第十七章 特殊三角形（单元测试·基础卷）数学冀教版2024八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十七章 特殊三角形·基础通关 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）用反证法证明“在中，，则”时，应先假设（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）下列各组数据中，可以作为直角三角形三边长的是（） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 3．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）在中，，，，则的长为（    ） A． B． C．5 D．6 4．（24-25八年级下·河北保定·期中）某数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作等腰三角形的三种情况，图1，图2，图3分别对应下面三种情况中的一种：①已知底边长和腰长；②已知底边长和一个底角；③已知底边长和底边上的高．根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（   ） A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 5．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）如图，在中，，．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 6．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）已知，如图，在中，和分别平分和，过作分别交，于点，，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河北·模拟预测）如图，将等腰直角三角形纸片的直角顶点C放置在刻度尺的边上，点B落在尺子内部，的中点O刚好在尺子的边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是，一支铅笔长为，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，这支铅笔在笔筒外面部分长度为．若这支铅笔斜放入圆柱体笔筒中，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图所示，四条线段的长度分别为：，它们首尾顺次相接围成四边形（阴影部分），连接，的长度随四边形的形状变化而变化．当为等腰三角形时，的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．5或7 10．（2025·河北唐山·三模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当点落在边上时，连接，则（   ） A． B． C． D．57° 11．（2024八年级上·河北邢台·竞赛）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：；；；；，一定成立的是（　　） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 12．（24-25八年级上·河北唐山·期末）题目：“如图，已知，过端点作射线，点为射线上一点，且．点为射线上的动点，关于对称的图形为（点的对称点为点），连接．若是直角三角形，求的长．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25八年级上·河北秦皇岛·阶段练习）等腰三角形的一个外角为，则它的底角的度数为 ． 14．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为 ． 15．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，，，射线BC上有一点P．当是以BP为腰的等腰三角形时，的长为 ． 16．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图是某工厂的平面图经测量． （1）则 度； （2）已知是在边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为，若，则直线上被摄像头监控的公路长度为 米． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）如图，在中，，于点D，于点E．求证：． 18．（8分）（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）在中，a，b，c 分别是、、所对应的边，，试解决下列问题： (1)已知，，求c的长； (2)已知，，求a的长； 19．（8分）（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 20．（8分）（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)是不是从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明； (2)求新路比原路少多少千米． 21．（9分）（2025·河北唐山·三模）已知：整式，且整式． (1)若，求整式、的值； (2)若、、的值均为正数，则以整式、、为边长的三角形是什么形状的三角形？并说明理由． 22．（9分）（24-25八年级上·山西忻州·期中）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 【甲】如图1，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至D，至E，使，最后测出的长即为A，B的距离． 【乙】如图2，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)以上两位同学所设计的方案，可行的有 ； (2)请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 23．（11分）（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）点分别是边长为的等边的边上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是． (1)如图1，当时，连接交于点M，求的度数； (2)当 时，是直角三角形？ (3)如图2，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 24．（12分）（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，（），，显然． (1)请用a，b，c分别表示出四边形的面积，（提示：）梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)如图3，网格中小正方形边长为1， ①点P为已给网格中格点上的点，求的最大值为______． ②请利用“等面积法”解决问题：连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高的长度为______． (3)如图4，在中，是边上的高，，，，求的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十七章 特殊三角形·基础通关 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）用反证法证明“在中，，则”时，应先假设（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）下列各组数据中，可以作为直角三角形三边长的是（） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 3．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）在中，，，，则的长为（    ） A． B． C．5 D．6 4．（24-25八年级下·河北保定·期中）某数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作等腰三角形的三种情况，图1，图2，图3分别对应下面三种情况中的一种：①已知底边长和腰长；②已知底边长和一个底角；③已知底边长和底边上的高．