： ， 解得：， 则被减数为，减数为，差为， ∴这个减法算式为． 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设出未知数、找出等量关系，然后列出一元一次方程成为解题的关键． 设x天后甲油库剩下的油是乙油库剩下油的2倍，然后根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设x天后甲油库剩下的油是乙油库剩下油的2倍， 由题意可得：，解得：． 即天后甲油库剩下的油是乙油库剩下油的2倍． 故答案为： 15． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 首先设去时上坡为千米，则下坡路为千米，根据所用时间得出方程进而求出即可． 【详解】解：设去时上坡为千米，则下坡路为千米， 根据题意得， 解得， ∴ ∴去时下坡路程为千米． 故答案为：． 16．15 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于确定等量关系列出方程．设小长方形的长为，则宽为，根据大长方形的周长为，列出方程，解方程求出小长方形的长和宽再进一步求阴影部分的面积即可． 【详解】解：设小长方形的长为，则宽为，根据题意得： ， 解得：， ， ∴阴影部分的面积为： 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题关键． （1）依次移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1） 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2） 去分母得：， 去括号得：， 移项得： 合并同类项得：， 系数化为1得：． 18．3 【分析】本题考查了同解方程的定义，掌握同解方程的定义，得出的值是解题的关键． 先解不含参数的一元一次方程，将解代入含参数的一元一次方程，即可求出的值． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：． 将代入得： ， ， ． 19．(1) (2)方程的解为，方程的解为 【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，解题的关键是掌握“致真方程”的定义． （1）根据解一元一次方程的步骤，可用表示出方程的解，再解出方程的解，最后结合“致真方程”的定义和相反数的定义，可得出关于的方程，解出的值即可； （2）根据解一元一次方程的步骤，可用表示出两个方程的解，结合“致真方程”的定义和相反数的定义，可得出关于的方程，解出的值即可． 【详解】（1）解： ； ； ∵方程与方程是“致真方程”， ∴， 解得． （2）解： ； ； ∵方程和是“致真方程”， ∴， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 则， ， 故方程的解为，方程的解为． 20．(1)七； (2)剩余的商品应打九折． 【分析】本题涉及商品的进价、标价、折扣以及利润的计算，需要根据这些量之间的关系，通过设未知数建立方程来求解折扣． 【详解】（1）解：设国庆假期期间打x折 商品进价为每件80元，提高后的标价为元 打x折后的售价为元 已知有90件商品以每件赚4元的价格售出，根据售价-进价=利润， 可得： 化简方程： 移项：，即 解得，所以打7折． （2）解：设剩余的商品应打x折． 由题意，得， 解得． 故剩余的商品应打九折． 【点睛】本题考查了一元一次方程在商品销售问题中的应用，掌握根据商品销售中的进价、标价、折扣、利润之间的关系，建立方程求解折扣是解题的关键． 21．(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，理解“和一方程”的定义是解题的关键． （1）分别求出两个方程的解，再根据“和一方程”的定义，列出关于m的方程，即可求解； （2）根据“和一方程”的定义，可得另一个解为，再根据两个“和一方程”的解的差为7，即可求解； （3）根据“和一方程”的定义，可得一元一次方程的解为，把方程变形为，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，解得：， ，解得：， ∵方程与是“和一方程”， ∴， 解得：； （2）解：∵两个“和一方程”的一个解为，则另一个解为， ∵两个“和一方程”的解的差为7， ∴或， 解得：或； （3）解：，解得：， ∵一元一次方程和是“和一方程”， ∴一元一次方程的解为， ∵方程变形为， ∴方程的解为， ∴． 22．(1)这个班有45名学生 (2)应先安排2人整理图书 【分析】（1）设这个班有名学生，根据如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则差本．列出一元一次方程，解方程即可； （2）设应先安排人整理图书，现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起做，正好完成这项任务，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设这个班有名学生． 由题意，得， 解得． 答：这个班有名学生． （2）解：设应先安排人整理图书． 由题意，得， 解得． 答：应先安排人整理图书． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 23．(1)安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿 (2)25张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． （1）设应安排木材用来生产桌面，则应安排木材用来生产桌腿．根据“木材可以制作个桌面，或者制作条桌腿”建立方程求出其解即可． （2）设乙工厂每天生产桌子m张，则甲工厂每天生产桌子张，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿， 根据题意得， 解得，， 则配成的桌子套数为套， 答：应安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿． （2）由（1）得，一共生产200套桌子， 设乙工厂每天生产桌子m张，则甲工厂每天生产桌子张， 根据题意得：， 解得：， ∴张， ∴甲工厂每天加工25张桌子． 24．(1)，10 (2)1或4 (3)①；②6或10 【分析】本题主要结合数轴考查动点问题，一元一次方程的应用，掌握数轴的知识和行程问题的解法是解题的关键． （1）根据绝对值和偶次方的非负性求解即可． （2）设点表示的数为，根据，得出点在，两点之间，则，．当时，列出方程，当时，列出方程，求解即可． （3）①点表示的数是，点表示的数为，即可得出． ②当在的左侧时，列出方程，当在的右侧时，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，10． （2）解：设点表示的数为， 因，则点在，两点之间， 所以，． 当时，，解得：； 当时，，解得：． 综上，点表示的数为1或4． （3）解：①点表示的数是，点表示的数为， ．（如写“或”也可） ②当在的左侧时，，解得：； 当在的右侧时，，解得：． 即此时运动时间的值为6或10． 学科网（北京）股份有限公司 $