根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（   ） A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 5．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）如图，在中，，．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 6．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）已知，如图，在中，和分别平分和，过作分别交，于点，，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河北·模拟预测）如图，将等腰直角三角形纸片的直角顶点C放置在刻度尺的边上，点B落在尺子内部，的中点O刚好在尺子的边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是，一支铅笔长为，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，这支铅笔在笔筒外面部分长度为．若这支铅笔斜放入圆柱体笔筒中，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图所示，四条线段的长度分别为：，它们首尾顺次相接围成四边形（阴影部分），连接，的长度随四边形的形状变化而变化．当为等腰三角形时，的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．5或7 10．（2025·河北唐山·三模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当点落在边上时，连接，则（   ） A． B． C． D．57° 11．（2024八年级上·河北邢台·竞赛）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：；；；；，一定成立的是（　　） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 12．（24-25八年级上·河北唐山·期末）题目：“如图，已知，过端点作射线，点为射线上一点，且．点为射线上的动点，关于对称的图形为（点的对称点为点），连接．若是直角三角形，求的长．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25八年级上·河北秦皇岛·阶段练习）等腰三角形的一个外角为，则它的底角的度数为 ． 14．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为 ． 15．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，，，射线BC上有一点P．当是以BP为腰的等腰三角形时，的长为 ． 16．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图是某工厂的平面图经测量． （1）则 度； （2）已知是在边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为，若，则直线上被摄像头监控的公路长度为 米． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）如图，在中，，于点D，于点E．求证：． 18．（8分）（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）在中，a，b，c 分别是、、所对应的边，，试解决下列问题： (1)已知，，求c的长； (2)已知，，求a的长； 19．（8分）（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 20．（8分）（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)是不是从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明； (2)求新路比原路少多少千米． 21．（9分）（2025·河北唐山·三模）已知：整式，且整式． (1)若，求整式、的值； (2)若、、的值均为正数，则以整式、、为边长的三角形是什么形状的三角形？并说明理由． 22．（9分）（24-25八年级上·山西忻州·期中）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 【甲】如图1，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至D，至E，使，最后测出的长即为A，B的距离． 【乙】如图2，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)以上两位同学所设计的方案，可行的有 ； (2)请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 23．（11分）（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）点分别是边长为的等边的边上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是． (1)如图1，当时，连接交于点M，求的度数； (2)当 时，是直角三角形？ (3)如图2，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 24．（12分）（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，（），，显然． (1)请用a，b，c分别表示出四边形的面积，（提示：）梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)如图3，网格中小正方形边长为1， ①点P为已给网格中格点上的点，求的最大值为______． ②请利用“等面积法”解决问题：连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高的长度为______． (3)如图4，在中，是边上的高，，，，求的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十七章 特殊三角形·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C C C B A C A A B B D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13． 14．/度 15．2或 16． 160 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，，由此即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，·············································2分 ∵，， ∴， ∴，，············································5分 ∴．································7分 18．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理计算c的长； （2）利用勾股定理计算a的长． 【详解】（1）解：，，， ；············································4分 （2）解：，，， ．············································8分 19．（8分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）连接，利用线段垂直平分线的性质证得，再根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论； （2）由三角形的外角的性质可得，进而得到． 【详解】（1）证明：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴．············································4分 （2）解：∵， ， ∴， ， ．············································8分 20．（8分） 【答案】(1)是最近的路；说明见解析； (2)新路比原路少千米 【分析】本题考查了垂线段最短、勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理，并能结合题意列出适当的方程求值是解本题的关键． （1）点到直线的距离，垂线段最短，根据勾股定理的逆定理，判断是否垂直于即可； （2）根据勾股定理，列方程，算出的值，再求与的差即可． 【详解】（1）解：是最近的路，说明如下： ∵千米，千米，千米， ∴， ∴， ∴是直角三角形，即 ∴， ∴是从村庄到河边的最近的路．············································4分 （2）解：设千米，则千米，千米， 在中，根据勾股定理有，，即， 解得 ∴千米， ∴千米， ∴新路比原路少千米．············································8分 21．（9分） 【答案】(1)或 (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要查求代数式的值，勾股定理的逆定理： （1）把代入，可得，然后把分别代入A，B，即可； （2）根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，············································2分 当时，； 当时，； 综上所示：或；············································5分 （2）解：以整式、、为边长的三角形是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴这个三角形是直角三角形．············································9分 22．（9分） 【答案】(1)甲，乙 (2)理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理， 对于（1），根据全等三角形的性质可解答甲，再根据等腰三角形的性质说明乙； 对于（2），结合（1）解答即可. 【详解】（1）解：根据“边角边”证明，可得，所以甲方案可行； 根据“三角形内角和定理”得，可知是等腰三角形，再根据等腰三角形“三线合一”可得，所以方案乙可行； 故答案为：甲，乙；············································4分 （2）解：∵， ∴，············································6分 ∴， 所以甲方案可行；············································9分 ∵， ∴， ∴， 即是等腰三角形.············································6分 ∵， ∴， 所以方案乙可行.············································9分 23．（11分） 【答案】(1) (2)2或4 (3)不变， 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键： （1）证明，得到，再根据三角形的外角的性质求出的度数即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可； （3）证明，得到，再根据对顶角相等，三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴当时，， ∵等边， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴；·························3分 （2）由（1）可知：， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴，即：， 解得； 当时，则：， ∴，即：， 解得； 综上：当或4时，是直角三角形；············································7分 （3）不变，············································8分 ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．·······················11分 24．（12分） 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3) 【分析】本题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，二次根式的化简，根据勾股定理列方程求解是解本题的关键． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）①利用勾股定理求解即可；②根据三角形的面积的两种算法列等式即可求出答案； （3）分别在两个直角三角形中利用勾股定理求出，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，设与交于点G， ，，，，， ， ， ， ， ， 化简，得；············································3分 （2）解：①点P与格点图左上角或左下角的点的距离最大，的最大值． 故答案为：．············································5分 ②设边上的高为h， ， ， ， 边上的高为． 故答案为：．···········································7分 （3）解：设， ， ， 在中， ∵AB=4，，是边上的高， ， 在中， ∵AC=5，， ， ， 解得，············································10分 ．············································12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十七章 特殊三角形·基础通关 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）用反证法证明“在中，，则”时，应先假设（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反证法中的假设，明确方法是解题的关键． 根据反证法证明命题的步骤求解即可． 【详解】解：由反证法的定义可知，假设需要否定结论 所以先假设 故选：D． 2．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）下列各组数据中，可以作为直角三角形三边长的是（） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了用勾股定理逆定理判断能否构成直角三角形，解题的关键是熟记．根据勾股定理的逆定理，验证各组数据是否满足“较小两边平方和等于最大边的平方”，从而判断是否为直角三角形。 【详解】解：A．，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意； B．，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意； C．，能作为直角三角形三边长度，符合题意； D．，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）在中，，，，则的长为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理的内容是解题的关键． 根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：根据勾股定理，． 故选：C． 4．（24-25八年级下·河北保定·期中）某数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作等腰三角形的三种情况，图1，图2，图3分别对应下面三种情况中的一种：①已知底边长和腰长；②已知底边长和一个底角；③已知底边长和底边上的高．根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（   ） A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线的尺规作图，线段的尺规作图，作与已知角相等的角的尺规作图，解题关键是熟悉相关作图方法． 根据相关作图方法进行判断求解即可． 【详解】解：由作图方法可知，图1对应的是②已知底边长和一个底角； 图2对应的是③已知底边长和底边上的高； 图3对应的是①已知底边长和腰长， 其对应顺序正确的是②③①， 故选：C． 5．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）如图，在中，，．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选B． 6．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）已知，如图，在中，和分别平分和，过作分别交，于点，，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据和分别平分和，和，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出，，然后即可得出答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵在中，和分别平分和， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故选：． 7．（2024·河北·模拟预测）如图，将等腰直角三角形纸片的直角顶点C放置在刻度尺的边上，点B落在尺子内部，的中点O刚好在尺子的边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，过点作，利用平行线的性质可得，根据等腰直角三角形的性质可得，求得即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 故选：C． 8．（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是，一支铅笔长为，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，这支铅笔在笔筒外面部分长度为．若这支铅笔斜放入圆柱体笔筒中，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，据图先求出，得出这支铅笔在笔筒外面部分长度在之间，即可得出结论． 【详解】解：根据题意可得图形： ， 在中，， ∴， 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在之间， 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 9．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图所示，四条线段的长度分别为：，它们首尾顺次相接围成四边形（阴影部分），连接，的长度随四边形的形状变化而变化．当为等腰三角形时，的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．5或7 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系，等腰三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据为等腰三角形，求出的长为5或7，继而判断是否符合题意,即可解答． 【详解】解：如图，在中，根据三角形的三边关系，得 ， 即 ∵为等腰三角形， ∴当时，,且，符合题意； 当 时，不符合题意，舍去， ∴． 故选A． 10．（2025·河北唐山·三模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当点落在边上时，连接，则（   ） A． B． C． D．57° 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质（对应边、角相等）、等腰三角形性质（等边对等角）及三角形内角和定理．解题关键是通过旋转性质建立边与角的等量关系，再结合等腰三角形和角的和差关系推导目标角度．利用旋转的性质得到对应边、角相等，结合直角三角形内角和求出，再通过等腰三角形性质和角的和差关系计算 【详解】解：中，， ， 绕点B逆时针旋转得到， ，，， 又可知，是等腰三角形，顶角为（旋转角等于原角）， 底角， ， 故选：B． 11．（2024八年级上·河北邢台·竞赛）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：；；；；，一定成立的是（　　） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】由等边三角形的性质可得，，，利用等式的性质可得，于是可证得，进而可得，故结论正确，，，然后利用可证得，于是可得，，故结论正确，进而可证得是等边三角形，于是可得，因而可得，于是可得，故结论正确，利用三角形外角的性质可得，故结论正确，然后可推出，因而，即，故结论不正确．综上所述，正确的结论有，共个，据此即可得出答案． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， 即：， ， ，故结论正确， ∴，， 即：， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，故结论正确， 又， 是等边三角形， ， ， ，故结论正确， ， ，故结论正确， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，故结论不正确， 综上，正确的结论有． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质（和），内错角相等两直线平行，三角形外角的性质，等角对等边等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 12．（24-25八年级上·河北唐山·期末）题目：“如图，已知，过端点作射线，点为射线上一点，且．点为射线上的动点，关于对称的图形为（点的对称点为点），连接．若是直角三角形，求的长．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】D 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理、平行线的判定和性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉折叠的性质和分类讨论思想的应用．①当时，根据折叠的性质得，，设，则，，可判定A，D和C三点共线，在中，求得，得，在中即可求得；②当时，过点D作，交于点H，则，即有，在中解得，在中即可求得；③当时，则，有，可得到，则有． 【详解】解：①当时，如图， 根据题意知，， 设，则，， ∵， ∴A，D和C三点共线， 在中，，即， 解得， 则， 在中，，即， 解得， 则； ②当时，过点D作，交于点H，如图， 则， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， 在中，，即， 解得； ③当时，如图， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则的长为或2或， 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25八年级上·河北秦皇岛·阶段练习）等腰三角形的一个外角为，则它的底角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，先得出等腰三角形的一个内角是，则这个角只能是顶角，再根据三角形内角和求出底角即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为， ∴其对应的内角为， ∴等腰三角形的顶角是， ∵等腰三角形的两个底角相等， ∴它的底角的度数为 故答案为：． 14．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，利用等边三角形性质得到，结合题意进而得到，再根据三角形外角性质得到，即可解题． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，，，射线BC上有一点P．当是以BP为腰的等腰三角形时，的长为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理．分，两种情形分析，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求即可． 【详解】解：在中，，，， ， 当时， ∴； 当时， 设， 则， ∵， ， 解得，， 即， 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 16．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图是某工厂的平面图经测量． （1）则 度； （2）已知是在边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为，若，则直线上被摄像头监控的公路长度为 米． 【答案】 160 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用，等腰三角形的性质与判定，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）连接，可得，利用勾股定理可得，则可证明，再根据勾股定理的逆定理可得，即可求解； （2）过点E作，交直线于点G．点M，N在直线上，且，即的长为直线上被摄像头监控到的公路长度．可证明，得到．求出，由勾股定理得，则，由勾股定理得，同理可得，则，据此可得答案． 【详解】解：（1）如图，连接． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为；； （2）如图，过点E作，交直线于点G．点M，N在直线上，且，即的长为直线上被摄像头监控到的公路长度． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， 即直线上被摄像头监控到的公路长度为， 故答案为：160． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）如图，在中，，于点D，于点E．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，，由此即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 18．（8分）（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）在中，a，b，c 分别是、、所对应的边，，试解决下列问题： (1)已知，，求c的长； (2)已知，，求a的长； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理计算c的长； （2）利用勾股定理计算a的长． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：，，， ． 19．（8分）（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）连接，利用线段垂直平分线的性质证得，再根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论； （2）由三角形的外角的性质可得，进而得到． 【详解】（1）证明：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴． （2）解：∵， ， ∴， ， ． 20．（8分）（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)是不是从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明； (2)求新路比原路少多少千米． 【答案】(1)是最近的路；说明见解析； (2)新路比原路少千米 【分析】本题考查了垂线段最短、勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理，并能结合题意列出适当的方程求值是解本题的关键． （1）点到直线的距离，垂线段最短，根据勾股定理的逆定理，判断是否垂直于即可； （2）根据勾股定理，列方程，算出的值，再求与的差即可． 【详解】（1）解：是最近的路，说明如下： ∵千米，千米，千米， ∴， ∴， ∴是直角三角形，即 ∴， ∴是从村庄到河边的最近的路． （2）解：设千米，则千米，千米， 在中，根据勾股定理有，，即， 解得 ∴千米， ∴千米， ∴新路比原路少千米． 21．（9分）（2025·河北唐山·三模）已知：整式，且整式． (1)若，求整式、的值； (2)若、、的值均为正数，则以整式、、为边长的三角形是什么形状的三角形？并说明理由． 【答案】(1)或 (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要查求代数式的值，勾股定理的逆定理： （1）把代入，可得，然后把分别代入A，B，即可； （2）根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 综上所示：或； （2）解：以整式、、为边长的三角形是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴这个三角形是直角三角形． 22．（9分）（24-25八年级上·山西忻州·期中）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 【甲】如图1，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至D，至E，使，最后测出的长即为A，B的距离． 【乙】如图2，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)以上两位同学所设计的方案，可行的有 ； (2)请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 【答案】(1)甲，乙 (2)理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理， 对于（1），根据全等三角形的性质可解答甲，再根据等腰三角形的性质说明乙； 对于（2），结合（1）解答即可. 【详解】（1）解：根据“边角边”证明，可得，所以甲方案可行； 根据“三角形内角和定理”得，可知是等腰三角形，再根据等腰三角形“三线合一”可得，所以方案乙可行； 故答案为：甲，乙； （2）解：∵， ∴， ∴， 所以甲方案可行； ∵， ∴， ∴， 即是等腰三角形. ∵， ∴， 所以方案乙可行. 23．（11分）（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）点分别是边长为的等边的边上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是． (1)如图1，当时，连接交于点M，求的度数； (2)当 时，是直角三角形？ (3)如图2，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 【答案】(1) (2)2或4 (3)不变， 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键： （1）证明，得到，再根据三角形的外角的性质求出的度数即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可； （3）证明，得到，再根据对顶角相等，三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴当时，， ∵等边， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可知：， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴，即：， 解得； 当时，则：， ∴，即：， 解得； 综上：当或4时，是直角三角形； （3）不变， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（12分）（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，（），，显然． (1)请用a，b，c分别表示出四边形的面积，（提示：）梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)如图3，网格中小正方形边长为1， ①点P为已给网格中格点上的点，求的最大值为______． ②请利用“等面积法”解决问题：连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高的长度为______． (3)如图4，在中，是边上的高，，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3) 【分析】本题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，二次根式的化简，根据勾股定理列方程求解是解本题的关键． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）①利用勾股定理求解即可；②根据三角形的面积的两种算法列等式即可求出答案； （3）分别在两个直角三角形中利用勾股定理求出，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，设与交于点G， ，，，，， ， ， ， ， ， 化简，得； （2）解：①点P与格点图左上角或左下角的点的距离最大，的最大值． 故答案为：． ②设边上的高为h， ， ， ， 边上的高为． 故答案为：． （3）解：设， ， ， 在中， ∵AB=4，，是边上的高， ， 在中， ∵AC=5，， ， ， 解得， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $